Toán - Phương trình và bất phương trình có ẩn ở trong dấu giá trị tuyệt đối

Các dạng khác - Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình trên từng khoảng... BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Giải cá[r]

PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A) PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1) Dạng có  A  B  A  B  A   B  A  B A B   A  A  B   A   B 2) Các dạng khác - Ta thường xét dấu các biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên khoảng Giải phương trình trên khoảng đó - Có thể đặt ẩn phụ II) MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình: x  x   Giải x  x 1   x 1  1 x2   x    x  1  x       x    x   x   x    x   (1  x )   x   x  2   x   1  x Vậy x=1; x= Ví dụ2 :Giải phương trình x  x  x   1 x  x   Giải: + Lập bảng xét dấu Từ đó ta có trường hợp: x   Trường hợp 1:  ta có: 1  x  3 (1)  x  x    x  x    x  Hai giá trị này không thuộc khoảng xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm  Trường hợp 2:  x  ta có 1  1  (1)   x  x    x  x    x  Ta thấy x  thỏa mãn 2  Trường hợp 3: x > ta có 1  29 1  29 (1)  x  x    x  x    x  Ta thấy x  thỏa mãn 2 http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net  1  x  Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm   1  29 x   Ví dụ 3: Giải phương trình: x   x  x  Giải x   x  5x   x   x  5x    x    x  x  x   x  Vậy: x= 1; x= Ví dụ 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ Giải (|x|+ 1) = 4|x|+ Đặt t= |x| với t  PT: (t+ 1) = 4t + t   t  2t     t  2 (loai ) Với t= thì |x|=  x  4 Vậy x= 4; x= – Ví dụ 5: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0 Giải |x – 2x +m|+x=0  x  2x  m  x x   x      x  x  m  (1) x  2x  m   x   x  x  m  (2) Ta có    4m    4m Biện luận   4m   4m x  2 + m> 0: Vô nghiệm + m0 x III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 7) x   x  x  ( x  1) x   x   ( x  1) 2) x   x   ( x  ; ) 2 8) http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net 1 x2 1  x (x  ) x2 ) 3) x   x   (PTVN) 4) x   x  9) ( x  3;  ) 10)  2x  x  3x  x  x2   x  x ( x  2) 5 (x   23 ; ) 23  (x=5) 11) x  x   x  ( x   6) x   x  (x=0; – 1; 1) 21) Bài 2: Giải các phương trình sau 1  17 ; ) 2)   x  ( x  1;3;5) ( x  1;  ;   2) 6) x  x   x  ( x   21) 3) x  x   x  ( x  0; 5) 7) x  x  12  x  x  ( x  5;  7) 1) x  x   x  x ( x   4) x   x ( x  1; 5) x  x  x  1  17 ; ) Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau 1) x  m  x  2) x  x  x  m   m  Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – B) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1) Các dạng  A  B  A  B  ( A  B )( A  B )   A   B  A  B  A  B  B  A  B     A  A  B2    A  B  A    A  B A  B A B    A  A  B   A  B B    B   A  B  2) Các dạng khác - Tương tự phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình trên khoảng - Dùng ẩn phụ II) MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: 1) x  x   x  2)  x  x  http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net Giải 1) x  x   x   x  x     x  x   x     x  x     x  x   x   Vậy: 2< x< 2)  x  x   x  x     x  x     x  x     x  x     x  1  x   0  x  2 x5    x    x  3  x   x   1  x     x   x  1  x  x     1  x  x   x      x  x   x   Vậy x  hoac x  Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a bất phương trình: x  x  a  x  x  a Giải: Bất phương trình tương đương với: ( x  x  a )  ( x  x  a )  ( x  x  a )  ( x  x  a )   (2 x  x)( x  2a )    0  x  ( I )  2 x  x      x  2a x  a       x    2 x  x   II    x  2a   x     x  2a   x   Trường hợp 1: 2a   a   ( I )   x  ;( II )  x  2a Vậy nghiệm hệ là   x   a  5  Trường hợp 2:  2a     a   ( I )  2a  x  ;( II )  x  Vậy nghiệm hệ là   2a  x   x  x  x  5   Trường hợp 3: 2a   a    ( I )VN ;( II )  Vậy nghiệm hệ là    x  2a   x  2a 2 2 III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Giải các bất phương trình sau: http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net 1) x  x   x (  x   7) 2) x  x  (1  x    x  6) 3) x  x   x  ( x    x  4) 1 x ) 2 5) x  x   x  (1  x  3) 4) x  x   x  x ( 6) x  x  x   ( x   x  1) 7) x  x   x   ) 8) x    x   x ( x   x  2) 9) x    x  x ( x  ) Bài 2: Giải các bất phương trình sau 1) x  x   x  , ( x   x  5) 2) x2  x  ,( x   ) x2  x  2x  3)   (3  x  2) x3 4) 6) x2 x  5x   (3  x  10 ) 7) x2 x x x3  x x2  (0  x  1)  (5  x  2  x  1) x  3x  8)  ( x  2  x  1) x  x 1 9) 23 x 1  (  x     x  ) 1 x 4 3x  ( x  4  1  x   x  4) x 4 C) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC 5) I) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x  x  m x   m  1 có nghiệm Giải:Đặt t  x   ta có t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2) Phương trình (1) có nghiệm và (2) có ít nghiệm t   Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0  P   m    m  1  Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm t1   t2  P   m    1  m   Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm  2 3 m   3m     m    t1 , t2    P   m      1 m  S  m    m  1   m    http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net 3 Ví dụ 2: Cho phương trình : x  x  m  x  Đáp số: 1  m  a) Giải phương trình với m=0 b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành t  m   t (*)  3 t  x   t  t  1      1   t   a) Với m = ta có  2  1 t   t t  t   t   x   b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và phương trình (*) có nghiệm phân biệt t  t  (*)    Phương trình (*) có nghiệm phân biệt và t  m   t t  t  m   phương trình t2 – t + m – = và t2 + t + m – = có hai nghiệm không âm phân biệt Nhưng phương trình t2 + t + m – = không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0) Vậy phương trình đã cho không thể có nghiệm phân biệt BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1) x  2mx  x  m   2).4 x  1  2x    x x 3) x x   m  4) x  x  x  m   m  II) PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: Thường sử dụng phương pháp này tham số đứng độc lập Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x x   m Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số y  x x  ; y  m BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận theo m số nghiệm phương trình : a ) x( x  2)  x   m b) x   x   x  m c)( x  3) x   m http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1) Các dạng  A  (hay B  0)  A B A  B B   AB A  B  A  B  A  B3 2) Các dạng khác - Đặt điều kiện cho n A là A  , nâng hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử thức Lưu ý:  A.B  A  B   2n 2n A  B A  B  A n 1  B n 1 - Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hay hệ phương trình đơn giản II) MỘT SỐ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1)  x  x  x  2) 25  x  x  3) x  x    x Giải 1)  x  x  x  2 x   x    2 4  x  x  ( x  2)  x  3x  x    x3 x   x  2) 25  x  x  x 1  x  x     x4  2  x   x  3 25  x  ( x  1) 2 x  x  24  3) x  x    x  x  x   x  x  x   x       x3 3 x  x   ( x  2) 2 x  x    x   x   http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net Ví dụ 2: Giải các phương trình : x  x  1) x  x    x   x     x3  x  1  x  2 x   x 2) x    x   x  x    x   x 1   4  x  4  x  2    x    x  (1  x)(1  x)   x  (1  x)(1  x)  x       x      x     x     x0  x   x   (1  x)(1  x)  x  x     III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Để khử thức, ta có thể đưa thêm nhiều ẩn phụ Tùy theo dạng phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp x 1  m (1) Ví dụ 1: Cho phương trình : ( x  3)( x  1)  4( x  3) x 3 a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1  X  ( x  3)( x  1) nên pt (1) đưa :X2+4X-m=0 (2) Giải: Đặt X  ( x  3) x 3  X  1 a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành X  X      X  3 + Nếu x  x  x 1 X  1  1  ( x  3)   x 3 1  ( x  3)( x  1) x  2x    x    x  1  x   + Nếu x  x  x 1 X  3  3  ( x  3)   x 3 9  ( x  3)( x  1)  x  x  12   x    x   13  x   13 b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm      m   m  4 x 1  X0 Giả sử nghiệm là X0 thì ( x  3) x 3 + Nếu X0 = thì x = – x  + Nếu X0 > thì   x    X 02 ( x  3)( x  1)  X http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net x  + Nếu X0 < thì   x    X 02 ( x  3)( x  1)  X Vậy với m  4 thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình  x   x  (3  x)(6  x)  Hướng dẫn: Đặt X   x   x Đưa phương trình:X2 – 2X – = Ví dụ 3: Giải phương trình x   x  1   x   y 3 Hướng dẫn: Đặt y  x   y   x   Đáp số: x=1; x   y   x  2x  4 Ví dụ 4: Giải bất phương trình x  2x x t  2 Hướng dẫn: Đặt t  x  Bất phương trình trở thành 2t  5t     t  x   x   Trường hợp 1: t    0  x    Trường hợp 2: t  Bất phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình – (4  x)(2  x) = x – 2x – (1) Hướng dẫn: Đặt t = (4  x)(2  x) (t  0) t  (1) trở thành: – 4t = – t   t  * Tuy nhiên, số trường hợp, sau đặt ẩn phụ t, phương trình còn lại ẩn x cũ, đó ta coi x là tham số phương trình coi x là ẩn thứ (cùng với t) hệ phương trình Cụ thể: + Nếu phương trình (ẩn t, tham số x) có biệt thức  chính phương (  = g ( x ) , g(x) là đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty Ví dụ 6: Giải phương trình (4x – 1) x  = x + 2x + (1) Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  1) (1) trở thành (4x – 1)t = t + 2x –  = (4 x  3) (chính phương)  x 1  (4 x  1)  (4 x  3)   t=    x   x  Ví dụ 7: Giải phương trình x – 3x + = x 3x  (1) Hướng dẫn: Đặt t = 3x  (t  0) (1) trở thành t + xt – x = http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net  3x   x  x  3x    3x   2 x  Cách 2: phương trình đẳng cấp  đặt x = ty: t + y t – y t =  t (1 + y – y ) = Ví dụ 8: Giải phương trình  Cách 1:  = x (chính phương)  t = 2(1 – x) x  x  = x – 2x – + Nếu phương trình không phải đẳng cấp và  không chính phương thì coi t và x là ẩn hệ phương trình Ví dụ 9: Giải phương trình x + x  = (1) Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  0) x  t  Ta có hệ phương trình  t  x  Trừ hai phương trình hệ cho được: (t + x)( x – t + 1) =  x   x t  x     t  x   x   x  Ví dụ 10: Giải phương trình x + 4x = x  (1) Hướng dẫn: x  x  t  khó khăn  Nếu đặt t = x  (t  0) ta hệ  t  x   Ta dự kiến đặt x  = at + b để đưa hệ phương trình đối xứng: x  x  at  b Ta có hệ phương trình:  2 a t  