Chøng minh AH vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBC).[r]
(1)TRƯỜNG THCS VINH THANH
Së GD&§T Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp) Ngày thi: 22 tháng năm 2006
Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
C©u (1,5 điểm):
Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc
2 2 x x x y Giải :
Biểu thức xác định với x thuộc R Ta có 12 2 12 2(( 22)2)
2 2 x x x x x
y , vËy
2
y , dÊu b»ng x¶y x=-2, suy ymin2
khi x=-2
Mặt khác ta có
2 ) ( 2 2 2 2 x x x x x
y , vËy y< 2, dÊu b»ng x¶y x=1,
suy ymax=2 x=1 Câu (2 điểm):
Cho phơng trình (k-1)x2-(2k+3)x+k+4=0. Giải phơng tr×nh k=2
2 Tìm k để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x12+x22=2. Gii :
1 Khi k=2, ta có phơng trình : x2-7x+6=0 Phơng trình có tổng hệ số không nên có hai nghiệm x1=1 x2=6
2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 k khác >0 Nhng tổng hệ số khơng cho có hai nghiệm x1=1
1 k k
x Tõ x12+x22=2, suy x2=-1
Suy
1 k k
, suy
2
k
Câu (1,5 điểm):
Cho parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d): y=x+b Xác định b cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A, B với AB=4
Giải :
Parabol cắt (d) hai điểm A, B có hồnh độ nghiệm phơng trình x2=x+b hay x2-x-b=0 Điều kiện: =1+4b>0 hay
4
b
Giả sử A(x1;y1), B(x2; y2), dó x1, x2 nghiệm phơng trình Khi AB2=(x2-x1)2+ (y2-y1)2= 2(x2-x1)2 =2[(x1+x2)2-4x1x2] Theo Viet suy AB2=2(1+4b) mà theo giả thiêt AB2=48 1+4b=24, hay b=
4 23
Câu ( điểm):
Cho im M cố định nằm ngồi đờng trịn (O;R) Một đờng thẳng thay đổi qua M cắt (O;R) A B Các tiếp tuyến (O;R) A B cắt điểm P Kẻ PH vuông góc với OM
1 Chứng minh điểm O, A, P, B, H nằm đờng tròn
2 Khi đờng thẳng MAB thay đổi, chứng minh điểm P nằm đ-ờng thẳng cố định
3 Gọi I trung điểm đoạn AB, K giao điểm PH với AB Chứng minh MA.MB=MI.MK
(2)K
B
C
A
S
H
I
TRƯỜNG THCS VINH THANH
Giải :
K I
H
C D
P
O A
B
M
1 C¸c gãc PAO, PBO, PHO cïng b»ng 900,
vËy ®iĨm O, A, P, B, H cïng n»m trªn
đờng trịn đờng kính PO
2 MO cắt đờng trịn hai điểm C, D Ta có tam giác MBC đồng dạng với tam giác MDA
(dễ thấy) Từ suy MA.MB=MC.MD Tơng tự, tam giác MBH đồng dạng với tam giác MOA, suy MH.MO=MA.MB, ta có MC.MD=MH.MO, suy
MO MD MC
MH không đổi
Vậy H cố định, từ suy P nằm đờng thẳng (d) cố định, vng góc với OM qua điểm H
3 Ta có MHK đồng dang với MIO, suy MI.MK=MO.MH Sử dụng kết ý 2, suy MA.MB=MI.MK
Câu (1 điểm):
Cho ng trịn đờng kính BC nằm mặt phẳng (P) Điểm A thuộc đờng tròn (A khác B C) Trên đờng thẳng vng góc với mặt phẳng (P) A lấy điểm S Gọi H trực tâm tam giác SBC Chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (SBC) Gii :
SH cắt BC I, CH cắt SB K,
Ta có SIBC, SABC nên BC(SAI), suy BCAH Mặt khác ACAB, SAAC
Vậy ACSB, mà CKSB, nên
SB(AKC) Vy SBAH Do ú AH (SBC)
Câu (1 điểm): Chứng minh
2006 2006
1
1
1
1 2 2 2
Giải :
Với số nguyên dơng n>2, ta có:
n n n n n
1 1 )
1 (
1
2
Khi n chạy từ đến 2006, ta có:
(3)TRƯỜNG THCS VINH THANH
2006 2006
1 2005
1 2 1 1 2006
1
1
1
1 2 2 2 , suy điều phải chứng minh