Câu 1.Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của bằng A. .B. .C. .D. .Lời giảiDiện tích của là .Câu 2.Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng , và đồ thị hàm số là phân số tối giản . Khi đó bằngA. .B. .C. .D. .Lời giải Ta có loại loại Suy ra Khi đó .
Câu Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x − x + , y = x + (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích ( H ) 37 A B 109 C 454 25 D 91 Lời giải Diện tích ( H ) 5 ( ) S = ∫ x − x + − ( x + 3) dx = ∫ x + − x − x + dx 0 1 = ∫ ( x + 3) dx − ∫ ( x − x + 3) dx − ∫ ( x − x + ) dx + ∫ ( x − x + ) dx 0 5 x2 x x3 x3 2 = + x ÷ − − x + x ÷ − − x + x ÷ + − x + x ÷ 0 1 = Câu 55 4 20 109 − + + ÷ = 3 3 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng y = x , y = x đồ thị hàm số y = x phân số tối giản a Khi a + b b A 62 B 67 C 33 D 66 Lời giải -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 -1 -1 -2 -3 -4 y x Ta có x = x3 = x ⇔ loại x = −2 x = ±2 x = x3 = x ⇔ loại x = −1 x = ±1 2 Suy S = ∫ 2 ( x − x ) dx − ∫ ( x − x ) dx = 82x − x4 ÷ 0 3 1 63 x2 x4 − − ÷ = 16 − = 4 0 Khi a + b = 67 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a , b , c hình vẽ Mệnh đề đúng? y x a O b c B ( f ( b ) − f ( a ) ) ( f ( b ) − f ( c ) ) < A f ( c ) + f ( a ) − f ( b ) > C f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) D f ( c ) > f ( b ) > f ( a ) Lời giải Quan sát đồ thị ta có f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] suy hàm số y = f ( x ) nghịch biến [ a; b] suy f ( a ) > f ( b ) f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ b; c ] suy hàm số y = f ( x ) đồng biến [ a; b ] suy f ( c ) > f ( b ) f ( c ) + f ( a ) − f ( b ) = f ( a ) − f ( b ) + f ( c ) − f ( b ) > Vậy f ( c ) + f ( a ) − f ( b ) > Câu Cho hàm số y = x − mx ( < m < 4) có đồ thị ( C ) Gọi S1 + S diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) , trục hoành, trục tung đường thẳng x = (phần tơ đậm hình vẽ bên dưới) Giá trị m cho S1 = S B m = A m = 10 D m = C m = Lời giải x = Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) trục Ox là: x − mx = ⇔ x = m ( < m < 4) m S1 = ∫ S2 = ∫ m Câu Ta m x x3 m3 x − mx dx = ∫ ( mx − x ) dx = m − ÷ = 0 m 2 x3 x2 64 m3 x − mx dx = ∫ ( x − mx ) dx = − m ÷ = − 8m + 3 m m 2 có: S1 = S2 ⇔ 8m − 64 =0⇔m= 3 Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y = f '( x ) cho hình vẽ bên Tính giá trị H = f (4) − f (2) ? A H = 45 B H = 64 C H = 51 D H = 58 Lời giải Theo y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ ) y = f ′ ( x ) hàm bậc hai 2 có dạng y = f ′ ( x ) = a′x + b′x + c′ c′ = a′ = Dựa vào đồ thị ta có: a′ − b′ + c′ = ⇔ b′ = ⇒ y = f ′ ( x ) = 3x + a ′ + b′ + c ′ = c ′ = Gọi S diện tích phần hình phẳng giới hạn đường y = f ′ ( x ) , trục Ox , x = 4, x = Ta có S = ∫ ( x + 1) dx = 58 4 2 Lại có: S = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( ) Do đó: H = f ( ) − f ( ) = 58 Câu Cho hình D giới hạn đường y = x − y = − x Khi diện tích hình D A 13 B C 7π D 13π Lời giải