2abt  x   b a   a  2ab  hệ này đối xứng    b  a  b   b  Như ta đặt t + = x  (t  – 2) x  x  t  3  17 5  13 Khi đó có hệ pt đối xứng:  (ĐS x  ; ) t  t  x  2 Ví dụ 11: Giải phương trình 4x  x + 7x = (x > 0) 28 Hướng dẫn: 4x  Dự đoán đặt = at + b ta tìm a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng Như 28 4x  = 28 Ví dụ 12: Giải phương trình đặt t + http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net x x 1 + = (1) x 1 x Hướng dẫn: x x 1 Đặt t = = (t > 0)  x 1 x t (1) trở thành: t + =  t – 3t + = t Ví dụ 13: Giải phương trình x  +  x + ( x  1)(4  x ) = (1) Hướng dẫn: t2  Đặt t = x  +  x  ( x  1)(4  x ) = 2 t 5 (1) trở thành: t + = Ví dụ 14: Giải phương trình x2  x + Hướng dẫn: Đặt  x (1  x ) = + (1) x  x = t (t  0) (1) trở thành: t + t  = + 3     t   (3   t ) Ví dụ 15: Giải phương trình  t2  = + x  x + x  x  = + (1) Hướng dẫn: u  x  x Đặt  v  x  x  (1) trở thành: u + v = + u  v   Ta có hệ phương trình  v  u  Ví dụ 16: Giải phương trình 3(2 + x  ) = 2x + x  Hướng dẫn: u   x  Đặt  v  x  Ví dụ 3: Giải phương trình x  + x  + x  + 3x  = 25 (1) Giải Đặt f(x) = VT(1), xét trên [ ,   ) http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net – t (dạng căn) 9  f(x) đồng biến trên [ ,   )  (1) có nghiệm thì nghiệm đó 2 Xét thấy f(5) =  x = là nghiệm Ta thấy f ’(x) > 0,  x > BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: x 1   x  x   2x   1) 2) (x=3) (x=4) x2  2x  m  2x 1 Bài 1:Tìm điều kiện m để phương trình a) Có nghiệm thực b) Có nghiệm thực c) Có nghiệm thực  x  Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với:  Dùng đồ thị m  3 x  x   m   có nghiệm thực Bài 2: Tìm điều kiện m để phương trình 16  x  16  x m Hướng dẫn: Đặt t  16  x  t  0; 4 Phương trình trở thành t     t  4t  m Lập t bảng biến thiên hàm số y = t2 – 4t, ta có: 4  m  IV) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1:Giải các phương trình 27583 1 1 2) x  x   kq : x   17; x   21 2 2 1 3) x  x   x   kq : x  11 4) x    x  x  kq : x  ; x  5) x   x   x   kq : x  1)3 x  34  x   kq : x  6) x    x  x  x   kq : x  7) x   x   kq : x  8) x   x   x   x  kq : x  9) x    x   x Bài 2: giải các phương trình 1) x   x  2) 3x  x   x   3)  x2  4x   2x  x=0 (x=6) (x   ) 14 (x  ) http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net 47 24 4) x  x   (x  5) (x  x2  2x   2x  5) x2 x2  4 Bài 3: Giải các phương trình sau ( x  2 ) 4 4)   15 ) (x  0 x  x    x  3x  1) 2) x   x   x   3) x   x   (x  9) 4) x   x  x  ( x  1) 3 ) ( x  0) 6) x    x  Bài 4: Giải các phương trình 1) (x + 5)(2 – x) = x  3x 3 x + 2) 4) (x=1;x=-4) x  – 4 x  x  = – 2 x  = x=2 ; ( x  3) x + (2  x ) + (7  x ) – (x=2) (x  x  x 1  x  5) 11 ) 3 (x=2) 1  29 ) 2 (2  x )(7  x ) = ptvn 5) x  x   x  x   x  x  19 (x=1;x=-2) 6) x  x   x  x   (x=1;x=2) 7)  x  x2   x  x2  ( x  8) x  x   2 x  x   ( x  1; x  1  5) 2 7 ) 9) x  26  x  x 26  x  11 (x=1;x=5) 10) x   x   x  x (x=2;x=0; x  2  14 ) 3 x   x   x   x  x  (x=2) 11) 12) 4 x  1 x   x  x  ( x  ) Bài 5: Giải các phương trình (x   x  4) 1) ( x  5)(2  x)  x  x 2) x    x  ( x  1)(4  x)  (x   x  3) 3) x   x  3x   (x   x   2)  x  1 x 1 (x   x   x  10) x    x  ( x  2)(5  x)  (x  4) 5) 6) x   x   x  12  x  16 http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net 33 ) (x=5) 7) x  x   x  x   (x=1;x=2) 8) x   x   x   x  x  (x=2) B) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1) Dạng A   A  B B  A  B A  B A    B   B      A  B2 x  3x   x  x   x  x  x  Giải: Điều kiện để các thức có nghĩa:  x   Trường hợp 1: x  Ta viết bất phương trình dạng : Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  4)  x    x2    x2   x   x 1 x  x 3  x 4  x 2  x 4  x 4  x 3 Vì x  nên vế trái dương còn vế phải âm, bất phương trình nghiệm đúng Vậy x   Trường hợp 2: x  Ta viết bất phương trình dạng : (1  x)(2  x)  (1  x)(3  x)  (1  x)(4  x)   x  x   x   x  x  Khả 1: x = là nghiệm Khả 2: x < bất phương trình tương đương với 2 x  3 x  4 x  2 x  4 x  4 x  3 x Vế trái âm, vế phải dương, bất phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm bất phương trình là: x  x =1 C) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: giải các bất phương trình sau 1) x2  x   x  2) 2( x  1)  x  ( x  1   x  ) 3) x  x  12  x ( x  4) 4) x  5x    x ( x  10  x  ) 2( x  16) 5) x3  x3  ( x  3 ) 7x x3 Bài 3: Giải các bất phương trình http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net  1) x  x   x  (  x; x  1);( x  3) 2) x  x   x  ( x  ) 3) x  x  x  ( x  4);(0  x; x  ) 4) ( x  1)(4  x)  x  (1  x; x  ) 2 21 ) 3 7; x  ) 6) x  x   x   ( x   2 7) x   x   x ( x  ) ( x  9) 8) x   x  18  x  x 1 < (x  x2 5) x3 – 9) 5x   x   x  10) x5  x4  x3 11) 51  x  x  ( x  5; x  1  13; x  1; x  1  13) 1 x 12) ( x  10  x  2) ( x  3  x  4    x2 1  (x   ; x   ;0  x  ) x 2 Bài 4: Giải các bất phương trình sau 1) x  11  x   x  2) x  x   3) ) (4  x  5) ( x  4) (x x   x 1  x 3 ) 4) x  x   x  x  ( x  1; x  1  6; x  1  6; x  1) 5) x  x  3  x  x  ( x  3; x  1) 2 6) ( x  3  x  ) x  10 x    x  x 7) ( x  1)( x  4)  x  x  28 (– 9< x< 4) Bài 5: Giải và biện luận các bất phương trình sau: 1) x  m  x 2) 3) 2x  < x – m x  m – x  2m > x  3m III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp này dựa vào việc khảo sát vài tính chất đặc biệt nào đó hàm số để dẫn đến kết luận nghiệm cho phương trình, bất phương trình xét http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net Ví dụ : Giải bất phương trình: x   x   Giải: Xét hàm số y  x   x  , ta thấy hàm số này đồng biến trên tập xác định x  2 Ta có f(0) = đó : + Với x > thì f(x) > f(0) = nên x > là nghiệm + Với 2  x   f ( x)  f (0)  nên 2  x  không là nghiệm.Tóm lại: x>0 là nghiệm IV ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 1) MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn hàm số y  x    x và áp dụng để giải phương trình: x    x  x  x  11 Giải: Áp dụng bất đẳng thức : 2(a  b )  (a  b) ta có: 2( x    x)   x2  4 x    y Do đó y lớn và khi: x    x  x  Mặt khác x  x  11  ( x  3)   2.x nên:  x    x  x    x  x  x  11    x3  x  x  11  Ví dụ 2: Giải phương trình x + = x (1) x Giải MXĐ: x > 1 x x x x x x x  x = x x  x (2)  x > (BĐT Côsi) Có Vậy (1)  dấu “=” (2) xảy  x =  x = x Ví dụ 3: Giải phương trình x  +  x = x – 6x + 11 (1) Giải * Cách VT(1)2  ( 12 + 12 )(x – + – x) = (BĐT Bunhiacopxki)  VT  VP(1) = ( x  3) +   x2 4x VT(1)    Vậy (1)      x = VP(1)  x    * Cách Đặt A  x    x A   (x  2)(4  x)  A   (x  2)  (4  x)  A  (BĐT Côsi)  VT  với  x  Dấu xảy và x – = – x  x = Mặt khác VP = x  6x  11  (x  3)   , dấu xảy và x =  x    x  Suy phương trình đã cho tương đương với hệ   x 3  x  6x  11  http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net Vậy x = là nghiệm phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình 3x  x  + x  