Chuyên đề Giá trị tuyệt đối

A nhứng kiến thức giá trị tuyệt đối I Các định nghĩa 1 Định nghĩa Giá trị tuyệt đối thực chất ánh xạ f: R R+ a a với giá trị a R có giá trị f(a) = a R+ 1.2 Định nghĩa Giá trị tuyệt đối số thực a, ký hiệu a là: a a a = -a a < 15 = 15 32 = 32 =0 Ví dụ1: = 17 = 17 *Mở rộng khái niệm thành giá trị tuyệt đối biểu thức A(x), kí hiệu A(x) là: A(x) A(x) A(x) = -A(x) A(x) < Ví dụ 2: 2x - 2x- 2x = 2x - x - 2x x < = -(2x - 1) 2x - < 1.3 Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu a , số đo( theo đơn vị dài đợc dùng để lập trục số) khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc trục số ( hình 1) -a -a a a Hình Ví dụ 1: a =3 a= Do đẳng thức cho đợc nghiệm hai số tơng ứng với hai điểm trục số ( hình 2) -3 Hình a = b b b a= ; a = b a= b b b > Tổng quát: Ví dụ 2: a a a a -3 a -a a < -3 a < Do bất đẳng thức đợc nghiệm tập hợp số đoạn [ 3;3] trục sôd đợc nghiệm tập hợp điểm đoạn [ 3;3] ( hình 3) -3 Hình Ví dụ 3: a a a a a a a -a a < a -3 v a < Do bất đẳng thức đợc nghiệm tập hợp số hai nửa đoạn (- ; 3] [3; + ) trục số đợc nghiệm hai nửa đoạn tơng ứng với khoảng số (hình 4) -3 Hình a b Tổng quát: a b a b tập tự luyện Bài Tìm tất số a thoả mãn điều kiện sau: a) a = a b) a < a c) a > a d) a = -a e) a a f) a + a = g) a + b = b Bài 2:Tìm ví dụ chứng tỏ khẳng định sau không đúng: a) a Z a > b) a Q a > a c) a, b Z, a = b a = b d) a, b Q, a > b a > b Bài 3: Bổ sung thêm điều kiện để khẳng định sau a) a = b a = b b) a > b a > b Bài 4: Tìm tất số a thoả mãn điều kiện sau, sau biểu diễn số tìm đợc lên trục số: a) a b) a c) a - = d) < a Bài 5: a) Có số nguyên x cho x < 50 b) Có cặp số nguyên (x, y) cho x + y = ( Các cặp số nguyên (1, 2) (2,1)là hai cặp khác nhau) c) Có cặp số nguyên (x, y) cho x + y < II - số tính chất giá trị tuyệt đối a a 2.1 Tính chất 1: 2.2 Tính chất 2: a = a = 2.3 Tính chất 3: - a a a 2.4 Tính chất 4: a = a Dựa định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc tính chất 1, 2, 3, 2.5 Tính chất 5: a + b a + b Thật vậy: - a a a ; - b a b -( a + b ) a + b a + b 2.6 Tính chất 6: a - b a b a + b Thật vậy: a = a b + b a b + b a b a b (1) a b = a + ( b) a + b = a + b a b a + b Từ (1) (2) đpcm (2) 2.7 Tính chất 7: a b a b Thật vậy: a b a b (1) b a b a = (b a ) = a b ( a b ) a b a b ab = (3) ( a b ) Từ (1), (2) (3) a b a b (2) (4) a b a b a ( b) a + b a b a + b Từ (4) (5) đpcm 2.8 Tính chất 8: a.b = a b Thật vậy: a = 0, b = a = 0, b hay a 0, b= (1) a.b = a b a > b > a = a, b = b a.b > a.b = a.b = a b a.b = a b (2) a < b < a = -a, b = -b a.b > a.b = a.b = ( a )(b) = a b a.b = a b (3) a > b < a = a, b = -b a.b < a.b = a.b = a.(b) = a b a.b = a b (4) Từ (1), (2), (3) (4) đpcm 2.9 Tính chất 9: a a = (b 0) b b (5) Thật vậy: a = a a a = = (1) b b b a > b > a = a, b = b a a a a >0 = = b b b b a a a a a >0 = = = b b b b b (3) a a a a a b < a = a, b = -b (2) Từ (1), (2), (3) (4) đpcm tập tự luyện Bài 6: Điền vào chỗ trống dấu , , = để khẳng đinh sau a, b a) a + b a + b b) a b a - b với a b c) a.b a b d) a a = b b Bài 7: Tìm số a, b thoả mãn điều kiện sau: a) a + b = a + b b) a + b = a - b Bài 8: Cho a c < , b c < Chứng minh a b < Bài 9: Rút gọn biểu thức: a) a +a b) a - a c) a a d) a : a e) 3( x 1) x + f) x (4 x 1) B dạng toán giá trị tuyệt đối chơng trình