1 Hệ pt tuyến tính12 Ma trận:13 Phép biến đổi sơ cấp:14 Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn:15 Các phép toán đối với ma trận:36 Ma trận chuyển vị:37 Ma trận nghịch đảo:38 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp:410 Định nghĩa định thức:511 Các tính chất của định thức:51 Hệ pt tuyến tínhHệ pt tuyến tính tổng quát (m pt, n ẩn) có dạng: (1.1) ở đây là các ẩn phải tìmĐịnh nghĩa: 2 hpt có cùng số ẩn số được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau (tức là nghiệm của hệ này là tập nghiệm của hệ kia)Định lí: các phép biến đổi sau đây chuyển 1 hệ pt tuyến tính thành 1 hệ tương đương:1 nhân 2 vế của 1 pt cho 1 số khác 02 cộng 1 pt đã được nhân cho 1 số a vào 1 pt khác 3 đổi vị trí 2 pt
Chương 2: Hệ pt tuyến tính 1/ Hệ pt tuyến tính .9 2/ Ma trận: 10 3/ Phép biến đổi sơ cấp: .10 4/ Ma trận bậc thang ma trận bậc thang rút gọn: 10 5/ Các phép toán ma trận: 12 6/ Ma trận chuyển vị: 13 7/ Ma trận nghịch đảo: .14 8/ Tìm ma trận nghịch đảo nhờ phép biến đổi sơ cấp: 15 10/ Định nghĩa định thức: 16 11/ Các tính chất định thức: 17 * định lý: 32 * .33 * .33 33 * .34 34 34 35 35 35 35 36 36 37 37 37 38 39 * Đạo hàm tổng (hiệu): 40 * Đạo hàm tích: 40 * Đạo hàm thương: 41 * Đạo hàm hàm số hợp: 41 4/ Đạo hàm hàm ẩn: 48 Công thức Maclaurin .52 Công thức Maclaurin số hàm bản: 52 52 53 54 54 56 57 57 .58 58 58 59 61 61 7/ Quy tắc L’hopital: 63 8/ Tính đạo hàm dạng: .65 Bài tập: .65 1/ Bài tập tính đạo hàm dạng: 65 1/ 66 2/ 66 3/ 66 67 2/ Bài tập tính đạo hàm hàm ẩn: 71 3/ Bài tập định lí trung bình: 71 4/ Bài tập khai triển Maclaurin 72 5/ Bài tập tính giới hạn = cơng thức Taylor: 74 6/ Bài tập tính giới hạn = qui tắc L’Hopital: 76 7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng qui tắc L’Hopital: 78 */ Find x, know: .79 1/ List of elementary function 90 .95 .95 1/ 96 98 99 .100 .102 .104 .105 * 107 .109 .109 110 112 112 113 115 116 117 118 119 .122 .123 .133 .133 .134 .134 .136 .137 .137 .139 .140 .140 .141 4/ 141 .142 .142 .143 5/ Tích phân hàm lượng giác: 143 .143 .145 .146 .146 .147 .148 .149 .150 .151 .152 .153 .154 .155 .156 Check the result 158 .159 .161 .161 .162 .165 .165 .166 .167 6/ Tích phân hàm mũ: 176 1/ 176 .178 2/ 178 .179 .180 180 .181 .181 .182 7/ Kĩ thuật liên kết tích phân: 183 .183 .184 .184 .185 .186 .186 .187 .188 .188 .188 .189 .189 .189 .191 .193 .194 .195 .196 .196 .197 .198 .198 .199 .199 .200 * 201 .202 .203 .204 .205 .205 .206 .206 .207 .208 .208 * Help me to check the solution ? 210 211 211 .212 8/ Tích phân hàm trị tuyệt đối: 213 .213 .213 .213 Chương 5d: 219 Tích phân hàm vơ tỉ: 228 .231 .233 .236 .238 .238 .240 .240 .242 .243 .244 .247 .249 .250 .250 .250 .252 .252 .253 .253 .254 .254 .256 .256 .257 .257 .258 .258 .261 .266 .268 .272 .274 .276 .277 .279 280 .280 .281 .281 282 .282 .283 .285 8/ 295 .297 * 299 .299 .304 * 305 * 306 * 307 .309 * 310 * 311 .312 .314 .314 .315 .317 .319 .320 .322 .323 .324 .325 .329 .329 .330 .330 .330 .331 .331 .332 .332 .333 .334 .334 .335 .336 * 336 .337 .338 .339 .339 340 .341 .342 .343 .344 .344 .347 .348 .349 .350 .351 .361 .362 .363 .363 .365 .365 .366 .367 .368 .369 .370 .371 .372 .373 .374 .375 .375 .376 .377 .378 .379 .380 .380 .382 .382 .383 .384 .385 .385 .385 .386 .386 .386 .387 388 .388 .388 .389 .390 .390 .391 .392 .393 .393 .393 .396 .398 With n = 4: 400 Check the result: 400 .401 .402 .403 */ 403 .403 1/ Bài toán diện tích hình thang cong: .414 2/ Định nghĩa tích phân xác định: 415 3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): 415 4/ Các tính chất tích phân xác định: 418 5/ Công thức Newton – Leibnitz: 421 6/ Tính gần tích phân xác định: 423 a/ Đa thức nội suy: .423 Cơng thức hình thang: 424 Công thức Simpson: .426 7/ Ứng dụng hình học tích phân xác định: 427 7.1/ Tính diện tích hình phẳng: 427 .429 .430 7.2/ Trường hợp biên hình phẳng cho tọa độ cực 432 7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng .432 7.4/ Tính thể tích vật thể 435 7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay 436 7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay 437 8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân 438 9/ Tích phân suy rộng 439 9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân vơ hạn: 439 9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn 440 9.3/ Tiêu chuẩn so sánh: .440 9.4/ Hội tụ tuyệt đối .442 Cách đưa tích phân suy rộng loại tích phân suy rộng loại 442 Bài tập 443 .443 1/ Xét hội tụ tích phân suy rộng: 444 .445 .446 .447 .448 12/ Xét hội tụ tích phân: 449 13/ Xét hội tụ tích phân: 449 2/ Tính tích phân sau .450 .451 .451 .452 .453 .453 .456 .456 .457 .457 .458 .459 .459 .459 3/ Dùng định nghĩa tính tích phân: 460 4/ Tính đạo hàm: 462 5/ Tính giới hạn .462 .462 .463 .464 .465 .466 .467 1/ Hệ pt tuyến tính Hệ pt tuyến tính tổng qt (m pt, n ẩn) có dạng: a11.x1 + a12 x + + a1n x n = b1 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n (1.1) x1, x , x n ẩn phải tìm a m1.x1 + a m2 x + + a mn x n = bm Định nghĩa: hpt có số ẩn số gọi tương đương tập nghiệm chúng trùng (tức nghiệm hệ tập nghiệm hệ kia) Định lí: phép biến đổi sau chuyển hệ pt tuyến tính thành hệ tương đương: 1/ nhân vế pt cho số khác 2/ cộng pt nhân cho số a vào pt khác 3/ đổi vị trí pt 2/ Ma trận: Bảng hệ số hệ (1.1) a11 a12 a1n a ÷ 21 a 22 a 2n ÷ ÷ ÷ a m1 a m2 a mn ta gọi ma trận hệ số hệ (1.1), thêm cột vế phải ta ma trận mở rộng: a11 a12 a1n b1 ÷ a 21 a 22 a 2n b ÷ ÷ ÷ ÷ a a a b m1 m2 mn m thay biến đổi trực tiếp ma trận (1.1), ta cần biến đổi ma trận mở rộng 3/ Phép biến đổi sơ cấp: 1/a định nghĩa: Ma trận loại m×n bảng hình chữ nhật m hàng, n cột với mn phần tử Nếu kí hiệu ma trận A phần tử hàng thứ i cột j a ij , ta viết: a11 a12 a1n b1 ÷ a 21 a 22 a 2n b ÷ A = a ij = phần tử a ij số thực, số phức, hàm số ÷ ÷ ÷ a a a b mn m m1 m2 Định nghĩa: phép biến đổi sau hàng ma trận gọi phép biến đổi sơ cấp đổi với hàng: 1/ Nhân phần tử hàng thứ i cho số a ≠ 0, ta viết: h i → a.h i 2/ Cộng phần tử hàng thứ i nhân cho a vào phần tử tương ứng hàng k, ta viết: h k → h k + a.h i 3/ Đổi vị trí hàng Nếu hàng thứ thứ k đổi vị trí cho ta viết: h i ↔ h k ( ) 4/ Ma trận bậc thang ma trận bậc thang rút gọn: Khái niệm: hàng ma trận gọi = tất phần tử = (Như hàng khác có phần tử khác 0) Phần tử khác hàng (từ trái sang phải) gọi phần tử or phần tử sở hàng 10 3/ Dùng định nghĩa tính tích phân: / I = ∫ e x dx, xét hàm so f ( x ) = e x , x ∈ [ 1, ] , f ( x ) liên tuc doan [ 1, 2] nên kha tích doan [ 1, 2] Chia doan [ 1, ] thành n doan bang boi phân diem : x o = 1, x1 = + i n , x = + , x i = + , , x n = + = 2, ∆x i = , n n n n n n i n 1+ n choose ci = x i , ⇒ I = lim ∑ e ∆x i = lim ∑e n →+∞ i =1 n →+∞ n i =1 xi i e n n = lim e = e lim ( e − 1) ÷ n e − ÷ ∑ n n →+∞ n i =1 n →+∞ ( ) ' ' 1 n 1 n Because lim e − ÷ = lim e − ÷ ÷ n nn n n →+∞ n →+∞ ' ' −1 −1 1 n = lim ÷ e ÷ ÷ = lim ÷.n e ÷ ÷ = lim n e = n →+∞ n n n n n →+∞ n n n →+∞ ( ) ( ) ⇒ I = ∫ e x dx = e ( e − 1) b 2/ I=∫ dx ax ( a < b ) , Xét hàm so f ( x ) = x2 , x ∈ [ a, b ] Chia [ a, b ] thành n doan bang boi phân diem : x o = a, x1 = a + ∆x, x = a + ∆x, n( b − a) x i = a + i.∆x, x n = a + n.∆x = a + =b n b−a ∆x = , choose ci ∈ [ x i , x i +1 ] , ci = x i x i +1 n ⇒ f ( ci ) = ci = 1 1 = = − ÷ x i x i +1 ( a + i.∆x ) ( a + ( i + 1) ∆x ) ∆x a + i.∆x a + ( i + 1) ∆x ÷ 460 b ⇒I=∫ dx ax n −1 n −1 i =0 i =0 1 lim ∑ − ÷.∆x ∑ f ( ci ) ∆x = n→+∞ ∆x a + i.∆x a + ( i + 1) ∆x ÷ n →+∞ = lim n −1 1 1 − ÷= − ∑ ∆x →0 i =0 a + i.∆x a + ( i + 1) ∆x ÷ a b I = lim / I = ∫ a x dx, Xét hàm so f ( x ) = a x , x ∈ [ 0,1] , f ( x ) kha tích doan [ 0,1] Chia doan [ 0,1] thành n doan bang boi phân diêm : x o = 0, x1 = + ∆x, x = + 2∆x, , x i = + i.∆x, , 1 x n = + n.∆x = n = 1, ∆x = n n n n i =1 i =1 f ( ci ) ∆x = lim ∑ a xi ∑ n n →+∞ n →+∞ Choose ci = x i ⇒ I = lim i = lim a n = lim a n n →+∞ n i =1 n →+∞ n ∑ n n ÷ ÷ − 1÷: a − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n ÷ ' Because lim n →+∞ a n −1 n = lim n →+∞ a n − 1÷ ÷ n ' 1 ÷ n n ' = lim n →+∞ 1 a −1 n = lim a ln a = ln a ⇒ I = a x dx = ln a n →+∞ ∫ 461 1 ÷ a n ln a n n ' 1 ÷ n n 4/ Tính đạo hàm: y x x y d d t2 t2 x2 1/ e dt = − e dt = − e dx ∫ dx ∫ a x3 x3 d dt d dt dt 2/ I = = + dx ∫2 + t dx ∫2 + t ∫ + t a x x d =− dx x2 d + ∫ + t dx a ∫ a d I1 = − dx x3 dt x2 ∫ a dt + t4 x2 dt = ∫ + t4 d x a + t4 dt d ( ) x3 d dt I2 = ∫ dx + t4 a x3 d dt ÷= ∫ ÷ d x3 ÷ a + t4 ( ) 2x ÷ x ' = ÷ x ÷ + x2 ( ) ( ) ÷ x ' ÷ x ÷ ( ) 5/ Tính giới hạn 1 1 / I = lim + + + + n.a + ( n − 1) b n →+∞ n.a n.a + b n.a + 2b ( a > 0, b > ) 1 1 I = lim + + + + , n − 1) b ( n →+∞ n a a + b a + 2b a+ n n n n −1 i.b Xét hàm so f ( x ) = , x ∈ [ 0,1] , Dat ci = , ∆x = ⇒ I = lim ∑ f ( ci ) ∆x a + b.x n n n →+∞ i =1 a ÷ dx a b =∫ = = ln x + ÷ a + b.x b ∫ x + a b b 0 0 b 1 a+b a a + b I = ln ÷− ln ÷ = ln ÷ b b b b a d x + 462 1 n + + + + + + ÷, n n n n →+∞ n / I = lim Xét hàm sô f ( x ) = + x , x ∈ [ 0,1] Put x i = n i , ∆x = ⇒ I = lim ∑ f ( x i ) ∆x n n n →+∞ i =1 ( x + 1) 1/2 +1 = 2 −1 = ∫ x + 1.dx = 1/2 + 0 ( ) n ( 2n ) ! = n! e n →+∞ n / lim / In = n ( 2n ) ! n = ( n + 1) ( n + ) ( n + n ) n n! n n n +1 n + n + n i =n ÷ ÷ ÷ = n ∏ 1 + ÷ n n n n i =1 n i n i ⇒ ln I n = ln ∏ + ÷÷ = ∑ ln 1 + ÷, n i =1 n ÷ n i =1 n Xét hàm sô f ( x ) = ln ( + x ) , x ∈ [ 0,1] n i 1 i Put x i = , ∆x = ⇒ lim ( ln I n ) = lim ∑ ln 1 + ÷ = ∫ ln ( + x ) dx n n n n →+∞ i =1 n n →+∞ Put u = ln ( + x ) ⇒ du = dx , dv = dx = d ( x + 1) ⇒ v = x + 1, 1+ x 1 ⇒ ln ( + x ) dx = u.v − v.du = ( x + 1) ln ( + x ) − dx 0 0 ∫ ∫ ∫ 4 = 2ln − = ln 22 − ln e = ln , lim ( ln I n ) = ln ⇒ lim I n = e n →+∞ e e n →+∞ 463 b a b n a+b a+b n / lim ∏ ( n.a + i.b ) = a ÷ e ÷ n →+∞ n i =1 b c3 −c2 n n 1 / I n = n ∏ ( n.a + i.b ) = n ∏ ( n ( c1 + c ) + i ( c3 − c ) ) n i =1 n i =1 tách a = c1 + c , b = c3 − c ⇒ a − c1 = c3 − b = c , c1 = a − c , c3 = b + c2 ⇒ c1 + c3 = a + b n n( c + c ) + i( c − c ) In = n ∏ n i =1 n ln In = ln ∏ c1 + c + i =1 c3 −c2 n i( c − c ) = ∏ c1 + c2 + ÷ n i=1 c3 −c2 i ( c3 − c2 ) n n ÷÷ ÷ i( c − c ) c3 − c2 n ln In = ∑ ln c1 + c + n n i =1 ⇒ lim n →+∞ ( ln In ) = ÷, lim c3 ∑ f ( xi ) ∆x = ∫ ln ( c1 + x ) dx, n →+∞ i =1 Dat u = ln ( c1 + x ) ⇒ du = c2 , c1 + x dv = dx = d ( c1 + x ) ⇒ v = c1 + x ⇒ c3 ∫ c2 ÷÷ ÷ i( c − c ) c3 − c n = ln ∏ c1 + c + n n i =1 c −c Xét hàm sô f ( x ) = ln ( c1 + x ) , x ∈ [ c ,c3 ] , ∆x = , n c −c x i = c2 + i.∆x = c2 + i n n c3 −c2 n c ln ( c1 + x ) dx = ( c1 + x ) ln ( c1 + x ) − c2 c3 ∫ dx c2 = ( c1 + c3 ) ln ( c1 + c3 ) − ( c1 + c2 ) ln ( c1 + c2 ) − ( c3 − c ) = ( a + b ) ln ( a + b ) − a.ln a − b a + b a +b = a ( ln ( a + b ) − ln a ) + b ( ln ( a + b ) − 1) = a.ln ÷+ b.ln ÷ a e 464 ÷÷ ÷ 1 n n ∏ ( n.a + i.b ) lim ( ln I n ) = u ⇒ lim I n = lim n →+∞ n →+∞ n →+∞ n i =1 b a+b a+b a.ln ÷ b.ln ÷ a + b a a + b b a e = =e e ÷ ÷ a e / lim n →+∞ n2 i n i ∏ n ÷ = e i =1 i i i / In = n ∏ ÷ = ∏ ÷n i =1 n i =1 n i n i i n2 ÷ n i n i ⇒ ln In = ln ∏ ÷ ÷ = ln ∏ ÷ ÷ = ∑ i.ln ÷, n ÷ n i =1 n ÷ n i =1 n i =1 Xét hàm sô f ( x ) = ln x x = x.ln x, x ∈ [ 0,1] , ∆x = , n n i n n i x i = i.∆x = ⇒ lim ( ln I n ) = lim ∑ f ( x i ) ∆x = ∫ x.ln x.dx, n n →+∞ n →+∞ i =1 dx x2 Dat u = ln x ⇒ du = , dv = x.dx ⇒ v = x 1 1 x ln x x2 1 ⇒ ∫ x.ln x.dx = − ∫ x.dx = − = − 0 − 1 lim ( ln In ) = − ⇒ I n = e = 4e n →+∞ ia − n i a +1 a +1 / lim ∏ ÷n =e ( ) n →+∞ i =1 n 465 ia ia n n i a +1 i a +1 / In = ÷n ⇒ ln In = ln ÷n i =1 n i =1 n ∏ ∏ n ia i = ln ∏ ÷ n k +1 i =1 n ÷ ÷ ÷ ÷ n ÷ = ia ln i , ÷ ÷ n a +1 ∑ n ÷ i =1 a Xét hàm sơ f ( x ) = ln x x = x a ln x, x ∈ [ 0,1] , ∆x = , n n i ia a x i = i.∆x = ⇒ x i = , lim ( ln I n ) = lim ∑ f ( x i ) ∆x = ∫ x a ln x.dx, a n n →+∞ i =1 n n →+∞ dx x a +1 a Dat u = ln x ⇒ du = , dv = x dx ⇒ v = x a +1 1 x a +1 x a +1.ln x 1 a k =− ⇒ ∫ x ln x.dx = x dx = − − ∫ ( a + 1) ( a + 1) a + a + 0 lim n →+∞ ( ln In ) = − − ( a + 1) a +1) ( ⇒ In = e n i a +1 ∑ ln ÷.i a = e ( ) n →+∞ n a +1 i =1 n / lim 1 n 2 i a / In = ∑ ln ÷.i , Xét hàm sơ f ( x ) = x a ( ln x ) , x ∈ [ 0,1] , ∆x = , n n a +1 i =1 n a i i x i = i.∆x = ⇒ x a = ÷ , n n lim n →+∞ ( ln In ) = Dat u = ( ln x ) n i =1 c f ( x i ) ∆x = lim ∫ x a ( ln x ) ∑ n →+∞ c→0 lim dx, 2.ln x.dx x a +1 a ⇒ du = , dv = x dx ⇒ v = x a +1 466 1 x a +1 ( ln x ) a − ⇒ lim ∫ x ln x.dx = lim lim ∫ x a ln x.dx a +1 a + c→0 c →0 c→0 c c c 1 x a +1.ln x −2 a = lim lim ∫ x dx − a + c→0 a + a + c→0 c c 2.x a +1 = lim ( ln I n ) = lim n →+∞ c→0 ( a + 1) c ( a + 1) ⇒ lim In = lim n →+∞ n →+∞ n n a +1) ( ln ÷.i = e a +1 ∑ n i =1 2 i a π n i.π ( 2k − 1) !! π 8/ lim ∑ sin 2k ÷ = 2k!! n →+∞ 2n i =1 2n π n 2k!! i.π 9/ lim ∑ sin 2k +1 ÷ = n →+∞ 2n i =1 2n ( 2k + 1) !! π n i.π 2k / In = ∑ sin 2k ÷, Xét hàm sô f ( x ) = ( sin x ) , 2n i =1 2n π i.π π x ∈ 0, , ∆x = , x i = i.∆x = , 2n 2n 2 π /2 ( 2k − 1) !! π π n 2k 2k i.π lim I n = lim ∑ sin ÷ = ∫ ( sin x ) dx = 2k!! n →+∞ n →+∞ 2n i =1 2n π n i.π 2k +1 / In = ∑ sin 2k +1 ÷, Xét hàm sơ f ( x ) = ( sin x ) , 2n i =1 2n π i.π π x ∈ 0, , ∆x = , x i = i.∆x = , 2n 2n 2 π π n 2k!! i.π 2k +1 lim I n = lim ∑ sin 2k +1 ÷ = ∫ ( sin x ) dx = n →+∞ n →+∞ 2n i =1 ( 2k + 1) !! 2n 467 tan x sin x 10 / I = lim ∫ tan t.dt/ ∫ sin t.dt ÷ ÷ x →0 0 tan x = lim sin x , nên gioi han can tìm có dang ÷ because xlim →0 x →0 ÷ ' ta có the dùng quy tac LHospital ÷ dc ' I = lim sin x ∫ tan t.dt ÷ ÷ x x →0 tan x ∫ ' sin t.dt ÷ ÷ x = lim tan ( sin x ) x →0 sin ( tan x ) =1 ( because when x → 0, sin x ≈ tan x ≈ x ) ' x 2 ∫ ( arctan x ) dx ÷ ∫ ( arctan x ) dx ÷ 11 / lim = lim ' x →+∞ x →+∞ x2 + x2 + ÷ x = lim x →+∞ ( arctan x ) 2x x2 + = lim x →+∞ ( arctan x ) x x 1+ = lim x →+∞ ( arctan x ) 2 π2 π = ÷ = 2 x2 ∈ ∉ ⇔⇒⇐∩ ∪ ⊃ ⊂ ∀ ∃ × 1/ Cho (give) hình phẳng (plane figure) D giới hạn (limit of) đường y = x; y = − x; y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình D xung quanh trục Oy 468 Mien D gioi han boi y = x ⇒ y ≥ ∧ x = y2 y = 2−x ⇒ x = 2−y y = ( nhan ) Pt tung giao diem : y2 = − y ⇔ y + y − = ⇔ y = −2 ( loai ) 1 ( ) − ( − y ) dy = π∫ ( y4 ) − ( − y ) dy 0 ∀x ∈ [ 0;1] , ( y ) − ( − y ) ≤ VOy = π ∫ y 2 1 y y nên VOy = π ∫ − 4y + y − y dy = π 4y − 2y + − 0 1 32 π = π − + − ÷= ( dvtt ) 15 ) ( 2/ Cho parabol (P) y = 3x đường thẳng d qua M(1, 5) có hệ số góc k Tìm k để hình phẳng giới hạn (P) d có diện tích nhỏ Ta có pt duong thang (d) : y − = k ( x − 1) ⇔ y = kx − k + Pt hoành giao diem cua (P) (d): 3x = kx − k + ⇔ 3x − kx + k − = ∆ = k − 12k + 60 = ( k − ) + 24 ≥ 24, ∀k ∈ ¡ k− ∆ x A = ⇒ (d) cat (P) tai A B x = k + ∆ B x xB B kx 2 3 S = ∫ k ( x − 1) + − 3x dx = + ( − k) x − x x xA A kx 2B kx A = + ( − k ) x B − x B ÷− + ( − k ) x A − x 3A ÷ ÷ ÷ 469 ) ( k x B − x 2A + ( − k ) ( x B − x A ) k = ( xB − xA ) ( xB + xA ) + − k − 2 S= ( − x 3B − x 3A ) ( x 2A + x Ax B + x 2B ) b2 c k k − 2 x A + x A x B + x B = ( x A + x B ) − x A x B = − = − a2 a ∆ S= k k k k − ∆ − 3k + 90 − 18k − 2k + ( k − ) +5−k − ÷ = ÷ 3.18 ∆ = k − 12k + 60 = k − 12k + 60 ÷ 54 54 ) ( = 54 ( k − 6) + 24 ÷ So Smin ⇔ k = 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến điểm M có hồnh độ pt tiep tuyen tai diem M : y − y M = y ' ( x M ) ( x − x M ) ⇔ y − = 2.3 ( x − 3) ⇔ y = 6x − y = x2 ⇔ x = y ( x ≥ 0) Dien tích cân tìm gioi han boi duong : y+9 y = 6x − ⇔ x = y+9 pt tung giao diem cua duong: y = ( y ≥ −9 ) ⇔ 36y = y2 + 18y + 81 ⇔ y − 18y + 81 = ⇔ y = 9 Vay S = ∫ y− pt truc Ox : y = y+9 y+9 dy ∀y ∈ [ 0;9 ] : y − ≤0 6 3 y 9y y ÷ 27 27 y+9 Vaäy : S = ∫ − y ÷dy = + − = + − 18 = 12 6 ÷ 4 0 0 ( dvdt ) 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) : y = − x + 4x − , tiệm cận xiên (C) x −1 hai đường thẳng x = 2, x = 470 Hàm sơ dc viêt thành : y = Vì − x + 4x − = −x + − x −1 x −1 = nên tiêm cân xiên cua (C) y = − x + x →±∞ x − lim 5 −1 −1 Vay S = ∫ − x + − dx With x ∈ [ 2;5] ⇒