3x  = x2  + 3x  5x  (1) Giải Viết 3x  5x   2( x  2) 3x  x  = x  3x  = x   3( x  2) x    Vậy (1)  x    x = 3x  5x    Ví dụ 5: Giải phương trình 3x  6x   5x  10x  14   2x  x (1) Giải (1)  3(x  1)   5(x  1)    (x  1)  VT(1)  5, VP(1)  5, x VT(1)  (1)    x    x  1 VP(1)  Vậy x = -1 là nghiệm phương trình V GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP MỘT SỐ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Giải bất phương trình   4x 3 x Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương 4x 3 x   4x    x   x     2 3  4x  4x  4x    4x 1 Để  4x có nghĩa thì   x  Vì x   4x – 3< 2 x    1 Do đó (1),(2)   1 Tập nghiệm S    ;  \ 0  2   x  Ví dụ 2: Giải bất phương trình 12x  2x   2  x  (1) 9x  16 Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương 6x  2(6x  4)   (3x  2)  9x  16  2x   2  x     2x   2  x 9x  16 Lại thực phép nhân liên hợp  http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net  (2)   (2)  (3x  2) 9x  16  12  2x   2x       (3x  2) x    (3x  2) 9x  8x  32  16  2x  Để  2x x    2x  (3)  2x có nghĩa thì -2  x  Do x  2   x   2x  nên   (3)  (3x  2) x   2x  3x   3x    (I)  (II)  2  x   2x   x   2x  Giải (I)  x2 x  Giải (II)   8  2x    2 0  x<  2  x    x<  2  x<  3  x  32  8x  2 4   Vậy S   2;    ; 2 3    VI PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA: Phương pháp này nhằm chuyển số loại phương trình, bất phương trình vô tỷ phương trình, bất phương trình lượng giác 1) MỘT SỐ VÍ DỤ  Ví dụ 1:Giải phương trình:   x  x   x     Giải: Điều kiện: 1  x  Đặt x  sin t , t    ;  Ta có phương trình:  2 t t 3t  cos t  sin t (1  cos t )  sin t  sin 2t  cos  cos sin 2    t  x 3t t      sin    Vì t    ;   cos  ,ta được:  2  2 t   x   Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1  x   x5  Giải: Điều kiện:  x  Đặt x=cost với  t   Ta có sin t  cos t    Do sin t  sin t ;cos t  cos t nên sin t  cos t  sin t  cos t  1.t  0;  nên bất phương trình  2 có nghiệm là x  0;1 5 VII NHIỀU CĂN BẬC LẺ: * Nâng lũy thừa: A + B = C  A + B + 3 AB ( A + B ) = C  A + B + 3 AB C = C (Bước này không tương đương)  3 ABC = C – A – B  27ABC = (C  A  B) http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net Ví dụ Giải phương trình 2x  + x  = Giải: 3x  (1) (1)  2x   x   3 (2x  1) x   3 2x  (x  1)  3x   2x   x  1 3x  (2x  1)(x  1)  2x   x    3x   3 (2x  1)(x  1)  33 3 3  (2x  1)(x  1) 3x    (2x  1)(x  1)(3x  1)   6x  7x   x  (loai)  x  x  (nhan) 6  Ví dụ Giải phương trình x  + x  = 2x  (1) Giải (1)  x – + x – + 3 x  x  ( x  +  2x – + 3 ( x  1)( x  2) x  = 2x – 3 x  ) = 2x –  x 1   x    x  (loai )  Vậy x= 1; x=2 * Đặt ẩn phụ: Ví dụ Giải phương trình (1) 10  x + x  = Giải Đặt u = 10  x v = x 1 u  v  Ta có hệ  (ĐS x= 9; x= 2) u  v  VIII PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ * Cách 1: Làm lần 1: đặt ẩn phụ Làm lần 2: nâng lũy thừa * Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ Các ví dụ: Ví dụ Giải phương trình x  – x = (1) Hướng dẫn +Cách 1: Đặt t = x (t  0) (1) trở thành t  = t +  t + = t + t + 3t + (ĐS x=1)  (t – 1)( t + 3t + 6) = (Bạn đọc tự giải) http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net u  x  u  v  +Cách 2: Đặt  có hệ  v  x u  v  Ví dụ Giải phương trình x  – x = (1) Hướng dẫn + Cách 1: Đặt t = x , (1) trở thành: t  = t + u  x  u  v  + Cách 2: Đặt  có hệ  v  x u  v  http://kinhhoa.vioet.vn Lop2.net (ĐS x  1; x  2)