Tải Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian - Giải SBT Toán lớp 12

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”. Hướng dẫn làm bài:[r]

(1)

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian Bài 3.1 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho ba vecto =(2;−1;2), =(3;0;1), =(−4;1;−1) Tìm tọa độ của các vecto và biết rằng:

a) =3 −2 +

b) =2 + +4

Hướng dẫn làm bài

=(−4;−2;3), =(−9;2;1)

Bài 3.2 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho vecto =(1;−3;4)

a) Tìm y0 và z0 để cho vecto =(2;y0;z0) cùng phương với

b) Tìm tọa độ của vecto biết rằng và ngược hướng và | |=2| |

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta biết rằng và cùng phương khi và chỉ khi =k với k là một số thực Theo giả thiết ta có: =(x0;y0;z0) với x0 = 2 Ta suy ra k=1/2 nghĩa là l=1/2x0

Do đó: −3=1/2y0 nên y0 = -6

4=1/2z0 nên z0 = 8

Vậy ta có =(2;−6;8)

b) Theo giả thiết ta có =−2

Do đó tọa độ của là: = (-2; 6; -8)

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0; z0) Tìm tọa độ hình chiếu vuông

góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)

(2)

Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx)

Ta có: M’(x0; y0;

0)

M’’ (0; y0; z0)

M’’’(x0; 0; z0)

Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)

Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

a) Ta có =(−1;−2;1)

=(−1;−3;0)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto và cùng phương, nghĩa là =k với k là một số thực

Giả sử ta có =k , khi đó k.(−1)=−1;k.(−3)=−2;k.(0)=1

Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Ta có: =(−5;2;0) và =(−10;4;0) Hai vecto và thỏa mãn điều kiện: =k với k=1/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng

(3)

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z Ta có:

MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2

MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2

MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2

Từ đó ta tính được M(5/6;0;−7/6)

Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

a) + = +

b) =1/2 +1/2 +1/2 +

a) Ta có:

= +

Do đó: + = + vì =−

b) Vì = + và = + nên = + +

Do đó: 2 = + + +2

Vậy =1/2 +1/2 +1/2 +

(4)

a) + = + =2

b) − = − =2

a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì

= =1/2 và =PN→=1/2

Do đó =MQ→+ =

/2+ /2 hay 2 = + (1)

Mặt khác = +

= +

Nên + = + (2)

Vì =

Từ (1) và (2) ta có: + = + =2 là đẳng thức cần chứng minh

b) Ta có: = - = /2 - /2

Do đó: 2 = − (3)

Mặt khác: = +

= −

(5)

Vì − =

Từ (3) và (4) ta suy ra − = − =2 là đẳng thức cần chứng minh

Trong không gian cho ba vecto tùy ý , , Gọi = −2 , =3 − , =2 −3

Chứng tỏ rằng ba vecto , , đồng phẳng

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto , , đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho =p +q

Giả sử có =p +q

2c→−3 =p( −2b→)+q(3 − )

⇔ (3+p) +(3q−2p) −(q+2) = (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý , , nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

{3+p=0;3q−2p=0;q+2=0 p=−3;q=−2⇒

Như vậy ta có: =−3 −2 nên ba vecto , v→, đồng phẳng.

Trong không gian Oxyz cho một vecto tùy ý khác vecto Gọi α,β,γ là ba góc

tạo bởi ba vecto đơn vị , , trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto Chứng minh rằng: cos2α+cos2β+cos2γ=1

(6)

Bài 3.10 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD

a) Chứng minh hệ thức:

+ + =0

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

a) Ta có

= ( − )= − (1)

= ( − )= − (2)

= ( − )= − (3)

Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

+ + =0

(7)