THCS chủ đề i: giải phơng trình hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I kiến thức cần lu ý 1.1 A(x) A(x) A(x ) = ( A(x) biểu thức đại số) -A(x) A(x) < 1.2 Định lí dấu nhị thức bậc ax + b (a 0) Nhị thức bậc ax + b (a 0) sẽ: + Cùng dấu với a với giá trị nhị thức lớn nghiệm nhị thức + Trái dấu với a với giá trị nhị thức nhỏ nghiệm nhị thức Giả sử x0 nghiệm nhị thức ax + b đó: + Nhị thức dấu với a x > x0 + Nhị thức trái dấu với a x < x0 1.3 Định lí dấu tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0) - Nếu < 0, f(x) dấu với a x - Nếu thì: + f(x) dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm + f(x) trái dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm Hay - Nếu < a.f(x) > x - Nếu f(x) có hai nghiệm x1 x2 x1 < x < x2 a.f(x) < x x1 x x2 a.f(x) > Nhận xét: Giả trị tuyệt đối biểu thức banừg nó( biểu thức không âm) biểu thức đối nó( biểu thức âm) Vì khử dấu giá tị tuyệt đối biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào định lí dấu nhị thức bậc định lí dấu tam thức bậc hai) Dấu biểu thức thờng đợc viết bảng xét dấu II tập điển hình 2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) - x Thật vậy: + Với ( x - 3) hay x x = x - + Với ( x- 3) < hay x < x = -(x - 3) = - x ta xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng biến x + Nếu x A = 2(3x - 1) - x = 2(3x - 1) - (x - 3) = 6x - - x + = 5x + + Nếu x < A = 2(3x - 1) - x = 2(3x - 1) - (3 - x) = 6x - - + x = 7x - 2.2 Rút gọn biểu thức B = x - x Thật Với x-1 hay x 1thì x =x-1 Với x-1[...]... Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số |y| = |x - 3| VI mở rộng Đối với mỗi dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối đều có một cách dựng riêng tơng ứng với nó Tuy nhiên trong thực tế có thể có các hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ ở một dạng nêu trên mà nó là sự kết hợp của nhiều dạng khác nhau Đối với trờng hợp này chúng ta có thể dựng hàm số đó bằng cách kết hợp nhiều cách dựng... dựng nêu trên, ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách dựng chung Cách dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối Cách dựng chung - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến ( xem chủ đề 1) - Mỗi khoảng ta đều thu đợc một hàm tơng ứng Dựng đồ thị theo từng khoảng đang xét Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3| Thật vậy: Xét theo...2 e) x + 2 x 5 + 1 < 8 2 f) 2 x 5 x 3 < x + 3 Chủ đề III: đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối I Đồ thị hàm số y = f(|x|) 1.1 Kiến thức cần lu ý: Ta thấy f( x ) = f( x ) Do đó hàm số y = f( x )là hàm chẵn nên đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy Cách dựng : - Dựng đồ thị hàm số y = f(x) đối với x > 0 - Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy 1.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm... - x b) |y - 1| = x Bài 25 Dựng đồ thị của các hàm số sau: a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| a) y = |2|x| - 3| c) y = 1 - |x| c) |y| = x2 + 1 c) |y - 1| = |x - 2| chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối I các kiến thức cần lu ý: Cho A, B là các biểu thức đại số 1.1 |A| 0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 ) 1.2 |A + B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 ) 1.3... 