Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9

Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9Tổng hợp lí thuyết và bài tập toán 9

Nguyến Anh Tuấn Đại số CHƢƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA I CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI Căn bậc hai số học  Căn bậc hai số khơng âm a số x cho x  a  Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu  a  Số có bậc hai số 0, ta viết  Với số dương a, số  a đgl bậc hai số học a Số đgl bậc hai số học a  b  Với hai số khơng âm a, b, ta có: a < b  Căn thức bậc hai  Với A biểu thức đại số, ta gọi  A thức bậc hai A A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị khơng âm A A  A2  A    A nế u A0  Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ  A có nghĩa  A  A CĨ NGHĨA có nghĩa  A > A  Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a)  3x b) 3x  e)  2x c) 9x  2 ĐS: a) x  b) x  c) x  d) x   3 Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: x x  x 2 a) b)  x2 x2 x2 d) d)  2x ĐS: a) x  e) b) x  2x  c) x  3x  6x  e) x  f) c) x x 4 f) x   x 2 2 x 1 e) x   f) d) x  f) x  1 Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x2  b) 4x2  c) d)  x  x  e)  x  ĐS: a) x  R b) x  R c) x  R d) x  Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: 9x2  6x  f) 2 x  e) x  5 f) khơng có a)  x2 b) x  16 c) x2  d) x2  2x  e) x ( x  2) f) x  5x  ĐS: a) x  b) x  c) x  d) x  1 x  e) x  2 x  Trang Đại số Nguyễn Anh Tuấn f) x  x  Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x 1 b) d) x  x 1 e) x 1   12 x  x f) b) x  2 x  c) x  ĐS: a) x  4 x c) x  x 1 e) x  d) x  f) x  Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC A A  A2  A   A   A Áp dụng: Bài Thực phép tính sau: a) 0,8 (0,125)2 d) 2  3 b) (2)6 e)  1     2 ĐS: a) 0,1 c)  b) c)  f)  0,1  d)  2  2 e)  0,1 2  f) 0,1  0,1 Bài Thực phép tính sau: a)   2 2    2 2 b)   2    2 c)   2  1  2 d) 3  e)  f)   2    2 ĐS: a) b) 4 c) Bài Thực phép tính sau: 2  2  1  d) 1   2  5 e) 2 f) 2  a) 5  52 b)  10   10 c) 42  42 d) 24    e) 17  12   f)   22  12 ĐS: a) 2 b) 2 c) Bài Thực phép tính sau: a)   29  12 d)  b) 13  30   c)   2 5 d)  13    13  e)   13     13  ĐS: Bài Thực phép tính sau: a) ĐS: Dạng 3: RƯT GỌN BIỂU THỨC A A  A2  A   Áp dụng: A   A Chú ý: Xét trường hợp A ≥ 0, A < để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bài Rút gọn biểu thức sau: Trang Nguyến Anh Tuấn Đại số a) x   x  x  ( x  3) b) x2  2x  ( x  1) x 1 ĐS: a) b) c) Bài * Rút gọn biểu thức sau: d) x   c) a)  4a  4a2  2a d) 1 x x2  4x  ( x  2) x 2 b) x  2y  x  xy  4y2 c) x  x  x  16 x  10 x  25 x 5 d) x   x  x   x (2  x  0) e) x4  4x2  f) x 2 ( x  4)2  x4 x  x  16 ĐS: Bài Cho biểu thức A  x  x   x  x  a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x  ĐS: a) x  1 x  b) A  Bài Cho số dương x , y, z thoả điều kiện: xy  yz  zx  Tính: Ax (1  y )(1  z2 )  x2 y (1  z2 )(1  x )  y2 z (1  x )(1  y )  z2 ĐS: A  Chú ý:  y2  ( xy  yz  zx )  y2  ( x  y)(y  z) ,  z2  ( y  z)(z  x ) ,  x  (z  x )( x  y) Bài Rút gọn biểu thức sau: a) ĐS: Dạng 4: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH  A2  B2  A  B ; A2  A ; Áp dụng: B  AB A  B B   A B  A  B hay A   B A   A  B 0 B   A  (hay B  0) A B A  B  A  A  hay   A B A  B  A  B  A  B  A  B hay A  B  A  A B 0 B  Bài Giải phương trình sau: a) ( x  3)2   x b) x  20 x  25  x  c)  12 x  36 x  d) x  x 1  e) x  x   x   f) Bài Giải phương trình sau: ĐS: a) x  b) x  c) x  1; x   d) x  1 x2  x   x 16 e) x  a) 2x    x b) x2  x   x c) 2x2   4x  d) 2x   x  e) x2  x   x  f) x  x  3x  Trang f) x  Đại số Nguyễn Anh Tuấn b) x   3 Bài Giải phương trình sau: ĐS: a) x   c) x  d) vơ nghiệm e) x  a) x2  x  x b)  x  x  d) x2   x2   e) ĐS: a) x  b) x  Bài Giải phương trình sau: a) x2  2x   x2  1 x ĐS: a) x  1; x  2 d) x2  x  x2  4x   x  c) x2   x   f) vơ nghiệm f)  x  x  c) vơ nghiệm d) x  1; x   e) x  f) vơ nghiệm b) 4x2  4x   x  c) x4  2x2   x  e) x  x  16   x f) x  x   11  b) vơ nghiệm c) x  d) vơ nghiệm e) x  2; x  3; x  1 2 2 4 ;x  3 Bài Giải phương trình sau: f) x  b) x   x  a) 3x   x  c) x  x   x  12 x  ĐS: a) x  0; x   b) x  3; x    1; x    Bài Giải phương trình sau: x  12 x   x d) a) x   x   c) x  1; x  x  x  16  x   c) b) d) x  1; x   x2  x   d) x   x  x   ĐS: a) x  1 b) vơ nghiệm c) x  1 d) x  2 Bài Giải phương trình sau: a) b) ĐS: II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƢƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA  Khai phương tích: A.B  A B ( A  0, B  0) Nhân bậc hai: A B  A.B ( A  0, B  0)  Khai phương thương: A  B A Chia hai bậc hai: B  A B ( A  0, B  0) A ( A  0, B  0) B Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài Thực phép tính sau: a) 12  27  75  48 b) 3( 27  48  75) c)  2   d) 1  3 1  3 2 e)  3  3 ĐS: a) 13 b) 36 c) 11  Bài Thực phép tính sau: 5 d)  Trang f)  e) 10 11   11  f)  7 Nguyến Anh Tuấn 2  2 a) c) Đại số      d)   15  10    15 32 e) 13  160  53  90 62 f)  42 2   ĐS: Chú ý: 21  12  b)  12  18  128  1 1  2 a) b)  c) 2 Bài Thực phép tính sau: e) 4 d) a)  125  80  605 b) 15  216  33  12 c) 2   2 d) 3  3 e) ĐS: a) b) c) Bài Thực phép tính sau: a) 10  10   1 d)  3   10  b)  e)  2 c) Bài Thực phép tính sau:   1    1 3 f) 14 2 2  2 2  12  27  c) 18  48 30  162 1  25 12  e) 10 d) b)  ĐS: a) –2 f) f)  2 f)   2  5 4 d) a) A  12   12  b) B   10    10  c) C     ĐS: Chứng tỏ A  0, B  0, C  Tính A2 , B2 , C  A   ; B   1, C  10 Dạng 2: RƯT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài Rút gọn biểu thức: 15  a) b) 35  14     16 d) 2 3 ĐS: a) e) b) x f) e) c) 10  15 c)  12 x  xy f) y  xy 3 1 2 15  10    10   a a b  b b a ab  d)  Tách 16   a b ab  y Bài Rút gọn biểu thức sau: a) c) x x y y x y x 1 y 1   y  x y  y 1 ( x  1)4  b) ( x  1, y  1, y  0) Trang x  x 1 x  x 1 ( x  0) 192 Đại số Nguyễn Anh Tuấn ĐS: a) xy x 1 b) c) x 1 1  y  y  1 x x 1 Bài Rút gọn tính: a) a 1 b 1 : b 1 a 1 c) 10a2  4a 10  với a  ĐS: a) b) 15a2  8a 15  16 với a  với a  7,25; b  3,25 a 1 ; b 1  d) a2  a2   a2  a2  với a  c) b)  d) Bài a) ĐS: Dạng 3: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau: a) d) 2x  2 x 1 9x  7x  ĐS: a) x  b)  7x  e) 2x  x 1 2 x  20  4x2   2x  c) x 5  x  45  3 b) vơ nghiệm c) x   ; x  2 d) x  e) x  Bài a) ĐS: Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài So sánh số: a)  b)   ĐS: Bài Cho số khơng âm a, b, c Chứng minh: ab a) b) a  b  a  b  ab d) a  b  c  ab  bc  ca e) 2005  2007 c) c) a  b  2006  a b ab a b  2 ĐS: Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A  x    x b) B   x  x  c) C  x   x ĐS: a) A   x  b) B   x  c) C   x  Bài a) ĐS: III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI  Với A ≥ B ≥ A2 B  A B  Với A ≥ B ≥ A B  A2B  Với A.B ≥ B  A  B AB B + Với A < B ≥ A2 B   A B + Với A < B ≥ A B   A2 B + Với B > Trang A B  A B B Nguyến Anh Tuấn Đại số  Với A ≥ A  B C AB  C( A AB C  Với A ≥ 0, B ≥ A  B B) A B  C( A B) AB Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài Thực phép tính sau: 125  45  20  80 a) 27 48       e) 1        c) ĐS: a) 5 b)  75 16 d)   1  f) b) 22 c) 99  18  11  11  22 49 25   18 3 d)   3 12 f) e) 4 Bài Thực phép tính sau: a) c) e) 5 62    2 4 3 2   2  d)   3 2 5  12  b) f)   2 6    : 1 5 5 2   13  48 6 32  20 30 17 b) c) d) 3 6 Bài Thực phép tính sau: a) ĐS: Dạng 2: RƯT GỌN BIỂU THỨC Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức: ĐS: a) x  11 a) A  c) C  e) E  x 2 3 , x  23  12 a  4a2  a  12a  27 b) B  , a 3 2(1  a ) d) D  e)  2(1  a ) h  h 1  f)  a2   a3 h  h 1 , a , h3 2x  x2      , x  2(  1) f) F    1 a  :   1 , a    2  1 a    a2 x2   x   ĐS: a) A  x    d) D  h 1 2 h2 b) B  1  3  a  a2 1  e) E  x2 Bài a) Trang c) C  a2  a2   52 f) F   a   Đại số Nguyễn Anh Tuấn ĐS: Dạng 3: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau: x   x   25x  25   a) b) x 1 x 1  x   24  17 2 64 x  18  x   25 x  50   d) x  x  x  12 x   c) e) ( x  1)( x  4)  x  5x   ĐS: a) x  b) 290 Bài Giải phương trình sau: a) ĐS: f) c) vơ nghiệm d) x   2 e) x  2; x  7 Dạng 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài Cho biểu thức: Sn  (  1)n  (  1)n (với n ngun dương) a) Tính S2 ; S3 b) Chứng minh rằng: Với m, n ngun dương m  n , ta có: Sm  n  Sm Sn  Sm  n c) Tính S4 b) Chứng minh Sm  n  Sm  n  Sm Sn c) S4  34 ĐS: a) S2  6; S3  10 Bài Cho biểu thức: a) Chứng minh rằng: Sn  (  2)n  (  2)n (với n ngun dương) S2n  Sn2  b) Tính S2 , S4 HD: a) Sử dụng đẳng thức a2  b2  (a  b)2  2ab Bài Cho biểu thức: a) Chứng minh rằng: Sn  (2  3)n  (2  3)n S3n  3Sn  Sn3 b) S1  3; S2  10; S4  98 (với n ngun dương) b) Tính S3 , S9 HD: a) Sử dụng đẳng thức a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) Chứng minh S3n  Sn3  3Sn b) S1  4; S3  61; S9  226798 Bài a) HD: IV RƯT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ngồi dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, khử mẫu trục thức mẫu để làm xuất thức bậc hai có biểu thức dấu Bài Cho biểu thức: A x 1 x 2 a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa  x 25 x 4 x x 2 b) Rút gọn biểu thức A  Trang c) Tìm x để A  Nguyến Anh