Chứng minh rằng S’ABC là một tứ diện đều... Laäp phöông trình maët phaúng (P).[r]
(1)I – HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A – KIẾN THỨC
1/ Tọa độ véctơ tọa độ điểm không gian + a( ; ; )a a a1 2 3 a a i a j a k 1 2 3
+ M ( ; ; )x y z OM xi yj zk
+ A( ; ; ),x y z B1 1 1 ( ; ; )x y z2 2 2 AB(x2 x y1; 2 y z1; 2 z1)
+ Độ dài đoạn AB: ABAB (x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2
2/ Tích vơ hướng tích có hướng
Cho véctơ
1 ( ; ; ) ( ; ; ) a a a a b b b b
+ Tích vơ hướng: ab ab a b a b 1 1 2 2 3 3
+ Tích có hướng : 3 1
2 3 1
, a a a; a a a; a b
b b b b b b
3/ Một số tính chất ứng dụng + Véctơ a b,
vng góc với a b, + a b a b. 0
+ a b , cùng phương a b, 0
+ a b c , , đồng phẳng a b c, 0
+ Diện tích tam giác ABC: 1. ,
2 ABC
S AB AC
+ Diện tích hình bình hành ABCD: SABCDAB AD,
+ Thể tích hình hộp : VABCD A B C D ' ' ' 'AB AD AA, . '
4/ Phương trình mặt cầu
+ Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình: (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
+ Phương trình có dạng
x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d =
với điều kiện a2 + b2 + c2 > d, phương trình mặt cầu có tâm ( -a; - b; - c ) có bán kính
2 2
R a b c d
B – BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho điểm A(4;2;3), B(-2;1;-1), C(3;8;7), D(-6;2;z) 1/ Chứng minh ABC tam giác cân
2/ Định D để ABD tam giác cân B 3/ Tính tọa độ tâm G tam giác ABD 4/ Định D để D.ABC hình chóp
(2)Bài 2: Cho điểm A(2;4;-3) B(5;-7;-1) 1/ Tính tọa độ trung điểm I đoạn AB
2/ Tính tọa độ điểm M chia đọan AB theo tỷ số k = - 3/ Tìm điểm N trục x’Ox cách điểm A B Bài 3: Cho điểm A(6;4;-2) , B(6;2;0) C(4;2;-1) 1/ Chứng minh ABC tam giác
2/ Cho điểm S(3;y;z) ; tính y z để S.ABC hình chóp 3/ Tính thể tích hình chóp S.ABC
Bài 4: Cho điểm A(4;-3;2), B(-2;m;3) C(n;4;-2) Tính m n để: 1/ Điểm G(2;-1;1) trọng tâm tam giác ABC
2/ Ba điểm A, B, C thẳng hàng
3/ Tìm giao điểm E đường thẳng AG mặt phẳng (xOz) Bài 5: Cho tam giác ABC có A(1;-2;6), B(2;5;1) C(-1;8;4)
1/ Tính tọa độ chân E F đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC BC 2/ Tính độ dài đọan phân giác
Bài 6: Cho tam giác ABC, biết AB ( 3; 1;1), AC(2; 6;6)
1/ Tính tọa độ độ dài vectơ trung tuyến AM
2/ Tính tọa độ trọng tâm G tam giác ABC biết A(2;4;-3) 3/ Tính tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành
Bài 7: Cho điểm A(3;1;0), B(2;1;-1), C(x;y;-1), S(m-2;n +1;-3) 1/ Tính x y để ABC tam giác
2/ Với x y vừa tìm trên, tính m n để S.ABC hình chóp 3/ Tính thể tích hình chóp S.ABC
Bài 8: Cho điểm A(10;9;12), B(-20;3;4), C(-50;-3;-4) 1/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng
2/ Chứng minh đường thẳng AB cắt trục x’Ox
3/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (yOz) 4/ Tính diện tích tam giác OAB
Bài 9: Cho véctơ p(1; 1;3), q(2; 2;1)
