[r]
(1)(2)1 HÖ thøc Vi-Ðt
?1 H·y tÝnh x1 + x2 ; x1.x2
Cã thÓ em ch a biÕt ?/SGK/53
Phăng- xoa Vi- ét (F V ì et) sinh năm 1540 Pháp Ông nhà toán
học tiếng Chính ông ng ời đ ầu tiên dùng ch ữ đ ể ký hiệu ẩn
các hệ số ph ơng tr ì nh, đ ồng thời dùng chúng việc biến đ ổi giải
ph ơng tr ì nh Nhờ cách dùng ch ữ đ ể ký hiệu mà đ ại số đ Ã phát triển mạnh
mẽ.
Ông dà phát mối liên hệ gi ữ a nghiệm hệ số ph ơng tr ì nh
mà ta vừa học Ông nỉi tiÕng viƯc gi¶i mËt m· Trong cc chiÕn
tranh gi ữ a Pháp T â y Ban Nha håi cuèi thÕ kû XVI, vua Hen- ri IV đ Ã
mời ông giải nh ữ ng mật mà lấy đ ỵc cđa qu © n T © y Ban Nha Nhờ đ ó
mà qu â n Pháp đ Ã phá đ ợc nhiều â m m u đ ối ph ¬ng Vua T © y Ban
Nha Phi-lip II đ Ã tuyên án thiêu sống ông dàn lửa Tuy nhên, họ không b ắ t đ ợc ông.
Ngoài việc làm toán, Vi-ét luật s trị gia tiếng Ông mất năm 1603.
nh lý Vi-ét:
NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh ax2 +bx + c = ( a khác 0)
x1+ x2 = x1x2 =
(3)nghiệm, không giải ph ơng tr ì nh hÃy tính tổng tích nghiƯm cđa chóng?
a) 2x2 - 9x + = 0
b) - 3x2 + 6x = 0 –
?3 Cho ph ¬ng tr 2 + 7x + = 0ì nh 3x
a) Xác đ ịnh hÖ sè a, b, c råi tÝnh a - b + c. b) Chøng tá r»ng x1= -1 lµ mét nghiệm ph
ơng tr ì nh
c) Dùng đ ịnh lý Vi-ét 2 đ ể t ì m x
nh lý Vi-ét:
NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh ax2 +bx + c = ( a khác 0)
x1+ x2 = x1x2 =
b a c
a ?2 Cho ph ơng tr 2 5x + = 0ì nh 2x
a) Xác đ ịnh hÖ sè a, b, c råi tÝnh a + b + c. b) Chøng tá r»ng x 1= lµ nghiệm ph ơng
tr ì nh
(4)?2 Cho ph ¬ng tr 2 5x +3 = 0× nh 2x –
a) Cã a = 2, b = -5, c = (1 ® )
a + b + c = + = (2 ® )–
b) Thay x1 = vào ph ơng tr ì nh đ ỵc
2.12 5.1 + = 0
(2 đ )
Nên x 1 = nghiệm ph ơng tr (1 đ ) ì nh
c) Cách 1: Theo hệ thøc Vi- Ðt:
x 1x 2 = cã x 1 = 1 (1 ® )
x 2 = = (2 đ )
(Cách 2:
x 1+ x 2 = = cã x 1 =1 (1 ® ) x 2 = - = (2 ® ))
?3 Cho ph ¬ng tr 2 +7x + = 0× nh 3x
a) Cã a = 3, b = 7, c = 4 (1 ® )
a - b + c = -7 + = (2 ® )
b) Thay x 1 = -1 vào ph ơng tr ì nh đ ợc
3.(-1)2 + 7.(-1) + = 0 (2 ® )
Nên x 1 = -1 nghiệm ph ơng tr (1 đ ) ì nh
c) C¸ch 1: Theo hƯ thøc Vi- Ðt:
x 1x 2 = cã x 1 = - 1 (1 ® )
x 2 = = (2 đ )
(Cách 2:
x 1+ x2 = = cã x 1 = - 1 (1 ® ) x 2 = +1 = (2 ® )
1 HƯ thøc Vi-Ðt
c a c a c a c a b a b a 3 - 4 3 5 2 5 2 3 2 - 7 3 - 4
(5)a) Cã a = 2, b = -5, c =
a + b + c = – + =
b) Thay x = vào ph ơng tr ì nh đ ợc 2.12 – 5.1 + =
x = nghiệm ph ơng tr ì nh
c) Theo hÖ thøc Vi- Ðt:
x 1x = cã x = x = = a) Cã a = 2, b = -5, c =
a + b + c = – + =
b) Thay x = vµo ph ơng tr ì nh đ ợc 2.12 5.1 + =
x = lµ nghiệm ph ơng tr ì nh
c) Theo hÖ thøc Vi- Ðt:
x 1x = cã x =
x
?3 Cho ph ¬ng tr +7x + = 0× nh 3x
a) Cã a = 3, b = c = a - b + c = -7 + =
b) Thay x = -1 vào ph ơng tr ì nh đ ợc 3.(-1)2 + 7.(-1) + =
x = -1 lµ mét nghiƯm ph ơng tr ì nh
c) x 1x = cã x = -
x = - =
Tổng quát :
Cho ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a kh¸c 0)
*) NÕu a + b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = 1; nghiệm x2 =
*) NÕu a - b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = -
định lý Vi-ét:
NÕu x1, x2 hai nghiệm ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a khác 0)
x1+ x2 = x1x2 =
(6)Tổng quát :
Cho ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a kh¸c 0)
*) NÕu a + b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = 1; nghiệm x2 =
*) NÕu a - b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = -
1 HÖ thøc Vi-Ðt 1 HÖ thøc Vi-Ðt
định lý Vi-ét:
NÕu x1, x2 hai nghiệm ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a khác 0)
x1+ x2 = x1x2 =
b a c a
c a
c a
?4 Tính nhẩm nghiệm ph ơng tr ì nh:
a) -5x2 +3x + = 0 b) 35x2 - 37x + = 0
b) 2004x2 +2005x + = 0
2 T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng
? T × m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng vµ
tÝch cđa chóng b»ng 5
Bµi 27/sgk/53 Dïng hƯ thøc Vi-Ðt tÝnh nhẩm
nghiệm ph ơng tr ì nh sau:
x2 -7x + 12 = 0;
*) Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm ph ơng trình
x2- Sx + P =
Điều kiện để có hai số S2- 4P >
VÝ dơ T × m hai sè, biÕt tỉng cđa chóng b»ng
27 vµ tÝch cđa chúng 180
Giải: Hai số cần t ì mlà nghiệm ph ơng tr ì nh
x2 - 27x +180 = 0
Ta cã = 272 4.1.180 = 729 720 = 9 – –
x 1 = 15; x 2 = 12
Vậy hai số cần t ì m 15 vµ 12
VÝ dơ TÝnh nhÈm nghiƯm ph ơng tr ì nh x2 - 5x+ = 0
Gi¶i Ta cã = 25 -24 = >
V × +3 = 5; 2.3 = nªn x1= 2; x 2 = lµ hai
(7)Tổng quát :
Cho ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a khác 0)
*) NÕu a + b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = 1; nghiệm x2 =
*) NÕu a - b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = -
định lý Vi-ét:
NÕu x1, x2 hai nghiệm ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a khác 0)
x1+ x2 = x1x2 =
b a c a c a c a
2 T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng
1) Nếu x1 x2 hai nghiệm ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a kh¸c 0) th×
x1+ x2 = x1x2 =
2) Cho ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a kh¸c 0) *) NÕu a + b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = ; nghiệm x2 =
3) Nu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm ph ơng trình
Điều kiện để có hai số l
*) Nếu ph ơng trình có nghiệm x1 = - 1; nghiệm lµ x2 =
b a c a 1 c a
a - b + c = 0 c
a
x2 - Sx + P = 0
*) Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm ph ơng trình
x2- Sx + P =
Điều kiện để có hai số S2- 4P >
(8)TiÕt 22:
1 HƯ thøc Vi-Ðt
Tỉng qu¸t :
Cho ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a kh¸c 0)
*) NÕu a + b + c = th× ph ơng trình có nghiệm x1 = 1; nghiệm x2 =
*) Nếu a - b + c = ph ơng trình có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = -
nh lý Vi-ét:
NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa ph ơng trình ax2 +bx + c = ( a khác 0)
x1+ x2 = x1x2 =
b a c a
c a
c a
2 T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng
1) Häc thc hệ thức Vi-ét cách t ì m hai số
biÕt tỉng vµ tÝch
2) N ắ m v ữ ng cách nhẩm nghiệm: a+b + c = 0
a b + c = 0
hoặc tr ờng hợp tỉng vµ tÝch cđa hai nghiƯm (S vµ
P) nh ữ ng số nguyên có giá trị không lớn
3) Bài tập vỊ nhµ 25; 26; 28; 29/SGK/54
*) Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm ph ơng trình
x2- Sx + P =
(9)