Tổng hợp lí thuyết và bài tập THPT 12 đại số giải tích

1 Hệ pt tuyến tính12 Ma trận:13 Phép biến đổi sơ cấp:14 Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn:15 Các phép toán đối với ma trận:36 Ma trận chuyển vị:37 Ma trận nghịch đảo:38 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp:410 Định nghĩa định thức:511 Các tính chất của định thức:51 Hệ pt tuyến tínhHệ pt tuyến tính tổng quát (m pt, n ẩn) có dạng: (1.1) ở đây là các ẩn phải tìmĐịnh nghĩa: 2 hpt có cùng số ẩn số được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau (tức là nghiệm của hệ này là tập nghiệm của hệ kia)Định lí: các phép biến đổi sau đây chuyển 1 hệ pt tuyến tính thành 1 hệ tương đương:1 nhân 2 vế của 1 pt cho 1 số khác 02 cộng 1 pt đã được nhân cho 1 số a vào 1 pt khác 3 đổi vị trí 2 pt

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

1/ Hệ pt tuyến tính 1

2/ Ma trận: 1

3/ Phép biến đổi sơ cấp: 1

4/ Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn: 1

5/ Các phép toán đối với ma trận: 3

6/  Ma trận chuyển vị: 3

7/ Ma trận nghịch đảo: 3

8/ Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp: 4

10/ Định nghĩa định thức: 5

11/ Các tính chất của định thức: 5

1/ Hệ pt tuyến tính

Hệ pt tuyến tính tổng quát (m pt, n ẩn) có dạng:

(1.1) ở đây là các ẩn phải tìm

Định nghĩa: 2 hpt có cùng số ẩn số được gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau (tức là nghiệm của hệ này là tập nghiệm của hệ kia)

Định lí: các phép biến đổi sau đây chuyển 1 hệ pt tuyến tính thành 1 hệ tương đương:

1/ nhân 2 vế của 1 pt cho 1 số khác 0

2/ cộng 1 pt đã được nhân cho 1 số a vào 1 pt khác

3/ đổi vị trí 2 pt

2/ Ma trận:

Bảng các hệ số của hệ (1.1) là

ta gọi nó là ma trận các hệ số của hệ (1.1), nếu thêm 1 cột các vế phải ta được ma trận mở rộng:

thay vì biến đổi trực tiếp trên ma trận (1.1), ta chỉ cần biến đổi trên ma trận mở rộng

3/ Phép biến đổi sơ cấp:

1/a định nghĩa: Ma trận loại m×n là 1 bảng hình chữ nhật m hàng, n cột với mn phần tử Nếu kí hiệu ma trận là A và các phần tử ờ hàng thứ i cột j là , thì ta viết:

các phần tử có thể là số thực, số phức, hàm số

Định nghĩa: các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma trận được gọi là các phép biến đổi

sơ cấp đổi với hàng:

1/ Nhân các phần tử của hàng thứ i cho số a ≠ 0, ta viết:

2/ Cộng các phần tử của hàng thứ i đã nhân cho a vào các phần tử tương ứng của hàng k, ta viết:

3/ Đổi vị trí 2 hàng Nếu 2 hàng thứ 1 và thứ k đổi vị trí cho nhau ta viết:

Phần tử cơ sở của 1 hàng phải nằm phía phải so với phần tử cơ sở cùa hàng trên

(Phần tử cơ sở của 1 hàng phải nằm phía trái so với phần tử cơ sở cùa hàng dưới)

Các ma trận sau đây ko có dạng bậc thang:

2

Định lí: mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

Định nghĩa: ma trận được gọi có dạng bậc thang rút gọn nếu nó thỏa các dk:

1- Nó có dạng bậc thang 2- phần tử cơ sở của hàng  1 và là phần tử duy nhất ≠ 0 trong cột chứa nó

5/ Các phép toán đối với ma trận:

4

6/  Ma trận chuyển vị:

Định nghĩa: Cho ma trận loại mn Ma trận chuyển vị của ma trận A là 1 ma trận loại n×m được kí hiệu là với phần tử hàng thứ i cột thứ k (row i column k) là , that’s mean

Nói cách khác là hàng thứ i của ma trận A dc chuyển thành cột thứ i của ma trận If

Định lí: đối với phép chuyển vị ma trận, ta có: (với dk các phép toán có nghĩa)

7/ Ma trận nghịch đảo:

Định nghĩa: ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu với mọi ma trận vuông A cấp n

Định nghĩa: ma trận B (vuông cấp n) được gọi là ma trận nghịch đảo của A (vuông cấp n) nếu

Khi ấy ta nói ma trận A khả đảo và kí hiệu ma trận nghịch đảo của nó là Nếu tồn tại ma trận nghịch đảo thì nó là duy nhất Nếu B, B’ là các ma trận nghịch đảo của A thì ta có:

A.B  I nhân bên trái đẳng thức trên cho B’ ta được: B’.A.B=B’

Tuy nhiên, ko phải ma trận nào cũng khả đảo

8/ Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp:

Định lí: ma trận vuông A khả đảo khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị

Từ nhận xét trên ta thấy, nếu đặt ma trận A liền bên ma trận đơn vị I, ta có ma trận mở rộng

Rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng biến đổi ma trận mở rộng sao cho A biến thành I thì khi ấy I sẽ thành Nói cách khác ta biến thành

6

9/ định thức cấp 1, 2, 3

Liên hệ giữa định thức cấp 2 và 3:

Khái niệm: nếu từ ma trận A cấp 3, bỏ đi hàng và cột chứa (bỏ hàng i cột k) ta dc ma trận cấp 2 Định thức của được gọi là định thức con bù của Vậy công thức trên có thểviết ở dạng:

10/ Định nghĩa định thức:

Đại lượng được gọi là phần bù đại số của

Định lí 1 (thừa nhận): với 1 ma trận vuông cấp n ≥ 2, ta có thể khai triển định thức của nó theo

1 hàng bất kì or 1 cột bất kì:

8

11/ Các tính chất của định thức:

Từ tính chất trên ta thấy vai trò của hàng và cột trong định thức hoàn toàn tương đương, những tính chất nào đúng cho hàng đều đúng cho cột và ngược lại

Định lí 2: khi nhân 1 số c vào 1 hàng (or cột) thì định thức cũng được nhân cho c

Nhân c vào hàng thứ i của ma trận để được ma trận , khai triển det (B) theo hàng i, ta được:

Định lí 3:

1/ Nếu ma trận có 1 hàng or cột  0 thì định thức của nó  0

Cm: nếu ma trận có 1 hàng  0, ta khai triển định thức theo hàng 0:

2/ Nếu ma trận có 2 hàng (or cột) bằng nhau thì định thức của nó  0

Ta cm mệnh đề 2 bằng quy nạp, mệnh đề đúng với A là ma trận 22

Giả sử mệnh đề đúng với n  k, và A là ma trận cấp k + 1 có 2 hàng i và j bằng nhau

Vậy det(A)  0

3/ Nếu ma trận có 2 hàng (or cột) tỉ lệ với nhau thì định thức của nó  0

Cm: cho ma trận A  n  n có hàng i  c  hàng j, nhân hàng i với 1/c ta dc ma trận B  n 

Chương 3 Đạo hàm và vi phân:

* định lý: .6

* .7

* .7

8

* .8

9

9

9

9

10

10

10

12

11

11

12

12

13

* Đạo hàm tổng (hiệu): 14

* Đạo hàm tích: 14

* Đạo hàm thương: 15

* Đạo hàm của hàm số hợp: 15

4/ Đạo hàm của hàm ẩn: 21 Công thức Maclaurin 26

Công thức Maclaurin 1 số hàm cơ bản: 26

26

27

28

28

29

30

31

32

34

34

7/ Quy tắc L’hopital: 36 8/ Tính đạo hàm dạng: 38

Bài tập: 38 1/ Bài tập tính đạo hàm dạng: 38 1/ .39

2/ .39

3/ .39

40

2/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn: 45

3/ Bài tập các định lí trung bình: 45

4/ Bài tập khai triển Maclaurin 46

5/ Bài tập tính giới hạn  công thức Taylor: 48

6/ Bài tập tính giới hạn  qui tắc L’Hopital: 50

7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng được qui tắc L’Hopital: 52

*/ Find x, know: .53

1/ Định nghĩa (definition):

14

Đạo hàm (derivation, derivative): 1/ định nghĩa (definition) :

∆x là 1 số rất nhỏ dần tới 0, x là các giá trị dao động nhỏ quanh x0

∆x is a little number to come to zero, x is values

∆x: số gia của đối số tại điểm x0 – increment of argument at point x0

∆y: số gia tương ứng của hàm số tại điểm x0

định lý 1: nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó

chứng minh: ta có

Vậy hàm số liên tục tại x0

Chú ý: đảo lại ko đúng 1 hàm số liên tục tại điểm x0, có thể ko có đạo hàm tại điểm đó

Vd: xét hàm số y = f(x) =│x│tại điểm x0 = 0

Cho số gia ∆x tại x0 = 0 ta có:

∆y = f(0 + ∆x) – f(0) = f(∆x) – 0 = │∆x│

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x0 = 0

Mặt khác ta có:

Vậy hàm số đã cho ko có đạo hàm tại điểm x0 = 0 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm ấy, ngược lại không đúng

1/ Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:

* định lý:

*

*

*

* Đạo hàm của hàm số hợp: .

16

*

*

*Đạo hàm hàm số y = tgx:

18

*

Hệ quả:

Chứng minh:

20

22

24

* Đạo hàm tổng (hiệu):

Nếu hàm số u  u(x), v  v(x) có đạo hàm tại điểm x, thì tổng của chúng có đạo hàm tại x và

* Đạo hàm của hàm số hợp:

Nếu hàm số u  g(x) có đạo hàm theo x ký hiệu là và hàm số y  f(u) có đạo hàm theo u

ký hiệu là thì hàm số hợp y  f(g(x)) có đạo hàm theo x ký hiệu

2/ Các trường hợp phải dùng định nghĩa tính đạo hàm:

a/

Như vậy ta thấy không thể tính được từ công thức rồi cho or

b/ Tính đạo hàm của hàm với [x] là phần nguyên của x

2/ Vi phân: định lí: hàm f(x) khả vi tại khi nó có đạo hàm tại

Vi phân của hàm hợp, tính bất biến của dạng vi phân cấp 1:

Cho

Với biến độc lập t, ta có vi phân:

có nghĩa là: dạng của vi phân cấp 1 không thay đổi dù x là biến độc lập hay 1 hàm số Tính chất

đó được gọi là tính bất biến của dạng vi phân cấp 1

Vi phân cấp cao: để tính vi phân cấp cao, cần biết rằng dx là 1 số không phụ thuộc x, cho nên đạo hàm (or vi phân của nó sẽ bằng 0)

28

Khác với vi phân cấp 1, công thức vi phân cấp cao không có tính bất biến nếu x không phải là biến độc lập mà là 1 hàm số Giả sử , khi ấy dx không phải là hằng số mà phụ thuộc t

Ứng dụng vi phân tính gần đúng: cho hàm số f(x) khả vi tại :

Nếu bỏ phần vô cùng bé cấp cao ta có công thức tính gần đúng:

VD: a/ Tính gần đúng số Giải: Xét hàm số

3/ Công thức Leibnitz tính đạo hàm cấp n:

(1)Giả sử (1) đúng đói với n k, Ta chứng minh (1) đúng đối với n  k + 1:

Chú ý: ta ko có:

(sai)Trong công thức Leibnitz, f và g là các hàm theo biến độc lập x, còn ở đây y là hàm theo biến phụ thuộc u

(óe, cái công thức này ghê qué, ai bít dạng tổng quát của nó hem?)

30

Đạo hàm cấp cao 1 số hàm cơ bản:

32

hàm f(x) được gọi là nghịch biến trong khoảng (a, b) nếu

f(x) nghịch biến trong khoảng (a, b)

Hàm đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a, b) được gọi là đơn điểu trên khoảng (a, b)

2/ Định lí Fermat: cho hàm f(x) xác định trong lân cận điểm , và đạt cực trị tại Nếu tại

Giả sử f(x) đạt cực đại tại , vậy trong 1 lân cận của ta có:

3/ Định lí Rolle: cho hàm số f(x): 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b) 3/ f(a) f(b)

Khi ấy

Chứng minh: f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nên f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên [a, b]

Nếu M m thì f(x) const (hằng số) trên đoạn [a, b]

Nếu M ≠ m khi ấy 1 trong 2 số m, M phải khác f(a) f(b), giả sử M ≠ f(a) f(b) Vậy hàm f(x) đạt giá trị lớn nhất M tại điểm bên trong

4/ Định lí Lagrange: cho hàm số f(x): 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b)

Khi ấy:

Nếu lấy thì công thức Lagrange có dạng:

34

Ý nghĩa hình học của công thức Lagrange: cho 2 điểm A(a, f(a)), B(b, f(b)) thuộc đồ thị hàm

số y f(x) Khi ấy cát tuyến AB có hệ số góc Công thức Lagrange chứng tỏ

là tồn tại điểm C(c, f(c)) sao cho tiếp tuyến tại C song song cát tuyến AB

5/ Định lí Cauchy: cho hàm số f(x), g(x) : 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b) 3/ g’(x) ≠ 0 trên khoảng (a, b)

6/ Công thức Taylor: 1/ công thức taylor với phần dư Lagrange:

Cho f(x) khả vi đến cấp n + 1 trong khoảng (a, b) Khi ấy với , ta có công thức Taylor:

Ta sử dụng định lí Cauchy 1 lần nữa:

, ta có:

36

Tiếp tục quá trình trên, ta được:

Công thức Maclaurin

Công thức Taylor với n 0 được gọi là công thức Maclaurin:

Nếu đặt x c + h thì ta có:

Với n  1, ta có công thức Larrange:

Công thức Maclaurin 1 số hàm cơ bản:

Solution:

38

Solution:

Solution:

Điều kiện này ta sẽ xét trong chuỗi lũy thừa

40

Solution:

Solution:

Theo quy nạp ta được:

42

Solution:

Hàm cotgx ko có khai triển Maclaurin vì ko có đạo hàm tại điểm  0

Ta khai triển Taylor cotgx tại điểm

44

46

VD1: Viết công thức Maclaurin cho đến cấp :Solution:

Theo công thức Maclaurin:

Sử dụng công thức Taylor tính giới hạn:

Cho các hàm f(x), g(x) khả vi trên khoảng (a, b) và:

48

Cm: Vì f(c) 0, g(c) 0 nên hàm f(x), g(x) thỏa định lí Cauchy trên đoạn [x, c],

định lí 2: dạng

Cho các hàm f(x), g(x) khả vi trên khoảng (a, b) và:

Cm: Với từ 3/ sẽ tồn tại

Tất nhiên có thể dùng ngay quy tắc Lhopital, nhưng để đơn giản trước khi dùng quy tắc Lhopital ta sử dụng vô cùng bé tương đương (hay khai triển Taylor ứng với số hạng đầu tiên):

Solution:

Cho a(x) là hàm ngược của Tính

6/ Tính đạo hàm của hàm số tại những điểm đạo hàm tồn tại.Giải: hàm số xác định

52

8/ Cho u(x), v(x) có đạo hàm với mọi ,

Giải: đặt

9/ Cho u(x), v(x) có đạo hàm với mọi ,

13/ Cho u(x), v(x) có đạo hàm với mọi , tính đạo hàm của

54

Cho

Cho

Cho

2/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn:

1/ Tính đạo hàm của hàm ẩn y(x) cho bởi pt:

Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x, ta được:

Khi x 0, từ pt

Thế x 0, y(0) 1 vào biểu thức

2/ Tính dy nếu hàm y y(x) được cho dưới dạng ẩn bởi pt:

Lấy vi phân 2 vế ta được:

3/ Bài tập các định lí trung bình:

1/ Có thể áp dụng định lí Rolle trên đoạn cho hàm ko?

dụng được định lí Rolle

Định lí Rolle: : cho hàm số f(x): 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b) 3/ f(a) f(b)

Khi ấy

2/ Viết công thức Larrange cho hàm số trong đoạn [1, 4] và tìm giá trị của điểm c

56

Ta có:

Công thức Larrange cho ta:

3/ Cm bất đẳng thức

Hàm f(x) sinx thỏa định lí Larrange trên mọi khoảng nên:

4/ Cho hàm f(x) liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) giả sử

Cm:

Xét hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b)

Theo định lí Larrange:

Vì hàm f(x) liên tục và ko triệt tiêu trên [a, b] nên f(x) ko đổi dấu trên [a, b]

4/ Bài tập khai triển Maclaurin

1/ Khai triển Maclaurin đến số hạng

2/ Khai triển đến số hạng ở lân cận

3/ Viết công thức Taylor cho hàm tới số hạng bậc 3 của (x – 1)

58

5/ Bài tập tính giới hạn  công thức Taylor:

6/ Bài tập tính giới hạn  qui tắc L’Hopital:

Có thể dùng ngay qui tắc L’Hopital, nhưng để đơn giản hơn, trước khi dùng qui tắc L’Hopital

ta sử dụng vô cùng bé tương đương

7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng được qui tắc L’Hopital:

có thể dùng qui tắc L’Hopital để khử dạng vô định này ko?

như vậy 2 dãy có cùng giới hạn là 0 nhưng 2 dãy hàm tương ứng

có 2 giới hạn khác nhau nên không tồn tại

*/ Find x, know:

We have:

64

(thôi em bó tay rồi)

Làm giúp em mấy bài này:

Chapter 5: Primitive function – Nguyên hàm1/ List of elementary function 4

1/ List of elementary function

74

1/ Solution:

So following recursive formula (1) we can evaluate by in turn

76

Solution:

78

Solution:

Solution:

Solution:

84

*

Solution:

86

Solution:

88

Solution:

Solution:

Solution:

92

Solution:

94

Solution:

Solution:

96

Solution:

Hàm hữu tỉ (rational function) là tỉ số (ratio) 2 đa thức (polynomial) nếu bậc (order) củaP(x) > (greater than) order of Q(x) suy ra (derive) trong đó (where) bậc của P1(x) nhỏ hơn (less than) order of Q(x)

Rational function is ratio of two polynomial if order of P(x) is greater than order of Q(x), we can derive where order of P1(x) is less than degree of Q(x)

Rational fraction , where order of P(x) is less than order of Q(x), is called standard

Để tính các hệ số ta quy đồng mẫu số ở vế phải sau đó cân bằng hệ số x ở 2

vế, ta được 1 hệ pt mà ẩn là các hệ số cần tìm Đó là nội dung của phương pháp hệ số bất định

Các hệ số A, B, C có thể tìm được bằng cách sau: trong (1) cho x = 1 ta được C = 9,

Substuting into (1), then balancing the coefficient, we obtain system of equations:Thế vào (1) rồi cân bằng các hệ số, ta dc hệ pt:

100

102

Chương 5c Tích phânchuong3a – nick yahoo, mail: chuong2a@gmail.com

4 4

8 9 9 10 104/ .11

11 11 125/ Tích phân hàm lượng giác: 13

26Check the result 27

28

30

30

31 33

34

35

35

106

108

110

112

4/

114

5/ Tích phân hàm lượng giác:

116

118

120

122

124

126

128

Check the result

132

134

Code Matlab:

a = input('nhap vao can duoi a: '); b = input('nhap vao can tren b: ');

x = a:10^(-3):b; y = cos(x).*(cos(x) + 1/2).^(-5); y1 = 0; y2 = 0;for i = 2 : 2 : length(x) - 2

y1 = y1+y(i);

Code Matlab, calculating by Simpson formula:

a = input('nhap vao can duoi a: '); b = input('nhap vao can tren b: ');

x = a - 10^(-3) : 10^(-3) : b - 10^(-3); y = ((25 - x.^2).^(1/2) + 3).^(-1); y1 = 0; y2 = 0;for i = 2 : 2 : length(x) - 2 y1 = y1+y(i); end

for j = 3 : 2 : length(x) - 1 y2 = y2+y(j); end

I = (b - a)/(3*length(x))*(4*y1 + 2*y2 + y(1) + y(length(x)))

I = pi/2 + 3/4*log( ( 8^(1/2) - 2^(1/2) ) / ( 2^(1/2) + 8^(1/2) ) )

a = input('nhap vao can duoi a: '); b = input('nhap vao can tren b: ');

x = a - 10^(-3) : 10^(-3) : b - 10^(-3); y = cos(x).*(cos(x) + 3/5).^(-1); y1 = 0; y2 = 0;

136