- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I Lý thuyết
* Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a (a số thực) * Giá trị tuyệt đối số khơng âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối
TQ: Nếu a 0 a =a Nếu a 0 a =−a Nếu x-a 0=> |x-a = x-a | Nếu x-a 0=> |x-a = a-x | *Tính chất
Giá trị tuyệt đối số không âm TQ: a 0 với a R
Cụ thể:
| |a =0 <=> a=0 | |a ≠ <=> a ≠
* Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối
TQ:
− = = =
b a
b a b a
* Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối
TQ: − a a a − a =aa0;a= a a0
* Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn TQ: Nếu ab0 a b
* Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ TQ: Nếu 0ab a b
* Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối TQ: a =b a.b
* Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối TQ:
b a b a =
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu
TQ: a + b a+b a +b = a+b a b
II Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1 Dạng 1: A(x) = (Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước) k * Cách giải:
- Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số không âm )
- Nếu k = ta có A(x) =0A(x)=0 - Nếu k > ta có:
− = = = k x A k x A k x A ) ( ) ( ) ( Bài 1.1: Tìm x, biết: a) 2x−5 =4 b)
4
1− − =
x c)
1 − x+ =
d)
3− x+ =
Bài 1.2: Tìm x, biết: a)
2
2 x− = b) 7,5−35−2x =−4,5 c) 3,75 2,15 15 − − = − − + x
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 23x−1+1=5 b) 2− =
x
c) 3,5
2 = + +
− x d)
5 = − x
Bài 1.4: Tìm x, biết:
a) 5%
4 = − + x b)
2− x− = − c)
4 = −
+ x d)
6 5 ,
4 − x+ =
Bài 1.5: Tìm x, biết:
a)
3 : ,
6 − x+ = b)
2 :
11+ − =
x c)
2 : ,
15− + =
x d)
3 :
21+ x− =
2 Dạng 2: A(x) = B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách giải:
Vận dụng tính chất: − = = = b a b a b
a ta có:
− = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x B x A x B x A x B x A
Bài 2.1: Tìm x, biết:
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
a)
2
− =
+ x
x b)
5
= + −
− x
x c)
4
− =
+ x
x d)
2
= + −
+ x
x
3 Dạng 3: A(x) =B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x)
* Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau:
) ( ) (x B x A = (1) Điều kiện: B(x) 0 (*)
(1) Trở thành
− = =
=
) ( ) (
) ( ) ( )
( ) (
x B x A
x B x A x
B x
A Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện (*) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a 0 a =a Nếu a 0 a =−a
Ta giải sau: A(x) =B(x) (1)
• Nếu A(x) (1) trở thành: A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) • Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) Bài 3.1: Tìm x, biết:
a) x 2x
2
1 = −
b) x−1=3x+2 c) 5x = x−12 d) 7−x =5x+1 Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 9+x =2x b) 5x − x3 =2 c) x+6 −9=2x d) 2x−3+x=21 Bài 3.3: Tìm x, biết:
a) 4+2x =−4x b) 3x−1+2= x c) x+15 +1=3x d) 2x−5 +x=2 Bài 3.4: Tìm x, biết:
a) 2x−5 =x+1 b) 3x−2 −1=x c) 3x−7 =2x+1 d) 2x−1+1= x Bài 3.5: Tìm x, biết:
a) x−5 +5= x b) x+7 −x=7 c) 3x−4 +4=3x d) 7−2x +7=2x 4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: m
x C x B x
A( ) + ( ) + ( ) = Căn bảng xét khoảng giải toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Bài 4.1: Tìm x, biết:
