(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện

Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: PHẦN 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN TỚI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề I QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song � a, b �(P ) aP b � � a �b  � � a) Định nghĩa: b) Tính chất (P) �(Q) �(R) � � (P) �(Q)  a a,b,c � � ng qui �  �(P) �(R)  b � � a P b P c � � (Q) �(R)  c � � (P ) �(Q)  d � � d P aP b  �(P ) �a,(Q) �b � � d �a(d �b) � � �a P b � a �b  �a P c, bP c � a P b � Đường thẳng mặt phẳng song song d // (P)  d  (P) =  a) Định nghĩa: b) Tính chất � d �(P ), d ' �(P )  �d P d ' � � d P (P )  �(Q) �d,(Q) �(P )  a � d P a � � d P (P ) � (P ) �(Q)  d  �(P ) P a,(Q) P a � d P a � Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q)  (P)  (Q) =  b) Tính chất � � (P ) �a, b (P ) �(Q) � � � (P ) P (Q)  � (P ) P (R) � (P ) P (Q)  �a �b  M � � a P (Q), bP (Q) (Q) P (R) � � � (Q) P (R) �  �(P ) �(Q)  a � a P b � (P ) �(R)  b � Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau:  Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: song song hình hoc phẳng(như tính chất đường trung bình, định lí Talet đảo,…)  Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba  Áp dụng định lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P (P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng Vấn đề II QUAN HỆ VNG GÓC Hai đường thẳng vng góc a) Định nghĩa: a  b   a�, b  900 b) Tính chất r r  Giả sử u VTCP đường thẳng a, v VTCP đường thẳng b Khi rr a  b � u.v  � b� � c  �a  c � a  b � Đường thẳng mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: d  (P)  d  a, a  (P) b) Tính chất  Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng: � a, b �(P ), a �b  O � d  (P ) � d  a, d  b � � aP b � a �b  �(P )  a � (P )  b �  �a  (P ), b  (P ) � a P b � � (P ) P (Q)  �a  (P ) � a  (Q) �  �(P )  a,(Q)  a � (P ) P Q) � � a P (P )  �b  (P ) � b  a � � (P ) �(Q) � a �(P )  �a  b,(P )  b � a P  P ) �  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: đoạn thẳng  Định lí ba đường vng góc Cho a  (P ), b �(P ) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a Hai mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: (P)  (Q)  � (P ),(Q)  900 b) Tính chất: � (P ) �a  Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: �a  (Q) � (P )  (Q) � � (P )  (Q) � � a �(P )  �A �(P ) � a  A , a  ( Q ) � � (P )  (Q),(P ) �(Q)  c � a  (Q)  �a �(P ),a  c � � (P ) �(Q)  a � � a  (R)  �(P )  (R) � ( Q )  ( R ) � Chứng minh quan hệ vng góc a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d  a , ta sử dụng cách sau:  Chứng minh góc a d 900  Chứng minh vectơ phương a d vng góc với  Chứng minh d  b mà b P a  Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vng góc  Sử dụng tính chất hình hoc phẳng (như định lí Pitago) b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vng góc với hai đường cắt nằm (P)  Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P)  Chứng minh d // a a  (P)  Chứng minh d  (Q) (Q)  (P) d vng góc với giao tuyến (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P) c) Chứng mính hai mặt phẳng vng góc Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)  Chứng minh  (� P ),(Q)  900 Vấn đề III GÓC – KHOẢNG CÁCH Góc a) Góc hai đường thẳng �, b   a �', b' a//a', b//b'   a Chú ý: 00   a�, b  900 b) Góc đường thẳng mặt phẳng �,(P ) = 900  Nếu d  (P)  d �,(P ) =  d �, d ' với d hình chiếu d (P)  Nếu d  (P )  d �,(P )  900 Chú ý: 00   d   � a  (P ) �, b � (� P ),(Q)   a � b  ( Q ) � c) Góc hai mặt phẳng � a �(P ),a  c �, b  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng �b �(Q),b  c   (� P ),(Q)   a � Chú ý :   00 � (� P ),(Q) �900 d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  =  (� P ),(Q) Khi đó: S = S.cos Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đén đường thẳng(mặt phẳng) độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng(mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d) Khoảng cách hai đườngthẳng chéo bằng:  Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Chun đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”:  Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ  Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Vấn đề IV NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vng A, có đường cao AH  AB2  AC  BC  AB2  BC.BH , AC  BC.CH  1   2 AH AB AC  AB  BC.sinC  BC.cosB  AC.tanC  AC.cot B b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; có độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a2=b2  c2 �2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB; c2  a2  b2  2ab.cosC a b c   2 R sin A sin B sin C  Định lí hàm số sin:  Cơng thức độ dài đường trung tuyến ma2  b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 2 2  S  a.ha  b.hb  c.hc  S abc 4R 2S  AB.AC  BC.AH  ABC đều, cạnh a: b) Hình vng: c) Hình chữ nhật:  S  p p  a  p  b  p  c  S  pr  ABC vuông A: 2  S  bc sin A  ca sin B  ab sin C S a2 S = a2 S = a.b (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước ) � d) Hình bình hành: S = đáy  chiều cao = AB.AD.sinBAD Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: e) Hình thoi: f) Hình thang: � S  AB.AD.sinBAD  AC.BD S   a  b .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2 g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc S  AC.BD Vấn đề V THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối hộp chữ nhật V  abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: V  S h với S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng trụ V  S h với S diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích cơng thức  Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,…  Sử dụng cơng thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện them vào khối đa diện tạo thành, dễ tính thể tích d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau : Cho ba tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC VOA'B'C '  OA OB OC OA' OB ' OC ' * Bổ sung  Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”:  Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy PHẦN 2: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Loại 1: Hình chóp có chân đường cao đỉnh đa giác đáy Loại 1: Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính V  S h , chiều cao cạnh bên vng góc với mặt đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vng A, AB = a , AC = a Góc SB (SAC) 600 Tính theo a thể tích khối S chóp S.ABC Giải: + Ta có SA  ( ABC ) nên SA chiều cao hình chóp S.ABC � VS ABC  SA.S ABC + Ta có SABC B 1  AB AC  a 3.a  a 2 A + Tính SA? �SA  ( ABC ) � SA  AB � � AB  (SAC ) Ta có �AC  AB �AC �SA  A � C  A hình chiếu B (SAC)  SA hình chiếu SB (SAC) � (vì  SAB vng A  Góc SB (SAC) góc SB SA góc BSA �  900 ) nên BSA �  600  BSA Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: �  a 3.cot 600  a Xét  SAB vuông A có SA  AB.cot BSA 3 Vậy VS ABC  SA.S ABC  a a 3 3 a  a (đvtt) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc (SBD) (ABCD) 600 G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng ( ) qua SG song song với BD cắt BC, CD M, N Tính theo a thể tích khối chóp S.BDNM Giải: + Ta có SA  ( ABCD ) nên SA chiều cao S hình chóp S.BDNM � VS BDNM  SA.S BDNM ( ) / / BD � � BD �( ABCD ) � MN / / BD + Ta có � � ( ) �( ABCD)  MN � A Ta có M , N , G �( ) �( ABCD ) nên M, N, G thẳng hàng � D B O N MN CG 2 2   � MN  BD  a BD CO 3 � S BDNM 2 aa MN  BD MN  BD 1  GO  BD  a  a2 2 6 18 + Tính SA? �SA  ( ABCD ) � SA  BD � � DB  ( SAC ) Ta có �AC  DB �AC �SA  A � ( SBD) �ABCD )  BD � � ( SAC ) �( SDB )  SO Mà � � ( SAC ) �( ABCD )  AC � M G C Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: � (vì  SOA vng  Góc (SBD) (ABCD) góc SO AC góc SOA �  900 ) A nên SOA �  600  SOA �  Xét  SAO vng có SA  OA.tan SOA 3 Vậy VS ABC  SA.S ABC  a a 2 a tan 600  a 3 2 5 a  a (đvtt) 18 108 Loại 2: Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt đáy Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính V  S h , đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt đáy S Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có mặt (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC cạnh a Góc (SBC) (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Giải: B ( SAB )  ( ABC ) � � ( SAC )  ( ABC ) � SA  ( ABC ) + Ta có � � ( SAB ) �( SAC )  SA � A M C � SA chiều cao hình chóp S.ABC � VS ABC  SA.S ABC + Ta có S ABC  1 3 AB AC.sin A  a.a  a 2 + Tính SA? Gọi M trung điểm BC, mà tam giác ABC tam giác nên ta có AM  BC Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: �SA  ( ABC ) � SA  BC � � BC  ( SAM ) Ta có �AM  BC �AM �SA  A � ( SBC ) �( ABC )  BC � � ( SAM ) �( SBC )  SM Mà � � ( SAM ) �( ABC )  AM � � (vì  SMA vng  Góc (SBC) (ABC) góc SM AM góc SMA �  900 ) A nên SMA �  600  SMA �  a tan 600  a  3a  Xét  SAM vng có SA  AM tan SMA Vậy VS ABC 2 S 1 3 3  SA.S ABC  a a  a (đvtt) 3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a Góc SC (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD M A D Giải: ( SAB )  ( ABCD) � � ( SAD)  ( ABCD) � SA  ( ABCD ) + Ta có � � ( SAB ) �( SAD)  SA � B � SA chiều cao hình chóp S.ABCD � VS ABCD  SA.S ABCD + Ta có ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a 10 C Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: cos  = OB OB = BB� a  ABD cạnh a � DB = a � OB = 1 a DB = Suy ra: cos  = �  = 600 2 2 b) SABCD = SABD =2 a = a Tam giác BD’D cạnh a có B’O = a 3a3 ’ VABCD.A�B��� S = B O = CD ABCD Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a , AA'= a hình chiếu A (A’B’C’) trung điểm B’C’ Tính thể tích khối lăng trụ Giải: Gọi H trung điểm B’C’.Theo giả thiết ta có AH  (A'B'C ') Trong  vng AA ' H Ta có: AH  AA '2  A ' H  ( a a a ) ( )  2 2 SA 'B'C' = a Vậy thể tích khối lăng trụ VABCA ' B 'C '  S ABC AH  a a 3a  Loại 2.1: Lăng trụ có góc đường thẳng mặt phẳng  38 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Phương pháp:Sử dụng cơng thức tính V  S h , dựa vào kiện tốn tìm hình chiếu đỉnh mặt đáy để xác định chiều cao Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Giải: Gọi H hình chiếu vng góc A’ mp(ABC) Ta có A ' H  ( ABC ) � AH hình chiếu AA’ (ABC) Nên góc AA’ mặt phẳng  ABC  �A ' AH  600 � A ' H  AA'.sin 600  3a S ABC a2  Vậy thể tích khối lăng trụ V  S ABC A�H  3a 3 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Giải: Gọi H hình chiếu vng góc A’trên (ABC) Do A’A=A’B=A’C nên H tâm tam giác ABC Ta có AH= a � A'AH=60 Trong  vng AA’H ta có A’H = AH tan600 = a 3a SABC = a Vậy thể tích khối lăng trụ 39 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: VABCA ' B 'C '  S ABC A ' H   a2 a3 a  4 Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B với � ACB  300 AA '  a Góc đường thẳng AA’ mặt phẳng (ABC) 600 Hình chiếu vng góc điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a Giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC A’ C’ Ta có A ' G   ABC  Suy AG hình chiếu B’ AA’ mặt phẳng (ABC) Do � A ' AG góc đường thẳng AA’ (ABC) A C Ta có � A ' AG  600 G Trong A ' GA vng G, ta có: sin 600  A 'G a � A ' G  AA 'sin 600  AA ' cos 600  AG a � G  AA 'cos 600  AA ' B 40 M Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: AM  3 a 3a AG   2 AB BC Trong ABC vuông B, ta có t an300  � AB  BC tan 300  BC BC � AB  Trong ABM vng B, ta có AB  AM  BM  Từ (1) (2) Suy Suy AB  (1) 9a BC  16 (2) BC 9a BC 27 a 3a 21   � BC  � BC  16 28 14 3a 21 3a  14 14 Diện tích tam giác ABC vuông B là: S ABC  1 3a 3a 21 9a AB.BC   2 14 14 56 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC A ' B 'C '  S ABC A ' G  9a a 27a  56 112 Loại 2.3: Lăng trụ có góc hai mặt phẳng Phương pháp:Sử dụng cơng thức tính V  S h , dựa vào kiện toán tìm hình chiếu đỉnh mặt đáy để xác định chiều cao Ví dụ : Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D có đáy hình chữ nhật với AB  a 3, AD  a Hai mặt bên  ABB’ A’  ADD’ A’ tạo với đáy góc 450 ,60 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên a Giải: Gọi H hình chiếu A’ mặt phẳng  ABCD  , M,N hình chiếu H AD,AB 41 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Dễ thấy, góc mặt  ABB’ A’  ADD’ A’ đáy � A ' NH  450 , � A ' MH  600 Đặt A’H  x ta có: NH  A ' H cot � ANH  x x MH  A ' H cot � AMH  Vì AMHN hình chữ nhật nên AH  AM  AN  x  x2 x2  3 mà AA '2  AH  A ' H � a  x  4x2 x2  �xa 3 Vậy VABCD A ' B ' C ' D  S ABCD A ' H  a 3.a 7.a  3a (đvtt) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vng cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c � BAD  30o biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B 42 Chun đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ 2) Tính thể tích lăng trụ Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o 1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' 3) Tính thể tích hộp Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60 o chân đường vng góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên đáy 2) Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp PHẦN IV: TỶ SỐ THỂ TÍCH 43 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho (phân chia khối chóp cho thành khối đa diện) Khi học sinh ngồi cách tính trực cơng thức thực theo cách dùng tỉ số thể tích -Tính thể tích dựa vào phân tích khối cần tính thành tổng, hiệu khối so sánh thể tích với khối khác * Phân chia khối thành tổng, hiệu khối (khối chóp, khối lăng trụ) mà khối dễ tính thể tích * So sánh thể tích khối cần tính với khối đa diện khác dễ tính thể tích biết thể tích * Sử dụng tốn bản: Cho hình chóp SABC, lấy A’, B’, C’ thuộc SA, SB, SC Khi VSA ' B 'C ' SA ' SB' SC '  VSABC SA SB SC Chứng minh: Gọi H H’ hình chiếu vng góc A A’ lên mặt phẳng (SBC) Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ thuộc hai mặt phẳng (AHH’A’) (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét tam giác SAH ta có VS A ' B ' C ' VS ABC SA ' SH '  (*) SA SH A ' H '.S SB ' C ' A ' H '.SB '.SC 'sin B ' SC '   (**) AH SB SC sin BSC AH S SBC Từ (*) (**) ta có điều phải chứng minh 44 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải: Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V  S h ) S * Khối chóp S.AMN có -Đáy tam giác AMN - Đường cao SA *  AMN có  = 600, AM=AN = a � N C A M SAMN  1 a AM AN sin 600  a.a  2 B * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABC VS AMN 1 a2 a3  S AMN SA  a  3 4 Cách : ( Dùng công thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A góc đỉnh A Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có VA.SMN AS AM AN 1    VA.SBC AS AB AC 2 � VS AMN  VA.SMN  V VA.SBC  S ABC 4 1 4a Ta có : VS ABC  S ABC SA  a  a 3 45 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Vậy VS AMN  VS ABC a  4  Nhận xét:  Học sinh thường lúng túng gặp thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho xác định đa giác đáy đường cao thường bị sai  Trong số tốn việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM Giải: Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có VS AMN SA SM SN 1    VS ABC SA SB SC 2 � VS AMN V  S ABC � V A BCNM S a 3.a a3   4 3a  VS ABC  4 N M C A B Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải : Gọi O giao điểm AC BD S Ta có : IO // SA SA  (ABCD) I A D46 B O C Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: � IO  (ABCD) � VI ABCD  S ABCD IO Mà : S ABCD  a IO  SA a Vậy VI ABCD  a a  a3 Nhận xét : Có thể trình bày lời giải tốn theo hướng so sánh hai cơng thức thể tích có diện tích đáy VI ABCD  S ABCD , hai đường cao IO, SA : IO  IA Suy VS ABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB=a; AD=b Cạnh SA=2a hình chóp vng góc với đáy M điểm nằm cạnh SA với AM= x (0  x  2a) Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp hai phần tích Giải : Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD  VS ABCD 2a b  SA.S ABCD  V 3 Gọi V1 thể tích khối S.MNCB V1 =V(SMBC)+V(SMNC) S Ta có VSMBC SM SB.SC SM 2a  x    VSABC SA.SB.SC SA 2a VSABC = 1 V SA.dt ( ABC )  2a 2b   VSMBC  2a  x V 2a  x a 2b (2a  x)ab   2a 2a M N D A 47 B C Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: VSMNC SM SN SC SM SN �MN � (2a  x )    � � * Ta có: VSACD SA.SC.SD SA SD �AD � 4a  VSACD= V a 2b  (2a  x) a 2b (2a  x) b  VSMNC=  4a 12 (2a  x) ab (2a  x) b V1= VSMNCB=  12 Ycbt  V1= (2a  x)ab (2a  x ) b a 2b V a 2b     12  x  6ax  4a  � x  a (3  5) � x  a (3  5) �  2a (loai ) (t / m ) Kết luận: Vậy x  a (3  5) (MBC) chia khối chóp thành phần tương đương Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) qua AB trọng tâm G tam giác SAC cắt SC; SD M; N Tính thể tích SABMN khoảng cách BG CD theo a Giải : * Gọi E; F trung điểm AB CD � góc SEF góc mặt bên đáy � góc SEF = 600 tam giác SEF * Ta có * Trong tam giác SEF có SO  a 48 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: 1 a a3 SO.S ABCD  a  3 a  16 � VSABCD  � VSABMN * d(BG; CD) = FH (H giao điểm SF MN), mà tam giác SEF cạnh a � d ( BG; CD)  a Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a, gọi P, Q trung điểm AB, CD; R điểm thuộc cạnh BC cho BR  2RC Mặt phẳng (PQR) cắt AD S Tính theo a thể tích S.BCD Giải : * Trong (BCD): BD �QR  I Trong  ABD : AD �IP  S * IRM : IQB � IM RM  IB QB CB 2  CB � D l�trung � i� m IB * Áp dụng tỉ lệ ABD ta c�SD  AD VS.BCD SD   VA.BCD AD � VS.BCD 1 a3 a3  VA.BCD   3 12 36 49 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh SA   ABC  SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp ABCMN Giải :  SAB  SAC có AB = AC, SA chung, A = 90o �  SAB =  SAC � SB = SC � mặt bên SBC tam giác cân Áp dụng định lý đường cao tam giác SAB SAC ta có : AM  AB AS AB  AS  2a ; AN  AC AS AC  AS  2a Áp dụng địn lý Pitago SM  SA2  AM  SN  SA2  AM  4a 4a Ta có tỷ số : SM SN VS AMN 16   �  SB SC VS ABC 25 � VS AMN 16 8a 3  VS ABC  25 75 Thể tích : V ABCMN  VS ABC  VS AMN a 3 8a 3 3a 3 (đvdt)    75 50 50 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Cho tứ diện SABC có SA = a vng góc với đáy, đáy ABC tam giác vng cân B, AC = 2a.Lấy I thuộc SB cho SI = SB/3 Tính VSAIC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Cạnh bên SA= a Một mp(P) qua AB vng góc với mp(SCD), cắt SC SD C’ D’ a) Tính diện tích tứ giác ABC’D’ b) Tính V khối đa diện ABCDD’C’ Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Bài 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Lấy điểm B', C' AB AC cho AB'  a 2a ; AC '  Tính thể tích tứ diện AB'C'D Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy tam giác ABC vuông B AB=a, BC=2a, AA’=3a Một mp(P) qua A vng góc với CA’ cắt đoạn thẳng CC’ BB’ M N a) Tính V khối chóp C.A’AB b) Tính V khối tứ diện A’AMN c) Tính SVAMN Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F 51 Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: a) Hãy xác định mp(AEMF); Tính thể tích khối chóp S.ABCD; b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA  a Gọi B’,D’ hình chiếu A lên SB,SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD; b) Chứng minh SC   AB ' D ' ;Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ 52 ... góc 450 Tính thể tÝch khèi chãp S.ABCD 26 Chuyên đề ? ?Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện? ??: PHẦN III: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Loại 1: Thể tích khối lăng... để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích. .. sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện them vào khối đa diện tạo thành, dễ tính thể tích d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau : Cho