và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và cosin của góc giữa 2 ñường thẳng AA’ và B’C’. Câu 31) Cho hình chóp SABCD có [r]
(1)Chuyên ñề luyện thi ñại học
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH
Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Trong kỳ thi TSĐH tốn hình khơng gian ln dạng tập gây khó khăn cho học sinh Nguyên nhân học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng tập để lựa chọn cơng cụ, phương pháp giải cho phù hợp Bài viết giúp học sinh giải những vướng mắc
Phần 1: Những vấn ñề cần nắm tính tốn
- Trong tam giác vng ABC (vng A) đường cao AH ta ln có:
b=ctanB, c=btanC; 2 12 2
AH = AB = AC
- Trong tam giác thường ABC ta có:
2 2
2 2
2 cos ; cos
2 b c a
a b c bc A A
bc + −
= + − = Tương
tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C:
- sin sin sin
2 2
ABC
S∆ = ab C= bc A= ac B
- V(khối chóp)=1
3B h(B diện tích đáy, h chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h
- V(chóp S(ABCD)=1
3(S(ABCD).dt(ABCD))
- Tính chất phân giác AD tam giác ABC: AB DC = AC DB
- Tâm đường trịn ngoại tiếp giao điểm trung trực Tâm vịng trịn nội tiếp giao điểm phân giác tam giác
Phương pháp xác ñịnh ñường cao loại khối chóp:
- Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vng với đáy chiều cao
- Loại 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến
- Loại 3: Khối chóp có mặt kề vng góc với đáy đường cao giao C
B
(2)- Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vịng trịn ngoại tiếp đáy
- Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vịng trịn nội tiếp đáy
Sử dụng giả thiết mở:
- Hình chóp có mặt bên kề tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường phân giác góc tạo cạnh nằm mặt đáy mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC)
- Hình chóp có cạnh bên hai cạnh bên tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực ñoạn thẳng nối ñỉnh cạnh cạnh nằm mặt ñáy mặt bên mà hai đỉnh khơng thuộc giao tuyến mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC SB SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC)
Việc xác ñịnh ñược chân ñường cao yếu tố quan trọng ñể tìm góc tạo đường thẳng mặt phẳng góc tạo mặt phẳng
Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vng góc (ABCD), góc tạo SC (ABCD) 600, góc tạo (SCD) (ABCD) 450, đáy hình thang cân có cạnh đáy a, 2a; cạnh bên a Gọi P,Q trung điểm SD,BC.Tìm góc tạo PQ mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp?
Rõ ràng khối chóp thuộc dạng Từ ta dễ dàng tìm ñược ñường cao xác ñịnh góc sau:
- Kẻ SH vng góc với AD SH ñường
cao(SC,(ABCD))=SCH SMˆ ; ( , (ABCD))=HMSˆ ), với M chân ñường cao kẻ từ H lên CD
- Từ P hạ PK vng góc với AD ta có (PQ ABCD, ( ))=PQKˆ
Phần 3: Các tốn tính thể tích
D A
B C
M H
S
P
Q
(3)A. Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao:
Câu 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D., có AB=AD=2a; CD=a Góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) 600 Gọi I trung ñiểm AD biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD?
HD giải: Vì mặt phẳng (SBC) (SBI) vng góc với (ABCD) mà (SBI) (SCI) có giao tuyến SI nên SI ñường cao Kẻ IH vng góc với BC ta có góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABCD) SHIˆ =600 Từ ta tính được:
2
2; 5; ( ) ( )
2
IC=a IB=BC=a S ABCD = AD AB CD+ = a
2
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a a
IH BC=S IBC =S ABCD −S ABI −S CDI = a − −a = nên (S IBC)
IH
BC
= = 3
5 a Từ V(SABCD)=
3 15
5 a
Câu 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a; AA’=2a; A’C=3a Gọi M trung ñiểm ñoạn A’C’, I trung điểm AM A’C’ Tính V chóp IABC theo a?