Diện tích hình phẳng D 1 S = ∫ ( − x − x + ) d x = − x − x3 + x ÷ = 0 Câu Cho hai đường tròn ( O1 ;5 ) ( O2 ;3) cắt hai điểm A , B cho AB đường kính đường trịn ( O2 ;3) Gọi ( D ) hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay ( D ) quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành A V = 36π B V = 68π C V = 14π D V = 40π Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 ≡ O , O2C ≡ Ox , O2 A ≡ Oy Cạnh O1O2 = O1 A2 − O2 A2 = 52 − 32 = ⇒ ( O1 ) : ( x + ) + y = 25 Phương trình đường trịn ( O2 ) : x + y = Kí hiệu ( H1 ) hình phẳng giới hạn đường y = 25 − ( x + ) , trục Ox , x = , x = Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = − x , trục Ox , x = , x = Khi thể tích V cần tính thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình ( H2 ) xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình ( H1 ) xung quanh trục Ox 3 Ta có V2 = π r = π = 18π 3 x + 4) ( Lại có V1 = π ∫ y dx = π ∫ 25 − ( x + ) dx = π 25 x − 0 1 Do V = V2 − V1 = 18π − Câu = 14π 14π 40π = 3 Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách khoét bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB = cm, OH = cm Tính diện tích bề mặt hoa văn A 160 cm B 140 cm C 14 cm D 50 cm Lời giải Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm phương trình là: ( P ) : y = − 16 16 x + x 25 Diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) : y = − 16 16 x + x , trục hoành đường thẳng 25 5 40 16 16 x = , x = là: S = ∫ − x + x ÷dx = 25 0 Tổng diện tích phần bị khoét đi: S1 = S = 160 cm Diện tích hình vng là: S hv = 100 cm Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: S = S hv − S1 = 100 − Câu 160 140 = cm 3 Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc 6cm , chiều cao lòng cốc 10cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy A 240cm3 B 240π cm3 D 120π cm3 C 120cm3 Lời giải z h A S(x) O x y α α B C x Đặt R = ( cm ), h = 10 ( cm ) Gán hệ trục tọa độ hình vẽ Một mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm x ( −6 ≤ x ≤ ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S ( x ) Ta thấy thiết diện tam giác vng, giả sử tam giác ABC vuông B hình vẽ Ta có S ( x ) = S ABC = 1 h ( 36 − x ) AB.BC = BC tan α = ( R − x ) = 2 R 6 Vậy thể tích lượng nước cốc V = ∫ S ( x ) dx = −6 ∫ −6 ( 36 − x ) dx = 240 ( cm3 ) Câu 10 Cho vật thể có mặt đáy hình trịn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( −1 ≤ x ≤ 1) thiết diện tam giác Tính thể tích V vật thể A V = C V = B V = 3 D V = π Lời giải Tại vị trí có hồnh độ x ( −1 ≤ x ≤ 1) tam giác thiết diện có cạnh − x ( Do tam giác thiết diện có diện tích S ( x ) = − x Vậy thể tích V vật thể là: ∫ −1 ( − x ) dx = Câu 11 Hình phẳng ( H ) giới hạn parabol y = ) = − x2 ( ) 4 x2 x2 đường cong có phương trình y = − 12 Diện tích hình phẳng ( H ) bằng: A ( 4π + 3 ) B 4π + C +π D 4π + Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm là: x2 x4 x2 x2 ⇔ 4− = 4− = 144 12 x = 12 x4 x2 ⇔ ⇔ + − = ⇔ x + 36 x − 576 = ⇔ x = ±2 x = − 48 144 Diện tích hình phẳng ( H ) 3 x2 x2 x2 − − d x = 16 − x d x − ÷ ∫ ∫ ∫ 12 dx ÷ 12 −2 −2 −2 là: S = π π 16 − x dx Đặt x = 4sin t , với t ∈ − ; ⇒ dx = cos tdt 2 Xét I = ∫ −2 Với x = −2 ⇒ t = − Với x = ⇒ t = Khi đó: I = π ∫ π π π 16 − 16sin t cos t dt = π − ∫ 16 cos π − π t dt = ∫ ( + cos 2t ) dt − π π 16π = t + sin 2t ÷ = +4 −π 3 16π x + ÷− Vậy: S = 2 36 −2 = ( 4π + 3 = 24 + 24 8π 8π + − ÷ ÷= +2 − 3 36 ) Câu 12 Một ô tô chuyển động nhanh dần với vận tốc v ( t ) = 7t ( m/s ) Đi ( s ) người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 ( m/s ) Tính quãng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn? A 87,50 ( m ) B 94, 00 ( m ) C 97,50 ( m ) D 96, 25 ( m ) Lời giải 5 t2 = 87,5 ( m ) Quãng đường ô tô ( s ) đầu s1 = ∫ 7tdt = 20 Phương trình vận tốc tô người lái xe phát chướng ngại vật v( 2) ( t ) = 35 − 70t ( m/s ) Khi xe dừng lại hẳn v( 2) ( t ) = ⇔ 35 − 70t = ⇔ t = 2 Quãng đường ô tô từ phanh gấp đến dừng lại s2 = ( 35 − 70t ) dt ∫ = ( 35t − 35t ) = 8,75 ( m ) Vậy quãng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng s = s1 + s2 = 87,5 + 8, 75 = 96, 25 ( m ) Câu 13 Tính diện tích A S = e − S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ln x , y = , y = − x B S = e − C S = e + Lời giải D S = e + e x2 S = − − x d x + − ln x d x ) = Ta có ∫0 ( ) ∫1 ( e −1 = − − ∫ x dx = − + x x e 1 + x ( − ln x ) e e − ∫ xd ( − ln x ) 1 = − + ( e − 1) = e − 2 f ( x) , Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Đặt M = max [ −2;6] m = f ( x ) , T = M + m Mệnh đề đúng? [ −2;6] A T = f ( ) + f ( −2 ) B T = f ( ) + f ( −2 ) C T = f ( ) + f ( ) D T = f ( ) + f ( ) Lời giải Gọi S1 , S , S3 , S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với trục hoành Quan sát hình vẽ, ta có −2 ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x) −2 > f ( x) ⇔ f ( ) − f ( −2 ) > f ( ) − f ( ) ⇔ f ( −2 ) < f ( ) ∫ − f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) < f ( x ) ⇔ f ( ) − f ( ) < f ( 5) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( 5) ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) > f ( x ) 5 ⇔ f ( 5) − f ( 2) > f ( 5) − f ( 6) ⇔ f ( 2) < f ( 6) Ta có bảng biến thiên f ( x ) = f ( ) m = f ( x ) = f ( −2 ) Dựa vào bảng biến thiên ta có M = max [ −2;6] [ −2;6] Khi T = f ( ) + f ( −2 ) Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x tiếp tuyến với đồ thị M ( 4, ) trục hoành A B C D Lời giải Gọi d phương trình tiếp tuyến hàm số y = x M ( 4, ) ⇒ d : y = x +1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , d trục Ox 1 1 S = ∫ x + 1÷dx + ∫ x + − x ÷dx = 4 −4 0 Câu 16 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x đường thẳng y = mx với m ≠ Hỏi có số ngun dương m để diện tích hình phẳng ( H ) số nhỏ 20 A B C Lời giải D x = Ta có phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị : x = mx ⇔ x = m Suy π π ∫ −1 Vậy S = π π 4 − x dx = ∫ cos tdt = ∫ ( + cos 2t ) dt = t + sin 2t ÷ = + −π π π − − 4 π 3π + 10 +1+ = Câu 47 Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường có phương trình x y = x e , trục Ox , x = 1, x = quay vòng quanh trục Ox A π e B 16π C π e D 4π Lời giải 2 x Thể tích vật thể là: V = π ∫ x e ÷ dx = π ∫ x.e dx 1 2 x 2 Đặt u = x → u ′ = ; v′ = e → v = e Vậy V = π ∫ x.e dx = π x.e x x x x x = π x.e − π e x 2 − π ∫ e x dx = π e2 Câu 48 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = − x + 2, y = x + 2, x = Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng ( H ) quanh trục hoành A V = 27π B V = 9π C V = 9π D V = 55π Lời giải Giải phương trình − x + = x + ⇔ x = −2 Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng ( H ) quanh trục hoành −1 26 55π V = π ∫ ( x + ) dx + π ∫ ( x + ) dx = π + ÷ = 2 −2 −1 Câu 49 Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( P ) Các tiếp tuyến với đồ thị O ( 0;0 ) A ( 3;3) cắt B Tính diện tích hình phẳng giới hạn cung OA ( P ) hai tiếp tuyến BO , BA A (dvdt) B (dvdt) C (dvdt) D (dvdt) Lời giải TXĐ: D = ¡ y ′ = x − Tiếp tuyến O ( 0;0 ) OB : y = y ′ ( ) ( x − ) + ⇔ y = −2 x 3 Tiếp tuyến A ( 3;3) AB : y = y ′ ( 3) ( x − 3) + ⇔ y = x − ; OB ∩ AB = B ; −3 ÷ 2 3 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ∫ x dx + ∫ ( x − x + ) dx = 9 + = (đvdt) 8 Câu 50 Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = 0, x = biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với Ox điểm có hồnh độ x ( ≤ x ≤ 3) hình chữ nhật có kích thước x − x A 36 (đvtt) B (đvtt) C 18 (đvtt) D 54 (đvtt) Lời giải Thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm có hồnh độ x , ( ≤ x ≤ 3) hình chữ nhật có kích thước x − x Diện tích thiết diện là: S ( x ) = x − x ⇒ Thể tích vật thể trịn xoay: V = ∫ x − x dx = 18 (đvtt) Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , đường thẳng y = − x trục hồnh Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox A 7π B 4π C 5π D 5π Lời giải Ta có V = π ∫ x dx + π ∫ ( − x ) dx = π π 5π + = Câu 52 Cho hình thang ABCD có AB song song CD AB = AD = BC = a, CD = 2a Tính thể tích khối trịn xoay quay hình thang ABCD quanh trục đường thẳng AB 5 3− 2 A π a B π a C D π a πa Lời giải Dễ thấy ABCE hình bình hành nên AE = BC = a Vậy ADE tam giác Có AH = a a x = 0, x = 2a Xét hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Có phương trình CD : y = − ; D ; C a A ;0 ÷ 2 Phương trình AD : y = x − a a a 2 2 Vậy V = π a ÷ − 2π x − a ÷ = 3π a 2a − 2π x − 3ax + 3a ÷ ∫0 ÷ ∫0 ∫0 ÷ 4 2a 3π a 3a 3a − 2π x − x + 2 a 3π a a3 x÷ = − 2π = π a 0 Cách 2: Thể tích khối trịn xoay tạo theo đề thể tích khối trụ có chiều cao 2a bán kính đáy a a a trừ thể tích hai khối nón có chiều cao bán kính đáy Vậy 2 2 a 3 a 3 a V = π a − π ÷ ÷ ÷ ÷ = 4πa Câu 53 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( H ) : y = Khi giá trị S A ln + (đvdt) B ln + (đvdt) Phương trình hồnh độ giao điểm là: Diện tích hình phẳng cần tìm: S = ∫ C ln − (đvdt) Lời giải x −1 trục tọa độ x +1 D ln − (đvdt) x −1 = ⇔ x = x +1 1 x −1 dx = ∫ 1 − dx = x − ln ( x + 1) = ln − ÷ x +1 x +1 0 Hoặc dùng máy tính cầm tay, ta suy nhanh kết đáp án D 3 Câu 54 Cho hình ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung trịn có phương trình y = − x (với ≤ x ≤ 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Biết thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành c a c a V = − + ÷π , a, b, c, d ∈ ¥ * , phân số tối giản Tính d b d b P = a +b+c +d A P = 52 B P = 40 C P = 46 D P = 34 Lời giải 3 x = − x2 ⇔ x = Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 V = π ∫ x3 ÷ ÷ dx + 0 =π ∫ x dx + 27 ∫( − x2 ∫ ( − x ) dx ) dx x7 =π 27 x3 + 4x − ÷ 3 20 16 = − + ÷ π 3÷ ⇒ a = 20, b = 7, c = 16, d = ⇒ P = a + b + c + d = 46 Câu 55 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x , y = − x , trục Oy Quay ( H ) quanh trục Ox Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành 11π 11 A V = B V = C V = 6 D V = 5π Lời giải Trục Oy có phương trình x = 0 ≤ x ≤ 0 ≤ x ≤ ⇔ x = ⇔ x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x = − x ⇔ x − 5x + = x = Vậy thể tích V khối tròn xoay tạo thành là: V = π ∫ ( − x ) − ( ) x 1 0 dx = π ∫ x − x + dx = π ∫ ( x − x + ) dx x3 x 11π = π − + 4x ÷ = 0 Câu 56 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x − , y = − x − x A S = 9π B S = C S = −9 D S = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số: x =1 x2 − = − x2 − x ⇔ 2x + 2x − = ⇔ x = −2 Diện tích cần tìm là: S= ∫ −2 1 x + x − dx = ∫ ( −2 x − x + ) dx = − x3 − x + x ÷ = −2 −2 2 Câu 57 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = tan x , trục hoành, trục tung đường thẳng x = A S = π − π2 π B S = − π C S = + Lời giải π π 0 2 ∫ tan xdx = ∫ ( tan x + − 1) dx = ( tan x − x ) π o = 1− π π D S = π + π2 Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = x = π , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( ≤ x ≤ π ) tam giác cạnh sin x A V = π B V = 3π D V = π C V = Lời giải π ( ) V = ∫ sin x π π dx = ∫ sinxdx = − ( cos x ) = π Câu 59 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = cos x , y = , x = x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục Ox A V = π B V = π2 π + C V = π + D V = Lời giải Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục Ox là: π π π + cos x ) π ( = π π + 1=π +π = x + sin x ÷ V = π ∫ ( cos x ) dx = π ∫ dx ÷ 2 2 0 2 0 Câu 60 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) : y = 2x −1 , đường tiệm cận ngang x −1 (C ) hai đường x = 2; x = A S = ln B S = + ln C S = + ln D S = − ln Lời giải Đường tiệm cận ngang y = khơng có giao điểm với đồ thị hàm số Cơng thức tính diện tích ∫ 2x −1 − dx = ∫ dx = x −1 x −1 ∫ x − dx = ln Câu 61 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) : y = x − 3x tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ x = −1 A S = B S = 108 C S = − D S = −108 Lời giải ( C) : y = x − 3x y ' = 3x − x ⇒ k = y ' ( −1) = x0 = −1 ⇒ y0 = −4 Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm có hồnh độ x = −1 là: y = x + x = −1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x = x + ⇔ x = 5 S= ∫x − 3x − x − dx =108 −1 Câu 62 Cho vật thể ( T ) giới hạn hai mặt phẳng x = , x = Cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox x , với ≤ x ≤ , người ta thiết diện hình vng có cạnh − x Thể tích vật thể : A B 15 C π D π 15 Lời giải 1 Ta có: V = ∫ S ( x ) dx = ∫ − x 2 x3 dx = x − ÷ = 0 Câu 63 Cho hình phẳng giới hạn Elip x2 + y = , parabol y = x trục hoành (phần tô đậm a c a c (vi a, c Â; b, d Ơ * ; , hình vẽ) có diện tích T = π + phân số tối b d b d giản) Tính S = a + b + c + d A S = 32 Ta có: B S = 10 Mà ∫ x2 parabol y = x x2 = x ⇒ x + x − = ⇒ x = ⇒ x = (theo hình vẽ x > ) Vậy T = ∫ D S = 21 x2 x2 + y2 = ⇒ y = ± 1− 4 Hoành độ giao điểm (E’) y = − 1− C S = 15 Lời giải x2 x dx + ∫ − dx 1 3x3 x dx = = 6 Ta có: I = ∫ − x2 dx = ∫ − x dx Đặt x = cos t ta có: 21 ∫ − x dx = ∫ π 4sin t ( −2sin t ) dt π π 0 = ∫ sin tdt = ∫ ( − cos 2t ) dt = 2π − −1 Do T = π + nên S = 15 12 Câu 64 Cho hình ( H ) giới hạn trục hoành, Parabol đường thẳng tiếp xúc Parabol điểm A ( 2; ) (như hình vẽ bên dưới) Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox A 32π B 16π 15 2π C D 22π Lời giải Phương trình ( P ) : y = x , tiếp tuyến ( P ) điểm A y = x − 2 Thể tích vật thể là: V = π ∫ x dx − π ∫ ( x − ) dx = 16π 15 Câu 65 Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x trục Ox Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng (H) quay quanh trục Ox 16π 18π 17 π 19π A B C D 15 15 15 15 Lời giải x = 16π x − x2 = ⇔ ⇒ V = π ∫ (2 x − x ) dx = 15 x = 2 Câu 66 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian t a (t ) = 3t + t Tính quảng đường L vật khoảng 10s kể từ bắt đầu tăng tốc A 3400 m B 4300 m C 130 m Lời giải v '(t ) = a (t ) = 3t + t ⇒ v (t ) = 3t t + +C D 130 m 10 3t t 3t t 4300 + + 10 ⇒ L = ∫ + + 10 ÷dt = t = v (t ) = 10 ⇒ C = 10 ⇒ v (t ) = 3 0 Câu 67 Người ta thay nước cho bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu 280 cm Giả sử h ( t ) chiều cao (tính cm) mực nước bơm thời điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t h′(t ) = t + lúc đầu hồ bơi khơng có 500 độ sâu hồ bơi (làm tròn đến giây)? C 35 giây D 36 giây nước Hỏi sau bơm số nước A 36 giây B 34 giây Lời giải Gọi x thời điểm bơm số nước độ sâu bể ( x tính giây ) x x 3 t + 3dt = 210 ⇒ ( t + 3) = 105000 ⇒ ( x + 3) x + − 3 = 140000 Ta có: ∫ 500 0 ⇒ ( x + 3) = 3 + 140000 ⇒ x + = (3 3 + 140000 ) ⇒x= (3 3 + 140000 ) −3 ⇒ x ≈ 7234,8256 x x , y = − , x = x = (phần hình phẳng bên phải trục Oy ) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox 512 196 272 112 π π π π A B C D 15 15 15 15 Câu 68 Gọi D hình phẳng giới hạn đường y = Lời giải x x đối xứng qua trục hoành đường thẳng y = 2 Thể tích cần tìm V = V1 + V2 x + V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H1 ) : y = , y = , x = , x = 2 Ox quanh trục V1 = 2.π 12 = π 3 Ta có: đường thẳng y = − + V2 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H1 ) : y = x2 , y = 0, x = , x = 4 quanh trục Ox x2 62 V2 = π ∫ ÷ dx = π 4 2 196 π Vậy V = 15 Câu 69 Kí hiệu S1 , S , S3 diện tích hình vng có cạnh 1, hình trịn có bán kính 1, hình phẳng giới hạn hai đường y = − x , y = ( − x ) Tính tỉ số S1 + S3 = S2 A B S1 + S3 = S2 C S1 + S3 = S2 S1 + S3 S2 D S1 + S3 = S2 Lời giải Ta có S1 = 1; S2 = π x = Xét phương trình − x = ( − x ) ⇔ , suy S3 = x = S1 + S3 = Vậy S2 ∫( ) − x − ( − x ) dx = π −1 Câu 70 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = x − x + 12 tiếp tuyến điểm A ( 1; ) B ( −1;19 ) A B C D Lời giải y = x − x + 12 ⇒ y ' = x − Tiếp tuyến A ( 1;7 ) có phương trình: y = ( 2.1 − ) ( x − 1) + hay y = −4 x + 11 ( d1 ) Tiếp tuyến B ( −1;19 ) có phương trình: y = ( ( −1) − ) ( x + 1) + 19 hay y = −8 x + 11 ( d ) Phương trình hồnh độ giao điểm d1 , d −4 x + 11 = −8 x + 11 ⇔ x = Diện tích hình phẳng là: S= ∫x −1 = ∫x − x + 12 − ( −8 x + 11) dx + ∫ x − x + 12 − ( −4 x + 11) dx −1 + x + dx + ∫ x − x + dx = ( x + 1) = 3 −1 ( x − 1) + 3 = ∫ ( x + 1) −1 dx + ∫ ( x − 1) dx Câu 71 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x , y = x Khối tròn xoay tạo ( H ) quay quanh Ox tích là: 1 ( ) A π ∫ ( x − x ) dx (đvtt) B π ∫ x − x dx (đvtt) C π ∫ 0 ( ) D π ∫ ( x − x ) dx (đvtt) x − x dx (đvtt) Lời giải x = Xét phương trình: x = x ⇔ x − x = ⇔ x = Trên đoạn [ 0;1] đồ thị hàm số dấu Thể tích cần tìm là: V = π ∫ (( x nằm phía đồ thị hàm số y = x giá trị hai hàm số có x ) − ( x3 ) ) dx = π ∫ ( x − x ) dx (đvtt) Câu 72 Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h ( t ) thể tích nước bơm sau t giây Cho h′ ( t ) = 6at + 2bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 90m3 , sau giây thể tích nước bể 504m3 Tính thể tích nước bể sau bơm giây A 1458m3 B 600m3 C 2200m3 D 4200m3 Lời giải ∫ ( 6at 0 ∫ ( 6at + 2bt ) dt = 90 ⇔ ( 2at + bt ) = 90 ⇔ 54a + 9b = 90 (1) + 2bt ) dt = 504 ⇔ ( 2at + bt ) = 504 ⇔ 432a + 36b = 504 (2) a = Sau bơm giây thể tích nước bể là: Từ (1), (2) ⇒ b = 9 V = ∫ ( 4t + 12t ) dt = t + 6t ÷ = 1458 ( m3 ) 3 0 Câu 73 Cho ( H ) hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) : y = − x + x đường thẳng d : y = x Tính thể tích V vật thể trịn xoay hình phẳng ( H ) quay xung quanh trục hoành A V = 81π 10 B V = 81π C V = Lời giải x = − x2 + x = x ⇔ x = 108π D V = 108π 10 3 x5 108π V = π ∫ ( − x + x ) − x dx = π ∫ x − x + 15 x dx = π − x + x3 ÷ = 0 0 2 Câu 74 Bạn An dự định bơm nước vào bể chứa Gọi h ( t ) ( cm ) mực nước bể sau bơm t giây Biết h ' ( t ) = t + lúc đầu bể khơng có nước Mực nước ( cm ) bể sau bơm giây (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng: A 72, 69 B 72,59 C 72,96 D 72,95 Lời giải Vì lúc đầu bể khơng có nước nên h ( ) = 8 0 Mực nước ( cm ) bể sau bơm giây ∫ h ' ( t ) dt = ∫ + tdt ≈ 72,95 Câu 75 Biết parabol y = 2 x chia hình trịn x + y ≤ thành hai phần Tỉ số diện tích phần chứa 1 điểm A 0; ÷ phần lại 2 A 9π − 8π + B 4π − 8π + C Lời giải 4π + 8π + D 4π + 8π − 1 - Gọi S1 diện tích phần chứa điểm A 0; ÷ S phần lại 2 1 1 ; ÷ N ; ÷ - Nhận thấy parabol cắt đường tròn hai điểm M − ÷ 2 2÷ ∫ - Ta có : S1 = − 2 4π + − x − x dx = 12 Diện tích hình trịn S = π ⇒ S = S − S1 = S 4π + 8π − ⇒ = S 8π − 12 Câu 76 Xét ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) = a sin x + b cos x (với a, b số thực dương), trục hoành, trục tung đường thẳng x = π Nếu vật thể tròn xoay tạo 5π f ′ ( ) = 2a + 5b C D 10 thành quay ( H ) quanh trục Ox tích B 11 A Lời giải f ′ ( x ) = a cos x − b sin x ; f ′ ( ) = ⇒ a = f ( x ) = a sin x + b cos x = a + b sin ( x + α ) với α = arc cos π V = π ∫ ( a + b ) sin 2 ( x + α ) dx = π ( a + b2 ) = Lại có: V = = π ( + b2 ) a + b2 π ∫ 1 − cos ( x + 2α ) dx π π ( a2 + b2 ) π ( a + b2 ) = x − sin ( x + 2α ) = 2 π ( a + b2 ) a 1 π − sin ( 2π + 2α ) + sin ( 2α ) 5π ⇒ + b = ⇒ b = (vì b > ) Vậy 2a + 5b = Lưu ý: π Có V = π ∫ ( asinx + bcosx ) dx=π ∫ π 0 thể làm bình thường: ( a sin x + 2absinx + bcos x ) dx (Dùng công thức hạ bậc nhận xét: ∫ π π sin xdx = 0; ∫ cos xdx = ) Câu 77 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn hai parabol x = −2 y x = − y ? A S = B S = C S = D S = Lời giải y =1 2 Giải phương trình −2 y = − y ⇔ y = ⇔ y = −1 S= ∫ −2 y − + y dy = −1 ∫( y −1 − 1) dy = 2∫ ( y3 y − 1) dy = − y ÷ = 0 Câu 78 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = − π π , x = Biết cắt vật thể 4 π π mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x − ≤ x ≤ ÷ thiết diện 4 tam giác có cạnh π A V = ò cos x dx - π cos x π π 3 cos x dx C V = ò cos x dx D V = ò cos x dx π π B V = ò - π π - - Lời giải: Diện tích thiết diện S ( x ) = ( ) cos x 3 = cos x 4 π π Thể tích vật thể cho V = ị S ( x ) dx = ò - π - π cos x dx Câu 79 Cho đường trịn có đường kính Elip nhận đường kính vng góc đường tròn làm trục lớn, trục bé Elip Diện tích S phần hình phẳng bên đường trịn bên ngồi Elip (phần gạch carơ hình vẽ) gần với kết kết đây? A S = 4,8 B S = 3,9 C S = 3, Lời giải D S = 3, Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ x2 y2 x2 y + =1 ( E2 ) : + = 1 Tọa độ giao điểm hai Elip góc phần tư thứ nghiệm phương trình: x2 1− = ⇔ x2 = ⇒ x = x2 + 5 Hai Elip có phương trình: ( E1 ) : Diện tích hình phẳng cần tìm: S = π 22 − π 2.1 − 5 ∫ x2 − x2 − − ÷dx = 3, 71 ÷ BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.A 21.C 31.D 41.B 51.C 61.B 71.D 2.B 12.D 22.C 32.B 42.A 52.A 62.A 72.A 3.A 13.A 23.A 33.B 43.A 53.D 63.C 73.C 4.D 14.B 24.B 34.B 44.A 54.C 64.B 74.D 5.D 15.A 25.A 35.D 45.C 55.B 65.A 75.D 6.B 16.A 26.D 36.A 46.D 56.B 66.B 76.C 7.D 17.A 27.C 37.A 47.C 57.B 67.C 77.A 8.B 18.A 28.A 38.D 48.D 58.C 68.B 78.B 9.A 19.A 29.A 39.A 49.B 59.B 69.C 79.C 10.C 20.B 30.D 40 50.C 60.A 70.B ... f ( ) Do đó: H = f ( ) − f ( ) = 58 Câu Cho hình D giới hạn đường y = x − y = − x Khi diện tích hình D A 13 B C 7π D 13π Lời giải Diện tích hình phẳng D 1 S = ∫ ( − x − x + ) d x = −... = 14π 14π 40π = 3 Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách khoét bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB = cm, OH = cm Tính diện tích bề mặt hoa văn A 160... hàm số y = x y = x đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = x y = x quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn hai đường