Abstract. Sobolev spaces take an important part in studying the model partial differential equations. Trong phương trình đạo hàm riêng hiện đại, thì vấn đề tìm nghiệm thô của các bài to[r]
(1)VỀ MỘT ĐỊNH NGHĨA KHÁC CỦA KHÔNG GIAN SOBOLEV Vũ trọng Lưỡng
Khoa Toán
Abstract Sobolev spaces take an important part in studying the model partial differential equations Hence, in this paper, I introduce other definition of distributional partial derivatives and Sobolev spaces W2(Ω),Ω
0 m
is an open and bounded domain in EclideanRn (in particular, W (0,1),W (0,1))
2
2
Tóm tắt Trong phương trình đạo hàm riêng đại, vấn đề tìm nghiệm thơ tốn, hiểu nghiệm suy rộng không gian Sobolev Sau tìm số điều kiện để làm trơn để trở thành nghiệm cổ điển Do việc nghiên cứu khơng gian Sobolev đóng vai trị vơ quan trọng lí thuyết phương trình đạo hàm riêng đại
Trong viết đưa cách định nghĩa khác đạo hàm riêng suy rộng cách thác triển đóng cách tự nhiên toán tử vi phân (khả đóng) từ đưa cách định nghĩa khác
không gian Sobolev W0 Rn W0
2 (Ω Ω), miền mở, bị chặn , (đặc biệt không gian (0,
1), W0
2 (0, 1))
1 Tốn tử đóng - khả đóng 1-1 Tốn tử đóng
1
B B2 J B1
Định nghĩa , hai không gian Banach, không gian , tốn tử tuyến tính T :B1→ B2 gọi tốn tử đóng giả sử J
{ }
) n ( B
v Tu
B u u , J u
2 n
1 n
1 n
n →∞
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
∈ →
∈ → ⊂
∞
= u∈J
thì
Tu v= Chú ý:
} {( , ): ∈J = u Tu u
G B1×B1
+) đóng tương đương đồ thị T đóng
1
B J J
+) - bị chặn , - đóng T suy - tốn tử đóng T
Ví dụ: Tốn tử đóng khơng bị chặn
]
[ ⊂C[ ]→
C
dx d
1 ,
1 , :
C[0,1 ]
dx du
(2)* Giả sử T bị chặn, suy ∀C >0:||Tu||C[0,1] ≤C||u||C[0,1] lấy dãy
được xác định sau
} [ ]
{
1 ,
C
vn ⊂
n x x v
n
n( )= [0,1 ]
,n≥1 || || [ ] || || [ ] 0( )( )
( = ⇒ 0,1 = ≤ 0,1 = → →∞
⇒ − n
n C v
Tv x
x
Tv n n C n C
n vô lý)
* đóng T
] ]
]
]
] ]
1 1
0,1 0,1 0,1
0,1
: ( ) / 0,1 ( )
( ) / 0,1 ( )
n n n
n n
u C u u n C u u n u C
Tu u n C Tu u n Tu v
⎡ ⎡ ⎡
⎣ ⎣ ⎣
⎡⎣
⎧ ∈ → → ∞ ⎧ → ⎡ → ∞ ⎧ ∈
⎪ ⇔⎪ ⎣ ⇔
⎨ → → ∞ ⎨
⎡
→ → ∞ ⎪ =
⎪ ⎪⎩ ⎣ ⎩
⎩
suu suu
⎪ ⎨
1-2 Toán tử khả đóng
1
B B2 J B1
Định nghĩa , hai không gian Banach, không gian , tốn tử tuyến tính T : B1→B2 gọi tốn tử khả đóng J ⊂ B1 tồn B1⊃ J− ⊃J và tốn tử T− :B1 →B2 cho đóng T− J− T− |J=T
Mệnh đề khả đóng T un ∈J,un →0,Tun →v∈B2(*)⇒v=0
−
T J−'→B2
− ⊂ 'J
J T− |'J=T,
Chứng minh T khả đóng ⇒ cho : đóng, giả sử
− −
−
∈ → =
∈ 0 J∈ '− v= 'T− 0=0
→ ⊂
∈J J ,'u B1,T'u Tu v B2,T'
un n n n đóng, suy
s
T Ts
Ngược lại: Chúng ta định nghĩa sau (và gọi mở rộng đóng nhỏ ) T
{
{ : , } ( )
)
(T u B1 v B2 u D T
D s = ∈ ∃ ∈ ∃ n ⊂ cho un →u B1 tồn
}
2
B v
Tun → ∈
Đặt Tsu=v
Do điều kiện (*) xác định Bây ta chứng minh đóng Cho v Ts }
{ ( )
,
* x DT
N
n∈ ∀ n ∈
v T
B u T
D s n n
n∈ ω → ∈ ω →
ω ( ), 1, cho
|| ||
n xn
n − < ω
ω ω
ωn − s n < ⇒xn →
n T
T ||
|| LimTωn =LimTsωn =v=Tω,ω∈D(Ts)
(3)Ω Ω), (
2
L Rn,
Ta gọi miền mở bị chặn không gian hàm khả tích (Lebesgue) bình phương Ω (
Ω∫ ) ( C ); dx | ) x ( f
| <+∞ 0∞ Ω là không gian hàm
khả vi vơ hạn có giá compact Ω, C∞(Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn Ω Xét tốn tử vi phân:
T: C0∞(Ω)→L2(Ω)
∑ ≤ ≤ = m u D a Tu u | | α α α a
tập mở đa số α =(α1,α2, ,αn) , , | | 1 | | n n n x x
Dα α α α
α α α α ∂ ∂ ∂ = + + +
= đặt J =C0 (Ω),a ∈C (Ω),∀| |≤m
∞
∞ α
α
Mệnh đề T tốn tử khả đóng
{ }⊂ (Ω): →0
⇔ ∞
n
n C u
u
Chứng minh Ta phải chứng minh
) ( Ω L ) ( Ω
L ⇒ v =0
v
Tun →
Thật vậy: ∑ ∫≤ ≤ Ω ∞ Ω = ∈ ∀ Ω m L
n a D u x x dx
Tu C
| |
0 ( ):( , ) 2( ) ( ) ( )
α α α ϕ ϕ ϕ ∑ ∫ ≤ ≤ Ω − m
nD u x x dx
u | | ) ( ) ( ) ( α α α ϕ ∑ ∫ ≤ ≤ Ω − = m n dx x x u D x u | | | | ( ) ( ) ( ) ) ( α α α ϕ = ∑ ≤ ≤ ∞ → → − = Ω
m n L
n a D u | | |
| ( , ( )) 0( ).
)
( 2( )
α α α α ϕ ) ( , ) , ( ), ( ) ,
( → →∞ = ∀ ∈ Ω ⇒ =
⇒ Tu n v C∞ v
n ϕ ϕ ϕ
Đặt toán tử (liên hợp hình thức T )
T*:C0∞(Ω)⊂L2(Ω)→L2(Ω)
∑ ≤ ≤ − = m v a D v T v | | | | ( ) ) ( * α α α α a
Nhận xét Theo cơng thức tích phân phần ta có ) ( , , ) * , ( ) ,
( 2( ) = 2( ) ∀ ∈ 0∞ Ω
Ω
Ω vT v C
Tv ϕ L ϕ L ϕ
*Thác triển mạnh Ts :
{u L v L { }u C J
Js = ∈ Ω ∃ ∈ Ω ∃ n ∞n ⊂ ∞ Ω =
= ( )
), ( :
)
( 2 1 0
2 cho
tồn
u
un →
} ) ( Ω L ) ( Ω
(4)) ( :J → L2 Ω
Ts s
Đặt
v u T
ua s =
Theo mệnh đề thác triển đóng Ts T *Thác triển yếu Tω:
{ ∈ 2(Ω):∃ ∈ 2(Ω):( , * )=( , ),∀ ∈ (Ω) }
= u L v L u T v C∞
Jω ω ω ω
Khi đặt (Tw =v)
( )Ω →L2
Tw: Jw
v u= a
u Tw
(u,T*w)= ((T v w ,
w , ) ∀w∈C0∞( )Ω )
Mệnh đề Tw toán tử đóng Lwvà thác triển đóng T
Chứng minh Thật vậy, giả sử { }vn ⊂Jw:vn →u∈L2(Ω) Twun →v∈L2(Ω)
n w f T v L f J
un∈ w ⇒∃ ∈ 2 :( n, w)=( , ),∀ cho qua giới hạn tính liên tục giới hạn tích vơ hướng ta có (u,T*w)=(f,w)(1)
w
J u∈
⇒
Theo định nghĩa Twta có:
( = (
từ (1) định nghĩa ta có theo nhận xét
→ ) , w
v Tw n
) , *
w T vn
w
T f
v C w w f w v C
w w
v ∀ ∈ ∞ Ω ⇒ = ∀ ∈ ∞ ⇒ =
0 ( ) ( , ) ( , ),
), , (
T Tw J ≡
u T
f = w
Mệnh đề thác triển đóng cực tiểu Ts T
Chứng minh Giả sử T thác triển đóng T
) (
2 Ω
L
J ⊂J,T:J →
u a Tu,T J =T
−
T
{ }⊂ 0 (Ω)⊂ : → ∈ 2(Ω) ∃
⇒
∈J u C∞ J u u L
u s n n
Giả sử Tun →v=Tsu đóng
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= ⊂ ⇒
s J s
T T
J J
| ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
∈ =
J
u v u T
(5)s
T
⇒ thác triển cực tiểu T Như Tω thác triển Ts Tω =Ts Nhận xét Nếu aα số Tω =Ts
Thật vậy:
Jω ={u∈L2(Ω):∃v∈L2(Ω),(u,T*ω)=(v,ω),∀ω∈C0∞(Ω) }
{ ∫ ∑ ∫ ∫ }
Ω ≤ Ω Ω
= −
Ω ∈ ∃ Ω ∈ =
1 | |
| |
2( ): ( ), ( 1)
α
α
α uD ωdx vωdx
L v L
u
α
a
) , ( ) * , ( : ) ( ,
Jω ω C u T ω v ω
u∈ ∀ ∈ ∞ Ω = hay:
∫ ∑ ∫
Ω ≤ Ω
= −
m
dx x x v dx x a D x
u
| |
|
| ( ) ( ) ( )
) ( ) (
α α
α
α ω ω
) (
2 Ω
L
Vì C0∞(Ω) trù mật (theo chuẩn L2(Ω))⇒∃un ∈C0∞(Ω) cho
) (
0 ||
||un −u → n→∞ Mặt khác:
| |
n n n n
| | m | | m
(Tu , ) a D u (x) (x)dxα α u (x) ( 1) D (aα α α )dx (u ,T * ) (u,T * ) (v, )
α α
ω ω ω ω
≤ ≤
Ω Ω
=∫ ∑ =∫ ∑ − = → ω = ω
Hay
v Tu C
v Tu Lim C
v T
u Tu
Lim n n
n n
n = = ∀ ∈ Ω ⇒ − = ∀ ∈ Ω ⇒ →
∞ ∞
→ ∞
∞
→ ( ,ω) ( , *ω) ( ,ω), ω ( ) ( ,ω) 0, ω ( )
) (
2 Ω
L
Vậy u∈Jω,Tωu=v=Tsu Tω =Ts 3 Định nghĩa đạo hàm suy rộng theo cách khác
Xét toán tử vi phân
T:C0∞(Ω)→L2(Ω)
∑
≤ α ≤
α α =
m | |
u D a Tu
u a
), ( C u , m | | , a ,
am = = ∀ α < ∈ 0∞ Ω
α gọi Tω(m) thác triển yếu T tập
xác định tương ứng
) (m
Jω
) (
2 Ω
∈ L
v
Định nghĩa Nếu tồn cho
gọi đạo hàm suy rộng cấp
), ( ,
) , ( )
* ,
( 2( ) = 2( ) ∀ ∈ 0∞ Ω
Ω
Ω v C
T
u ω L ω L ω
m u
u T u
T m
s m) ( )
( =
(6)Định nghĩa Ta gọi I với chuẩn m J ≤ = Ω | | ) ( m ) ( W α α ω ∑ ≤ Ω Ω = m L u T u m | | ) ( ) ( ) ( W ) || || ( || || 2 α α ω m
là khơng gian hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp tất đạo hàm thuộc
) ( Ω L ) , ( ) , (
: 0 2
)
( C L
dx d
T = α ∞ →
α
α , 1,2.
dx u d Tu
u = α α=
α
a
Ví dụ: ;
) (α
T (0,1)
∞ = C
J
khả đóng theo mệnh đề
) (α ω
T T(α)
Gọi thác triển đóng }
{u L v L {un
J = ∈ 2(0,1):∃ ∈ 2(0,1),∃ )
(α
ω ⊂ (Ω)→ ∈ 2(Ω)
∞ u L
C tập
xác định
} u T v Tun ) (α ω = → ≡ ) , ( W 2
Như biết định nghĩa không gian: bao đày không gian chuẩn:
) ( 0∞ Ω
C ∑∫≤ ∈ = 2 2
2 ) , W (0,1)
| | ( || || α α α u dx dx u d u (*) ) , ( W 2 ∈ u
(xem [1], [3]) Như với tồn dãy Cauchy
trong
{uj }
) , ( 0∞
C theo chuẩn (*) hội tụ tới u Khi {uj }, { }
dx duj
, dãy
Cauchy } 2 dx u d j { α α dx u d j ) , ( ), , ( 2 L
L đầy ⇒ hội tụ L2(0,1),α =0,1,2 ta gọi giới hạn chúng tương ứng vα,α =0,1,2(v0 =u) Có nghĩa là:
∫ − → →∞ = − ) ( ) ,
( | 0( )
) ( ) ( | || ||
2 dx dx j
(7)u
, , , ,α =
α
v
Như giống đạo hàm suy rộng mà ta
định nghĩa Hay { } 0 (0,1)
2
| ),
1 ,
( j L
j C u u
u ⊂ →
∃ ∞
) , (
2
L
u∈ và
)
1 , ( W , )
1 , (
W (1) (2)
2 ) (
2
ω ω
ω J J
J = ∩
=
, ),
1 , ( ) ( )
(α = α ∈ ∀α =
ω u v L
T
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.A.Sobolev Spaces Acedemic Press 1975
[2] Hille – E Phillips – R.S Funtion Analysis and Semi groups, colloq Pube.Amer, Math Soc 1975