2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4 Thật vậy: 16 Ta có: |3x - 1| 0 x 2|3x - 1|- 4 -4 x GTNN của B = -4 3x - 1 = 0 x = 1/3 6 2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = x 3 với x Z Thật vậy: Xét |x| > 3 C > 0 |x| > 3 Xét |x| < 3 thì do x Z |x| = { 0; 1; 2} Nếu |x| = 0 C = -2 Nếu |x| = 1 C = -3 Nếu |x| = 2 C = -6 GTNN của C = -6 |x| = 2 x = 2 2.3 Tìm giá trị nhỏ... phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu đợc qua trục Ox 4 2 Ví dụ Dựng đồ thị hàm số |y| = Thật vậy: Đồ thị hàm số y = 1 x +1 2 1 x +1 2 x = 0 y = 1 ( 0; 1) thuộc đồ thị x = -2 y = 0 ( -2; 0) thuộc đồ thị -1 -2 O -1 Hình 9 13 x Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| = 1 x +1 2 V Đồ thị của hàm số |y| = |f(x)| 5.1 Kiến thức cần lu ý: Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y... biểu thức: a) A = 5 - |2x - 1| 1 b) B = x 2 + 3 c) C = x+2 với x Z x 17 ( chủ đề I), ta có: Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A = 2|3x - 2| - 1 b) B = x2 + 3|x - 2| - 1 c) C = |x + 2|+ |x + 3| d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4| e) E = |x2 - x - 1|+ |x2 - x - 2| f) F = (0,5x2 + x)2 - 3|0,5x2 + x| Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3|| c Đáp án Bài 1: a) a > 0; b)... 0 2 x 3 2.4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5|| Thật vậy: Cách 1: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| |(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4 Do đó max E = 4 (x - 1)(x + 5) 0 5 x hoặc x 1 Cách 2: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | 5 - x|| |x -1 +5 - x| = 4 Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x) 0 5 x hoặc x 1 III bài tập luyện tập Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu... |f(|x|)| + Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > 0 + Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy b) Phần đồ thị nằm ở mặt phẳng dới Ox nghiã là ở đấy f(|x|) < 0 xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox 12 ta dựng phần đồ thị đối ( Hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dới nên nửa mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox) 3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x|| Thật vậy: Đồ... b) ; c) =; d) = Bài 7: a) Cách 1: Xét hai trờng hợp: Nếu b 0 thì a + b = |a| + b a = |a| a 0 Nếu b < 0 thì a + b = |a| - b |a| - a = 2b VT 0, VP < 0 đăng thức không xẩy ra a 0, b 0 là các giá trị thoả mãn Cách 2: Ta có a |a|, b |b| Do đó a + b = |a| + |b| a 0, b 0 b) Tơng tự b 0, a 0 hoặc b < 0, a = -b Bài 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)| |a - c| + |c - b| = 3 + 2 = 5 Bài 9: a) BT ... a.f(x) > Nhận xét: Giả trị tuyệt đối biểu thức banừg nó( biểu thức không âm) biểu thức đối nó( biểu thức âm) Vì khử dấu giá tị tuyệt đối biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối biến làm cho biểu... 3| VI mở rộng Đối với dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối có cách dựng riêng tơng ứng với Tuy nhiên thực tế có hàm số giá trị tuyệt đối không dạng nêu mà kết hợp nhiều dạng khác Đối với trờng... e) 3( x 1) x + f) x (4 x 1) B dạng toán giá trị tuyệt đối chơng trình THCS chủ đề i: giải phơng trình hệ phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I kiến thức cần lu ý 1.1 A(x) A(x) A(x )