(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A- MỤC TIÊU * Hệ thống lại dạng toán phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải số tập phân tích đa thức thành nhân tử * Nâng cao trình độ kỹ phân tích đa thức thành nhân tử B - CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử Nhân, chia lũy thừa số Nhân đa thức Hằng đẳng thức đáng nhớ Nghiệm đa thức Chia đa thức C - CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung - Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) - Chú ý: Có ta phải đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 28a2b2 −21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab − 3b + 2a) b) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y −z) – 5y(y − z) = (y – z)(2 −5y) c) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2y2 – 6x2y3 + 9x2y2 b) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3 c) 12x2y - 18xy2 – 30y2 d) 5(x-y) – y(x-y) e) y(x-z) + 7(z-x) g) 27x2 (y-1)-9x3(1-y) Bài 2: Tìm x, biết: a) 5(x-3) – 2x(x-3) =0 b) 4x(x-2016) – x – 2016 c) (x+1) = x+1 d) x3 -13x = Phương pháp dùng đẳng thức − Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử − Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) b) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử: a) 36 – 12x + x2 b) 125 – x6 x – 5xy + 25y2 c) – 15x6 – y8 + 10x3y4 d) e) (x2 + 1)2 – 6(x2 +1) + g) 9(x+5)2 – (x+7)2 h) 49(y-4)2 – 9(y+2)2 i) 8x3 + Bài 2: Tìm x, biết a) (x-4)2 – 36 = c) x2 + 8x + 16 = Bài 3: Tính nhanh a) 752 – 252 c) 31,82 – 2.31,8.21,8 + 21,82 27 b) (x+8)2 = 121 d) 4x2 – 12x = -9 b) 532 – 472 d) 58,22 + 2.58,2.41,8 + 41,82 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 − 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) xy + xz + 3y + 3z b) 11x + 11y – x2 – xy c) x2 – 6x – y2 + d) 25 – 4x2 – 4xy – y2 e) ax2 + cx2 –bc2 + cd + bd – c3 g) ax2 +ay2 – bx2 – by2 + b – a Bài 2: Tính nhanh a) 13,5.5,8 – 8,3.4,2 – 5,8.8,3 + 4,2.13,5 b) 31 82 + 125.48 + 31.43 – 125.67 Phối hợp nhiều phương pháp − Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên − Đặt nhân tử chung − Dùng đẳng thức − Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) Bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x5 + x3 – x2 - b) x4 – 3x3 – x + b) x3 – x2y – xy2 + y3 d) 3x + 3y – x2 – 2xy – y2 Bài 2: Tìm x, biết a) x3 – 16x = b) x4 – 2x3 + 10x2 – 20x = c) (2x – 3)2 = (x+5)2 d) x2(x-1) – 4x2 + 8x – = II CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 1.1) Đối với đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c Cách (tách hạng tử bậc bx): Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = a i + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn − Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) − Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) − Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 2 3x + 8x + = 3x + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) − Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) − Tách thành số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách (tách hạng tử tự c) − Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 −4x − thành nhân tử Hướng dẫn 2 Ta thấy 4x −4x = (2x) − 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải 2 f(x) = (4x – 4x + 1) – = (2x – 1) – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) 1.2) Đối với đa thức bậc từ trở lên Trước hết, ta ý đến định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc tách số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Từ định lí trên, ta có hệ sau : Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có nhân tử x – Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 f (1) Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác a− f (−1) số nguyên a+ Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 −13x2 + 9x −18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) −18 −18 −18 −18 Dễ thấy , , , không số nguyên nên −3− ±6 − ±9 − ±18− -3, ± 6, ± 9, ± 18 không nghiệm f(x) Chỉ –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau : f(x) = 4x3 − 12x2 − x2 + 3x + 6x − 18 = 4x2(x − 3) − x(x − 3) + 6(x − 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) Hệ Nếu f(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + + a1x + a0 ( ví i an, an−1, , a1,a0 p số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , p, q ∈ Z (p , q)=1, p ước q a0, q ước dương an Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 − 7x2 + 17x − thành nhân tử Hướng dẫn Các ước –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm f(x) Như f(x) khơng có nghiệm nghun Xét số ± , ± , ta thấy 3 nghiệm đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) 1.3) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 −5xy + 2y2 ; b) x2(y −z) + y2(z −x) + z2(x −y) Hướng dẫn a) Phân tích đa thức tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Ta tách hạng tử thứ : 2x2 − 5xy + 2y2 = (2x2 − 4xy) −(xy − 2y2) = 2x(x −2y) −y(x − 2y) = (x −2y)(2x −y) b) Nhận xét z − x = −(y − z) −(x − y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y −z) + y2(z −x) + z2(x −y) = x2(y −z) − y2(y − z) −y2(x −y) + z2(x −y) = = (y − z)(x2 −y2) − (x −y)(y2 − z2) = (y −z)(x −y)(x + y) − (x −y)(y −z)(y + z) = (x − y)(y − z)(x − z) Chú ý : - Ở câu b) ta tách y − z = −(x − y) −(z − x) (hoặc z − x= − (y −z) − (x −y)) - Đa thức ở câu b) đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức Vì vậy, ngồi cách phân tích cách tách trên, ta cịn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Xem phần IV) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 7x + 12 b) x2 + 8x – 33 c) x2 – 9x + 18 d) x2 – 3x – 54 e) 20x2 + 7x – g) 18x2 + 21x – h)12x2 – 23xy + 10y2 i) x4 – 5x2y2 + 4y4 k) 6x3 – 11x2 – x – Bài 2: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức P = (n2 – 3)2 + 16 số nguyên tố Thêm bớt hạng tử 2.1 Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) 2.2 Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x12 + b) 4x8 + c) x7 + x5 – d) x7 + x5 + e) x5 + x – g) x11 + x + Bài 2: Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức A = x + có giá trị số nguyên tố Phương pháp đổi biến Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ≠ ta viết + 2) x x 1 = x2 [(x2 + ) + 6(x )+7] x x 1 Đặt x = y x2 + = y2 + 2, x x x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A = ( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz +zx)2 2 2 2 = ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx)  ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx) Đặt x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x + y + z ) − ( x + y + z )2 − 2( x + y + z )( x + y + z )2 + ( x + y + z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y + y z + z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4( x y + y z + z x ) + (xy + yz + zx)2 = −4 x y − y z − z x + x y + y z + z x + x yz + xy z + xyz = xyz ( x + y + z ) Ví dụ 5: (a + b + c)3 − 4(a + b3 + c ) − 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta có: C = (m + c)3 – m + 3mn − 4c3 − 3c(m - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x2 + 3x)2 – 2(x2 +3x) – b) (x2+4x+10)2 – 7(x2 +4x+11) + c) (x2+5x-2)2 – 7(x2+5x – 2)(x2 +3) + 5(x2+3)2 d) (x2 – 3x + 5)2 – 7(x2 – 3x + 5) + 12x2 e) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 Bài 2: Chứng minh tích số nguyên liên tiếp cộng thêm số phương Bài 3: Cho x, y số nguyên Chứng minh giá trị biểu thức sau có giá trị khơng âm M = (x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y) + y4 Phương pháp hệ số bất định Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + thành nhân tử Nhận xét: số ± 1, ± không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd  a + c = −6  ac + b + d = 12  đồng đa thức với đa thức cho ta có:   ad + bc = −14 bd = Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = d = hệ điều kiện trở thành  a + c = −6  ac = −8  2c = −  c = −  ⇒ ⇒  a = −2  a + 3c = −14 ac = bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)  a − = −3 b − 2a = −7 a =   ⇒ b = −5 = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c ⇒  c − 2b = c = −4   −2c = Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nahu nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –  ac = 12 bc + ad = −10 a =   c = ⇒ 3c − a = ⇒ bd = −12 b = −6  d = 3d − b = 12 ⇒ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho đa thức A = x4 – 7x3 + 12x2 – x – Hãy phân tích A thành tích hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên hệ số cao dương Bài 2: Cho đa thức B = x5 + 3x4 – x3 – x2 + 13x + Hãy phân tích B thành tích hai đa thức với hệ số nguyên: Một đa thức bậc hai đa thức bậc ba biết hệ số cao thấp dương đa thức bậc ba khuyết hạng tử bậc hai Phương pháp xét giá trị riêng Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) Lời giải 2 Thay x y P = y (y – z) + y ( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi (đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x – y) chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) 10 Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) M = xy(x-y) + yz(y-z) + zx(z-x) b) P = (a+b+c)3 – a3 – b3 – c3 Phương pháp đưa đa thức đặc biệt a) Đưa đa thức : a3 + b3 + c3 − 3abc Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 − 3abc b) (x −y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b)3 − 3a2b − 3ab2 + c3 −3abc = [(a + b)3 + c3] − 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 −(a + b)c + c2] − 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 −ab − bc −ca) b) Đặt x −y = a, y −z = b, z −x = c a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 − 3abc = ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x −y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x −y)(y −z)(z −x) b) Đưa đa thức : (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 −a3 −b3 −c3 b) 8(x + y + z)3 −(x + y)3 − (y + z)3 −(z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 −a3 −b3 −c3 = [(a + b) + c]3 − a3 − b3 − c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) − a3 − b3 − c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) −(a + b)(a2 −ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) −(a2 −ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] 11 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức cho có dạng : (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 Theo kết câu a) ta có : (a + b + c)3 −a3 −b3 −c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 −(x + y)3 − (y + z)3 −(z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) 12 ... 1: Phân tích đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + thành nhân tử Nhận xét: số ± 1, ± không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử. .. nghiệm đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) 1.3) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân. ..− Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử − Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x–