HD giải:
- ABC A’B’C’ lăng trụ đứng nên mặt bên vng góc với đáy
Vì I∈(ACC’)⊥(ABC), từ I ta kẻ IH⊥AC IH đường cao I trọng tâm tam giác
AA’C’
3
IH CI a
IH
AA CA
⇒ = = ⇒ =
′ ′
Có AC= A C′ 2−AA′2 = 9a2 =4a2 =a 5⇒BC= AC2 −AB2 =2a S
I A
B H
D
(4)V(IABC)=1 ( ) .2
3 3
a
IH dt ABC = a a= a ( đvtt)
B. Tính thể tích cách sử dụng cơng thức tỉ số thể tích phân chia khối đa diện thành khối ña diện ñơn giản
Khi gặp tốn mà việc tính tốn gặp khó khăn ta phải tìm cách phân chia khối đa diện ñó thành khối chóp ñơn giản mà tính trực tiếp thể tích sử dụng cơng thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thơng qua khối ña diện trung gian ñơn giản
Các em học sinh cần nắm vững công thức sau:
( )
( )
V SA B C SA SB SC V SABC SA SB SC
′ ′ ′ ′ ′ ′
= (1) Cơng thức dung cho khối chóp tam giác
B’ M C’
A’
B
A
I
H
C
S
A’
B’ C’
A
B
(5)Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ˆ 60
BAD= , SA vng góc với ñáy(ABCD), SA=a Gọi C trung ñiểm SC, mặt phẳng (P) ñi qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp
HD giải:
Gọi O giao ñường chéo ta suy AC’ SO cắt trọng tâm I tam giác SAC Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ ñường thẳng song song với BD cắt SB, SD B’, D’ giao điểm cần tìm
Ta có: 1;
2
SC SD SB SI
SC SD SB SO
′ = ′= ′ = =
Dễ thấy V(SAB C D′ ′ ′) =2V(SAB C′ ′);V(SAB C′ ′) =2V(SABC) ( ) ( )
( ) ( )
V SAB C D V SAB C SA SB SC V ABCD V SABC SA SB SC
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
⇒ = = =
Ta có ( ) ( ) ˆ 3
3 3
SABCD
V = SA dt ABCD = SA AD AB sinDAB= a a a =a
( )
3 18 SAB C D
V ′ ′ ′ = a (ñvtt)
Câu 2) (Dự bị A 2007)
Cho hình chóp SABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vng góc với đáy, cạnh SB hợp với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho AM=
3 a
Mặt phẳng BCM cắt DS N Tính thể tích khối chóp SBCMN
HD giải:
Từ M kẻ ñường thẳng song song với AD cắt SD N giao điểm cần tìm, góc tạo SB (ABCD) SBAˆ=600 Ta có SA=SBtan600=a
S
B’
C’
D’
O
B C
(6)Từ suy SM=SA-AM= 3
3 3
SM SN
a a a
SA SD
− = ⇒ = =
Dễ thấy V(SABCD) =V(SABC)+V(SACD) =2V(SABC) =2V(SACD)
V(SBCMN) =V(SMBC) +V(SMCN)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
3 9
V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN SM SB SC SM SC SN V SABCD V SABCD V SABC V SACD SA SB SC SA SC SD
+
⇒ = = + = +
= + =
Mà ( ) ( ) 2 3 ( ) 10 3
3 3 27
SABCD SMBCN
V = SA dt ABCD = a a a= a ⇒V = a
Phần 4: Các toán khoảng cách không gian
A. Khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng
Về chất tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta tìm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng Tuy nhiên số trường hợp tìm hình chiếu trở nên vơ khó khăn, việc sử dụng cơng thức tính thể tích trở nên hiệu
Ta có V(khối chóp)=1 3
V
B h h
B
⇒ =
Câu 1) Cho hình chóp SABC có góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) 600, ABC,SBC tam giác ñều cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).(Đề dự bị khối A 2007) HD:
Cách 1: Coi B đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy BS=BA=BC=a Gọi O chân ñường cao hạ từ B xuống mp(SAC) O tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC Gọi M
S
M N
A D
(7)trung điểm BC ta có SM ⊥BC AM; ⊥BC Nên góc tạo (SBC) (ABC)
0 a
ˆ 60 AS=
2 SMA= ⇒SM = AM =
Bây ta tìm vị trí tâm vịng ngoại tiếp tam giác SAC
Tam giác SAC cân C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trung trực SA CN (N trung diểm SA) Kẻ trung trực SC cắt trung trực SA O ñiểm cần tìm
2
2
2 2
2 16 13
cos
4
SA a
SC a
NC SNC
SC SC a
− −
= = = =
2
2 2
2
2 ;
ˆ 13
cos 13 13
SC
a a a
OC BO BC OC a
SCN
⇒ = = = − = − =
Cách 2: ( ) ( ) 21 ( ) sin 600
3 3.2
SABCD SABM
a
V = V = BM dt SAM = AM MS 3 ( )
16
a dt SAC =
=
2
1 13 39 ( )
.AS= ( , ( )
2 16 ( ) 13
a V SABC a
CN a a d B SAC
dt SAC
= ⇒ = =
Câu 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thangABCˆ =BADˆ =900, BA=BC=2a, AD=2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a 2, gọi H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007)
HD giải: Ta có 2 2
2; 6;
AC=a SD= SA +AD =a SC= SA +AC = a Ta dễ dàng tính CD=a Ta có SD2 =SC2+CD2nên tam giác SCD vuông C
O S
P
C M
