Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Góc trong tam giác Toán 7

Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng [r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | CHUYÊN ĐỀ GÓC TRONG TAM GIÁC

I Cơ sở lí thuyết

Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau: • Trong tam giác:

o Tổng số ba góc tam giác 1800

o Biết hai góc ta xác địn góc cịn lại

o Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với • Trong tam giác cân: biết góc ta xác định hai góc cịn lại

• Trong tam giác vng:

o Biết góc nhọn, xác định góc cịn lại

o Cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 300

• Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo 450

• Trong tam giác đều: góc có số đo 600

• Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo • Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo 900

• Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 450

• Hai góc đối đỉnh

• Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, …

Khi giải tốn tính số đo góc cần ý:

1.Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hường chứng minh

2.Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vng cân, tam giác cân hình vẽ

3.Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, …

4 Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc

5.Xét đủ trường hợp số đo góc xảy (ví dụ góc nhọn, góc tù, …)

(Tham khảo tốn nâng cao lớp 7, tập – Vũ Hữu Bình)

Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết

Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp ngay mà có nhiều địi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ" đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước đó giải Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khố “ thực thụ để giải dạng toán

II Một số dạng toán

*Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác

Bài tốn Cho ∆𝑨𝑩𝑪 có 𝑨̂ = 𝟐𝟎𝟎 có 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪, lấy 𝑴 ∈ 𝑨𝑩 cho 𝑴𝑨 = 𝑩𝑪 Tính số đo 𝑨𝑴𝑪̂ ?

Nhận xét

Ta cần tìm 𝐴𝑀𝐶̂ thuộc ∆𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 200 mà 𝐵̂ = 𝐶̂ = 800 = 200 + 600

Ta thấy có liên hệ rõ nét góc 200 góc 600, mặt khác 𝑀𝐴 = 𝐵𝐶

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải

Cách (Hình 1)

Vẽ ∆𝐵𝐷𝐶 (D, A phía so với BC) Nối A với D Ta có ∆𝐴𝐵𝐷 = ∆𝐴𝐶𝐷 (c.c.c) => 𝐷𝐴𝐶̂ = 𝐷𝐴𝐵̂ = 100 Lại có ∆𝐴𝑀𝐶 = ∆𝐶𝐷𝐴 (c.g.c) => 𝑀𝐶𝐴̂ = 𝐷𝐴𝐶̂ = 100

=> 𝐴𝑀𝐶̂ = 1800− (𝐴𝐶𝑀̂ + 𝑀𝐴𝐶̂ ) = 1800 − (200 + 100) = 1500

Cách (Hình 2)

Vẽ ∆𝐴𝐶𝐷 (M, D khác phía so với AC) Ta có ∆𝐵𝐴𝐶 = ∆𝐴𝐷𝑀 (c.g.c) => 𝐴𝑀𝐷̂ = 800 (1) => ∆𝑀𝐷𝐶 cân D, 𝑀𝐷𝐶̂ = 400 => 𝐷𝑀𝐶̂ = 700 (2) Từ (1) (2) suy 𝐴𝑀𝐶̂ = 1500

Bài toán Cho ∆𝑨𝑩𝑪 cân A, 𝑨̂ = 𝟒𝟎𝟎 Đường cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho 𝑬𝑩𝑨̂ = 𝑭𝑩𝑪̂ = 𝟑𝟎𝟎 Tính 𝑨𝑬𝑭̂?

Hướng giải

Vẽ ∆𝐴𝐵𝐷 (B, D khác phía so với AC) ∆𝐴𝐵𝐶 cân A, 𝐴̂ = 400 (gt)

=> 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐴𝐶𝐵̂ = 700 mà 𝐹𝐵𝐶̂ = 300 (gt) => 𝐴𝐵𝐹̂ = 400, 𝐵𝐴𝐹̂ = 400 => ∆𝐴𝐹𝐵 cân F

=> 𝐴𝐹 = 𝐵𝐹, mặt khác 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷, FD chung

=> ∆𝐴𝐹𝐵 = ∆𝐵𝐹𝐷 (𝑐 𝑐 𝑐) => 𝐴𝐷𝐹̂ = 𝐵𝐷𝐹̂ =60

0

2 = 30

0

Do AH đường cao tam giác cân BAC

=> 𝐵𝐴𝐸̂ = 200 = 𝐹𝐴𝐷̂ = 600 − 400 , 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 (vì ∆𝐴𝐵𝐷 đều),

𝐴𝐵𝐸̂ = 300 (gt)

=> ∆𝐴𝐵𝐸 = ∆𝐴𝐷𝐹 (g.c.g) => 𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 => ∆𝐸𝐴𝐹 cân A mà 𝐸𝐴𝐹̂ = 200 => 𝐴𝐸𝐹̂ =180

0− 200

2 = 80

0

Bài toán

Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑩̂ = 𝑪̂ = 𝟒𝟓𝟎 Điểm E nằm ∆ cho 𝑬𝑨𝑪̂ = 𝑬𝑪𝑨̂ = 𝟏𝟓𝟎 Tính 𝑩𝑬𝑨̂ ?

Nhận xét

B

A

C M

D

B

A

C M

D

H C

B A

(3)

Xuất phát từ 150 750 biết, ta có 600 = 750− 150 𝐸𝐴 = 𝐸𝐶 ∆𝐸𝐴𝐶 cân E Với yếu tố

đó giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải

Vẽ ∆𝐴𝐸𝐼 (I, B phía so với AE) Ta có ∆𝐴𝐸𝐶 = ∆𝐴𝐼𝐵 (c.g.c)

=> 𝐼𝐵 = 𝐶𝐸 mà 𝐸𝐼 = 𝐶𝐸 (∆𝐴𝐸𝐼 đều) => 𝐼𝐵 = 𝐸𝐼 => ∆𝐸𝐼𝐵 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝐼

=> 𝐸𝐼𝐵̂ = 3600 − (600 + 1500) = 1500

=> 𝐼𝐸𝐵̂ = 150

=> 𝐵𝐸𝐴̂ = 𝐵𝐸𝐼̂ + 𝐼𝐸𝐴̂ = 750

*Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền

Bài tốn Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc

Phân tích

+/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia 𝐵𝐴𝐶̂ thành ba góc => ∆𝐴𝐵𝑀 cân A (Đường cao đồng thời phân giác)

=> 𝐴𝐻 đồng thời trung tuyến => 𝐻𝐵 = 𝐻𝑀 =1

2𝐵𝑀 => 𝐻𝑀 = 2𝑀𝐶 +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến 𝑀𝐴𝐶̂ =

𝑀𝐴𝐻̂ = 𝐻𝐴𝐵̂ liên quan đến HM = HB =

2 BM =

2 MC

Kẻ MK ⊥ AC K Khi có sơ sơ đồ phân tích 𝐴𝑀 ⊥ 𝐴𝐶 𝑡ạ𝑖 𝐾 → ∆𝐴𝐻𝑀 = ∆𝐴𝐾𝑀 → 𝑀𝐾 = 𝑀𝐻

→ 𝑀𝐾 =1

2𝑀𝐶 → 𝐶̂ = 30

0

→ 𝐻𝐴𝐶̂ = 600 → 𝐻𝐴𝑀̂ = 𝑀𝐴𝐶̂ = 300 → 𝐻𝐴𝐵̂ = 300 → 𝐵𝐴𝐶̂ = 900

→ 𝐵̂ = 600 Hướng giải

Vì 𝑀𝐾 ⊥ 𝐴𝐶 K Xét ∆𝐴𝐵𝑀 có AH đường cao ứng với BM

AH đường phân giác ứng với cạnh BM (vì 𝐵𝐴𝐻̂ = 𝐻𝐴𝑀̂ =

2 𝐵𝐴𝑀̂ )

Nên ∆𝐴𝐵𝑀 cân đỉnh A => H trung điểm BM

I

C A

B

E

D

C A

B

E

K

H M

C A

(4)

=> 𝐻𝑀 = 2𝐵𝑀 =

1 4𝐵𝐶 Xét ∆𝐴𝐻𝑀 𝑣à ∆𝐴𝐾𝑀 có

AM cạnh huyền chung 𝐻𝐴𝑀̂ = 𝐾𝐴𝑀̂ (gt)

=> ∆𝐴𝐻𝑀 = ∆𝐴𝐾𝑀 (cạnh huyền – góc nhọn) => 𝐻𝑀 = 𝐾𝑀 (hai cạnh tương ứng)

=> 𝐾𝑀 =1 4𝐵𝐶 =

1 2𝑀𝐶 Xét ∆𝑀𝐾𝐶 có 𝑀𝐾𝐶̂ = 900, KM = 1

2 MC

=> 𝐶̂ = 300 ta tính 𝐵̂ = 300, 𝐴̂ = 900 Vậy 𝐵̂ = 300, 𝐴̂ = 900, 𝐶̂ = 600

Bài toán Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑪̂ = 𝟑𝟎𝟎 Đường cao AH AH = 𝟏

𝟐 BC D trung điểm AB Tính 𝑨𝑪𝑫̂ ? Hướng giải

𝑋é𝑡 ∆𝐴𝐻𝐶 𝑐ó𝐶̂ = 300, 𝐴𝐻𝐶̂ = 1𝑉 => 𝐴𝐻 =1

2𝐴𝐶 𝑚à 𝐴𝐻 =

2𝐵𝐶 (𝑔𝑡) => 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 => ∆𝐴𝐶𝐵 cân C => CD phân giác => 𝐴𝐶𝐷̂ = 150

Nhận xét

Suy nghĩ chứng minh ∆𝐴𝐶𝐵 cân xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ ∆𝐴𝐻𝐶 vuông có 𝐶̂ = 300 AH

=

2 BC Thực hai yếu tố giúp ta nghĩ đến tam giác vng có góc 30 0

Bài toán Cho ∆𝑨𝑩𝑪 có ba góc nhọn Về phía ngồi ∆𝑨𝑩𝑪 ta vẽ tam giác ABD ACE

I trực tâm ∆𝑨𝑩𝑫, H trung điểm BC Tính 𝑰𝑬𝑯̂?

Phân tích

∆𝐻𝐸𝐼 nửa tam giác

=>, vẽ thêm đường phụ để xuất nửa tam giác (còn lại) => Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF

Hướng giải

Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Ta có ∆𝐵𝐻𝐹 = ∆𝐶𝐻𝐸 (𝑐 𝑔 𝑐) => 𝐵𝐹 = 𝐶𝐸 Ta có IA = IB 𝐴𝐼𝐵̂ = 1200 (vì ∆𝐴𝐵𝐷 đều)

𝐼𝐴𝐸̂ = 300+ 𝐵𝐴𝐶̂ + 600 = 900+ 𝐵𝐴𝐶̂ Mà 𝐼𝐵𝐹̂ = 3600− (𝐼𝐵𝐴̂ + 𝐴𝐵𝐶̂ + 𝐻𝐵𝐹̂ )

= 3600− (300+ 𝐴𝐵𝐶̂ + 𝐸𝐶𝐻̂ )

D H B

A

C

F I

H

E

D

A

(5)

= 3600− (300+ 𝐴𝐵𝐶̂ + 𝐴𝐶𝐵̂ + 600) = 3600− (900+ 1800−𝐵𝐴𝐶̂) = 900+ 𝐵𝐴𝐶̂

=> ∆𝐼𝐵𝐹 = ∆𝐴𝐼𝐸 (𝑐 𝑔 𝑐) => 𝐼𝐹 = 𝐼𝐸 => ∆𝐹𝐼𝐸 cân I mà 𝐴𝐼𝐵̂ = 1200

=> 𝐹𝐼𝐸̂ = 1200 => 𝐼𝐸𝐻̂ = 300 *Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng cân

Bài toán Cho ∆𝑨𝑩𝑪, M trung điểm BC, 𝑩𝑨𝑴̂ = 𝟑𝟎𝟎, 𝑴𝑨𝑪̂ = 𝟏𝟓𝟎 Tính 𝑭𝑷𝑰̂ ?

Phân tích

Khi đọc kĩ toán ta thấy 𝐵𝐴𝑀̂ = 300, 𝑀𝐴𝐶̂ = 150, 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶, quan sát hình vẽ nhận dạng tốn ta

biết có nguồn gốc từ Bài tốn Mặt khác 𝐵𝐴𝐶̂ = 450, điều giúp ta nghĩ đến dựng tam giác

vuông cân

Hướng giải

Cách

Hạ 𝐶𝐾 ⊥ 𝐴𝐵 (Dễ chứng minh tia CB nằm hai tia CA CK) Ta có ∆𝐴𝐾𝐶 vng cân K (vì 𝐵𝐴𝐶̂ = 450) => 𝐾𝐴 = 𝐾𝐶

Vẽ ∆𝐴𝑆𝐶 vng cân S (K, S khác phía so với AC) Do ∆𝐵𝐾𝐶 vuông K => KM =

2 BC = MC

=> ∆𝐾𝑀𝐶 cân M

Dễ thấy ∆𝐾𝐴𝑀 = ∆𝐶𝑆𝑀 (𝑐 𝑔 𝑐) => 𝐶𝑆𝑀̂ = 300

=> 𝐴𝑆𝑀̂ = 600 𝑆𝐴𝑀̂ = 600 => ∆𝐴𝑆𝑀 => AS = SM = AK

=> ∆𝐴𝐾𝑀 cân A=> 𝑀𝐾𝐶̂ = 𝑀𝐶𝐾̂ = 900− 750 = 150 => 𝐵𝐶𝐴̂ = 450− 150 = 300

Cách

Lấy D đối xứng B qua AM => ∆𝐵𝐴𝐷 cân A

Mà 𝐵𝐴𝑀̂ = 300 (𝑔𝑡) => 𝐵𝐴𝐷̂ = 600 => ∆𝐴𝐵𝐷

Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), (𝐵𝐷 ∩ 𝐴𝑀 = {𝐼}) Mà 𝑀𝐼 ⊥ 𝐵𝐷 => 𝐶𝐷 ⊥ 𝐵𝐷

Mặt khác xét ∆𝐴𝐵𝐷 có

𝐶𝐴𝐷̂ = 150(𝑔𝑡), 𝐴𝐷𝐶̂ = 600+ 900 = 1500

=> 𝐷𝐶𝐴̂ = 150 => ∆𝐴𝐷𝐶 cân D => AD = CD

Mà AD = BD (∆𝐴𝐵𝐷 đều)

Vậy ∆𝐵𝐷𝐶 vuông cân D => 𝐷𝐶𝐵̂ = 450

=> 𝐵𝐶𝐴̂ = 450− 𝐷𝐶𝐴̂ = 450− 150 = 300

M K

A

C B

S

I

D

M A

(6)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài toán Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑨̂ = 𝟏𝑽, 𝑨𝑪 = 𝟑𝑨𝑩 D điểm thuộc đoạn AC cho AD = 2DC Tính 𝑨𝑫𝑩̂ +

𝑨𝑪𝑩̂ =?

Hướng giải

Kẻ 𝐸𝐾 ⊥ 𝐴𝐶 cho EA = ED, 𝐸 ∈ 𝐴𝐷 với EF = AD (B, F khác phía so với AC) Ta có ∆𝐵𝐴𝐷 = ∆𝐷𝐸𝐹 (c.g.c) (*)

=> 𝐵𝐷 = 𝐹𝐷, 𝐵𝐷𝐹̂ = 1𝑉 => ∆𝐵𝐷𝐹 vuông cân D => 𝐷𝐹𝐵̂ = 450 (1)

Trên tia đối tia AB lấy I cho AI = 2AB

Dễ thấy ∆𝐼𝐵𝐹 = ∆𝐴𝐶𝐵 (c.g.c) => 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝐼𝐵𝐹̂ = 𝐸𝐹𝐵̂ (2) Từ (*), (1) (2) ta có 𝐴𝐷𝐵̂ + 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝐵𝐹𝐷̂ = 450

* Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác cân biết góc

Bài tốn Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑨̂ = 𝟖𝟎𝟎, 𝑨𝑪 > 𝐴𝐵 D điểm thuộc đoạn AC cho DC=AB M, N theo thứ

tự trung điểm AD BC Tính 𝑪𝑴𝑵̂ ?

Hướng giải

Trên tia đối tia AC lấy điểm K cho AK = DC Nối K với B ta có ∆𝐴𝐾𝐵 cân A (vì AB = DC)

=> 𝐵𝐾𝐴̂ =1

2𝐵𝐴𝐶̂ = 2∙ 80

0 = 400 (𝑡 𝑐⁄ 𝑔ó𝑐 𝑛𝑔𝑜à𝑖)

Mặt khác ta có MA = MD => MK = MC, BN = NC => MN đường trung bình ∆𝐾𝐵𝐶

=> 𝑁𝑀𝐶̂ = 𝐵𝐾𝐶̂ = 400

F I

C D

E B

A

B C

(7)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia