§ò c­¬ng phßng gi¸o dôc ®µo t¹o h­ng hµ ch­¬ng i c¨n bëc hai c¨n bëc ba i kiõn thøc c¬ b¶n §þnh nghüa c¨n bëc hai sè häc cña sè kh«ng ©m c¨n bëc ba c¸c phðp biõn ®æi c¨n thøc ii nh÷ng d¹ng to¸n th­

T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó mét HS bËc nhÊt ®ång biÕn (hoÆc nghÞch biÕn).. a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.. HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai È[r]

Chơng I Căn bậc hai Căn bậc ba I Kiến thức bản

- nh ngha bậc hai số học số không âm, bậc ba - Các phép biến đổi thức

II Những dạng toán thờng gặp Dạng Thực phÐp tÝnh.

1 Mét sè vÝ dô:

VÝ dơ Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:

a,

1

5 12 48

3

 

b,    

2

3 5  1

c, 14 5  14 5 d, 4 15 4 15 HD: a) Sử dụng phép đa thừa số dấu căn, thu gọn số hạng đồng dạng b) Sử dụng đẳng thức

2 A A

c) Đa dạng câu b) sử dụng đẳng thức

2 A A

d) đặt 4 15 4 15 A Cách 1: Tính A   A

C¸ch 2: A2   A (chó ý A< 0)…

Sử dụng phép đa thừa số dấu căn, đẳng thức

2 A A

VÝ dơ Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:

a,  28 14  7 7 8 b,  3 2 10 0,4  c, 15 50 200 450 : 10   d, 2 2 5 18  50 5 VÝ dô Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:

a,  

3 2 2 3

3

 

  

 b,

2 3 .

2 3 3

 

 

 

 

  



  

c,

7 3





 d,

2

2

   

 

HD: d,

2 4

   

 

 2  2

2

    



   

   

2 2 4

2

1 2

               

2 Bµi tËp:

Bµi Rót gän biÓu thøc: a) A 5 3 29 12 5

b)

2

1

2 1 1 B



    c)

2 3

2 2

C   

   

Bµi Rót gän biĨu thøc

1 2 3 2

D 

 

3

E

6 10 27 36 45

 



    

Bµi Rót gän biÓu thøc a)

1 1

1 2 3 2008 2009

A    

   

b)

1 1

1 5 9 13 2005 2009

B    

   

c)

1 1

2 1 2 3 2009 2008 2008 2009

C    

 

HD: c, Xét số hạng tổng quát  

1 1

1 1

k k k k   k  k

víi k N * Bµi4:Cho (x+√x2+3)(y+√y2+3)=3 (*).TÝnh: a) A=

2 3 3

x y  y x 

b) x + y HD: a) Ta cã (x+√x

2

+3)(y+√y2+3)=3     

2 3 3 3 3 3

x y y x xy x y

        

đặt    

2

3

xy x  y  B

ta cã 2 A B A B A          

b) + Nhân vế (*) với x x2 3 ta đợc:    

2

3

y y x x

     

(1) + Nh©n vÕ cđa (*) víi

2 3 0 y y  

ta đợc:    

2 3 3

x x y y

     

(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã x + y =

Bµi : a) Cho a + b + c = Chøng minh 2

1 1 1 a b c a b c 

b) ¸p dơng tÝnh P =

2 2 2008 2008 2008 2009 2009   

2 2 2

1 1 1

1

1 2 2008 2009

HD: a) Ta cã

 

2

2

1 1 1 1 1 2.0 1

2 2

a b c

a b c abc a b c abc a b c

a b c

 

   

                

   

Bµi : Chøng minh r»ng sè a 2 2 số hữu tỉ HD: Tính a = … = Q Chøng tá sè a 2 2   lµ sè hữu tỉ Bài : Giả sử số thực a tháa m·n ®iỊu kiƯn a3 + 2008a -2007=0.

H·y tính giá trị biểu thức S 33a2 2005a 2006 33a2 2005a 2008

Dạng So sánh hai hay nhiều số. 1 Những phơng pháp bản: 1.1 Biến đổi đồng 1.2 Xét hiệu

1.3 Đánh giá tăng giảm

1.4 Giả sử (đa toán chứng minh bất đẳng thức)

2 Mét sè vÝ dô:

VÝ dơ Bµi trang 6; bµi 26, 27 trang 16; bµi 31 trang 19;

bµi 45 trang 27; bµi 56 trang 30; bµi 69 trang 36 SGK to¸n tËp 1 VÝ dơ So s¸nh hai số x y trờng hợp sau:

a x 50 32 vµ y b x vµ y

c x = 2000 a vµ y = 2000 + a (a lµ tham sè)

(Trích đề thi TS vào lớp 10 THPT Tỉnh Thái Bình năm học 2000 - 2001) Ví dụ So sánh hai số x y trờng hợp sau:

a) x 2009 2008 vµ y 2008 2007 b) x vµ y 1

HD: a)

1 2009 2008

2009 2008

x  

 ;

1 2008 2007

2008 2007

y  



Ta thÊy

1

2009 2008 2008 2007

2009 2008 2008 2007

    

  .VËy x<y

b) Ta cã x  2 ; y 1  1 2  VËy x< y

3 Bµi tËp:

Bµi So sánh hai số trờng hợp sau:

a)

3 5

2 2

 



    vµ 3

4 7

2 7

 



   

b)

2007 2008

10 10 

 vµ

2008 2009

10 10

Bài So sánh hai số trờng hợp sau:

a)

1

2m vµ

1 m

b) 2008 m vµ 2008 m (với m0) HD: a) Sử dụng phơng pháp xÐt hiÖu

b, XÐt hiÖu 2008 m - (2008 m ) = 2007 m 2008 (víi m0)

  2008 2007 20 2008 2007 2 2008 2007 2008 2007 m m m m m                       Õu

* N 2007

08   2008 2007 20 2008 2007 2 2008 2007 2008 2007 m m m m m                      Õu

* N 2007

08

th× 2008 m > 2008 m th× 2008 m = 2008 m

  2008 2007 20 2008 2007 2 2008 2007 2008 2007 m m m m m                       Õu

* N 2007

08

2008 m < 2008 m Bài So sánh hai số x y trờng hợp sau: a) x = 3 vµ y=2

b) x = 17 26 1 vµ y = 99

c) x 6 6    30 30 30   30 vµ y 89 HD: c) 6 6    6 6   3

30 30 30   30  30 30 30   36 6

9 x

  mµ y 89 819 Vậy x<y

Bài So sánh hai số x y trờng hợp sau: a) x 2009 2007 vµ y2 2008 b)

2008 2009 2009 2008

x 

Bµi Sè 4  4  âm hay dơng ?

Dạng Giải phơng trình vô tỉ.

1 Để giải phơng trình vô tỉ ta cần ý:

1.1 t iu kiện để biểu thức ẩn số chứa bậc chẵn không âm 1.2 Một số phơng phỏp gii:

PP nâng lên lũy thừa (nhớ thêm điều kiện ẩn - cần), PP sư dơng H§T

2

A A

đa pt chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối, PP đặt ẩn phụ,

PP bất đẳng thức 1.3 Một số phép biến đổi:

2 B B

A B

A B A B

 



 

 



 

  

 

0 B A B

A B     

  



2 0

0

n n

A B

A B A

B    

 

 



  



(n N ) 1n A2 1n B A B (n N )

A B  C  B C  A

0 0

( )

2 A

B

A B C C

C A B AB

        

 

   

 

 2 Mét sè vÝ dụ

Ví dụ Giải phơng trình sau:

a) 9x1 21 (bµi 25 trang 16 SGK to¸n tËp 1) b) 16x17 8 x 23

c) 17 x 17 x 2 d) 17 x 17 x 2

e) x x 1 x 4 x9 HD: Sử dụng PP nâng lên lũy thừa

Ví dụ Giải phơng trình sau: a)  

2

4 1 x 

(bài 25 trang 16 SGK toán tËp 1)

b) x x 2    x x 1    c) x 2x 5    x 2  2x 5 2 HD: a, b)Biến đổi dùng HĐT

c) Nh©n vÕ víi råi dïng H§T

2 A A

Ví dụ Giải phơng trình sau:

a)   

2

3 x 3x  x5 2 x b) 2 x  2 x 4 x2 2

c) x2 3x 2 x 3 x 2 x22x Gợi ý: a) Cách 1: Nâng lũy thừa, kết hợp đặt ẩn ph

Cách Đặt ẩn phụ: + §KX§:   5 x

+ Ta cã    

2

3 x 3x x5 2 x

 

2

2

3 x 3x x 3x 10

     

đặt x2 + 3x = t

b) + §KX§: 2 x

+ Ta cã    

2

2 x 2 x 4 x  2 2 x 2 x 2 x 2x 2

Đặt x a , 2x b (điều kiện a b, 0) ta cã :

2

0

2

0 a b a b

a b ab a

b  

 



   



 

    



     

2 x x

    

 c) + §KX§: x2

+ Ta cã x2 3x 2 x 3 x 2 x22x  x1 x 2  x 3 x x1 x3

Đặt x1a , x b , x 3 c (®iỊu kiƯn a b c, , 0) ta cã a.b + c = b + a.c

a 1 b c a 1 

b c  

     

 

tháa m·n

TH1: Khi a = ta cã x1 1  x = (tháa m·n §KX§) TH2: Khi b = c ta cã x 2 x 3 0x = (Pt vô nghiệm) Ví dụ Giải phơng trình sau:

a) x 6 x = x2 - 10 + 27

b)  x43x 1 2x2 3x 2 x4 x2 2x4 c) 5x 1 3x 2 x1 0

a) + §KX§:  x 

+ VÕ tr¸i =

4

4

2

x x

x   x      

(Theo bất đẳng thức Cauchy) dấu “=” xảy x = (1)

+ VÕ ph¶i = x2 -10 + 27 = (x-5)2+  2, dÊu “ = ” x¶y x = (2)

Tõ (1) vµ (2) suy √x −4+√6− x = x2 - 10 + 27 x = (tháa m·n §KX§)

Vậy tập nghiệm phơng trình cho là: S = {5}

b) + §KX§:

¿ − x4

+3x −1≥0 2x2−3x+2≥0

¿{ ¿

+ Ta có : Theo bất đẳng thức Bunhia- côpski)

VT2 =( x43x1 2x2 3x2)2  (1 1)(x43x 1 2x2 3x2)

 VT2 (-x4 + 2x2 + 1)

 VT2 2 −(x4−2x2+1)+2

¿  VT2 4

 VT  v× VT > DÊu “=” x¶y : x =

Mặt khác VP = (x2 - 1)2 + (x- 1)2 +  DÊu “=” x¶y x =

Do x43x1 2x2 3x2x4 x2 2x4 x = (Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phơng trình cho S =  1

c) Cách Sử dụng PP nâng lũy thõa

Cách Sử dụng PP bất đẳng thức: Với ĐKXĐ pt hai vế pt + ĐKXĐ: x1

+ Ta cã 5x1 3x 2 x1 0  5x 1 x1 3x (*)

Ta thấy x 1 5x1  x 5x1 x1 5x1 x1 0 `mà  3x 0 Vậy phơng trình cho vơ nghiệm

3 Bµi tËp

Bài 1 Giải phơng trình sau: a, x2+4x+5 = 2

√2x+3 (Trích đề thi TS THPTchuyên TB năm học 2005-2006)

b, x2+3x+1 = (x+3)

√x2+1 c, x 1 3x 2x1

(Trích đề thi TS THPT chun Tốn - Tin Thái Bình năm học 2005-2006) HD c, + ĐKXĐ: x0

+ Nhân hai vế phơng trình với x 1 3x >

a) x + √4− x2

=2+3x√4− x2

b) √x(x+1)+√x(x+2)=2√x2

c)  

1

2006 2007 2008 6018

2

x  y  z  x y z  

d) √x+√2x −1+√x+√2x −1=√2 e) √− x2

+4x −2+√−2x2+8x −5=√3+√2 g) x2 + 4x + = 2

√2x+3 HD: e) Sử dụng phơng pháp bất đẳng thức

g) §a pt dạng A2+B2=0 nâng lũy thừa đa phơng trình bậc 4 Bài 3 Giải phơng trình sau: √ 2x

1+x+√ 2+

1 2x=2

(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên tốn Trần Phú - Hải Phịng năm học 2004-2005) Bài 4 Giải biện luận phơng trình sau: √x2

− x=a− x (a lµ tham sè) Bài 5. Cho phơng trình : m2x=x 1

a, Giải phơng trình m =

b, Tìm m để phơng trình có nghiệm ?

Bài 6 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm : √x −5+√9− x=m Bài 7 Giải phơng trình sau:

a)

√x+7=1+√x b) √3 2x

x+1+

√1 2+

1 2x=2

c) √4 x −√x2−1+√x+√x2−1=2 d) x2 x2008 2008

Bài 8 Giải phơng trình:

2 2

1 10 10

x  y y  z z  x 

Bài 9.Giải phơng trình

2

7 14

x  x  x  x 

Dạng Chứng minh bất đẳng thức. I Những phơng pháp bản:

Phơng pháp biến đổi tơng đơng

Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển Phơng pháp đánh giá tăng giảm

Phơng pháp đánh giá đại diện Phơng pháp quy nạp toán học Phơng pháp phản chứng

Phơng pháp dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Phơng pháp áp dụng bất đẳng thức tam giác Phơng pháp biến đổi bất đẳng thức dạng tổng tích n số hạng theo thứ tự định

11 Phơng pháp áp dụng dấu tam thức bậc hai 12 Phơng pháp hình học

Cn chỳ ý: Một số bất đẳng thức có cách giải khơng mẫu mực

2 Mét sè vÝ dơ:

Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau:

a, a4a b ab3  3b4 0 b,

a a b b

a

b   víi a > 0, b > 0.

c)    

2

2 2

a b  c d  a c  b d HD: a, Ta cã a4a b ab3  3b4 0

   

  

    

 

3 0

3 0

2 0

2 2

2

2

a a b b a b a b a b

a b a b a ab b

b b

a b a

 

 

 

 

  

 

    

   

     

    0 (ln đúng)

V×

 2

2 3 2

2

a b

b b

a    

 



 

 



 

  

0

VËy a4a b ab3  3b4 0

b, Ta cã

a a b b

a b   

   

     

     

   

   

0

3

0

0

2

2

a a b b ab a b

a b ab a b

a b a ab b ab a b a b a ab b

a b a b

 

 

 

 

    

    

      

    

VËy

a a b b

a b  

c) Ta cã    

2

2 2

a b  c d  a c  b d

     

      

 

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 ( )2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 0

2

a b c d a b c d a ac c b bd d

a b c d ac bd a b c d ac bd

a c a d b c b d a c abdc b d b c bc ad a d

bc ad

            

    

    

      

   

  0 (luôn đúng)

VËy    

2

2 2

a b  c d  a c  b d

VÝ dô a) Cho a, b, c >0 chøng minh r»ng:

 

1 4 a b

a b

 

 

 

  

 

1 1 9 a b c

a b c

 

 

 

    

b) Cho

3 , ,

4 a b c

vµ a + b + c =

Chøng minh r»ng: 4a 3 4b 3 4c 3 HD:

a) * Vì a, b >0 áp dơng B§T Cauchy ta cã:

 

2

1 2 . 4

1 2 1 a b ab

a b ab

a b ab

a b a b ab 

  

  

 

   

    

  

VËy  

1 4 a b

a b

 

 

 

  

 

3

1 1 33 . 9

1 1 331 1 3

3 a b c abc

a b c abc

a b c abc

a b c a b c abc 

  



  

 

     

      

   

VËy  

1 1 9 a b c

a b c

 

 

 

b) áp dụng BĐT Bunhiacopski ta cã:

    

   

 

2 2 2 2

4 4 1 4

2

4 4 3

2

4 4 3 4.3

a b c a b c

a b c a b c

a b c

 

 

 

 

            

         

       

 4 32 63

4 4 3

a b c

a b c

      

       (®pcm) VËy 4a 3 4b 3 4c 3

VÝ dô Cmr:

1 1

2 2

2

n n

n

      

víi n  N, n  HD: Đặt

1

A

n

   

* Chøng minh A >2 n 3:

Ta cã  

1 2 2 1

1 k k

k  k  k  k  k    víi mäi k N *

Do

     

 

2 3

2

2 2

A n n

n

n n n

 

 

 

       

  

        (*) * Chøng minh A < n 2:

Ta cã  

1 2 2 1

1 k k

k  k  k  k  k    víi mäi k N *

     

 

2 2

2

2

A n n

n n

 

 

 

       

 

  (**) Tõ (*) vµ (**) suy đpcm

Ví dụ Cho số dơng x, y, z Chøng minh r»ng:

x2xy y 2 y2yz z 2 z2xz x  3x y z  

HD: Các số hạng vế trái có dạng tơng tự nên ta nghĩ đến phơng pháp đánh giá đại diện số hạng Ta chứng minh rằng:

 

3

2

2

x xy y  x y

ThËt vËy:

 

   

 

 

1

2 4 4 4

4

1 3 2

4

3

4

2

2

x xy y x xy y

x y x y x y

x xy y x y

 

 

 

    

  

 

    

=

.(1)

T¬ng tù ta cịng cã:  

3

2

2

y yz z  y z (2)

 

3

2

2

z zx x  z x (3) Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã

x2xy y 2 y2yz z 2 z2xz x  3x y z   , DÊu “=” x¶y x = y = z

VÝ dô Chøng minh r»ng

1

1 n n

n

 

 

    n N, n > HD: - Khi n = BĐT cho trở thành

3 64

1

3 27

 

 

    

- Giả sử BĐT cho với n = k , nghĩa

1

1 k k

k

 

 

 

- Ta phải chứng minh BĐT với n = k +1, nghĩa

1

1

1 k

k k

 

 

 



  



Th©t vËy: Ta cã

1 1 1

1 1 1

1

k k

k k

k k k k k

         

         

                

VËy

1

1 n n

n

 

 

    n N, n >

VÝ dô Cho a + b = Chứng minh rằng: 3a 3b HD: Đặt x3 ,a y3b a x b y 3,  3 x3y32 Ta cÇn chøng minh: x y 2

 

 

2

3 3 ( ) 8 ( )

( ) 3 ( )

3 ( )

2

2 y x y

x y xy x y xy x y

xy x y

xy x y x y xy x y x y xy x xy y

x y  

  

    

   

  

   

   

   

  

Gi¶ sư

0 (v« lÝ)

x

VËy 3a3b 2

VÝ dô Chøng minh r»ng: a b  1 ab víi a , b 1 HD: Ta cã:

   

1

2

1

2 2 1 2

2 2 0 a b ab

a b ab

a ab b ab a b a b a b

  

   

     

   

   

  

2 2 1 0

2 1 1 0 2

1

a a b b

a b b

b a

    

    

   0 (Ln đúng)

V×

2

1 1

2

1 1

b b b

a a a

    

     

     

VËy a b  1 ab víi a , b 1

Ví dụ Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác

Chøng minh r»ng:      

2 2 3

a b c b c a c a b a b c

HD: Ta cã      

2 2 3

a b c b c a c a b a b c

     

           

       

 

   

     

2 2 2 2 0

0

2 2 2 0

2

2 0

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c c a b ab a b c c a b

a b c c a b c a b

     

     

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

         

               

           

      

     

       0 (Luôn đúng)

0, 0,

a b c   c a b   c a b  

V ì a,b,c độ dài cạnh tam giác nê n :

VËy      

2 2 3

a b c b c a c a b a b c

VÝ dô Chøng minh r»ng:  

1 2

23 2  n1 n 

   

1 1

1

1

1 1

1

1

1

k k

k k k k

k k

k

k k k k

k k

k k k

                                                = =  

1 2

1

k

k k k k

       

Lần lợt cho k = 1, 2, ,n ta cã:

1 2 1

2 2          

1 2 1

3 2

1 2 1

1

n n n n

                   

1 2 1

2 n n n

 

 

 

      

  (®pcm)

VÝ dơ 10 Cho a, b, c > Chøng minh r»ng

a b c a b c

a b b c c a      b c  c a  a b

HD: + Ta cã

 

2

a a c

a b a b c

b b a

b c a b c

c c b

c a a b c

a b c

a b c a c b a c b

a b b c c a a b c a b c a b c a b c                                     

           (*)

 

 

2

2

,

2

a a a a a

a b c

b c a b c a b c

b b c

c a a b c a b c

a b c

a b

b c c a a b c

  

 

   

 

    

 

    

   

c T ¬ng tù

a + b c

2 (**) a + b

Tõ (*) vµ (**) ta cã

a b c a b c

a b b c c a      b c  c a  a b (®pcm)

VÝ dơ 11 Chøng minh r»ng:    

2 1 3

x y  xy  x y

; x y,

HD: Ta cã    

2 1 3

x y  xy  x y

 x2y2xy 1 3x 3y0 Coi vế trái tam thức bậc hai x, ta có:

 

 

2

( ) 3

2

( 3) 4( 1)

2

3

2 0,

f x x y x y y

y y y

y y

y y

     

     

 

   

= =

 f x  0, x,y (v × a = > 0) Dấu = xảy

1 x y 

VËy    

2 1 3

x y  xy  x y ; x y,

VÝ dơ 12 Chøng minh B§T sau víi a, b, c, d > 0:

         

2 2 2 2

a c a c  a d b d  a b c d 

HD: Xét tứ giác ABCD có AC  BD Gọi O giao điểm hai đờng chéo. Đặt OA = a, OB = b, OC = c, OD = d với a, b, c, d >

mµ AC = a + b, BD = c + d Ta cÇn chøng minh: AB BC AD CD AC BD   ThËt vËy AB BC 2SABC

AD CD 2SADC

 AB BC AD CD  2SABCD AC BD

VËy            

2 2 2 2

a c a c  a d b d  a b c d  3 Bµi tËp:

Bài Chứng minh bất đẳng thức sau:

a)        

10 10 2 8 4

a b a b  a b a b

b) c a c    c b c    ab (a > c,b > c, c > 0)

Bài a) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: p p a  p b  p c  3p

b) Chứng minh 1 a a 1 5 a 10 Bài Chứng minh bất đẳng thức sau:

a)  