Tìm vétơ v thỏa đồng thời điều kiện sau
, , v p
v q v p q
Bài 10: Cho vétơ a(2;1; 2), b(0; 2; 2)
1/ Tính góc a b ,
2/ Tính m để vétơ v 2a 3mb, w ma b vng góc
Bài 11: Cho vétơ a(2;3;1), b(1; 2; 1), c ( 2; 4;3) Xác định vétơ d biết 3
4 2 ad bd cd
(3)Bài 12: Cho hình chóp A.BCD với A(3;1;-2), B(2;5;1), C(-1;8;4), D(1;-2;6) 1/ Tính tọa độ chân H đường cao AH hình chóp
2/ Tính đường cao AH thể tích hình chóp
Bài 13: Cho điểm S(1;2;3), A(2;2;3), B(1;3;3), C(1;2;4) 1/ Chứng minh SABC tứ diện
2/ Chứng minh SA(SBC), SB(SAC), SC(SAB)
3/ Gọi M, N, P trung điểm BC, CA AB Chứng minh AMNP tứ diện 4/ Vẽ SA(ABC), gọi S’ điểm đối xứng H qua S Chứng minh S’ABC tứ diện Bài 14: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)
1 x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z –22 =
2 x2 + y2 + z2 + 6x – 8z =
3 x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z – 16 =
4 x2 + y2 + z2 – 4y + 8z =
Bài 15 : Tìm phương trình mặt cầu (S) biết : Tâm I(1,-3,2) bán kính R = Tâm I(2,4,-1) qua A(5,2,3) Tâm I(0,3,-2) qua gốc tọa độ O Đường kính AB với A(1,-2,4) , B(3,-4,-2) Bài 16 : Tìm phương trình mặt cầu (S) biết :
1/ Tâm I(2,1,-4) tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – =
2/ Tâm I(1,-2,1) tiếp xúc với đường thẳng (d) : x = + 4t ; y = – 2t ; z = 4t – 3/ Tâm I(-5,1,1) tiếp xúc với mặt cầu (S’) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + =
Bài 17 :Tìm phương trình mặt cầu (S) bieát :
1/ Qua điểm E(1,20) , F(-1,1,3) , G(2,0,-1) có tâm nằm (xOz) 2/ Ngoại tiếp hình chóp A.BCD với A(1,0,2) , B(2,-1,1) , C(0,2,1) , D(-1,3,0)
3/ Qua ủieồm O, M , N , P vụựi M , N , P laứ giao ủieồm cuỷa maởt phaỳng (P):x–3y+2z–6 = với trục tọa độ Baứi 18 :Xeựt vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa maởt caàu (S) vaứ (P)
1 (S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = , (P) : 2x + 2y + z – = 0
2 (S) : (x -1)2 + (y-3)2 + (z+2)2 = 16 , (P) : 2x -3y + 6z – = 0
3 (S) : x2 + y2 + z2 + 2x – 4y -2z + = , (P) : x + y - 2z – 11 = 0
Bài 19: Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 6y + 4z - 22 = vaø mp (P) : x + 2y – 2z – =
1/ Chứng tỏ (P) cắt (S) Viết phương trình đường trịn giao tuyến (C) 2/ Tính tọa độ tâm H bán kính ( C )
Bài 20 :Cho điểm A(-2,-1,3) , B(6,3,-5) 1/ Tìm phương trình mặt cầu (S) đường kính AB 2/ Tìm phương trình tiếp diện (P) (S) A
(4)II – PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A – KIẾN THỨC
1/ Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x0;y0;z0) song song với giá véctơ
1 3
( ; ; ), ( ; ; )
a a a a bb b b
Khi đó, mp(P) có VTPT là:
2 3 1
2 3 1
[ , ] a a ;a a a; a ( ; ; )
n a b A B C
b b b b b b
Suy ra, (P): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
2/ Phương trình mặt phẳng theo đọan chắn
Mặt phẳng (P) qua điểm M(a;0;0), N(0;b;0) H(0;0;c) (P): x y z 1
a b c
3/ Nếu mp (P): Ax + By + Cz + D = ( A2 + B2 + C2 ) mp(P) có VTPT n ( ; ; )A B C
B – BÀI TẬP ÁP DỤNG
Baøi : Gọi (P) mặt phẳng qua gốc O vaø song song với giá véctơ a = ( 3;2;-1) , b = (4;-2;7) Lập phương trình mặt phẳng (P)
Bài : Trong khơng gian cho điểm A(2;-1;1) , B(1;-4;1) , C(1;0;1) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) Bài : Cho điểm A(2;-1;3) , B(2;1;-1) Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) AB
Bài : Cho điểm A (7;2;-3) , B(5;6;-4) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa A , B song song với trục hoành
Bài : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng : 2x – z + = ; y =
Bài : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vng góc với mặt phẳng : 2x – y + 3z - = ; x+ 2y + z =
Bài : Cho điểm A(1;-1;-2) B(3;1;1) mặt phẳng (P) : x – 2y + 3z – = Lập phưong trình mặt phẳng (Q) qua A , B vng góc với mặt phẳng (P)
Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) 1/ Đi qua điểm M(3,-2,5) vng góc với vectơ n = (4,-3,2)
2/ Đi qua điểm N(1,6,-2) vng góc với (D) qua điểm A(2,-5,6), B(-1,-3,2) 3/ Đi qua điểm E(-2,3,1) song song với giá cặp vectơ a = (3,-5,2) , b = (1,-4,3) 4/ Đi qua điểm A(4,0,2) , B(1,3,-2) song song với giá véctơ a = ( 4,5,3) 5/ Đi qua điểm không thẳng hàng A(1,-2,4) , B(3,2,-1), C(-2,1,-3)
6/ Đi qua điểm M(2,-3,4) song song với mặt phẳng (Q): 4x – 3y + 2z – = 7/ Cắt trục A(2,0,0), B(0,-3,0) , C(0,0,6)
8/ Đi qua điểm A(1,3,-5) , B(-2,-1,1) song song với trục x’Ox 9/ Đi qua điểm M(2,-5,3) vng góc với OM
10/ Đi qua điểm N(2,-3,4) vng góc với trục y’Oy
(5)13/ Đi qua điểm A(2,-1,4) , B(3,2,1) vng góc mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z - = 14/ Qua điểm M(-1,4,-3) vng góc với hai mặt phẳng
(Q) : x – 2y + z + = ; (R): 3x + y – 2z – = Bài 9: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) :
a Chứa trục Ox điểm A (4,-1,2) b Chứa trục Oy điểm B (1,4,3) c Chứa trục Oz điểm C (3,-1,7)
Bài 10: Lập phương trình mặt phẳng trường hợp sau: a) qua M(-3;2;0) có VTPT n( 1; 2;1)
b) qua M(1;4;2) có cặp VTCP a(2;1;3) b(1;4;1) c) qua M(-2;1;1) //mặt phẳng :x –3y +z –2 =0
d) mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(-1;4;3) B(1;2;1) e) qua điểm A(-4;3;1) B(1;-2;2) C(-1;1;3)
f) chứa trục Oy // CD;với C(3;-1;0) D(4;2;-3) g) chứa trục Oz mặt phẳng : x –2y +3z –1 =0
h) qua điểm A(3;-2;2) B(1;3;1)và vng góc mặt phẳng :2x –z +3 =0
i) qua điểm A(-1;4;2) mặt phẳng P: x – y +2z –1 = Q: 2x + y – z + = 0
Bài 11: Cho điểm A(5;1;3) B(-2;0;1) C(3;1;-1) D(1;1;3) Lập phương trình mặt phẳng qua điểm A,B cách điểm C,D
Bài 12: Cho điểm A(-2;1;3) B(1;2;-1) C(5;0;2) D(-1;3;0) a) Lập phương trình mặt phẳng (BCD),suy ABCD tứ diện b) Lập phương trình mặt phẳng qua điểm A,B //CD
c) Lập phương trình mặt phẳng qua điểm A,C với mặt phẳng : 2x + y – 3z + = Bài 13: Cho mặt phẳng :3x – y +2z –1 = điểm A(1;1;-1)
(6)