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
c) 1,2
5 5
1
2 −x + x− + = d) x+ + x − = −x
5 2
1 Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) 2x−6+ x+3 =8
c) x+5 + x−3=9 d) x−2 + x−3+ x−4 =2 e) x+1+ x−2 + x+3 =6 f) 2x+2 + 4−x =11 Bài 4.3: Tìm x, biết:
a) x−2 + x−3 + 2x−8 =9 b) 3xx+1−2xx+2 =12 c) x−1+3x−3 −2x−2 =4 d) x+5 −1−2x = x e) x − 2x+3 = x−1 f) x +1−x = x+ x−3
Bài 4.4: Tìm x, biết:
a) x−2 + x−5 =3 b) x−3 + x+5 =8 c) 2x−1+ 2x−5 =4 d) x−3+3x+4 = 2x+1 5 Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
) D(x C(x) B(x)
A(x) + + = (1)
Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x)0;B(x)0;C(x)0 Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) x+1+ x+2 + x+3 =4x b) x+1+ x+2+ x+3+ x+4 =5x−1
c) x x x 4x
2
3
2 + + + + =
+ d) x+1,1+ x+1,2+ x+1,3+ x+1,4 =5x Bài 5.2: Tìm x, biết:
a) x x x x 101x
101 100
101 101
2 101
1 + + + + + + + =
+
b) x x x x 100x
100 99
1
4
1
1
1
= +
+ + + + + + +
c) x x x x 50x
99 97
1
7
1
1
1
= +
+ + + + + + +
d) x x x x 101x
401 397
1
13
1
1
1
= +
+ + +
+ + + +
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài 6.1: Tìm x, biết:
a)
5 1
2x− + = b)
2
2
2 + − = +
x x
x c) 2
4
x x
x + =
Bài 6.2: Tìm x, biết: a)
5 1
2x− − = b)
5
= − +
x c) xx + = x
4
2
Bài 6.3: Tìm x, biết: a) x x − = x
4
2
b)
4 2
1 − = −
+x x x c)
4 2
1 − = −
− x x
x
Bài 6.4: Tìm x, biết:
a) 2x−3 −x+1=4x−1 b) x−1−1=2 c) 3x+1−5 =2 7 Dạng 7: A + B =0
Vận dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức
* Nhận xét: Tổng số khơng âm số khơng âm tổng số hạng tổng đồng thời
* Cách giải chung: A+ B =0
B1: đánh giá:
0
+
B A B
A
B2: Khẳng định: A+ B =0
= =
0
B A
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a) 3x−4 + 3y+5 =0 b) 259 = + + − y y
x c) 3−2x + 4y+5 =0 Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
a)
7
5− x + y− = b)
13 23 17 11 , 3
= +
− + +
− x y c) x−2007+ y−2008 =0 * Chú ý1: Bài tốn cho dạng A + B 0 kết không thay đổi
* Cách giải: A + B 0 (1)
0
0
+
B A B
A
(2)
Từ (1) (2) A+ B =0
= =
0
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5x+1+ 6y−8 0 b) x+2y + 4y−3 0 c) x− y+2 + 2y+10 Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12x+8+11y−5 0 b) 3x+2y + 4y−10 c) x+ y−7 + xy−10 0
* Chú ý 2: Do tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x−y−2+ y+3=0 b) x−3y2007 + y+42008 =0 c) (x+y)2006+2007y−1=0 d) x−y−5+2007(y−3)2008 =0 Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a) (x−1) (2 + y+3)2 =0 b) 2(x−5)4 +52y−75 =0
c) ( )
2
3x− y 2004+ y+ = d)
2
2000 =
−
+ −
+ y y
x
Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
a) x−2007+ y−2008 0 b)
3 10
7
5+ +
−y y
x
c)
25 2008 2007
1
1 2006+ +
−
y
x d) 20072x−y2008+2008y−42007 0 8 Dạng 8: A+ B = A+B
* Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b a+b Từ ta có: a +b = a+b a b Bài 8.1: Tìm x, biết:
a) x+5 + 3−x =8 b) x−2 + x−5 =3 c) 3x−5+3x+1=6 d) 2x−3+ 2x+5 =11 e) x+1+2x−3= 3x−2 f) x−3+5−x +2x−4 =2 Bài 8.2: Tìm x, biết:
a) x−4 + x−6 =2 b) x+1+ x+5 =4 c) 3x+7 +32−x =13 d) 5x+1+ 3−2x = 4+3x e) x+2+ 3x−1+ x−1=3 f) x−2 + x−7 =4 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) x−2007 + y−2008 0
Bài 4: Tìm x thoả mãn: a) x+5 + 3−x =8
III Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1 Dạng 1: A+ B =m với m0
* Cách giải:
* Nếu m = ta có A+ B =0
= =
0
B A
* Nếu m > ta giải sau: m
B
A+ = (1)
Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ tìm giá trị B A tương ứng Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x−2007 + x−2008 =0 b) x− y−2 + y+3 =0 c) (x+ y)2 +2y−1=0 Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x−3y5 + y+4 =0 b) x−y−5 +(y−3)4 =0 c) x+3y−1+3y+2 =0 Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x+4 + y−2 =3 b) 2x+1+ y−1 =4 c) 3x + y+5 =5 d) 5x + y2 +3 =7 Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3x−5 + y+4 =5 b) x+6 +42y−1=12 c) 23x + y+3 =10 d) 34x + y+3 =21 Bài 1.5: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) y2 =3− 2x−3 b) y2 =5− x−1 c) 2y2 =3− x+4 d) 3y2 =12− x−2 2 Dạng 2: A+ B m với m >
* Cách giải: Đánh giá m
B
A+ (1)
0
0
+
B A B
A
(2)
Từ (1) (2) 0 A+ B m từ giải tốn A+ B =k dạng với 0k m Bài 2.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) 5x+1+ y−2 7 b) 42x+5 + y+3 5 c) 3x+5+2y−13 d) 32x+1+42y−17
3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b a+b xét khoảng giá trị ẩn số Bài 3.1: Tìm số nguyên x thoả mãn:
a) x−1+ 4−x =3 b) x+2 + x−3 =5 c) x+1+ x−6 =7 d) 2x+5 + 2x−3 =8 Bài 3.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời điều kiện sau
a) x + y = x+2 + y =6 b) x +y = 2x+1+ y−x =5 c) x –y = x + y =3 d) x – 2y = x + y2 −1=6
Bài 3.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = x+1+ y−2 =4 b) x – y = x−6 + y−1 =4 c) x – y = 2x+1+ 2y+1=4 d) 2x + y = 2x+3 + y+2 =8 4 Dạng 4: Kết hợp tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dấu tích: * Cách giải : A(x).B(x)= A(y)
Đánh giá: A(y) 0A(x).B(x)0n xm tìm giá trị x Bài 4.1: Tìm số nguyên x thoả mãn:
a) (x+2)(x−3)0 b) (2x−1)(2x−5)0 c) (3−2x)(x+2)0 d) (3x+1)(5−2x)0 Bài 4.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) (2−x)(x+1)= y+1 b) (x+ 13)( −x)= y c) (x−2)(5−x)= 2y+1+2 Bài 4.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) (x+1)(3−x)=2y +1 b) (x−2)(5−x)− y+1 =1 c) (x−3)(x−5)+ y−2 =0 5 Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A m (1)
Đánh giá: B m (2) Từ (1) (2) ta có:
= = =
m B
m A B A
Bài 5.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x+2 + x−1=3−(y+2)2 b)
3 12
5
+ + = − + −
y x x
c)
(2 6)
10
3 2
+ − = + +
x
y d)
3
1
+ + = − + −
y x x
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a)
( 5)
2 2 + − = − + + y x x b) 2 16 + + − = − + + y y x x c)
( 3)
12 3 2 + + = − + + y x x d) 10 + − = + − − y y x Bài 5.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) ( )
3 14 2 − + − = + − + y y y
x b) ( )
5 20 2 + + = + + y x c) 2008 2007 + − = + − y x d) 30 + + = + + + y y x IV Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
• Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x4,1
a) A= x−3,5 + 4,1−x b) B= −x+3,5+ x−4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x < - 1,3:
a) A= x+1,3− x−2,5 b) B= −x−1,3 + x−2,5 Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) A= x−2,5 + x−1,7 b)
5
1 − − +
= x x
B c) C= x+1+ x−3
Bài 4: Rút gọn biểu thức
7 − x a) 5 + + − −
= x x
A b) − − − + + −
= x x
B
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) A= x+0,8 − x−2,5 +1,9 với x < - 0,8 b)
,
4 + − −
−
= x x
B với 4,1
3 2 x
c) 5
2 − + − +
= x x
C với
5
x d)
2
1
3 + −
+
= x x
D với x >
V.Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với a =1,5;b=−0,75 b) N =
b a
2− với a =1,5;b=−0,75 Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
a) A=2x+2xy−y với
4 ;
5 ,
2 = −
= y
x b) B=3a−3ab−b với ; 0,25
1 =
= b
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 c) b a C 3 −
= với ; 0,25
1 =
= b
a d) D=3x2 −2x+1 với =
x
Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) A=6x3−3x2+2x +4 với
3 − =
x b) B=2x −3y với ;
1 =−
= y
x
c) C=2x−2 −31−x với x = d)
1 − + − = x x x
D với
2 =
x
VI Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu từ tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức:
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A=0,5− x−3,5 b) B=−1,4−x −2 c)
5 − + = x x
C d)
1 3 − + = x x D
e) E=5,5− 2x−1,5 f) F=−10,2−3x −14 g) G=4−5x−2− 3y+12 h) , 5 , , + − = x
H i) I =−2,5−x −5,8 k) K=10−4x−2
l) L=5− 2x−1 m)
3 + − = x M n) 12 + + + = x N
Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A=1,7+ 3,4−x b) B= x+2,8−3,5 c) C=3,7+ 4,3−x d) D= x3 +8,4 −14,2 e) E= 4x−3+5y+7,5+17,5 f) F= 2,5−x +5,8 g) G= 4,9+x −2,8 h)
7 + − = x
H i) I =1,5+1,9−x k) K=23x−1−4 l) L=23x−2 +1 m) M =51−4x −1 Bài 1.3: Tìm giá trị lớn biểu thức:
a) 15 + + + = x A b) 21 15 21 + − + − = x
B c)
8 5 20 + + + + + = y x C d) 2 24 + + + − + − = x y x
D e)
( ) 5 14
21 2 + + + + + = x y x E
Bài 1.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) 11 + + + + = x x
A b)
6 2 13 + + + + = y y
B c)
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 a)
24
8
+ +
− +
=
x
A b)
35
14
6
+ − − =
y
B c)
35 3
28 12
15
+ + + − − =
x y x C
Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a)
5
33 21
+ +
+ + =
x x
A b)
14
14
+ +
+ + =
y y
B c)
12
68 15
+ +
− + − =
x x C
2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A= x+5 +2−x b) B= 2x−1+2x+6 c) C= 3x+5 +8−3x d) D= 4x+3+4x−5 e) E= 5x−6 +3+5x f) F= 2x+7 +5−2x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A=2x−3+2x+5 b) B=3x−1+4−3x c) C=4x+5+4x−1 Bài 2.3: Tìm giá trị lớn biểu thức:
a) A=−x−5+x+4 b) B=−2x+3 +2x+4 c) C=−3x−1+7−3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn biểu thức:
a) A=−2x−5+2x+6 b) B=−3x−4 +8−3x c) C=−55−x +5x+7 Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A= x+1+ x−5 b) B= x−2 + x−6 +5 c) C= 2x−4 + 2x+1 3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b a+b
Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A= x+2+ x−3 b) B= 2x−4 + 2x+5 c) C=3x−2 +3x+1 Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A= x+5+ x+1+4 b) B= 3x−7+ 3x+2+8 c) C=4x+3+ 4x−5+12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A= x+3+ 2x−5+ x−7 b) B= x+1+ 3x−4+ x−1+5 c) C= x+2 +42x−5+ x−3 d) D= x+3+56x+1+ x−1+3 Bài 3.4: Cho x + y = tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 1+ − +
= x y
A
Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị biểu thức:
6 + + −
= x y
B
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12
2
2 + + +
= x y
C
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: