Thông tin tài liệu
THÁNG : / 2020 CHUYÊN ĐỀ : ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHIACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Giáo viên báo cáo: Nguyễn Thị Đường A LÍ THUYẾT CƠ BẢN : I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy): Với số không âm a;b 2 2 a b �2ab ( (a b) �0 � a 2ab b �0 � a b �2ab ) a+b 2 ab ( tương tự ) + Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b Từ đẳng thức (1) ta suy ra: + Nếu a.b =k ( không đổi) (a +b) = k a = b k2 + Nếu a +b = k (không đổi ) max( a.b) = a=b + Với a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 a a3 a n ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy a1 = a2 = a3 = … = an Từ đẳng thức (2) ta suy ra: + Nếu a1.a2.a3 … an = k (khơng đổi ) Min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k a1 = a2 = a3 = … = an + Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) m + Mở rộng BĐT Cô- si Với số a, b, c không âm a+b+c 33 abc Dấu “=” xảy a b c Với số a, b, c ,d không âm a+b+c+d 44 abcd THÁNG : / 2020 Dấu “=” xảy a b c d Đối với n số không âm: a , a , a3 , , a n 0 Ta có: a1 a a3 a n n n a1 a a3 a n Dấu “=” xảy a1 a a3 a n + Biến dạng : (a b) �4ab 1 � a b a b m2 n2 p (m n p)2 � với x;y;z >0 x y z x yz II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski +Với số a;b;c;d ta có : (ac bd )2 �(a b )(c d ) Dấu ‘ =’ xảy a b c d +Tổng quát : Cho hai x1 , x2 , , xn � y1 , y2 , , yn 2 2 2 Ta có: x1 y1 x2 y2 xn yn � x1 x2 xn y1 y2 yn Dấu xảy � x1 x2 x n y1 y2 yn B BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1 Bài : Cho a;b;c >0 a b c � Tìm GTNN S a b2 c 2 Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky) (a 1 )(1 42 ) �(a ) � a � (a ) b b b b 17 Tương tự: S a2 1 � (a b c ) 2 b c a b c 17 b2 c2 a2 b c a THÁNG : / 2020 abc 4 1 51 (16a ) (16 b ) (16c ) 15(a b c ) �16 16 16 15 a b c a b c 2 (Áp dụng BĐT Cô si ) Suy : S � => S Min 51 51 17 2 17 � 16a � a � � 16b � b � 51 � 16c � a= b= c = � c 17 � � �a b c �2 � �a; b; c � � Bài 2: Cho a;b;c số dương thỏa mãn a+b+c �12 Tìm GTNN P a b c b c a Bài giải a b c a2 b2 c a b b c c a ) Ta có : P ( ) 2( b c a b c a c a b Áp dụng BDT Cơ si cho số dương : Ta có : a2 a b a b c �4a b c c b2 b c b c a �4b c a a c2 c a c a b �4c a b b => P ( a2 a b a b b2 b c b c c2 c a c a c) ( a) ( b) (a b c) � b c a c c a a b b 3(a+b+c) �3.12 =36 Vì P>0 => P �6 THÁNG : / 2020 PMin Khi a =b =c = Bài : Tìm GTNN : A x y biết x+y = Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A �0) A2 ( x y 3) �(12 12 )( x y 3) 2(6 5) =>A � AMin � x �x y � � � � � �x y �y � Tìm GTNN M Bài 4: x12 x22 x2017 x1 ( x2 x3 x2017 ) Bài giải: 2016M ( x12 2016 x22 ) ( x12 2016 x22 ) ( x12 2016 x2017 ) x1 ( x2 x3 x2017 ) 2016.x1 ( x2 x3 x2017 ) 2016 M � 2016 x1 ( x2 x3 x2017 ) Áp dụng BĐT cô si M� 2016 M Min Khi 2016 x1 x2 x3 x2017 2016 Bài : Cho a3 b3 ;a >0; b >0 Tìm GTLN N= a + b Bài giải + Chứng minh BĐT : a3 b3 �ab(a b) ; a3 b3 (a b)(a2 b2 ab) �(a b)(2ab ab) ab(a b) + a3 b3 �ab(a b) => 3(a3 b3 ) �3ab(a b) � 4(a b3 ) �a b3 3ab(a b) (a b)3 Nên 23 �(a b)3 � N a b �2 N Max a = b = Bài : Cho a;b;c số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTLN : THÁNG : / 2020 P ab bc ca 5 5 a b ab b c bc c a ca Bài giải + Ta chứng minh BĐT : a b5 �a3b a 2b3 a 2b (a b) +Ta có a b5 ab �a 3b a 2b ab a 2b (a b ) ab ab[ab(a b) 1] ab[ab(a b) abc] a b (a b c ) ab abc(a b c) abc ab c c Vậy a b5 ab �ab abc ab c � hay 5 (1) c a b ab a b c bc a � (2) b c bc a b c Tương tự : ac b � (3) a c ac a b c Từ (1)(2)(3) Suy : P ab bc ca abc 5 � 1 5 a b ab b c bc c a ca a b c PMax a= b= c=1 Bài 7: Cho a;b >0 ; a+b �1 Tìm GTNN : A a b Bài giải �� a b ab +Ta có : � + A ab ab 1 a a b b 15 1 ( )( ) ( 2) 2 a b 2 16a 2 16b 16 a b 3 15 15 � a a b b �3( 3 )+ 4 16 16 ab 2 16a 2 16b AMin Khi a =b= 1 a2 b2 THÁNG : / 2020 A Bài 8: Cho xy =1 x;y >0 Tìm GTLN : 1 4 x y x y2 Bài giải A �x � �y � �� �x � �y � �� 1 x2 y x2 y 3 x y x y x xy y x xy y �x � x �x � �y � y [ �y � 1] �� �� �t t � t2 t2 (t 1)2 (t 1) �3 1� �1 t t t (t 1) t3 1 �t � AMax t = => x =y = Bài 9: Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 Tìm GTLN : A 1 3 3 x y y z z x3 Bài giải + Ta có : x3 y �xy ( x y ) => x3 y �xy ( x y ) xyz xy(x y z) 1 + A x3 y3 y3 z z x3 1 1 z x y � = xy ( x y z ) yz ( x y z ) xz ( x y z ) xyz ( x y z ) yzx( x y z ) xzy ( x y z ) x yz 1 x yz AMax x =y = z= Bài 10: Cho a;b;c >0 a+b+c =2016 Tìm GTNN : M a ab b b bc c c ca a Bài giải + Ta có a ab b 3(a b)2 (a b) �a b Tương tự b2 bc c �b+c c ca a �c+a THÁNG : / 2020 Nên suy 2M �2 (a+b+c) =2 2016 =>M �2016 => AMin 2016 a =b =c = 2016:3 =672 Bài 11 : Cho x;y;z>0 Tìm GTNN : A x y z yz zx x y Bài giải +Ta chứng minh 2(a b) � a b +Ta có A � x y z 2( x y ) 2( y z ) 2( z x) z x y y z x + Suy A �3 z x �x z �� y � � �z � � �z y x � �� AMin z y �� x � �� �y �� y� ��2 x� � x =y =z Bài 12 : Cho a;b;c >0 a+b+c =3 Tìm GTNN : A a2 b2 c2 a 2b b 2c c 2a m2 n2 p (m n p)2 � Bài giải: + Chứng minh BĐT : với x;y;z >0 x y z x yz +Ta có : A (a b c)2 a2 b2 c2 � 2 2 2 a b c 2(a b c ) 2(a b c ) a 2b b 2c c 2a 9 � 1 (a b c ) 32 3 AMin Khi a=b=c = Bài 13: Cho x;y >0 x+y+xy =8 Tìm GTNN : A x y Bài giải +Ta có x +y �2 xy =>xy + xy �8 hay xy �9 THÁNG : / 2020 => xy �3 =>xy �4 + Ta có xy ( x y 1)2 x y 2( x y xy ) x y 17 Vì xy �4 => –xy �5 => xy �25 � x y 17 �25 Suy A �8 Vậy AMin x = y =2 1 Bài 14 : Cho x;y;z >0 xyz =1 Tìm GTNN : A ( x 1)2 ( y 1) ( z 1) Bài giải + Áp dụng BĐT si với số khơng âm ta có : x 1 x 1 �3 ( x 1) 8 64 x 1 => ( x 1) �4 Dấu “ =” xảy x =1 Tương tự y ; z 1 x y z 3 xyz 3 � + A ( x 1)2 ( y 1) ( z 1) �3 4 4 a b Bài 15: Cho a �10; b �100 ; c �1000 Tìm GTNN : A a b c c Bài giải a b Ta có : A a b c c 1 1 1 99 9999 999999 ( a )( b )( c ) a b c 100 a 10000 b 1000000 c 100 10000 1000000 1 99 9999 999999 �2( ) 10 100 1000 =1110.111 10 100 1000 100 10000 1000000 Vậy AMin 1110.111 a =10 ; b = 100; c =1000 Bài 16 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z � 1 20 Tìm GTNN A x y z x y z 11 THÁNG : / 2020 Bài giải 1 1089 1089 1089 689 689 689 Ta có A x y z x y z = ( 400 x x ) ( 400 y y ) ( 400 z z ) ( 400 x 400 y 400 z) �2 1089 1089 1089 689 20 1489 2 2 400 400 400 400 11 220 Vậy AMin 1489 20 x = y =z = 220 33 Bài 17: Cho số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của: A ab bc ca 2c ab 2a bc 2b ac Bài giải + Ta có ab ab ab ab � 1 � � � � 2c ab (a b c)c ab (b c )(c a ) �b c c a � + tương tự hạng tử lại Ta suy A ab bc ca �ab ab bc bc ca ca � � � � 2c ab 2a bc 2b ac �b c c a b a a c c b b a � �ab ca ab bc bc ca � � � ( a b c) �b c ca ab � A �1 => AMax Khi a =b=c = Bài 18 : Cho a;b>0 a+b �1 Tìm GTNN : A a b2 ab Bài giải Ta có A (a �2 1 1 29 1 ) (b ) ab ( ) ( 2) 2 2 16a 16b 32a 32b 32 a b 1 1 29 2 ab 2 16 16 32 ab 32 a 2b � � =1 �ab � 29 29 �1 ab � 16ab � 16ab 16ab 4(a b) 1 a b2 THÁNG : / 2020 29 35 4 =1+ A� 35 35 => AMin Khi a =b = 4 Bài 19: Cho x;y;z >0 x+y+z =2 Tìm GTNN : A x2 y2 z2 yz zx x y Bài giải Áp dụng BĐT cô si cho số dương: x2 x2 k ( y z ) �2 k ( y z ) 2kx ;(k>0) với Điểm rơi x y z yz yz => k x2 y2 z2 x2 y2 z2 ( y z) (x z ) ( y x) +Ta có A yz zx x y yz zx x y 1 x2 y2 z2 ( x y z ) �2 ( y z) (x z ) ( y x) ( x y z ) 2 yz x z yx =(x+y+z)- 1 ( x y z ) = ( x y z ) =1 2 Suy Min A= x y z Bài 20: Cho số x;y;z không âm, không đồng thời 0; thỏa mãn 1 �1 x 1 y z Tìm GTNN : A x y z x y z 1 + Ta có : �x y z �x y z � x y z �3 m n p (m n p ) � (Áp dụng BĐT : với x;y;z >0) x y z x yz + Áp dụng BĐT cô si : THÁNG : / 2020 A( x yz 8( x y z ) x yz 8.3 10 ) �2 x yz 9 x yz Vậy Min A = 10 Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời 0) Bài 21 : Cho xyz =1 ; x +y +z = Tìm GTNN : P x16 y16 z16 Bài giải m n p (m n p ) � + Áp dụng BĐT: với x;y;z >0; cách liên tục x y z x yz �( x y z )2 � 16 16 16 � 4 4 Ta có : P x y z ( x8 y8 z )2 � � (x y z ) � �� 111 33 8 �( x y z )2 � �( x y z ) � �32 � � � � � � � 2 3 � ( x y z ) �� � �3 � �� 7 3 37 Suy Min P = x =y =z = Bài 22: Cho a;b;c > thỏa mãn a+b +c = Tìm GTNN của: A 2 2 a b c2 Bài giải + Ta có : a( a 1) �2 � a a a �2 a � � a2 � 1 a 1 a2 � Tương tự ta có : �2 b b2 �2 c c2 Nên suy : A 2 �2-a + 2- b + – c = – (a+b+c) =6 -3 =3 2 a b c2 Min A = a = b= c = � � � � 1 � � � � x � � y � 1 Bài 23 Cho x>0;y>0 x + y = Tìm GTNN : A � THÁNG : / 2020 Bài giải � � � 1� � 1� � �( x 1)( y 1) xy � � � � � � � � 1 � �= � 1 � �� 1 � �= � 1 � 1 � Ta có : A � � � � � � x � � y � � x� � y �� x � � y� � x� � y� � �( y )( x) � 1� � 1� � 1� 1 � 1 � = � � � � � x� � � xy � y� 1 � 1 � =� � x y =1 �1 � x y 1 � � 1 1 xy �x y � xy xy xy xy xy ( x y)2 4 Mặt khác Áp dụng BĐT : xy � =>A �1 9 Vậy Min A = Khi x = y = Bài 24 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx �3 Tìm GTNN : A x4 y4 z4 y 3z z 3x x y Bài giải + Ta chứng minh : ( x y z )2 �3(xy yz zx) Hay x y z �3 + Áp dụng BĐT si cho số dương ta có : x4 y 3z 1 x y 3z 1 �4 x y 3z 16 4 y 3z 16 4 x4 y 3z �y 3z 1 � �x � � x Nên : y 3z 4� 16 � 16 Tương tự : y4 z 3x �y z 3x 16 z4 x 3y �z x 3y 16 THÁNG : / 2020 Suy A �x x4 y4 z4 y 3z z x x y y 3z z 3x x 3y 3 3 y z ( x y z ) � 16 16 16 4 Vậy Min A = Khi x =y =z = Bài 25: Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = Tìm GTNN : A x xy y y yz z z zx x Bài giải + Ta có : x xy y ( x y )2 xy �( x y )2 ( Áp dụng BĐT : (a b)2 �4ab ) + Tương tự : y yz z � ( x y ) 3( x y ) 4 Nên suy : x xy y � 3(y z ) ; z zx x � 3( x y ) 3(z x) Vậy A x xy y y yz z z zx x � 3( x y ) 3(y z ) 3(z x) 3( x y z ) 2 =>Min A = Khi x =y =z = 1 Bài 26: Cho x;y;z>0 thỏa mãn x y z Tìm GTNN : x2 y 2 y2 z2 2z x2 A xy yz xz Bài giải + Áp dụng BĐT Bunhicosky (2 x y )( 12 ) �( 2 x y.1) (2 x y ) y 2۳ (2 x y) => x � 2x2 y xy (2 x y) xy �2 � �y 1� � x� THÁNG : / 2020 Tương tự ta có : y2 z2 �2 � � � � yz �z y � 2z x2 �2 � � � � zx �x z � Do : A � x2 y 2 y2 z2 2z x2 xy yz xz �2 2 � �1 1 � � � 3 � � �y x z y x z � �x y z � Vậy Min A = Khi x = y= z = Bài 27: Cho a;b;c > thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN : A a3 b3 c3 (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 b)(1 a) Bài giải +Áp dụng BĐT cô si cho số dương : a3 b 1 c 1 a3 b 1 c 1 �3 a (1 b)(1 c ) 8 (1 b)(1 c ) 8 Tương tự : b3 a 1 c 1 � b (1 a)(1 c) 8 c3 a 1 b 1 � c (1 a)(1 b) 8 Ta có : a3 b3 c3 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 � (a b c) (1 b)(1 c) (1 a )(1 c) (1 b)(1 a) 8 8 8 a3 b3 c3 (a b c 3) � (a b c) (1 b)(1 c) (1 a )(1 c) (1 b)(1 a ) 4 a3 b3 c3 1 A � ( a b c) (a b c 3) (a b c) (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 b)(1 a) 4 3 � 3 abc 3.1 4 THÁNG : / 2020 Vậy Min A = , Khi a = =b = c= C BÀI TẬP : Cho a,b,c > a + b + c = 1 a b c Tìm GTNN A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) Cho a,b, > a + b = Tìm GTNN B = ab a b2 Cho a,b,c > a) Tìm GTNN C = a b c bc c a a b b) Tìm GTNN D = a b c bc c a a b bc c a a b a b c Cho x,y,z x + y + z = Tìm GTLN E = 4x y 4z Cho a,b,c a + b + c = Tìm GTLN F = a b a c b c ... xảy � x1 x2 x n y1 y2 yn B BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1 Bài : Cho a;b;c >0 a b c � Tìm GTNN S a b2 c 2 Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky) (a 1 )(1 42 ) �(a ... x 1 y z Tìm GTNN : A x y z x y z 1 + Ta có : �x y z �x y z � x y z �3 m n p (m n p ) � (Áp dụng BĐT : với x;y;z >0) x y z x yz + Áp dụng BĐT cô si... Bài : Tìm GTNN : A x y biết x+y = Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A �0) A2 ( x y 3) �(12 12 )( x y 3) 2(6 5) =>A � AMin � x �x y � � � � � �x y �y � Tìm GTNN
Ngày đăng: 19/04/2021, 14:04
Xem thêm: áp dụng bất đẳng thức cauchy và bunhiacopski để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