B A
(8)2 2 2 2 2 2
2
1 1 AS 2
AS AB AS 2
2
2 3
3
3
AB a a
AH a
AH AB a a
a SH
SH SA AH a
SB a
= + ⇒ = = =
+ +
⇒ = − = ⇒ = =
2
1 .( )
( ) ( ) ( ) ;
2 2
AB BC AD a
dt BCD =dt ABCD −dt ABD = + − AB AD=
2
3
( )
2
( ) 1 2
; ( ) ( )
( ) 3 3.2
dt SCD SC CD a
V SHCD SH SC SD a a
V SBCD SA dt BCD a
V SBCD SB SC SD
= =
= = = = =
3
( )
9
V SHCD = a Ta có
2
3 ( )
( /( ))
( )
V SHCD a
d H SCD a
dt SCD a
= = =
B. Khoảng cách ñường thẳng chéo khơng gian
Khi tính khoảng cách ñường thẳng chéo a b khơng gian ta tìm đoạn vng góc chung đường thẳng đó, Nếu việc tìm đoạn vng góc chung gặp khó khăn ta tiến hành theo phương pháp sau:
- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ
ñiểm bất kỳ b ñến mp(P) ngược lại dựng mp(P) chứa b song song với a sau tính
khoảng cách từ điểm a đến (P)
- Khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta vận dụng phương pháp trình bày mục A
B
C D A
(9)Câu 1) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng AB=BC=a, cạnh bên
AA′ =a Gọi M trung ñiểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụABCA B C′ ′ ′ khoảng cách ñường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008)
HD giải:
( )
2
V ABCA B C′ ′ ′ =S h=a Gọi N trung điểm BB’ ta có B’C song song với mp(AMN) Từ ta có: d B C AM( ′ , )=d B( , (′ AMN))=d B AMN( , ( ))vì N trung điểm BB’ Gọi H hình chiếu vng góc B lên (AMN), tứ diện BAMN tứ diện vuông B nên ta có 2 12 12 2
7 a BH
BH = BA +BN +BM ⇒ = khoảng cách AM B ’
C
(Chú ý:1) Trong tốn ta dựng mặt phẳng trung gian mp(AMN) ñể tận dụng ñiều kiện B’C song song với (AMN) Tại không tìm mặt phẳng chứa B’C em học sinh tự suy nghĩ ñiều
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) ñi qua trung ñiểm M ñoạn AB khoảng cách từ A đến (P) cũng khoảng cách từ B ñến (P))
Câu 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung ñiểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính khoảng cách ñường thẳng MN AC.(TSĐH B 2007) HD giải: Gọi P trung ñiểm SA, ta có tứ giác MPNC hình bình hành
Nên MN// PC Từ suy MN//(SAC) Mặt khác BD⊥mp(SAC) nên BD⊥PC ⇒BD⊥MN Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))=1 ( , ( )) 1
2d B SAC =4BD= 2a
B’
C’ A’
N
B H
M
C A
(10)( Việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp
ta đơn giản hố tốn đi rất nhiều Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán ñể
vận dụng)
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) ñi qua trung ñiểm M ñoạn AB khoảng cách từ A ñến (P) cũng khoảng cách từ B ñến (P))
Phần 5: Các tốn tính góc đường thẳng chéo khơng gian
Khi cần tính góc đường thẳng chéo a b khơng gian ta phải tìm đường thẳng trung gian c song song với a c cắt b Khi góc tạo a b góc tạo b c Hoặc ta dựng liên tiếp ñường thẳng c d cắt song song với a và b Sau ta tính góc c d theo định lý hàm số cơsin theo hệ thức lượng tam giác vuông
Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vng A AB = a , AC = a hình chiếu vng góc A’ lên mp (ABC) trung điểm cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính cơsin góc tạo AA’ B’C’ (TSĐH A2008)
HD giải :Gọi H trung ñiểm BC Suy A’H⊥(ABC)
2
1
3
2
AH = BC= a + a =a Do A’H = 2
'
A A −AH =a
V(A’ABC) =1
3A’H.dt (ABC) =
2 a
Trong tam giác vuông A’B’H ta có
HB’= 2
' '
A B +A H = anên tam giác B’BH cân B’ Đặt α góc tạo AA’ B’C’
ˆ
' cos
2.2
a B BH
a
α = ⇒ α = =
(Trong Bài toán ta chuyển tính góc tạo AA’ B’C’ sang tính góc tạo hai đường thẳng song song với AA’ B’C’ BB’và BC )
S
M P
E
A
N C
D
(11)B
Câu 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA = a, SB = a mp (SAB) vng góc với mặt phẳng ñáy Gọi M,N trung ñiểm cạnh AB,BC Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN tính cosin góc tạo SM DN
Hd giải: Từ S hạ SH vng góc AB SH vng góc với mp (ABCD) SH đường cao khối chóp SBMDN Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2⇒∆SAB vuông
S
2
AB
SM a SAM
⇒ = = ⇒∆ tam giác ñều
2 a SH ⇒ = Dễ thấy dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 Do ñó V(SBMDN)=
3
1
( )
3
a SH dt BMDN = Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy AE =
2
a
giả sử
(SM,DN)=α ⇒α =(SM ME, ).Ta có SA vng góc với AD (Định lý đường vng góc ) suy
ra 2 5, 2
2
a a
SA⊥AE⇒SE= SA +AE = ME= AM +ME = Tam giác SME cân E
nên cos
5 SM ME
α = =
B H
C A
B’
(12)MỘT SỐ BÀI TẬP
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với hình chóp Cho AB=a, SA=a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC⊥(AHK) tính thể tích hình chóp OAHK
Câu 2) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh ñều a M trung ñiểm ñoạn AA1 Chứng minh BM⊥B1C tính d(BM,B1C)
Câu 3) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a BACˆ =1200 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB⊥MA1 tính khoảng cách từ C tới mp(A1BM) Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vng AB=AC=a, AA1=a Gọi M, N trung ñiểm ñoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính VMA BC1 1
Câu 5) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM
Câu 6) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng A, BC=a,
SA=SB=SC=
2 a
.Tính khoảng cách từ S đến (ABC) Tính góc tạo đường thẳng SA mp(ABC)
Câu 7) Cho khối lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, AA’=a Tính góc tạo mp(ABC’) mp(BCA’)
Câu 8) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB=2a, SA=a vng góc với mp(ABCD)
Tính góc tạo mp(SAD) mp(SBC) Tính góc tạo mp(SBC) mp(SCD)
S
A E
M
B N
C
(13)Câu 9) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác tâm O Hình chiếu vng góc C’ (ABC) trùng với O Biết khoảng cách từ O đến CC’ a Góc tạo mặt phẳng (AA’C’C) (BB’C’C) 1200 Chứng minh ABB’A’ hình chữ nhật Tính thể tích lăng trụ góc tạo mặt bên (BCB’C’) đáy (ABC)
Câu 10) Cho tứ diện ABCD, có đáy tam giác cân ABC DA vng góc với (ABC) AB=AC=a, BC= a
5
Gọi M trung điểm BC Vẽ AH vng góc với MD (H thuộc MD) a) Chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (BCD)
b) Cho AD= a
5
Tính góc hai ñường thẳng AC DM
c) Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ABC tam giác DBC Chứng minh G1G2 vng góc với mặt phẳng (ABC)
Câu 11) Cho hình chóp SABC có mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SB=a 2;BSˆC =450,ASˆB=α
a) Chứng minh BC vng góc với SB
b) Tìm giá trị α ñể mặt phẳng (SCA) (SCB) tạo với góc 600
Câu 12) Cho hình vng ABCD Gọi S điểm khơng gian cho SAB tam giác (SAB) vng góc với (ABCD)
a) Chứng minh (SAB) vng góc với (SAD) (SAB) vng góc với (SBC) b) Tính góc tạo bới mặt phẳng (SAD) (SBC)
c) Gọi H,I trung ñiểm AB, BC Chứng minh mặt phẳng (SHC) vng góc với mặt phẳng (SDI)
Câu 13) Cho cho hình lăng trụ ñều ABCA'B'C' có cạnh ñáy a, Chiều cao h Điểm M thuộc AB’ cho
4 ' =
MB MA
a) Tính góc tạo AC BC’
b) Mặt phẳng (P) ñi qua M song song với ñường thẳng A’C BC’ cắt đường thẳng CC’ D Tính tỷ số
'
DC DC
Câu 14) Cho cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có tất cạnh a Gọi C1 trung điểm CC’
Tính góc tạo C1B A’B’ góc tạo mặt phẳng (C AB) )(ABC) 1
Câu 15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với (ABCD) SA=a Tính
a) Tính khoảng cách từ S đến (ECD) E trung điểm SA b) Tính khoảng cách AC SD
Câu 16) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, 60 ˆ =
A , A’C tạo với (ABCD) góc 600
a) Tính đường cao hình hộp
(14)a) Đường cao kẻ từ S
b) Khoảng cách hai ñường thẳng AC SD; BC SD
Câu 19) Cho hình chóp SABCD có cạnh a Gọi M,N trung ñiểm SA, SC Biết BM tạo với ND góc 600 Tính thể tích khối chóp
Câu 20) Cho hình chóp SABCD có cạnh a đáy tâm O Gọi M, N trung ñiểm SA, BC Biết góc tạo MN (ABCD) 600
a) Tính MN, SO
b) Tính góc tạo MN mặt phẳng (SAO) c) Tính thể tích khối chóp SABCD
Câu 21) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Tính góc tạo (BA’C) (DA’C) Câu 22) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết tam giác ABC tam giác cân A ABC = 120ˆ 0,AB = a; Góc tạo mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ khoảng cách từ A lên mặt phẳng (A’BC)
Câu 23) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A,AB = a ; AC = a cạnh A’A,A’B,A’C ñều hợp với ñáy góc Góc tạo mặt phẳng
(A’AC) đáy `1(ABC) 600
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’
b) Trên A’C’ lấy ñiểm M cho M trung ñiểm A’C’ ñường thẳng A’C’ cắt AM I Tính thể tích khối chóp IABC
c) Gọi O trung ñiểm AM tính khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (A’BC) d) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’ABC
Câu 24) Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA vng góc với đáy , góc tạo mặt phẳng (SBD) ñáy 600 Gọi M trung ñiểm SA ,N trunh ñiểm SD Tính thể tích khối chóp SABCD cosin góc tạo BM AN
Câu 25) Cho khối chóp SABCD có SA = x cạnh cịn lại Tính thể tích VSABCD khối chóp tìm x để VSABCD lớn
Câu 26) Cho tứ diện DABC Biết tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = 2a Các mặt (DAB) (DAC) hợp với (ABC) góc α ,mặt bên (DBC) vng góc với (ABC)
a) Tính thể tích khối tứ diện theo a α b) Xác định góc α biết VABCD=
3
2
9 a
Câu 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành ,một mp(α ) qua AB cắt SC, SD M,N Tính SM
SC để (α) chia hình chóp thành hai phần tích
Câu 28) Cho hình chóp tứ giác SABCD có tất cạnh a Gọi M P trung ñiểm SA SC, mặt phẳng (DMP) cắt SB N Tính thể tích khối chóp SDMNP Câu 29) Trên cạnh SA,SB tứ diện SABC lấy ñiểm M,N cho 1,
2
SM SN
MA = NB =
Một mặt phẳng (α )ñi qua MN song song với SC chia tứ diện thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần
Câu 30) Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vng A ABC = 60ˆ Biết mặt bên hình chóp hợp với mặt đáy góc 300 diện tích xung quanh hình chóp a2
(15)Câu 31) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC tam giác ñều cạnh a , cạnh bên AA’hợp với mặt đáy góc 600 Hình chiếu A’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho
Câu 32) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác Biết A’A = AB = a Tính thể tích khối lăng trụ biết mặt bên (A’AB) (A’AC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600
Câu 33) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A, hai đáy AD = 2a , BC = a Biết AB = a , SA = a SA ⊥(ABCD)
a) Tính thể tích khốichóp SACD
b) Tính thể tích khối chóp SBCD khoảng cách d(B; (SCD))
Câu 34) Cho khối chóp SABC có ñáy ABC tam giác vuông A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a ABCˆ =α Gọi H hình chiếu S BC
a) Tính thể tích khối chóp SABC theo a b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAH)
c) Cho (P) mặt phẳng qua A , trọng tâm tam giác SBC song song với BC chia khối chóp SABC thành phần Tính thể tích phần
Câu 35) Cho khối chóp DABC có mặt (DBC) vng góc với đáy , mặt bên (DAB) (DAC) hợp với đáy góc α α( <90 )0 Tính thể tích khối chóp trường hợp sau
a) ABC tam giác vng A có AB = a , AC = 2a ; b) ABC tam giác có cạnh a
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHƠNG GIAN THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH
BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm SC Mặt phẳng (P) ñi qua AM, song song với BD chia khối chóp làm phần Tính tỉ số thể tích hai phần
Câu 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh a a) Tính thể tích khối chóp
b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt hình chóp
Câu 3) Khối chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a SA⊥(ABCD); SA=2a Gọi E, F hình chiếu A SB SD I giao điểm SC (AEF) Tính thể tích khối chóp SAEIF Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy tam giác ñều Mặt phẳng (A1BC) tạo với ñáy góc 300 tam giác A1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 5) Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB= Mặt phẳng (AA1B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA1= ; góc A1AB nhọn, góc tạo (A1AC) mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 6) Khối lăng trụ tứ giác ñều ABCDA1B1C1D1 có khoảng cách đường thẳng AB A1D 2, ñộ dài ñường chéo mặt bên
a) Hạ AH⊥A1D (K∈A1D) chứng minh AK=2 b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA1B1C1D1
(16)Câu 8) Cho hình chóp tam giác SABC ñỉnh S, ñộ dài cạnh ñáy a GỌi M, N trung ñiểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC)
Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc ABC=1200 Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến mặt phẳng (SBC)
Câu 10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính góc mặt phẳng (SAB) (SCD)
Câu 11) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A ñường thẳng SB SC
a) Tính khoảng cách t A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp ABCMN
Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có cạnh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc BSC=600, góc ASC=900 Chứng minh tam giác ABC vng tính thể tích hình chóp SABC theo a
Câu 13) Cho hình chóp tứ giác SABCD Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) 2a Góc mặt bên mặt đáy làα
a) Tính thể tích khối chóp theo a α
b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ
Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD= a 2, SA=a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung ñiểm AD SC, I giao ñiểm BM AC
a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Câu 15) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung ñiểm ñoạn thẳng A’C’, I giao ñiểm AM A’C
a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC
b) Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (IBC)
Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=2a, CD=a, góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung ñiểm cạnh AD Biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp SABCD theo a
Câu 17) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc tạo BB’ mặt phẳng (ABC) 600, tam giác ABC vng C góc BAC=600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Câu 18) Trong khơng gian cho hình chóp tam giác ñều SABC có SC=a Góc tạo (ABC) (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a
Câu 19) Trong khơng gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC=600, SO vng góc với đáy ( O tâm mặt đáy),
2 a
SO= M trung ñiểm AD (P) mặt phẳng qua BM song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp KABCD
(17)Câu 21) Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD=a 2,CD=2 a Cạnh SA vng góc với đáy SA=3 a Gọi K trung ñiểm AB
a) Chứng minh (SAC) vng góc với (SDK)
b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a; tính khoảng cách từ K ñến (SDC)
Câu 22) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng (SAC) vng góc với đáy, góc ASC=900, SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp
Câu 23) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích
2 a
Tính thể tích khối lăng trụ Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a; ;
2
a
BC= SA=a ; góc SAB góc SAC 300 Tính thể tích khối chóp theo a
Câu 25) Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC khoảng cách từ G ñến mặt bên (SCD)
6 a
a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên (SCD) b) Tính thể tích khối chopSABCD
Câu 26) Cho hình chóp SABC có đường cao AB=BC=a; AD=2a Đáy tam giác vuông cân B Gọi B’ trung ñiểm SB, C’ chân ñường cao hạ từ A xuống SC.Tính thể tích khối chóp SAB’C’
Câu 27) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’=a Gọi M trung điểm cạnh BC
a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B’C
Câu 28) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a; SA=a; SB=a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy M N trung ñiểm cạnh AB BC Tính thể tích khối chóp SBMDN góc (SM;ND)
Câu 29) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB=BC=a; AD=2a SA vng góc với đáy SA=2a Gọi M, N trung ñiểm SA; SD Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN
Câu 30) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB=a; AC=a hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung ñiểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác ñều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung ñiểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP
Câu 32) Cho lăng trụ ñứng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1= 2a góc BAC=1200 Gọi M trung ñiểm cạnh CC1 Chứng minh MB⊥MA1 tính khoảng cách d từ điểm A ñến mặt phẳng (A1MB)
(18)Câu 34) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy Cho AB=a; SA=a Gọi H K hình chiếu A lên SB; SC Chứng minh SC⊥(AHK) tính thể tích khối chóp OAHK
Câu 35) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường trịn đường kính AB=2R điểm C thuộc nửa vịng (SAB;SBC)=600 Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vng tính VSABC
Câu 36) Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông AB=AC=a; AA1=a Gọi M, N trung ñiểm AA1 BC1 Chứng minh MN đoạn vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1
Câu 37) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh ñều a M trung ñiểm ñoạn AA1 Chứng minh BM⊥B1C tính ( )
1
; BM B C
d
Câu 38) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung ñiểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính khoảng cách MN AC theo a
Câu 39) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a; BA=BC=a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a Gọi H hình chiếu vng góc A SB
a) Chứng minh tam giác SCD vng b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Câu 40) Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông SA=SB=BS=a Gọi M, N, E trung ñiểm cạnh AB, AC, BC D ñiểm ñối xứng S qua E, I giao ñiểm AD (SMN)
a) Chứng minh AD vng góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI
Câu 41) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có cạnh AB=AD=a; AA’= a
và góc BAD=600 Gọi M N trung ñiểm A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng (BDMN) tính thể tích khối chóp ABDMN
Câu 42) Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho
3 a AM = , mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp SBCNM
Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD=600 SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a Gọi C’ trung ñiểm SC, mặt phẳng (P) ñi qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’
Câu 44) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC hình chóp tam giác ñều, cạnh ñáy AB=a, cạnh bên AA’=b Gọi α góc mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tanα thể tích khối chóp A’BB’CC’
(19)Câu 46) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh =a ñiểm K thuộc cạnh CC’
cho:
3
a
CK = Mặt phẳng α ñi qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối ña diện Tính thể tích khối đa diện
Câu 47) Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có đỉnh liên tiếp A; B nằm đường trịn đáy thứ nhất, đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy thứ cùa hình trụ Mặt phẳng (ABCD)tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ
Câu 48) Cho hình nón ñỉnh S, ñáy ñường tròn tâm O, SA SB ñường sinh Biết SO=3a, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bẳng a, diện tích tam giác SAB=18a2 Tính thể tích diện tích xung quanh
Câu 49) Cho hình trụ có đáy hình trịn tâm O O’ Bán kính ñáy chiều cao a Trên ñường trịn đáy tâm O lấy điểm A, đường trịn ñáy tâm O’ lấyñiểm B cho
AB=2a
a) Tính diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ b) Tính thể tích tứ diện OO’AB
Câu 50) Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đơi cạnh nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp)
Câu 51) Cho hình chóp tam giác SABC có độ dài cạnh bên a Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp
Câu 52) Cho hình chóp SABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD biết SA=h
Câu 53) Hình cầu đường kính AB=2R Lấy H AB cho AH=x ( 0<x<2R) Mặt phẳng (P) vng góc với AB H cắt mặt cầu theo giao tuyến hình trịn (C), MNPQ hình vng nội tiếp hình trịn giao tuyến (C)
a) Tính bán kính đường trịn giao tuyến Tính độ dài MN, AC
b) Tính thể tích khối đa diện tạo hình chóp AMNPQ BMNPQ
Câu 54) Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AC=BD=a; AD=b Hai mp(ACD) (BCD) vng góc với
a) Chứng minh tam giác ACD vng
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu 55) Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a, tâm ñáy O, chiều cao SH=
a
a) CMR tồn mặt cầu O tiếp xúc với tất mặt bên hình chóp Tính bán kính mặt cầu
b) (P) mặt phẳng song song với (ABCD) cách (ABCD) khoảng x(0<x<R) Std diện tích thiết diện tạo (P) hình chóp (bỏ phần diện tích nằm mặt cầu) Xác ñịnh x ñể Std=πR2
Câu 56) Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy chiều cao a Gọi E, K lần lượt trung ñiểm cạnh AD BC
a) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SEBK b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SEBK
(20)ĐÁP SỐ: Câu 1) ĐS:1
2 Câu 2) ) ; ) 6 a a a b Câu 3) 16 45 a S Câu 4) Câu 5)
10 V = Câu 6)
) 20 5; 10
b V = V =
Câu 7) 60 34( ) 17 cm Câu 8) 10 ( ) 16 a
S = dvdt Câu 10) 21
7 Câu 11)
3
2 57 3
) ; ) 19 50 a a a b Câu 12) 12 a V = Câu 13) ; cos
3cos sin
a α α α = Câu 14) 36 a V = Câu 15)
4
;
9
a a
V = d = Câu 16) 15
5
V = a Câu 17) 208 a V =
Câu 18) V=3a3
2
2 2
' ' '
tan ;
3 A BB CC
b a a
a b a V α = − − = Câu 19) a V =
Câu 20)
2 a
AH = Câu 21)
3
2 ;
10 a
V = a h= Câu 22) 12 a V = Câu 23) 3 12 a V = Câu 24) 16 a V = Câu 25) 3 ) ; ) a a a b Câu 26) ) 36 a c Câu 27) ) ; ) a a a b Câu 28) 3 ; cos a a
V = ϕ=
Câu 29) 3 ) ; ) a a a b Câu 30) ; cos a
V = α = Câu 31) 3 96 a V =
Câu 32)
3 a d = Câu 33) 13
13 a d = Câu 34) 27 a V = Câu 35) 12 R V = Câu 36) 3 12 a V =
Câu 37) 10
30 a d =
Câu 38)
4 a d = Câu 39) a h= Câu 40) 36 a V = Câu 41) 3 16 a V = Câu 42) 10 27 a V = Câu 43) 3 18 a V = Câu44 2
2 2
' ' '
tan ;
3 A BB CC
b a a
a b a
V α = − − = Câu 45) 2 16 a b V a b = − Câu 46) 3 2 ; 3 a a
V = V =
(21)Câu 49) 3
4 ; ;
3
( )
12 TP
OOAB
S a V a
a
V dvtt
π π
= =
=
Câu 50) V =7 3r2
Một số tập tự luyện
1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy tam giác cân có BC=AB=a, góc BACˆ =α Mặt phẳng (BA’C’) tạo với đáy lăng trụ góc
6 π β = Tính thể tích lăng trụ theo a,α
Tính diện tích BA’C’ tính khoảng cách từ đỉnh B’ đến mặt phẳng (BA’C’)
2) Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ ñáy tam giác ñều cạnh a Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt bên (BCC’B’) gócα Gọi I, J hình chiếu A lên BC BC’
Chứng minh AIJˆ =α
Tính theo a thể tích khối lăng trụ
3) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C” đáy tam giác Tam giác ABC’ có diện tích tạo với đáy gócα thay đổi
2 π α
< <
Tìm α để thể tích khối lăng trụ lớn 4) Cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân C, CA=CB=a Mặt phẳng (AA’B) vng góc với mặt phẳng (ABC) ,AA'=a 3,A AB' ˆ nhọn Góc mặt phẳng (A’AC) (ABC)
60 Tính thể tích khối lăng trụ
5) Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với O tâm đường trịn (ABC) Biết ˆ '
4
BAA =π Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ theo a
6) Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy tam giác ABC vng A với AB=a, BC=2a Mặt bên ABB’A’ hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm mặt phẳng vng góc với đáy, mặt tạo gócα
Xác định gócα
Tính theo a vàα thể tích hình lăng trụ
7) Cho hình hộp xiên ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a ˆ 60 BAD= , AA’=A’B=AD cạnh bên tạo với đáy gócα
Xác định góc α chân đường cao vẽ từ A’ Tính thể tích V hình hộp theo a vàα
8) Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương cạnh a Lấy M cạnh AB với AM=x (0<x<a) Gọi (P) mặt phẳng qua M A’C’
Tính diện tích thiết diện tạo (P) hình lập phương
(22)9) Trên cạnh SA,SB tứ diện SABC lấy ñiểm M,N cho 1, 2
SM SN
MA = NB = Một
mặt phẳng (α )ñi qua MN song song với SC chia tứ diện thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần
10) Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vng A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a ˆ
ABC=α Gọi H hình chiếu S BC Tính thể tích khối chóp SABC theo a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAH)
Cho (P) mặt phẳng qua A , trọng tâm tam giác SBC song song với BC chia khối chóp SABC thành phần Tính thể tích phần
11) Cho khối chóp DABC có mặt (DBC) vng góc với đáy , mặt bên (DAB) (DAC) hợp với đáy góc
( 90 )
α α < Tính thể tích khối chóp trường hợp sau a) ABC tam giác vng A có AB = a , AC = 2a ;
b) ABC tam giác có cạnh a
12) Cho hình chóp tứ giác SABCD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2a Góc mặt bên mặt đáy làα
Tính thể tích khối chóp theo a α
Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ
13) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD, H giao ñiểm CN với DM Biết SH vng góc với (ABCD) SH = Tính thể tích khối chóp SCDNM khoẳng cách DM SC theo a (A 2010)
14) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có AB=a góc tạo bới (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp GABC theo a (B 2010)
15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA=a Hình chiếu vng góc S lên (ABCD) ñiểm H thuộc AC cho
4
AC