Lý thuyết và bài tập về hàm số liên tục Toán 11

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0 ). b) Hà[r]

Trang |

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11

1 Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa 1: Cho hàm số y f x  xác định khoảng  a b; Hàm số y f x  gọi liên tục x0    

0

0 lim

xx f x  f x

Hàm số y f x  không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm

Khi xét tính liên tục hàm số điểm, đặc biệt ý đến điều kiện hàm số xác định khoảng (dù nhỏ) chứa điểm

Định nghĩa 2: Hàm số y f x  gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng

Hàm số y f x  gọi liên tục đoạn  a b; liên tục khoảng  a b;        

lim , lim

x a x b

f x f a f x f b

 

   

Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng

Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0)

Định lý 2:

a) Hàm đa thức liên tục R

b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục khoảng tập xác định c) Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng xác định chúng

Định lý 3: Nếu hàm số y f x  lên tục đoạn  a b; f a f b    0 tồn điểm  ;

c a b cho f c 0

Nếu y f x  liên tục đoạn  a b; f a f b    0 phương trình f x 0 có nghiệm nằm khoảng  a b;

2 Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số Phương pháp:

- Bước 1: Tính f x 0  

0

lim

xx f x

- Bước 2: So sánh kết luận

+) Nếu    

0

0 lim

xx f x  f x hàm số liên tục x0 +) Nếu  

0

lim

Trang | Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp:

- Bước 1: Chứng minh hàm số y f x  liên tục đoạn  a b; - Bước 2: Chứng minh f a f b    0

- Bước 3: Kết luận phương trình f x 0 có nghiệm đoạn  a b;

Đối với tốn chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm mà khơng cho khoảng ta cần tìm hai số a, b cho f a f b    0

3 Bài tập

Câu Cho hàm số  

1

0 ,

0

ax

e

khix x

f x

khix

  

  

 



với a0 Tìm giá trị a để hàm số f x  liên tục

0

x 

A a1 B

2

a C a 1 D

2

a  Hướng dẫn giải

Chọn B

Câu Tìm a để hàm số

4 1

( ) (2 1)

3

x

x

f x ax a x

x

   



  

 



liên tục x0

A

2 B

1

4 C

1

 D

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có :

 

0

4 1

lim ( ) lim

2

x x

x f x

x ax a

 

  

 

  

0

4

lim

2

2 1

x ax a x a

 



   

Hàm số liên tục

2

x a

a

     

Trang | Câu Cho hàm số  

2

3

,

, 1

sin ,

x x

x

f x x

x x x x

 

 

   



 

Tìm khẳng định khẳng định sau:

A f x  liên tục B f x  liên tục \   C f x  liên tục \   D f x  liên tục \ 0;1  

Hướng dẫn giải Chọn A

TXĐ: D

Với x1 ta có hàm số f x x2 liên tục khoảng 1;. 1 Với 0 x ta có hàm số  

3

x f x

x



 liên tục khoảng  0;1  2 Với x0 ta có f x xsinx liên tục khoảng ; 0  3

Với x1 ta có f  1 1;  

1

lim lim

x f x xx

  ;  

3

1

2

lim lim

1

x x

x f x

x

 

    

Suy    

1

lim 1

x f x   f

Vậy hàm số liên tục x1

Với.x0 ta có f  0 0;  

3

0

2

lim lim

1

x x

x f x

x

 

     ;    

lim lim sin

x x

f x x x

 

  

2

0

sin lim lim

x x

x x

x

 

 

  suy    

0

lim 0

x f x   f

Vậy hàm số liên tục x0  4

Từ  1 ,  2 ,  3  4 suy hàm số liên tục

Câu Tìm tất giá trị m để hàm số  

1

x x

x x

f x

x

m x

x

    

  



  

 



liên tục x0

A m1 B m 2 C m 1 D m0

Trang | Câu Tìm m để hàm số

3

2

( ) 1

3

   

 

  

  



x x

x

f x x

m x

liên tục

A m1 B

3 

m C m2 D m0

Hướng dẫn giải Chọn B

Với x1 ta có

3

2 ( )

1

  





x x

f x

x nên hàm số liên tục khoảng \   Do hàm số liên tục hàm số liên tục x1

Ta có: (1)f 3m2

1

2 lim ( ) lim

1

 

  





x x

x x

f x

x

 

3

1 3

2 lim

( 1) ( 2)



 

 

 

   

    

 

 

x

x x

x x x x x

2

2

1 3

2

lim

2 ( 2)



   

   

     

 

x

x x

x x x x

Nên hàm số liên tục 2

     

x m m

Vậy

3 

m giá trị cần tìm

Câu Tìm m để hàm số

2

2

( ) 1

2

   



  



   



x x

f x x

x

x mx m

liên tục

A m1 B

6  

m C m5 D m0

Hướng dẫn giải Chọn C

Với x2 ta có hàm số liên tục

Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục khoảng ; 2 liên tục x2  Hàm số liên tục ; 2 tam thức

2

( ) 2 3  2 0,  2

Trang | TH 1:

2

' 3 17 17

2

(2)

         



    

m m

m

g m

TH 2:

2

2

3

'

2 '

' ( 2)

   

     

  

 

   

 

   



m m

m m

m

x m

m

3 17

3 17

6

2

  

 

   

  

m

m m

Nên 17

2

  

m (*) g x( )0,  x

  

2

lim ( ) lim 3

     

x f x x x

2

2

1

lim ( ) lim

2

 

 



 

   

x x

x f x

x mx m m

Hàm số liên tục 3

6

    



x m

m (thỏa (*))

Câu Cho hàm số liên tục Tính

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu Chon hàm số Tìm tất giá trị tham số thực để hàm số

liên tục

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số cho xác định  

   



 

   

   

 

2

2

2

3

2

x x

neáu x x

f x x b neáu x

a b neáu x

2

x I  a b?

9 30

I  93

16

I   19

32

I  173

16

I  

   

2

3

3.

khi

x

x

f x x

m x

 

 

  

 



m

3

x

Trang |

Ta có

Tương tự ta có (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số)

Vậy nên không tồn Vậy với , hàm số cho khơng liên tục

Do đáp án A

Ta tam khảo thêm đồ thị hàm số để hiểu rõ

Câu Cho hàm số

2

2

( 2)

( )

8

ax a x

x

f x x

a x

   

 

  

  



Có tất giá trị a để hàm số

liên tục x1?

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

       

2

1 1

1

( 2)

lim lim lim

3

x x x

x ax a

ax a x

ax a x a

x x

  

  

           

 

   

Hàm số liên tục      

1

0

1 lim 8

8 x

a

x f x f a a

a



 

        

  Câu 10 Cho hàm số  

 

 

3

12

12

x

f x ax b

x x

 



    

  



Biết a, b là giá trị thực để hàm số liên tục

0

x  Tính giá trị P a b

A

2

P B P5 C P17 D

2

P  Hướng dẫn giải

Chọn D

   2    

3 3 3

3 3

lim lim lim lim lim 1

3 3

x x x x x

x x x

f x

x x x

    

    

   

      

  

 

lim

x

f x



 

   

3

lim lim

x x

f x f x

 

   limx3 f x  m

x

3

Trang | Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia