sáng kiến kinh nghiệm tìm gtnn, gtln của đa thức p(x) = ax2 + bx + c (a,b,c r, a 0)

I ĐẶT VẤN ĐỀ: - Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn biểu thức dạng tốn thường gặp q trình dạy học toán, đặc biệt dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Dạng tốn cịn gặp nhiều khó khăn đa số học sinh, em cịn lúng túng q trình biến đổi biểu thức, em chưa tổng quát cách giải dạng khác Vì việc tìm nhiều cách trình bày lời giải sở kiến thức khác Từ nhận xét giải giúp tổng quát hoá số dạng toán việc giải toán cụ thể, từ giúp em dẽ dàng nhận thấy có cách thực tốn sau - Trong q trình dạy học theo tơi, người giáo viên cần ý đến phân tích, nhận xét yếu tố tham gia tốn, từ tìm mối ràng buộc yếu tố thành tổng quát lời giải giúp cá em vận dụng trực tiếp vào giải gặp dạng toán học - Trên thực tế tơi xin đưa cách giải tổng qt cho dạng tốn tìm giá trị nhỏ (GTNN) đa thức dạng P = ax + bx + c (a, b, c ∈ R, a > 0) dạng tốn tìm giá trị lớn (GTLN) đa thức dạng Q = ax + bx + c (a, b, c ∈ R, a < 0) II NỘI DUNG Dạng toán 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức P = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a > 0) A Từ toán cụ thể: Bài tốn 1: Tìm GTNN A = 2x2 - 8x + (a = 2, b = - 8, c = 1) Ta có: A = 2(x2 - 4x + ) = 2(x2 - 2x.2 + 22 + - 22) = 2[(x - 2) - ] = - + 2(x - 2)2 ⇒ A nhận giá trị nhỏ - x - = Nhận xét: Ta thấy: AMin = - = x=2= − −8 2.2 4.2.1 − (−8) 4.2 ⇔x tức ta có: AMin = tức ta có: x = − =2 4ac − b 4a b 2a Bài tốn 2: Tìm GTNN B = x2 - 4x + (a = 1, b = - 4, c = 1) ≥ - Ta có: B = x2 - 4x + - = - + (x - 2)2 ⇒ ≥ -3 B nhận giá trị nhỏ - x - = 4.1.1 − (−4) 4.1 Nhận xét: Ta thấy: BMin = - = x=2= − −4 2.1 ⇔ tức ta có: BMin = tức ta có: x = − x=2 4ac − b 4a b 2a Bài toán 3: Tìm GTNN C = 3x2 + 5x + 25 (a = 3, b = 5, c = 25) Ta có: C = 3(x + x + 25 ) = 3[x + = 2x 5  ÷ 6 +   275   x + ÷ + 36    + = 275 12 =0 ⇔ 25 + - 5  ÷ 6  x + ÷ ≥   275 12 ⇒ C nhận giá trị nhỏ Nhận xét: Ta thấy CMin = x= − 275 12 = = − 4.3.25 − 52 4.3 2.3 275 12 x + tức ta có CMin = tức ta có: x = − x= − 4ac − b 4a b 2a B Tổng qt Bài tốn tìm giá trị nhỏ P = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a > 0) ] Từ nhận xét ta thấy P nhận giá trị nhỏ = − 4ac − b 4a x b 2a Chính ta ln có P = Thật vậy: P = ax + bx + c = 4ac − b 4a + b a  x + 2a ÷   b c  a  x + a x + a ÷ =  b b2 c b2  x + x + + − a  2a 4a a 4a   =  b b   4ac − b   a  x + x 2a + 4a ÷+  4a ÷     = 4ac − b 4a + b  4ac − b  ≥ a x + ÷ 2a  4a  C Phương pháp thực hiện: Dùng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu phân tích đa thức P dạng: P = m + R Trong R biểu thức không âm, R tích a với bình phương tổng bình phương hiệu Dạng tốn 2: Tìm giá trị lớn Q = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a < 0) A Từ tốn cụ thể: Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn (GTLN) của: D = - x2 + 6x + (a = -1; b = 6, c = 1) Ta có: D = - (x2 - 6x - 1) = - (x2 - 2x.3 + 32 - - 32) = - ( )  x − x.3 + 32 − 10    = 10 - (x - 3) ⇒D ≤ 10 nhận giá trị lớn 10 x - = Nhận xét: Ta thấy DMax = 10 = x = = − 4.(−1).1 − 62 4.(−1) 2.(−1) ⇔ tức ta có: DMax = tức ta có: x = − x=3 4ac − b 4a b 2a Bài tốn 2: Tìm GTLN của: E = 5x - - 2x2 Ta viết lại: E = - 2x2 + 5x - (a = - 2, b = 5, c = -3) Ta có: E = - 2(x - + ) =- 2  5 5  x − x + + − 2  ÷  ÷ 2.2        25  1 = -  x − x + 16 ÷ − 16   = ⇒ E nhận giá trị lớn  1 5  − 2 x − ÷ ≤ 8 4  x - =0 ⇔ x= Nhận xét: Ta thấy: EMax = Và x = = = 2.(−2) − 4.(−2).(−3) − 52 4.(−2) tức ta có: x = Bài tốn 3: Tìm GTLN của: F = Ta có: F = ⇒ − (x tức ta có: EMax = − x − b 2a + 3x - (a = - 6x + 4) = − (x − , b = 3, c = -2) - 2x.3 + 32 + - 32) = − (x = − F nhận giá trị lớn x - = Nhận xét: Ta thấy: FMax = x = = − =  1  − ÷.(−2) − 32  2  1  − ÷  2 - 2x.3 + 32 - 5) (x - 3)2 ≤ ⇔ tức ta có: FMax =  1  − ÷  2 4ac − b 4a tức ta có: x = − x=3 4ac − b 4a b 2a B Tổng qt: Bài tốn tìm GTLN Q = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a < 0) Từ nhận xét toán cụ thể ta nhận thấy Q nhận giá trị lớn 4ac − b 4a x = − b 2a Chính ta ln có: Q = Thật vậy: Q = ax + bx + c = 4ac − b 4a + b a  x + 2a ÷   b c  a  x + a x + a ÷ = = 4ac − b 4a - (-a) b   x+ ÷ 2a    b b2 c b2  x + x + + − 2 a 2 a a a 4a   =  b b   4ac − b   x + x + ÷+  ÷ a  2a a   a    = 4ac − b 4a = 4ac − b 4a + - b   a x + ÷ 2a   b (-a)  x + 2a ÷ ≤   4ac − b 4a (a < nên b (-a)  x + 2a ÷ ≥   0) C Phương pháp thực hiện: Dùng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu phân tích đa thức P dạng: P = m - R Trong R biểu thức không âm, R tích - a với bình phương tổng bình phương hiệu Một số tốn vận dụng Bài tốn Tìm GTNN biểu thức a, 3x2 - 7x + b, x2 +2 3x -4 c, 5x4 + 10x2 + 20 Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức a, 3x - 5x2 + b, 5x +3- x2 c, 16x2 - 32 - 8x4 III KẾT LUẬN Trong trình dạy học nhận xét nhỏ phép tốn phân tích kết tồn cho ta điều thú vị toán hay giúp phát cách giải khác tổng quát toán Trên thực tế tơi phát điều thú vị đa thức dạng ax + bx + c (a, b, c số, a khác 0) Khi xây dựng công thức không giúp em tích cực tham gia thực tốn nhẹ nhàng Ở thay em cịn lúng túng phân tích đưa tốn dạng P = a ± R (R biểu thức khơng âm) em cần cho biết hệ số a, b, c thay vào công thức P = b (-a)  x + 2a ÷   4ac − b 4a + b a  x + 2a ÷   hay Q = = 4ac − b 4a - em có kết tốn, mà em tính tốn nhanh khơng mắc phải sai lầm Trong q trình dạy học tơi mạnh dạn triển khai cho học sinh áp dụng thực thấy hầu hết em hiểu tích cực thực tính tốn trở nên nhanh xác Khi kiểm tra đánh giá tơi đưa tốn tìm GTNN A = x2 - 5x + Bài giải: Ta có: A = Vậy AMin = − 4.1.6 − 52 4.1 x = + (x - )2 = − + (x - )2 thấy đa số em thực tốt, nên cho chuyên đề vào thực tiễn - Tiếp tục nghiêm cứu công thức cho ta nhiều điều thú vị ta liên hệ đến biệt thức ∆ giá trị − b 2a phương trình bậc hai ẩn lớp Tháng năm 2011 10 ... trị nhỏ = − 4ac − b 4a x b 2a Chính ta ln c? ? P = Thật vậy: P = ax + bx + c = 4ac − b 4a + b a  x + 2a ÷   b c? ??  a  x + a x + a ÷ =  b b2 c b2  x + x + + − a? ??  2a 4a a 4a   =  b... lớn 4ac − b 4a x = − b 2a Chính ta ln c? ?: Q = Thật vậy: Q = ax + bx + c = 4ac − b 4a + b a  x + 2a ÷   b c? ??  a  x + a x + a ÷ = = 4ac − b 4a - ( -a) b   x+ ÷ 2a    b b2 c b2  x +. . .0) dạng tốn tìm giá trị lớn (GTLN) ? ?a th? ?c dạng Q = ax + bx + c (a, b, c ∈ R, a < 0) II NỘI DUNG Dạng tốn 1: Tìm giá trị nhỏ ? ?a th? ?c P = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a > 0) A Từ tốn c? ?? thể: