Toán tử đóng được và một số định nghĩa khác của không gian sobolev (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG VĂN TÂM TỐN TỬ ĐĨNG ĐƯỢC VÀ MỘT ĐỊNH NGHĨA KHÁC CỦA KHÔNG GIAN SOBOLEV Demo Version - Select.Pdf SDK Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ VIẾT NGƯ Huế, Năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết ghi luận văn trung thực, độc giả cho phép sử dụng chưa cơng bố tài liệu Đặng Văn Tâm Demo Version - Select.Pdf SDK ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình Thầy giáo - PGS.TS Lê Viết Ngư Tôi xin gửi đến Thầy kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường ĐHSP Huế, thầy, giáo Khoa Tốn trường ĐHSP Huế, khoa Tốn trường ĐHKH Huế thầy, giáo khác giảng dạy tận tình tạo điều thuận lợi cho tơi q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi trân trọng biết ơn đến tất người thân, bạn bè quan tâm, động viên, khích lệ tơi thời gian học tập vừa qua Demo Version - Select.Pdf SDK Huế, tháng năm 2014 Đặng Văn Tâm iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ tuyến tính khơng gian Banach Hilbert 1.2 Không gian Lp (Ω) 1.3 Đạo hàm suy rộng Demo Version - Select.Pdf SDK 1.4 Không gian Sobolev W m,2 (Ω) 18 Chương Tốn tử đóng 21 2.1 Tốn tử đóng - đóng 21 2.2 Toán tử đóng khơng gian Hilbert 24 2.3 Một số ví dụ 29 2.4 Định lí Fredholm không gian Hilbert 34 Chương Toán tử vi phân không gian Wom,2 (Ω) 37 3.1 Tính đóng toán tử vi phân 37 3.2 Một định nghĩa khác không gian Wom,2 (Ω) 40 3.3 Nghiệm suy rộng phương trình elliptic cấp hai 44 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 56 Demo Version - Select.Pdf SDK MỞ ĐẦU Ngày nay, việc nghiên cứu đặc trưng hàm suy rộng đạo hàm suy rộng nói chung, khơng gian Sobolev nói riêng đóng vai trò đặc biệt quan trọng lí thuyết phương trình đạo hàm riêng đại Đã có vài cách tiếp cận khác không gian Sobolev, chẳng hạn "Analyse Fonctionnelle" H Brezis, hay J Bourgain, H Brezis P Mironescu "Another look at Sobolev spaces", Nguyễn Hoài Minh "Some new characterizations of Sobolev spaces", gần nhóm ba tác giả Roc Alabern, Joan Mateu Joan Verdera "A new characterization of Sobolev on Rn ", kết xem [2] Trong luận văn này, nghiên cứu tốn tử tuyến tính có tính chất thác triển thành tốn tử đóng, từ áp dụng vào toán tử vi phân (partial differential operator, xem [11]) đưa cách định nghĩa khác đạo hàm riêng suy rộng cách thác triển đóng tự nhiên tốn tử vi phân, từ đưa cách tiếp cận khác khơng gian Sobolev Wom,2 (Ω) Đây lí nội dung luận văn Demo Version - Select.Pdf SDK Nội dung luận văn gồm có ba chương sau: Trong chương I, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm khơng gian Hilbert, tốn tử tuyến tính compact; không gian Lp (Ω); đạo hàm suy rộng không gian Sobolev W m,2 (Ω) Các kết chương chúng tơi trích dẫn khơng chứng minh mà chứng minh số kiết cần thiết Trong chương II, tập trung vào nghiên cứu lớp hàm tuyến tính đóng (closable operator) không gian Banach, lớp ánh xạ tuyến tính (có thể khơng đóng) thác triển thành tốn tử đóng, đặc biệt thác triển đóng cực tiểu Và kết quan trọng nội dung điều kiện cần đủ để ánh xạ tuyến tính đóng Ngồi ra, chúng tơi khảo sát thêm khía cạnh khác tốn tử compact kết Định lí Fredholm tồn nghiệm phương trình x + Ax = y với A tốn tử compact khơng gian Hilbert Nội dung chương III nghiên cứu lớp hàm đóng đặc biệt toán tử vi phân cho T : Co∞ (Ω) −→ L2 (Ω) aα ∂ α ϕ ϕ −→ T ϕ = |α|≤m m ∈ N∗ , Ω ⊂ Rn miền mở, α ∈ Nn aα ∈ C ∞ (Ω) Tiếp khảo sát toán tử vi phân dạng đơn giản T (α) : Co∞ (Ω) ϕ −→ T (α) ϕ = ∂ α ϕ ∈ L2 (Ω) với |α| ≤ m, mà cụ thể nghiên cứu thác triển đóng cực tiểu Từ tìm mối liên hệ hàm suy rộng f Ω có đạo hàm suy rộng cấp α thuộc L2 (Ω) với thác triển đóng cực tiểu tốn tử T (α) Từ đưa định nghĩa khác khơng gian Wom,2 (Ω) Cuối áp dụng Định lí Fredholm tính chất khơng gian Wo1,2 (Ω) với Ω miền bị chặn Rn , nghiên cứu tồn nghiệm Wo1,2 (Ω) toán biên dạng Elliptic n Lu = − n ij bi (x)uxi + c(x)u = f, u|Ω = (a (x)uxi )xj + i,j=1 i=1 u ∈ W 1,2 (Ω) f ∈ L2 (Ω); aij , bi hàm giá trị thực thuộc C (Ω), c ∈ C (Ω) aij = aji với i, j ≤ n Demo Version - Select.Pdf SDK Huế, tháng năm 2014 Đặng Văn Tâm ... triển đóng cực tiểu tốn tử T (α) Từ đưa định nghĩa khác không gian Wom,2 (Ω) Cuối áp dụng Định lí Fredholm tính chất không gian Wo1,2 (Ω) với Ω miền bị chặn Rn , nghiên cứu tồn nghiệm Wo1,2 (Ω) toán. .. 34 Chương Tốn tử vi phân khơng gian Wom,2 (Ω) 37 3.1 Tính đóng tốn tử vi phân 37 3.2 Một định nghĩa khác không gian Wom,2 (Ω) ... - Select.Pdf SDK 1.4 Không gian Sobolev W m,2 (Ω) 18 Chương Toán tử đóng 21 2.1 Tốn tử đóng - đóng