1 2

23 2  n1 n 

víi n  N*

b)

1 1

2

2

n n

n

        

víi n  N; n > Bài Cho số dơng x, y, z tho¶ m·n: x + y + z = Chøng minh r»ng: 2x2xy2y2 2y2yz2z2 2z2xz2x2 

Bµi Chøng minh r»ng n1n 1 nn ;  n Z n, 2

Bài Chứng minh ba BĐT sau có BĐT

 2

2

2 b c a b  

;

 2 2

2 c a b c  

;

 2

2

2 a b c a  

Bµi Chøng minh r»ng mäi sè a b R;  ta cã:

a) 1

a b a b

a b a b

 



   

b) 1

a b a b

a

a b b



 



  

a) a b c b c a a c b          abc

b)    

abc p a p b p c   

c)

1 1 2 1

p a p b p c a b c

 

 

 

    

  

Bµi Chøng minh r»ng :  

1 1

1 1

2 n n

      

;  n Z Bµi 10 Cho a, b, c, d lµ sè nguyên dơng Chứng minh rằng:

a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

Bµi 11 a) Chøng minh r»ng

4 2

2

4 2

x y x y x y

y x

y  x  y x    ; x y, 0

b) Cho ax by  xy ; x y, 0 Chøng minh r»ng

1 ab

Bµi 12 Cho sè d¬ng x, y cã tỉng b»ng 1.Chøng minh r»ng:  

1 4

8 x y

xy

  

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thái Bình năm học 2006- 2007) Bài 13 Chứng minh BĐT sau phơng pháp hình học với a, b, c > 0:

a2b2 b2c2 b a c   Chó ý mét øng dụng BĐT:

So sánh số, giá trị hai biểu thức Giải phơng trình, bất phơng trình Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

Xét tồn nghiệm phơng tr×nh bËc hai

Chứng minh tính chất biểu thức đại số, …

Dạng Biến đổi đồng biểu thức đại số.

1 Một số yêu cầu cần ôn lại: Phép nhân đơn thức, đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử Tính chất phân thức

C¸c phÐp toán: cộng, trừ, nhân, chia phân thức,

2 Một số loại biểu thức thờng gặp:

Biểu thức phân thức

BiĨu thøc lµ tÝch cđa biĨu thøc Biểu thức thơng biểu thức

Biểu thức phối hợp phép toán cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa hay dấu ngoặc

i s hố biểu thức số để tính tốn

3 Một số câu hỏi thờng gặp: Câu hỏi 1: Rót gän biĨu thøc

Câu hỏi 2: Tìm điều kiện biến để giá trị biểu thức đợc xác định

C©u hái 3: Tính giá trị biểu thức

Câu hỏi 4: Tìm giá trị biến biết điều kiện biểu thức

Câu hỏi 5: Chứng minh tính chất ca biu thc

Câu hỏi 6: Tìm giá trị lớn (Max), giá trị nhỏ (Min) cđa biĨu thøc, …

4 Bµi tËp:

Bµi Cho biÓu thøc:

3

1

1 1

x x A

x x x x x



  

    

a Rót gän råi tÝnh sè trÞ cđa A

53 x

 b Tìm x để A >

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình năm học 2000- 2001)

Bµi 2.Cho biĨu thøc

 

2 2 2 1

1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

  

a, Rót gän biĨu thøc P

b, Tìm giá trị nhỏ P

c, Tìm x để

2 x Q

P

nhận giá trị nguyªn

(Trích đề thi HSG lớp huyện Hng Hà năm học 2005- 2006)

Bµi 3.Cho biÓu thøc

2

5

x x x

A

x x x x

  

  

   

a, Rót gän A

b, Tính giá trị A với x 2

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chun Thái Bình năm học 2007- 2008)

Bµi Cho biÓu thøc:

     

   

2

2

1

x x x

A

x x

   



 

b Tìm x để A =

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình năm học 1999- 2000)

Bµi Cho biĨu thøc

2

1

1

P

x x x

   

   

   

   

   Víi x0 vµ x1

Rót gän P;

Tìm giá trị x để

2 P

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình năm học 2008- 2009)

Bµi Cho biĨu thøc

2 2006 :

1 C

x x x x x x

 

   

 



 

a,Tìm điều kiện x đẻ giá trị biểu thức C đợc xác định b, Rút gọn tính giá trị biểu thức C  

2 16 x c, Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A1

Bµi Cho biÓu thøc    

3 1

:

1 1

2

a a a a

P

a a a

a a

 

    

 

    

        

 

a, Rút gọn biểu thức P b, Tìm a để:

1

1 a P



 

(Trích đề thi tuyển sinh vào trờng THPT Chu Văn An Hà Nội 2006-2007)

Bµi 8.Cho biĨu thøc 2 2 2

1 :

a a b

M

a b a b a a b

 

    

     

a, Rót gän biĨu thøc M

b, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc M

3 a b 

(Trích đề thi học sinh giỏi lớp huyện Hng Hà năm học 2006 - 2007) Bài 9.Cho biểu thức : A= (2x√x+x −√x

x√x −1 − x+√x

x −1 )

x −1 2x+√x −1+

√x 2√x −1 a, Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức

b, Tìm giá trị nhỏ A

Chơng II Hàm số bậc nhất I Kiến thức bản

- Định nghĩa, tính chất đồ thị hàm số bậc

- Vị trí tơng đối đờng thẳng, hệ số góc đờng thẳng y=ax+b(a 0)

II Những dạng toán thờng gặp

Dng Xác định hàm số bậc nhất(lập phơng trình đờng thẳng) Dạng Chứng minh hàm số cho hàm số bậc

Dạng Tìm điều kiện tham số để hàm số hàm số bậc Dạng Chứng minh hàm số bậc đồng biến (hay nghịch biến)

Dạng Tìm điều kiện tham số để HS bậc đồng biến (hoặc nghịch biến) Dạng Tính giá trị hàm số biết giá trị biến ngợc lại

+ Chứa dấu giá trị tuyệt đối, … Dạng Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phơng trình, Dạng Vị trí tơng đối hai đờng thẳng

Dạng 10 Tính chu vi, diện tích đa giác mặt phẳng tọa độ Dạng 11 Tìm điểm cố định mà đờng thẳng qua

III Bµi tËp:

Bµi 1 Cho hµm sè y = m  x 

+     

m x

a) Xác định m để hàm số hàm số bậc b) Khi hàm số đồng biến hay nghịch biến?

Bài 2 Vẽ đồ thị hàm số sau: a)

1 1 y x

b) y 1 x c) y x 

d) y x 2 x Từ tìm giá trị nhỏ hàm số

Bài 3 Biện luận theo m (phơng pháp đồ thị) số nghiệm phơng trình: x 2 x m

Bµi 4: Cho A(0; 5); B(- 3; 0); C(1; 1)

a) Chøng minh r»ng ba ®iĨm A, B, C không thẳng hàng; b) Tính diện tÝch tam gi¸c ABC

Bài 5: Cho đờng thẳng y = (m - 1)x - (d)

a) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với m; b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) 2; c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn

Bài 6: Cho đờng thẳng: (d): y = mx - 2m - với m  0;

(d’): y = (2m - 3)x + (m2 - 1) víi m 

3 2

a) Chứng minh hai đờng thẳng (d1) (d2) trùng với m,

b) Tìm m để:  (d) // (d’);

 (d) c¾t (d’);

 (d)  (d’).

Bài 7: Cho ba đờng thẳng: (d1): y = x - ; (d2): y = - 2x - ; (d3): y = mx +

a) Tìm giao điểm (d1) vµ (d2)

b) Tìm giá trị m để ba đờng thẳng đồng quy

HD: b) Ba đờng thẳng đồng quy (d3) qua giao điểm (d1) (d2)

Bài 8. Vẽ tam giác ABC mặt phẳng tọa độ biết A(4; 3) ; B(-2; 6) ; C(-2 ; -9) a) Chứng minh tam giác ABC vuông A tính diện tích tam giác ABC b) Viết phơng trình đờng trung trực đoạn AB

HD: b) - Tìm tọa độ trung điểm M AB

- Viết phơng trình đờng thẳng qua M vng góc với AB

- Khái niệm hệ phơng trình bậc ẩn - minh hoạ hình học tập nghiệm hệ phơng trình bậc ẩn

- Các phơng pháp giải hệ hai phơng tr×nh

- Điều kiện để hệ hai phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, vơ nghiệm, vụ s nghim

II Những dạng toán thờng gặp

Dạng Giải hệ hai phơng trình bậc hai ẩn

Dạng Giải hệ phơng trình đa hệ phơng trình bậc hai ẩn Dạng Xét hệ phơng trình chứa tham số

Dạng Tìm nghiệm nguyên phơng trình bậc hai ẩn Dạng ứng dụng hệ phơng trình vào số dạng toán:

- Gii bi toỏn bng cách lập hệ phơng trình (đề cập chơng IV) - Giải phơng ttrình vơ tỉ, …

III Bµi tập.

Bài Cho hệ phơng trình:

2

2

x my x m y

 

  

  

 

a, Giải hệ phơng trình m =

b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm

Bài Cho hệ phơng trình:

3 x ay ax y 

 

 

 

a, Gi¶i hpt a =

b, Tìm a để hpt có ngiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y >

Bài 3: Tìm m để hệ phơng trình

¿

(m+1)x − y=m+1 x+(m −1)y=2

¿{ ¿

có nghiệm (x;y)thỏa mãn x+y đạt giá trị nhỏ nht

Bài 4 Cho hệ phơng trình: {2x+my=1(1) mx+2y=1(2) 1) Giải biện luận theo tham số m

2) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên Bài : Xác định giá trị a để hệ phơng trình

¿

√x+1+√y −1=a x+y=2a+1

{

có nghiệm

Bài Giải biện luận hệ phơng trình theo m: { x+my=1(1) mx3 my=2m+3(2) Bài Cho hệ phơng trình {mx+2 my=m+1

x+(m+1)y=2

a) Chứng minh hệ có nghiệm (x;y) điểm M(x;y) ln thuộc đờng thẳng cố định m thay đổi

b) Xác định m để điểm M thuộc góc vng phần t thứ

c) Xác định m để điểm M thuộc đờng trịn (O; √5 ) O gốc tọa độ Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:4x + 11y = 4xy

a) 2008 2008 2008 2008 x y x y            b) 1 2008 2008 y x y x           

c)    

2

7

5

x y

x y x y

             d) 1 x y x y           e)

2

3 27 x y z x y z x y z               g)

( )( ) 187 ( )( ) 154 ( )( ) 238

x y y z y z z x z x x y              

Bµi 10 Cho hƯ phơng trình:

0

2

x y a

x y x y

            

(a lµ tham sè) a) Gi¶i hƯ víi a

b) Tìm a để hệ có nghiệm

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thỏi Bỡnh nm hc 2006- 2007)

Bài 11Giải hệ phơng trình:

2 2

2005 2006 1003

xy y y

xy y y

        

Chơng IV Hàm số

2 0

y ax a 

Ph¬ng trình bậc hai ẩn I Kiến thức bản

- Tính chất đồ thị hàm số y = ax2 ( a  0)

- C«ng thøc nghiệm phơng trình bậc hai - hệ thức viét

II Những dạng toán thờng gặp

Phần 1.Hàm sè  

2 0

y ax a  Dạng Xác định hàm số

Dạng Vẽ đồ thị hàm số

Dạng Dùng đồ thị giải bất phơng trình, biện luận số nghiệm pt, Dạng Sự tơng giao Parabol v ng thng

Phần Phơng trình bậc hai ẩn Xét phơng trình dạng ax2 + bx + c = (x ẩn)

Dạng Giải pt biết giá trị tham số

Dạng Tìm giá trị tham sè biÕt n0 cđa pt T×m n0 lại

Dng Tỡm iu kin ca tham số để pt vơ nghiệm( có nghiệm kép, có nghiệm, có nghiệm phân biệt, có nghiệm, … )

Dạng Giải biện luận pttuỳ theo giá trị tham số

Dạng Chứng minh ptlu«n cã nghƯm ( cã nghiƯm kÐp, cã nghiƯm, cã nghiƯm ph©n biƯt, cã nghiƯm, … )

Dạng Xét dấu nghiệm pt:

- Cã hai nghiÖm cïng dÊu - Cã hai nghiƯm cïng d¬ng - Cã hai nghiƯm cïng ©m

Dạng Tìm giá trị tham số để ptcó no thoả mãn điều kiện

D¹ng TÝnh giá trị biểu thức chứa nghiệm pt

Dạng Tìm hệ thức liên hệ no pt không phụ thuộc giá trị tham số

Dạng 10 Lập phơng trình bậc hai biÕt c¸c nghiƯm cđa nã

Dạng 11 So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số khác khơng Dạng 12 Tìm điều kiện tham số để hai pt có nghiệm chung tơng đơng

Dạng 13 Chứng minh hai …phơng trình phơng trình cho vơ nghiệm hoc cú nghim

Dạng 14 Phơng trình quy phơng trình bậc hai

Dạng 15 Giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình) Loại Toán chữ số

Loi Toán quan hệ số Loại Tốn chuyển động

Lo¹i Toán làm chung, làm riêng Loại Toán có nội dung hình học

Loại To¸n cã néi dung vËt lÝ, hãa häc III Ví dụ

Phần 1.Hàm số

2 0

y ax a 

.

VÝ dơ 1: Cho hµm sè y = ax2 (P)

a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số qua điểm M (1; -2)? b) Vẽ (P)

c) Xác định giao điểm (d) y = mx + với (P) biết (d) qua M (1 ; -2) d) Tính diện tích tam giác OMN (N giao điểm thứ hai (d) (P))

Ví dụ 2:Cho hàm số y = x2 (P) y = 2x + b (d) Xác định b cỏc trng hp sau:

a) Đờng thẳng (d) không cắt (P)

b) ng thng (d) tip xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm c) Đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt

Ví dụ 3:Cho hàm số y = x2 (P) hai điểm A, B(P) có hồnh độ lần lợt -1 2.

a) Viết phơng trình đờng thẳng qua AB

b) Vẽ đồ thị hàm số (P) tìm điểm M cung AB (P) cho tam giác MAB có diện tích lớn

Phần Phơng trình bậc hai ẩn

Ví dụ 1:Giải phơng trình (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = (1) trờng hợp sau:

m = 1; m = -1; m = 0; m = 2; m =

1 2; m =

1

4; m = 2; …

Ví dụ 2:Tìm giá trị m để pt 2x2 - m2x + 18m = có n

0 -3 Tìm n0 lại? Ví dụ 3:Cho pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = (*)

a, Tìm giá trị m để pt (*) vơ nghiệm

b, Tìm giá trị m để pt (*) có nghiệm kép

c, Tìm giá trị m để pt (*) có nghim phõn bit

Ví dụ 4:Giải biện luËn pt mx2 + 2(m+1)x + = (m lµ tham sè)

HD:

TH1: m = pt trở thành 2x + =  x = -2

TH2: m 0 pt cho pt bậc hai ẩn x có:    

2

' m 1 m.4 m 1

     

NÕu m =1 th× pt cã nghiÖm kÐp

1 m

x x

m 

NÕu m 1 th× pt cã nghiƯm ph©n biƯt

 

1,2

1

m m

x

m

   



VÝ dô 5: a, Chøng minh r»ng pt x2 - (2m+1)x + m2 + m - = lu«n cã nghƯm m.

b, Chøng minh r»ng pt x2 - 2(m-1)x - m = lu«n cã nghƯm x

1, x2m VÝ dô 6:

a,Xác định m đểpt (m-1)x2 + 2(m-1)x - m = có nghiệm trái dấu

b,Xác định m để pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = có nghiệm phân biệt cùng dấu.

Khi nghiệm mang dấu ?

Ví dụ 7: Cmr pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = có nghiệm trái dấu. Ví dụ 8: a,Tìm m để pt x2 - 4x + m + = có n

o x1, x2 thoả mãn 2 x x = 10 b, Tìm m để pt (m+2)x2 - (2m-1)x - + m = có n

o pb x1, x2 vµ cã

nghiệm gấp đôi nghiệm

VÝ dô 9: Cho phơng trình: x2 - (2m+1)x + m2 + m - = cã n

o x1, x2 Tìm hệ thức

liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m IV Bài tập tổng hợp.

Phần 1.Hàm số

2 0

y ax a 

.

Bài Cho đờng thẳng (d) có phơng trình

2( m - 1) x + ( m - 2) y = ( m lµ tham sè)

a, Tìm m để đờng thẳng (d) cắt Prabol y = x2 tại điểm phân biệt A; B

b, Tìm tọa độ trung điểm AB theo m

c, Tìm m để đờng thẳng (d) cách gốc tọa độ khoảng lớn d, Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định HD: b) + Chứng minh công thức tọa độ trung điểm:

Cho A x y 1; 1; B x y 2; 2 Gäi M x y 0; 0 lµ trung ®iĨm cđa AB th×

1

1

2 x x x

y y y

 

   



 

  + áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm:

Bài 2. Cho parabol (P): y = x2 đờng thẳng (d) y = 3x +

a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Từ suy nghiệm phơng trình: x2 - 3x - = (Có giải thích).

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d’) song song với đờng thẳng (d) tiếp xúc

với đờng thẳng (P)?

Bài 3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = ax2 (a0)và đờng thgẳng (d)

®i qua hai ®iĨm N(

1 0;

a) , M(m;0) víi m0

a) Chứng tỏ (P) cắt (d) hai điểm phân biệt A B b) Chứng tỏ tam giác OAB vuông

c) Gọi H K hình chiếu A, B trục hoành Cmr NHK vu«ng.

HD: a) Xét pt hồnh độ giao điểm chứng minh pt hồnh độ giao điểm có nghiệm phân biệt

b) Chứng minh tích hệ số góc hai đờng thẳng OA OB -1 c) Chứng minh tích hệ số góc hai đờng thẳng NH NK -1

Phần Phơng trình bậc hai ẩn

Bµi 1 Cho pt x2 - 4x + m + = (1)

a, Giải phơng trình (1) khi m = -2 b, Tìm m để pt (1) có nghiệm

c, Tìm giá trị m để pt (1)có no x1, x2 thoả mãn 2 x x = 6 Bài 2 Cho pt x2 - 2mx + m + = (2)

b, Xác định m để pt (2) có nghiệm khơng âm c, Tính giá trị biểu thức P x1  x2 theo m Bài 3 Cho pt mx2 - (m2 +2)x + 2m = (3)

a, Tìm m để pt (3) có n0 -1 Tìm n0 cịn lại ?

b, Cmr pt (3) lu«ncã nghiƯm m.

Bµi 4 Cho pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = (4)

a, Gi¶i phơng trình (4) khi m = -1

b, Tìm giá trị m để pt (4) có no x1, x2 thoả mãn x1 x2 2 Bài 5 Cho pt

 

2 2 2 1 3 6

x m x m m

x

   



 (5)

a, Gi¶i phơng trình (5)

2 m

b, Tìm giá trị m để pt (5) có no x1, x2 thoả mãn x1 2x2 16

Bài 6 Giải biện luận pt:(m-1)x2 - 2(m+1)x + m = tuỳ theo giá trị m. Bµi 7. a,Cmr pt x2 - (2m-3)x + m2 - 3m = luôn có nghệm phân biệtm.

b,Chứng minh pt: b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = vô nghệm (với a, b, c độ dài cạnh 1). Bài 8. Cho pt: x2 + 2(m-1)x - (m+1) =

a, Tìm m để phơng trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn b, Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm nhỏ hn

HD: a, + Tìm ĐK (chứng tỏ) phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2

+ Giả sử x1 < x2

Kết hợp gt ta cã x1 < 1< x2

     

1

1 2

2

1 1

1 x

x x x x x x

x   

          

  

¸p dơng viÐt råi tìm m

b, + Tìm ĐK (chứng tỏ) phơng trình có nghiệm x1, x2

+ Giả sư x1  x2

KÕt hỵp gt ta cã x1 x2<2 …

Chú ý: Có thể đặt ẩn số phụ x-2 =t để đa dạng xét dấu nghiệm phơing trình bậc hai. Bài 9. Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung

2x2 + (3m+1)x - = 0; 6x2 + (7m-1)x - 19 = Bài 10. Với giá trị m hai phơng trình sau tơng đơng x2 + (m+1)x+1 = 0; x2 + x+ m+1 =

Bµi 11. Cho a, b, c số dơng khác cã tỉng b»ng 12 Chøng minh r»ng ph¬ng trình sau có phơng trình có nghiệm, phơng trình vô nghiệm

x2 + ax+ b = ; x2 + bx+ c = ; x2 + cx+ a = Bµi 12.Cho hai phơng trình : x2 + mx + = (1)

x2 + 2x + m = (2)

a) Định m để phơng trình có nghiệm chung b) Định m để phơng trình tơng đơng

c) Xác định m để phơng trình: (x2+mx+2)(x2+2x+m) = có nghiệm phân biệt Bài 13.Với giá trị tham số a b, phơng trình bậc hai:

(2a + 1)x2 - (3a - 1)x + =

(b + 2)x2 - (2b + 1)x - = Cã hai nghiệm chung Bài 14 : Cho phơng tr×nh

x2 + x + a = (1)

x2 + ax + = 0 (2)

b) Cã Ýt nhÊt nghiÖm chung

HD: a) Xét trờng hợp TH1: hai phơng trình vơ nghiệm

TH2: hai phơng trình có nghiệm tập nghiệm hai phơng trình  tổng, tích nghiệm phơng trình (1) tổng, tích nghiệm phơng trình (2)

b) Cã thể sử dụng kết câu a)

Bài 15 : Cho phơng trình

2

1 2 1 0

x m x

x x

 

 

 

a) Giải phơng tr×nh

5 m

b) Tìm m phng trỡnh ó cho cú nghim

Giải toán sau cách lập phơng trình hệ phơng trình: Toán chữ số:

Bi Tỡm số có hai chữ số biết tổng chữ số viết thêm chữ số vào hai chữ số đợc số lớn số ban đầu 360 đơn vị

Bài Cho số có hai chữ số Tìm số biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích chữ số đợc chữ số viết theo thứ tự ngợc lại với số cho

Toán quan hệ số

Bài 1. Tìm hai số biết tổng 17 tổng bình phơng hai số 157 Tốn chuyển động:

Bài 1.Một ô tô từ A đến B Cùng lúc ô tô thứ hai từ B đến A với vận tốc

2

3vận tốc ô tô thứ sau chúng gặp Hỏi ô tô quãng đờng

AB mÊt bao l©u?

Bài 2.Một ô tô du lịch từ A đến C Cùng lúc từ địa điểm B nằm đoạn đờng AC, có tơ vận tải đến C Sau hai ô tô gặp C Hỏi ô tô du lịch từ A đến B bao lâu, biết vận tốc ô tô vận tải

3

5vËn tèc ô

tô du lịch?

Bi ng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn đờng 10 km Để từ A đến B, canô hết 20 phút, ô tô hết Vận tốc canô vận tốc tơ 17 km/h Tính vận tốc canơ?

Bài 4:Hai canô khởi hành từ hai bến A B cách 85 km ngợc chiều nhau.Tính vận tốc riêng canô, biết vận tốc canô xuôi dòng lớn vận tốc canô ngợc dòng km/h vận tốc dòng nớc km/ h

Bài 5:Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 5giờ20phút, canô chạy từ bến A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 20km Hỏi vận tốc thuyền, biết canô chạy nhanh thuyền 12km1giê ?

Bài 6:Quãng đờng AB dài 270km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đếnB Ơ tơ thứ chỵ nhanh tơ thứ hai 12km/h, nên đến trớc ô tô thứ hai 40phút Tính vận tốc xe

Bµi 7:Mét tàu thuỷ chạy khúc sông dài 80km, ®i vµ vỊ mÊt giê 20phót TÝnh vËn tèc tàu thuỷ nớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc 4km/h

40phỳt, sau tiếp tục chạy vơí vận tốc nh cũ Tính chiều dài qng sơng AB, biết hai canơ n b cựng mt lỳc

Toán làm chung, làm riêng:

Bài 1:Nếu hai vòi nớc chảy vào bể sau 1giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi thứ 12 phút đầy

2

15 bể Hỏi vòi

chảy phải đầy bể?

Bài 2: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc sau

4

5h bể đầy Mỗi giê

l-ợng nớc vòi chảy đợc

3

2 lợng nớc vòi chảy đợc Hỏi vịi chảy mình

th× sau đầy bể Toán có nội dung h×nh häc:

Bài 1: Tam giác vng thứ tam giác vuông thứ hai đồng dạng với theo tỉ số

1

3, tam giác vuông thứ có độ dài cạnh huyền cm Tớnh cỏc cnh gúc

vuông tam giác vuông thứ hai, biết hai cạnh góc vuông h¬n kÐm cm

Bài 2:Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối quanh v-ờn (thuộc đất vv-ờn) rộng m Tính kích thớc vv-ờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m3

Bài : Cho tam giác vng , tăng cạnh góc vng lên cm ; cm ; diện tích tam giác tăng thêm 50 cm2 Nếu giảm cạnh góc vng 2cm Bài : Cho tam giác vng ABC (A= 900 )có cạnh AB = cm; AC = cm M là điểm AB Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC, BC chúng lần lợt cắt BC , AC P Q Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích hình bình hành MNCD

3

8 diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Bài 5:Hai vậi chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động chiều sau 20giây lại gặp Nếu chúng chuyển động ngợc chiều sau 4giây lại gặp Tính vận tốc vật

Bµi 6:Mét tÊm tôn hình chữ nhật có chu vi 48cm Ngời ta cắt bỏ hình vuông có cạnh 2cm góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật (không có nắp) Tính kích thớc tốm tôn, biết thể tích hình hộp 96cm3.

Bài 7:Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD biết

AB5, AC 34, AD 41 To¸n cã néi dung vËt lÝ, hãa häc:

Bài 1:Ngời ta hoà lẫn gam chất lỏng với gam chất lỏng khác có khối lợng riêng nhỏ 20 kg/m3 để đợc hỗn hợp có khối lng riờng l 700 kg/m3 Tỡm

khối lợng riêng chất lỏng

Bi 2:Mt vt l hp kim đồng kẽm có khối lợng 124g tích là15cm3.

Tính xem có gam đồng gam kẽm, biết 89g đồng tích 10cm3 7g kẽm tích 1cm3.

Bài 3: Dùng nhiệt lợng , nhiệt lợng 168 KJ để đun nóng khối nớc kg, khối nớc nhỏ có nhiệt độ lớn khối nớc lớn 20C Tính xem khối nớc

Bài 4: Có loại dung dịch chứa loại axit: loại chứa 30% axit, lo¹i chøa 5% axit Muèn cã 50 g dung dịch axit 10% cần pha trộn lẫn g loại

Toán suất:

Bi 1:Một đội máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực hiện, ngày đội máy kéo cày đợc 50 vậy,đội khơng cày xong trớc thời hạn ngày mà cày thêm đợc 42 Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạchđã định?

Bài 2:Hai tổ cơng nhân làm chung 12 hồn thành xong công việc định Họ làm chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt phần cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc?

Bài 3:Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm xong 12 ngày Họ làm vởi đợc ngày đội đợc điều động làm việc khác , đội hai tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật, xuất tăng gấp đôi nên đội làm xong phần cơng việc cịn lại ngày rỡi.Hỏi đội làm sau ngày làm xong cơng việc nói (với xuất bình thờng) ?

Bài 4:Hai ngời thợ làm cơng việc 16giờ xong Nếu ngời thứ làm3giờ ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc hồn thành cơng việc?

Bài 5:Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 công thợ Hãy tinh số công nhân đội, biết đội tăng thêm ngời số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày

Bài 6: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, tháng sau tổ đạt vợt mức 10%, tổ đạt vợt mức 15% nên tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tổ sản xuất đợc chi tiết máy

Toán phần trăm:

Bi 1:Trong thỏng u, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ sản xuất vợt 15%, tổ sản xuất vợt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng thứ hai tổ công nhân sản xuất đợc chi tiết máy?

Bài 2:Hai xí nghiệp sản xuất đợc 950 sản phẩm Nếu năm tới xí nghiệp thứ tăng thêm 10% sản xuất xí nghiệp thứ hai tăng thêm 20% sản phẩm tổng sản phẩm sản xuất đợc 1090 Tính số sản phẩm xí nghiệp ó sn xut

Bài 3:Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu Dân số tỉnh A năm tăng 1.2%, tỉnh B tăng 1.1% Tổng số dan hai tỉnh năm 4045000 ng ời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm

B phần hình học

Chơng I hệ thức lợng tam giác vuông

I Kiến thức bản.

Một số hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuụng

II Những dạng toán thờng gặp.

Tính độ dài đoạn thẳng Tính số đo góc

TÝnh c¸c tỉ số lợng giác góc nhọn

So sánh, xếp tỉ số lợng giác theo thứ tự định Chứng minh đẳng thức hình học, hệ thức lợng giác Dựng góc nhọn biết tỉ số lợng giác

Vận dụng số hệ thức cạnh đờng cao, số hệ thức cạnh góc tam giác vuông vào thực tế

III VÝ dô:

Ví dụ Giải tam giác

1, Giải tam giác ABC vuông A biết:

1.1) b = 3cm, c = 4cm 1.2) a = 5cm, c = 4cm 1.3) b = 21 cm, C = 410

1.4) a = 7,5cm, C = 320

2, Gi¶i tam giác ABC trờng hợp sau: 2.1) Biết c¹nh

a, a = cm, b = cm, c = cm b, a =15, b =13, c =14

2.2) BiÕt cạnh góc

a, a = 35mm, c =30mm, A 75  b, b=35cm, c=28cm, A 60 

2.3) Biết cạnh góc

a, c=12,25dm, B 35  0, A 120  b, a = 4cm, A 105  0, B 45 

2.4) Biết cạnh đờng cao:

a, AB=3cm, AC=5cm, đờng cao AH=4cm b, AB=4cm, BC=5cm, đờng cao BK=3cm

2.5) Biết góc đờng cao:

a, C 35  0, B 70  0, đờng cao AH=5cm b, AB=AC, đờng cao BH=h, C 

…

H

A B

C

E F

A B

C

E D F

A B

C

E

I

F

Cách 2: áp dụng công thøc sin sin sin

a b c

A B C

Ví dụ Bài toán tổng hợp kiến thức kĩ năng.

Cho ABC vuông A có AB=6cm, AC=8cm a) Giải tam gi¸c ABC

b) Vẽ đờng cao AH tam giác Tính AH?

c) Gọi E, F lần lợt hình chiếu H AB AC Tính chu vi diện tích tứ giác AEHF

Khai thác to¸n: TÝnh EF

Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEHF hình vng. Chứng minh AE.AB = AF.AC

Chứng minh EF vuông góc với bán kính đI qua E đờng trịn ngoại tiếp tam giác CHF

Gäi M, N lần lợt trung điểm BH CH Chøng minh r»ng diƯn tÝch tø gi¸c EFNM b»ng nưa diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Thay đổi điều kiện thứ yếu toán: đờng cao AH phân giác AD đ-ờng trung tuyến AI kết thay đổi nh nào? …

IV Bµi tËp:

Bµi 1. Cho  lµ gãc nhän vµ sin =

3

4 Tính tỉ số lợng giác lại gãc . HD: VËn dơng mét sè c«ng thøc công thức:

sin2 + cos2 =1, tg= sin cos



 , cotg = cos sin 

 , tg.cotg =1

Bài 2. Cho  góc nhọn tg =2 Tính tỉ số lợng giác cịn lại góc HD Cách 1: Chứng minh sau áp dụng công thức1+tg2 =

1

cos  ; 1+cotg2 = sin Cách 2: Đặt ẩn phụ sử dụng công thức

Bài C¸c chiỊu cao cđa mét tam gi¸c b»ng 3, 4, Tam giác có phải tam giác vuông không?

HD: Sử dụng phơng pháp diên tích

Bµi 4 Cho 00 <  < 450 Chøng minh r»ng: a) sin2 = 2sin cos

b) cos2 = cos2 - sin2

c) cos2=

1 cos2

 

d) sin2 =

1 cos2

 

Bµi 5 Cho  = 22030’ TÝnh sin , cos , tg , cotg (không dùng bảng số máy

tính)

a) sin sin sin

a b c

A B  C b) a2 = b2+c2- 2bc.cosA

c)

1 .sin .sin .sin

2 2

ABC bc A ac B ab C

S   

Bµi 7: Cho Δ ABC vuông A có B = 60 0, BC = 10cm a) TÝnh AB, AC

b) Kẻ đờng cao AH tam giác Tính AH; BH; CH

c) VÏ HI AB (I AB); HK AC (K AC) Chøng minh r»ng

¿ HK AC=

HI AB⋅ ¿

Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC trung tuyÕn AM Chøng minh AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2 Bµi 9: Cho tam giác ABC, góc ^A = 900; M trung ®iĨm cđa AC BiÕt AB = 6cm;

AC= cm; AD; BE đờng phân giác góc ^A ;B^ cắt I Tính BIM

Chơng II Đờng tròn

I Kiến thức bản.

Định nghĩa đờng tròn, tiếp tuyến đờng trịn Các định lí(SGK)

II Những dạng toán thờng gặp.

Xác định, chứng minh vị trí tơng đối giữa: điểm đờng tròn,

đờng thẳng đờng tròn, hai đờng tròn

Tính độ dài đoạn thẳng (dây, khoảng cách từ tâm đến dây, độ dài đoạn tiếp tuyến, …)

Tính chu vi, diện tích đa giác nội tiếp ngoại tiếp đờng tròn Chứng minh điểm tâm đờng tròn ngoại tiếp, tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác

So sánh độ dài hai đoạn thẳng So sánh độ lớn hai góc

Vận dụng kiến thức đờng trịn vào thực tế

III Bµi tËp:

Bài : Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngòai đờng tròn, kẻ tiếp tuyến KA, KB với đờng tròn( A, B tiếp điểm) Kẻ đờng kính AOC, tiếp tuyến đ-ờng trịn (O) C cắt AB E Chứng minh :

a)  KBC  OBE đồng dạng b) CK  OE

Bài 2 : Cho ( O; R) đờng kính AB, gọi M, N lần lợt trung điểm OA, OB qua M, N lần lợt vẽ dây CD song song với dây EF ( C, E thuộc nửa đờng tròn)

a) Chøng minh tứ giác CDFE hình chữ nhật

b) Giả sử dây CD, EF tạo AB góc 300 Tính dt hình chữ nhật CDFE. Bài 3 : Cho nửa đờng trịn tâm (O), đờng kính AB, từ điểm M nửa đờng tròn tâm (O) ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD, BC vng góc xy

a) Chøng minh MC = MD

b) Chứng minh AD + BC có giá trị khơng đổi

Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AD, gọi r, r1, r2 ln lt l bỏn kớnh

đ-ờng tròn nội tiếp tam gi¸c ABC, ABD, ACD Chøng minh r»ng: r2=r1

+r2

Bài 5. Cho 2009 điểm Cmr ln vẽ đợc đờng trịn qua điểm số 2009 điểm trên, chứa 1004 điểm ngồi 1004 điểm cịn lại

Ch¬ng III Góc với Đờng tròn

I Kiến thức b¶n.

Các định nghĩa về: góc tâm, số đo cung trịn, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây, tứ giác nội tiếp đờng tròn, đờng tròn nội tiếp đa giác, đờng tròn ngoại tiếp đa giác

Cỏc nh lớ (SGK)

II Những dạng toán thờng gặp. Tính số đo mét gãc, mét cung

Tính độ dài cạnh, chu vi, diện tích đa giác nội tiếp ngoại tiếp đờng tròn

Tính độ dài bán kính đờng trịn nội tiếp, ngoại tiếp đa giác Tính độ dài đờng trịn, cung trịn, đại lợng có liên quan

Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn, hình viên phân, hình vành khăn đại lợng, hình có liên quan

So sánh hai đoạn thẳng, chứng minh hai đoạn thẳng So s¸nh hai gãc, chøng minh hai gãc b»ng

Chứng minh hai cung nhau, hai cung không 10 Chứng minh hai đờng thẳng vng góc

11 Chứng minh hai đờng thẳng song song

12 Chứng minh đẳng thức đoạn thẳng, hệ thức góc 13 Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn

14 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 15 Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy 16 Bài tốn tìm quỹ tích

17 Vận dụng kiến thức đờng tròn vào thực tế

III VÝ dơ:

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R); đờng cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh:

a) C¸c tø gi¸c AEHF, BCEF néi tiÕp b) Hai tam gi¸c AEF ABC

c) Điểm H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF HD:

a) * XÐt AEHF cã: AEH = 90 (gt)

AFH = 90 (gt)

 AEH + AFH = 180 

AEHF nội tiếp đờng trịn đờng kính AH (định lí đảo) Tơng tự : BDHF nội tiếp đờng trịn đờng kính BH CEHD nội tiếp đờng trịn đờng kính CH * Xét BCEF có:

BEC = 90 (gt)

H

O

C B

A

D E F

BFC = 90 (gt)

 Tứ giác BCEF nội tiếp đờng trịn đờng kính BC (quỹ tích cung chứa góc) Tơng tự : ACDF nội tiếp đờng trịn đờng kính AC

ABDE nội tiếp đờng trịn đờng kính AB b) + Cách : Sử dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp Xét AEF ABC có :

A chung (1)

 

 

0 AEF FEC 180

0 ABC FEC 180 

   

 

 

(2 gãc kỊ bï)

(tø gi¸c BCEF néi tiÕp)  AEF = ABC  (cïng bïFEC ) (2)

Từ (1) (2) AEF ABC (g-g) + Cách : Sử dụng phơng pháp tam giác đồng dạng Xét BEA CFA có :

BEA = CFA (cïng b»ng900) A chung

BEA CFA (g-g)



AE AB= AF AC

AE AF= AB AC 

XÐt AEF vµ ABC cã :

AE AF=

AB AC (cm trªn)

A chung AEF ABC (c - g - c)

c) + Tứ giác BCEF nội tiếp đờng trịn đờng kính BC

BEF = BCF  (2 góc nội tiếp chắn BF đờng trịn đờng kính BC) (1) + Tứ giác CEHD nội tiếp đờng trịn đờng kính CH

DEH = HCD  (2 góc nội tiếp chắn DH đ/trịn đờng kính CH) (2) Từ (1),(2) suy BEF = DEH 

 HE tia phân giác DEF (3) Tơng tự : HF tia phân giác DFE (4) Từ (3),(4) H tâm đờng tròn nội tiếp DEF Khai thác toán:

H

O

C B

A

D E F

H

C B

A

D E F

S

S

C©u 4: Chøng minh SAEF = SABC Cos2A

HD: Ta có : AEF đồng dạng với ABC (theo câu 2)



SAEF SABC =

2 AE AB

 

 

 

mà AEB vuông E nên cosA=

AE AB



SAEF

SABC =(cos )A

=cos2 A SAEF=SABC.cos2 A (đpcm)

Câu 5:Chứng minh SDEF = SABC (1 - Cos2A - Cos2B- Cos2C)

HD: Ta cã:

2 SAEF = SABC.cos A

(theo câu 3) Tơng tự :

2 SBDF = SABC.cos B

2 SCDE = SABC.cos C

 SABC = SAEF + SBDE + SCDE + SDEF

 SDEF = SABC - SAEF - SBDF - SCDE



2 2

SDEF = SABC - SABC.cos A - SABC.cos B - SABC.cos C



2 2

SDEF = SABC.(1 - cos A - cos B - cos C)

(đpcm) Câu 6: Chứng minh AD.HD = BD.DC

HD: XÐt ADB vµ CDH cã : ADB = CDH  (cïng b»ng900)

BAD = HCD  (2 góc nội tiếp chắn DF đờng trịn đờng kính AC) ADB đồng dạng với CDH (g-g)



AD BD= CD HD

 AD.HD = BD.CD (đpcm)

Câu 7: Chứng minh

2 BC AD.HD

4



HD: Ta cã: AD.HD =BD.CD (c©u 5)

H

O

C B

A

áp dụng BĐT Cauchy ta có : BD.CD

2 BD+CD

2

 

 

  =

2 BC

4

 AD.HD BC

4 (®pcm)

C©u 8: Chøng minh

2 2 2

AB + BC + CA AD.HD + BE.HE + CF.HF

4



C©u 9: Chøng minh HA.HD = HB.HE = HC.HF C©u 10: Chøng minh :

HD HE HF

+ + = 1

AD BE CF

C©u 11: Chøng minh :

AD BE CF

+ + 9

HD HE HF 

C©u 12: Chøng minh

HA.HB HB.HC HC.HA

+ + = 1

CA.CB AB.AC BC.BA

C©u 13: Chøng minh :

     



     

     

AD BE CF

1 + 1 + 1 + 64

HD HE HF

Câu 14: Gọi (I ; r) đờng tròn nội tiếp ABC.

Chứng minh SABC= PABC.r (Trong PABC nửa chu vi ABC )

C©u 15: Chøng minh

1 1 1 1

+ + =

AD BE CF r

C©u 16: Chøng minh AD + BE + CF 9 r

C©u 17: Chøng minh AD + BE + CF2 2 227r2

Câu 18 : Chứng minh A1E tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp BCEF

Câu 19: Chứng minh NP tiếp tuyến chung đờng tròn ngoại tiếp CDN và đờng trịn ngoại tiếp BDP

C©u 20: Chøng minh EFOA

Câu 21: Qua A kẻ xy // EF Chøng minh r»ng xy lµ tiÕp tun cđa (O,R).

C©u 22: Chøng minh 

AH BH CH 3

+ +

AD + HD BE + HE CF + HF 2

C©u 23: Chøng minh 

HD HE HF 3

+ +

AH BH CH 2

C©u 24: Chøng minh AH + BH + CH = 2(R + r)

C©u 25: Chøng minh 

HD HE HF 1

. .

C©u 26: Chøng minh   9  

2 2 2 2

AD + BE + CF AB + AC + BC

C©u 27: Chøng minh

 

6R 1 1 1 1

+ +

2 2 2 AD + 2BE BE + 2CF CF + 2AD 3

AB + AC + BC r

C©u 28: Chøng minh

 

9R 1 1 1 1

+ +

2 2 2 AD + BE.CF BE + CF.AD CF + AD.BE

AB + AC + BC 2r

C©u 29: Chøng minh r»ng EF < BC

Gäi M , N , P lần lợt trung điểm cạnh BC , CA , AB Câu 30: Gọi G träng t©m ABC

Cmr ba điểm H, G, O nằm đờng thẳng (đờng thẳng Ơ-le) Câu 31: Chứng minh điểm D , E , F , M , N , P , A1 , B1 , C1 cùng thuộc đờng

tròn (đờng tròn Ơ-le hay đờng tròn điểm)

Câu 32: Chứng minh tâm đờng tròn Ơ-le nằm đờng thẳng Ơ-le Xác định bán kính đờng trịn Ơ-le

C©u 33: Chøng minh AB.AC = AD.2R C©u 34: Chøng minh

BC AC AB

= = = 2R

sinA sinB sinC

C©u 35: Chøng minh HG // BC tgB.tgC = 3. Câu 36: Chứng minh AH = 2.OM

Câu 37: Chứng minh A'đối xứng H qua BC A' giao điểm của AD với (O; R).

Câu 38: Gọi C' điểm đối xứng với H qua AB Cmr

 ' 

BOC = COJ.

Câu 39: Tính giá trị biểu thức

' ' '

AA BB CC

T = + +

AD BE CF

Câu 40: Chứng minh H tâm đờng tròn nội tiếp A B C' ' '

Câu 41: Chứng minh A'B'C' DEF đồng dạng với nhau. Câu 42: Chứng minh SA B C' ' '= 4.SDEF

Câu 43: Chứng minh bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác HAB, HBC, HAC có độ lớn

C©u 44: Chøng minh DE // A'B'

Câu 45: Kẻ đờng kính AJ Chứng minh tứ giác BHCJ hình bình hành Câu 46: Chứng minh ba điểm H, M, J thẳng hàng

d

C

I

D

S

O A

B

C©u 48: Chứng minh tứ giác BA'JC hình thang cân Câu 49: Tìm giới hạn điểm A cho ABC nhän

Câu 50: Chứng minh trực tâm H di động đờng cố định

C©u 51: chøng minh r»ng: OI = R - R2 2 r (hÖ thøc Euler ABC). C©u 52: Chøng minh r»ng R  2r.

Câu 53: Gọi R , R ,R1 2 3 lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp

BOC, AOC, AOB Chøng minh r»ng R + R + R1 2 3  3R …

VÝ dô 2

Từ điểm S nằm (O;R) kẻ tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD(d) Gọi I trung điểm CD

1) Chứng minh điểm S,A, I, O, B thuộc đờng trịn 2) Nếu SA = R SOAB hình

3)Chøng minh AC BD = AD BC =

AB CD HD:

C©u 1.

+ Ta cã SA SB tiếp tuyến (O) nên :  

0 SAO = 90

0

SBO = 90 (khơng đổi) (1) +Lại có I trung điểm dây CD nên SIO = 90 (quan hệ đờng kính dây) (2) +Từ (1),(2)  A,I,B nhìn SO dới góc =

0

90

Vậy điểm S,A,I,O,B thuộc 1đờng trịn đờng kính SO

C©u

+Ta cã SA =SB =R (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) OA =OB =R (gt)

SAOB hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi) +Mặt khác SAO900 (tính chất tiếp tuyến)

nên SAOB hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông) Vậy SAOB hình vuông

C©u3

* Chøng minh AC BD = AD BC: + XÐt SAD vµ SCA cã: SAC ADC ASDchung



SC AC

SA AD (1)

T¬ng tù SCB SBD



SC BC

SB BD (2) Mà SA = SB nên

BC AC

BD AD  AC BD = AD BC (*) *Chøng minh AC BD = AD BC =

AB CD

¸p dơng BDT ptôlêmê cho ACBD ta có : AC BD +DA BC =AB CD (**) Tõ (*) vµ (**)  AC BD = AD BC =

AB CD Khai thác toán:

Cõu 4 Chứng minh ASB khơng đổi S thuộc đờng tròn cố định Câu5 Chứng minh:SA2 SC SD

C©u 6 Chøng minh SO AB

Câu 7 Chứng minh IS phân giác AIB

Câu 8. Đặt SO = a R TÝnh chu vi cña  SAB theo a vµ R

Câu 10 Chứng minh phân giác BSDvà phân giác CBD vng góc với Câu 11 Khi tam giác SAB Tính S hình tạo SA, SB cung nhỏ AB theo R Câu 12 Cho S di động động đờng thẳng CD nhng S nằm (O,R) Chứng minh tâm đơng tròn nội tiếp  SAB di động đờng tròn cố định

Câu 13 Chứng minh S di động bên (O;R) khoảng cách từ A đến trực tâm

 SAB không đổi

Câu 14 Cmr S di động CD ngồi (O;R) AB ln qua điểm cố định Câu 15 Nếu SA// BD BC qua trung điểm SA

Câu 16 Cho BD // SA SO = a R (a> 1) Tính diện tích  SAB đọ dài AD theo a R Câu 17 Cho S,C,D cố định (O;R) thay đổi Chứng minhtâm đờng tròn

ngoại tiếp  HOI nằm đờng tròn cố định

Câu 18 Gọi K giao điểm SD với AB Chứng minh SK SI không đổi cát tuyến SCD quay quanh S

Câu 19. Cho AI cắt (O) G Cm BG // SD

Câu 20. Gọi T giao điểm OI với (O) Cmr AT phân giác CAD (trong T A nằm khác phía với bờ SD)

C©u 21. Gäi G giao điểm AT với SD Cm SAG c©n C©u 22 Cmr CG SA = DG SC

Câu 23 Kẻ tiếp tuyến qua C cắt SA,SB M, N Cm SCD quay quanh S th× chu vi 

SMN khơng đổi

Câu 24 Xác định vị trí cát tuyến SCD đẻ tổng SC + SD lớn Câu 25 Cm BG phân giác CBD

Câu 26.Xác định vị trí cát tuyến SCD để MN nhỏ

Câu 27 Gọi H’ giao điểm PD’ với AB Cmr SH trục đối xứng  BH’D’D

Câu 28 Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNO di động đờng ?

Câu 29 Gọi O1 , O2 , O3 lần lợt tâm đờng tròn ngoại tiếp  SAOB, OAMC,

OBNC Cmr SSMN = 4SO O O1

Câu 30 Qua D kẻ đờng thẳng song song với AB cắt SA, SB lần lợt A’,B’ Gọi giao điểm A’I với AD P’, giao điểm B’I với BD Q’ Cmr P’Q’// A’B’

C©u 31 ChoASB = 90 Cmr

2

…

IV Bµi tËp:

Bài 1 : Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, đờng tròn lấy điểm D khác A B Trên đờng kính AB lấy điểm C kẻ CH vng góc với AD H phân giác góc DAB cắt đờng trịn E cắt CH F, đờng thẳng DF cắt đờng tròn N Chứng minh :

a) Ba ®iĨm N, C, E thẳng hàng

b) Nếu AD = BC DN ®i qua trung ®iĨm cđa AC

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông A trung điểm I cạnh BC, xét điểm D tia AC kẻ đờng tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm M, N, P

a) Chứng minh : điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn b) điểm I, N, P thẳng hàng

c) Gäi giao điểm BO với MN NP lần lợt H K, tam giác HNK tam giác ?

Bài 3 : Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngịai tam giác ba tam giác A1BC ; B1 AC ; C1AB

a) Chøng minh tø gi¸c AOCB1 néi tiÕp

b) Gọi O1 ; O2 ; O3 lần lợt tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác nói

Chứng minh tam giác O1O2O3 tam giác

Bài 4 Cho nửa đờng tròn tâm O với đờng kính AB Từ Avà B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax By lần lợt Cvà D Các đờng thẳng AD BC cắt N

1) Chøng minh r»ng: a) CD= AC +BD b) MN//AC

c, CD MN = CM BD

2) Hỏi rằng, M vị trí nửa đờng trịn cho tổng AC+ BD có giá trị nhỏ

Bài 5 Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đ ờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng trịn (O') D

a) Tø gi¸c BECF hình gi?

b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng

c) CF ct ng trũn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp tuyến đờng tròn (O’)

Bài 6 Cho hai đờng tròn (O1; R) (O2; r) cắt A B Từ M điểm bất

kì (O1; R) kẻ tiếp tuyến MC với (O2; r) CMR

2 MC

MA MB không đổi

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông A (với AB> AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, cắt AC F a, Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật

b, Chøng minh BEFC tứ giác nội tiếp c, Chøng minh: AE AB =AF AC

d, Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đơng tròn

a Tam gi¸c AMH b»ng tam gi¸c BNH b MHN tam giác vuông cân

c Khi M di động cung AH đờng vng góc với BM kẻ từ N ln điểm cố định nằm tiếp tuyến nửa đờng trịn B Từ suy N chạy cung tròn cố định

Bài 9.Từ điểm A bên ngồi đờng trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm BC) Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M B MC). Gọi I, H, K lần lợt hình chiếu vng góc M CB, BA, AC Biết MB cắt IH E; MC cắt IK F

Chøng minh r»ng: a) MI2 = MH.MK

b) EF MI

Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFK đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEH cắt điểm thứ hai N Chứng tỏ M di động cung nhỏ BC (MB và MC) đờng thẳng MN ln qua điểm cố định.

Một số đề tham khảo

§Ị sè

đề thi học sinh giỏi lớp huyn hng h

Năm học 2004 - 2005 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1(4,0 ®iÓm)Cho biÓu thøc:

2 1 4 2

8 2

a a a a

A

a a a a

  

  

   

Rót gän biĨu thøc A

Tìm a để A nhận giá tr nguyờn

Bài 2 (4 điểm) Cho phơng tr×nh Èn x

x2 2 a b c x   3ab ac bc  0

Chứng tỏ phơng trình có nghiệm víi mäi a,b, c

Trong trờng hợp phơng trình cho có nghiệm kép, tính a, b, c a3 2b2 3c0, đồng thời tính nghiệm kép

Bài 3(4 điểm) Cho hai đờng thẳng:  d1 :x y m   d2 :mx y 1 Tìm toạ độ giao điểm ( )d1 (d2) m = 2

Xác định m để ( )d1 (d2) cắt điểm Parabol (P): y=2x2 Bài 4(6 điểm) Cho đờng tròn O1 ( )O2 cắt M, N cho tâm O O1, 2 ở

hai phía khác M, N Tiếp tuyến chung ( ),( )O1 O2 gần N hơn; tiếp

xóc víi m ( ),( )O1 O2 theo thứ tự C, D Các tia CA, DB cắt t¹i E.

Chøng minh AMB= AEB

Tia MN cắt AB K, chøng minh KA = KB

Bài 5(2 điểm) Cho x,y Chứng minh rằng:

2

4

2

x y x y

y x y x

 

 

 

    

§Ị sè

đề thi học sinh giỏi lớp huyện hng h

Năm học 2005 - 2006 (Thời gian làm 120 phút)

Bài 1(4,0 điểm) Cho biểu thøc

 

2 2 2 1

1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

  

a, Tìm tập xác định rút gọn P b, Tìm giá trị nhỏ P

c, Tìm x để

2 x Q

P 

nhËn giá trị nguyên

Bi 2(3,0 im) Cho hai ng thẳng: x + y = (d1)

(k+1)x + (k-1)y = k+1 víi k1 (d2)

a, Tìm giá trị k để (d1) (d2) vng góc với

b, Chứng minh k thay đổi đờng thẳng (d2) qua điểm

cố định mặt phẳng toạ độ Oxy

Bµi 3(4,0 điểm) Cho hệ phơng trình:

1

2

x y

x y m 

   

  



a, Giải hệ phơng trình m =

b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm

Bài 4(4,0 điểm) Cho tam giác ABC Các đờng cao AH, BI cắt O Gọi K hình chiếu H AC; M N thứ tự trung điểm đoạn thẳngHK, CK; AM cắt BI S

a, Chøng minh AM vu«ng gãc víi HN

b, Chứng minh tứ giác HKSO nội tiếp đợc đờng tròn

Bài 5(4,0 điểm) Cho hai đờng tròn (O) (O’) tiếp xúc A BC tiếp tuyến

chung ngoµi; B (O), C (O’) TiÕp tuyÕn chung A cắt BC điểm M, gọi E

là giao điểm OM AB, F giao ®iĨm cđa O’M vµ AC Chøng minh r»ng:

a, BC tiếp tuyến đờng tròn đờng kính OO’

b, 

' MOF MO E

Bài 6(1,0 điểm) Giải hệ phơng trình:

2

3

5

9 x y z xy x y z z x y z xz

   

 

   



    

§Ị sè

đề thi học sinh giỏi lớp huyện hng hà

Năm học 2006 - 2007 (Thời gian làm 120 phút)

Bài 1(4,0 điểm) Cho biểu thức:

1 :

2 2 2

a a b

M

a b a b a a b

 

 

 

 

  

   

a, Rót gän biểu thức M

b, Tính giá trị cđa biĨu thøc M

3 a b 

Bài 2(4,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho ba điểm A(-2;1); B(1; 4); C(3; 2) a, Lập phơng trình đờng thẳng chứa đờng trung tuyến qua đỉnh A tam giác ABC

b, Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến gốc toạ

Bài 3(4,0 điểm) Giải phơng trình sau: a, x2 2 0 x   

b, x 3 x1 x 8 x1 1

Bài 4(7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R) Các đ-ờng cao AD, BE cắt H Vẽ đđ-ờng kính AF, M trung điểm BC

a, Chøng minh r»ng: Tø giác BHCF hình bình hành b, Chứng minh r»ng: AH = 2OM

c, Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: HG = 2OG d, Chứng minh rằng: bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác HAB, HBC, HAC

Bµi 5(1,0 ®iÓm) Cho n + (n2) sè thùc a1; a2; ; an+1 khác thoả mÃn:

2 .

1

ak ak ak

  víi k = 2; 3; … ; n

H·y tÝnh:

2

n n n

a a an

n n n

a a an

  

  

 theo a1 vµ an+1

§Ị sè

đề thi học sinh gii lp huyn hng h

Năm học 2007 - 2008 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)

§Ị sè

Sở giáo dục - đào tạo Thái bình

*****

đề thi tuyển sinh trung hc ph thụng

Năm học 2005 - 2006 Môn thi: Toán

Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 5 5 Giải phơng trình: x4 + 5x2 -36 = 0

Bài 2(2,5 điểm) Cho hàm số : y = (2m-3)x + n - (d)

3 m

 

 

  

Tìm giá trị m n để đờng thẳng (d) a) Đi qua hai điểm A(1; 2) , B(3; 4)

b) Cắt trục tung điểm có tung độ y3 1 cắt trục hồnh điểm có hoành độ x 1

Cho n = 0, tìm m để đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng (d’) có phơng trình x - y

+2 = điểm M(x ;y) cho biểu thức P = y2 - x2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 3(1,5 điểm)

Mét m¶nh vên hình chữ nhật có diện tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài thêm 6m

v gim chiu rng 4m diện tích mảnh vờn khơng đổi Tính cỏc kớch thc ca mnh

Bài 4(3,5 điểm)

Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự C, D

Chøng minh:

a) CD = AC + BD b) AC BD = R2.

Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ

Cho biÕt R = 2cm, diÖn tÝch tø gi¸c ABDC b»ng 32cm2 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c

ABM

Bài 5(0,5 điểm) Cho số dơng x, y, z tho¶ m·n x + y + z =

Chøng minh r»ng: 2x2xy2y2  2y2yz2z2 2z2zx2x2 

§Ị sè

Sở giáo dục - đào tạo Thái bình

*****

đề thi tuyn sinh trung hc ph thụng

Năm học 2006 - 2007 Môn thi: Toán

(Thời gian làm 120 phút) Bài 1(2,0 điểm)

Cho biÓu thøc:

2 10

6

x x x

Q

x x x x

  

  

    víi x0 vµ x9

Rót gän biĨu thøc Q

Tìm x để

1 Q

Bài 2(2,5 điểm) Cho hệ phơng trình: x y m x my

 

 

 

(m tham số ) Giải hệ phơng trình với m = -2

Tìm giá trị m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: y = x2 Bài 3(1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = x + Parabol (P): y = x2

Xác định toạ độ hai giao điểm A B (d) với (P) Cho điểm M thuộc (P) có hồnh độ m (  1 m 2) Chứng minh

27 MAB

S 

(SMAB diện tích tam giác MAB).

Bi 4(3,5 im) Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Gọi I trung điểm AO Qua I kẻ dây CD vng góc với AB

Chứng minh: a, Tứ giác ACOD hình thoi

b,

 

2 CBD CAD

Chøng minh r»ng O trực tâm tam giác BCD

Xác đinh vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng (MB + MC + MD) t giỏ tr ln nht

Bài 5(0,5 điểm) Giải bất phơng trình: x x4 2x x x 310

§Ị sè

Sở giáo dục - đào tạo Thái bình

*****

đề thi tuyn sinh trung hc ph thụng

Năm học 2007 - 2008 Môn thi: Toán

(Thời gian làm 120 phút) Bài 1(1,5 điểm) Giải hệ phơng trình sau:

2

1 x y x y     

  

 

Bµi 2:(2,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc

2 1

2

x x

A

x x x



  

 

a Rót gän biĨu thøc A

b Tính giá trị biểu thức A x = 841

Bài 3(3,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = 2(m-1)x - (m2 - 2m)

đờng Parabol (P): y = x2.

a Tìm m để đờng thẳng (d) qua gốc toạ độ O b Tìm toạ độ giao điểm (d) (P) m =

c Tìm m cho (d) cắt (P) điểm có tung độ y1 y2 thoả mãn:

8 y  y  Bµi 4(3,0®iĨm)

a Chøng minh: MAOH tứ giác nội tiếp

b Chứng minh: Tia HM phân giác góc AHB

c Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MA, MB lần lợt E F Nối HE cắt AC P, nối HF cắt BC Q Chứng minh: PQ // EF

Bài 5(0,5 điểm)

Cho x, y, z R Chøng minh r»ng:

1019x218y41007z230xy26y z2 2008zx

§Ị sè

Sở giáo dục - đào tạo Thái bình

*****

đề thi tuyển sinh trung học phổ thông

Năm học 2008 - 2009 Môn: Toán

(Thời gian làm 120 phút) Bài 1(2,0 điểm)

Cho biÓu thøc

2

1

1

P

x x x

   

   

   

   

   Víi x0 vµ x1

Rót gän P;

Tìm giá trị x để

2 P

Bài 2:(2,0 điểm)

Cho hàm số bậc y = (m - 2)x + m + (m tham số) Với giá trị m hàm số y hàm số đồng biến; Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm M (2; 6);

Đồ thị hàm số cắt trục hoành A, cắt trục tung B (A B không trùng với gốc tọa độ O) Gọi H chân đờng cao hạ từ O tam giác OAB Xác định giá trị m để OH =

Bài 3(2,0 điểm)

Cho phơng trình x2 + (a- 1)x = (a tham số)

Giải phơng trình với a = 6;

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

x12x22 3x x1 34

Bài 4(3,5điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn đờng kính BC cắtcạnh AB, AC lần lợt F, E Gọi H giao điểm BE CF, D giao điểm AH với BC Chứng minh:

a) Các tứ giác AEHF, AEDB nội tiếp đờng tròn; b) AF AB = AE AC

Gọi r bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu AD + BE + CF = 9r tam giác ABC

Bµi 5(0,5 điểm) Giải hệ phơng trình:

6 1

2 x y

x y x y 

   

 

   

§Ị sè

Bài (2 điểm) Chọn câu trả lời đúng:

Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = 2x + (d2): y = x –

A (–2; –3) B (–3; –2) C (0; 1) D (2; 1) Câu 2: Trong hàm số sau đây, hàm số đồng biến x < 0?

A y = –2x B y = –x + 2008 C y 3x2 D

2 ( 2) y  x

Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị hàm số y = 2x + hàm số y = x2.

Các đồ thị cho cắt hai điểm có hồnh độ là:

A –3 B –1 –3 C D –1

Câu 4: Trong phương trình sau đây, phương trình có tổng hai nghiệm 5? A x2 – 5x + 25 = 0 B 2x2 – 10x – 2 = C x2 – = D 2x2 + 10x +1 = 0

Câu 5: Trong phương trình sau đây, phương trình có hai nghiệm âm?

A x2 + 2x + = 0 B x2 + 2x – = C x2 + 3x + = 0 D x2 + = 0

Câu 6: Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) có OO’ = 4cm; R = 7cm; R’ = 3cm Hai đường tròn cho

A cắt B tiếp xúc C D tiếp xúc Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 4cm; AC = 3cm Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính

A 5cm B 2cm C 2,5cm D 5cm

Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy 3cm, chiều cao 5cm Khi đó, diện tích xung quanh hình trụ cho

A 30cm2 B 30

cm2 C 45cm2 D 15cm2

Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức

2

1 :

1

x x x

P

x x x x

 

 

  

  

  với x  0

Rút gọn biểu thức P Tìm x để P <

Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2mx + m – = Giải phương trình m =

Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương

Bài (3,0 điểm) Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB, điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đường thẳng vng góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm hai đường thẳng BM AN Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường AB AM K H Hãy chứng minh: Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK = HA.HM

KM tiếp tuyến đường tròn (O; R) Ba điểm H, N, B thẳng hàng

Bài (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình

2 12

xy y

xy x

   

 

  



Giải phương trình x3.x4 2x4 2008x2008

§Ị sè 10

M= ( x+√x x√x+x+√x+1+

1 x+1):(

1 √x −1−

2√x

x√x − x+√x −1) Với x ≥ x  a) Rút gọn biểu thức M

b) Tính giá trị M x = √7+4√3+√7−4√3

BÀI (1.5 điểm ). Cho phương trình: 3x2 - 2(k+1)x + k = (1)

A) Giải phương trình k=1

b) T×m k để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1

+x22= 12 BÀI (1.5 điểm ). Cho hệ phương trình

¿ mx+y=m−1

x+my=m ¿{

¿ a) Giải hệ phương trình m =

b) T×m giá trị m để hệ phương trình có nghiệm

BÀI ( 3.5 điểm ). Cho đường trịn (O;R), có hai đường kính AB CD Đường thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn cho B Các đường thẳng AC, AD cắt đường thẳng d M, N

a) Tứ giác ABCD hình ? Chứng minh

b) Chứng minh AC.AM = 4R2.

c) Chứng minh MNDC tứ giác nội tiếp

d) Cho R= 5cm, góc BAC=300 Tính diện tích hình viên phân giới hạn đáy

BC cung nhỏ BC

BÀI ( điểm ). Chứng minh: √c(a − c)+√c(b −c)≤√ab Với số a, b, c dương cho : a ≥ c ; b c

Đề số 11

Bài 1(4,0 điểm) So sánh:

a, b, a b vµ a b2 ( ,a b R b ; 0)

Bài 2(4,0 điểm) Chøng minh r»ng: a) 3  3= -1

b)  2006 2005  2006 2005 hai số nghịch đảo

Bài 3(3,0 điểm)

Đa thức P(x) chia cho ®a thøc (x2– x + 1) có d đa thức (3x + 5),

chia cho đa thức (x2+ x + 1) có d đa thức (1 - x).

HÃy tìm d chia đa thøc P(x) cho ®a thøc (x4+ x2 + 1)

Bài 5(3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo vng góc với O Trên đoạn thẳng OC lấy điểm M cho OBM OCD  Trên đoạn thẳng OB lấy điểm N cho OCN OBA  Chứng tỏ AN // DM

Bài 6(3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt O Gọi H1 H2 ln

lợt trực tâm tam giác ABO tam giác CDO Gọi G1 G2 lần lợt trọng tâm

của tam giác BCO tam gi¸c DAO Chøng tá r»ng H1H2  G1G2