Tuấn Đại số ĐS: a) x  0, x  x b) A  c) x  16 x 2  x 2 x   (1  x )2 A      x 1 x  x 1 a) Rút gọn A x  0, x  b) Tìm x để A dương c) Tìm giá trị lớn A 1 ĐS: a) A  x  x b)  x  c) max A  x  4 x 9 x  x 1 A   Bài Cho biểu thức: x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A  Bài Cho biểu thức: x 1 ĐS: a) A  x 3 b)  x  9; x  A Bài Cho biểu thức: a) Rút gọn A ĐS: a) A  2a  a  b) a  4; a  a Bài Cho biểu thức: A a) Rút gọn A ĐS: a) A  25 x a) Rút gọn A ĐS: a) A  x 2 x 3  c) a  0, a  x 2 1 x b) Tìm x để A   x 3 3 x 121  x   x 3 x 2 x 2  A  1    :    x   x   x x  x   b) Tìm x để A  x 2 b)  x  1 x Bài Cho biểu thức: 15 x  11 b) x  x 3 Bài Cho biểu thức: a a 1 a a 1    a 1 a  1   a    a a a a  a   a  a  1 b) Tìm a để A  c) Tìm a để A  A a2  a  2a  a a) Rút gọn A a  a 1 a b) Tìm a để A  ĐS: a) A  a  a b) a  1 c) Tìm giá trị nhỏ A 1 c) A   a  4 Bài Cho biểu thức: a) Rút gọn A 1 a ĐS: a) A  a Bài Cho biểu thức:  a   a 1 a 1 A       2 a   a 1 a      b) Tìm a để A  c) Tìm a để A  2 b) a  c) a   2  2a  a  2a a  a  a  a  a A  1     1 a  a 1 1 a a   Trang Đại số Nguyễn Anh Tuấn b) Tìm a để A  a) Rút gọn A 1 c) Chứng minh A  ĐS:  x 5 x   25  x x 3 x 5 A  1 :      x  25   x  x  15 x 5 x      b) Tìm x để A  Bài 10 Cho biểu thức: a) Rút gọn A ĐS: a) A  3 x  1   a 1 a 2 A     :   a  a a  a      b) Tìm a để A  Bài 11 Cho biểu thức: a) Rút gọn A ĐS: a) A  b) x  4; x  9; x  25 a 2 a b) a  16  x  x  1  x  A  :      x  x  1  x  x  x  1 Bài 12 Cho biểu thức: a) Rút gọn A 4x ĐS: a) 1 x2 Bài 13 Cho biểu thức: b) Tính giá trị A x   c) Tìm x để A  b) x  2 c) x  ; x 5  y  xy   x y x  y B x   :  x  y   xy  y xy  x xy   a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x  3, y   ĐS: a) B  y  x b) B  Bài 14 Cho biểu thức: a) Rút gọn B x ĐS: a) B  y Bài 15 Cho biểu thức: a) Rút gọn B ĐS: B x3 2x  1 x xy  y x  x  xy  y  x b) Tìm tất số ngun dương x để y  625 B  0,2 b) x 2;3;4  1  1  x  y x  x y  y3 B      :  y  x  y x y   x x y  xy3 b) Cho x.y  16 Xác định x, y để B có giá trị nhỏ  ab   ab  ab    Bài 16 Cho biểu thức: B      :  a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b       a) Rút gọn B b) Tính B a  16, b  ĐS: Bài 17 Cho biểu thức:  xy x  y3  B   x y yx  Trang 10  :    x y   xy x y Nguyến Anh Tuấn Đại số AB D BC H Tính số đo cung AD, DH HC HD: Bài 11 Cho đường tròn (O) có đường kính AB vng góc dây cung CD E Chứng minh rằng: CD2  AE.BE IV GĨC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Định lí Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Hệ Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Định lí (bổ sung) Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB), có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H hình chiếu C AB a) Chứng minh tia CA tia phân giác góc MCH b) Giả sử MA = a, MC = 2a Tính AB CH theo a HD: a) ACH  ACM  B b) Chứng minh MA.MB  MC  MB  4a , AB  3a MC.OC = CH.OM  CH  a Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn cạnh AB, BC, CA Gọi M, N, P giao điểm đường tròn (O) với ti OA, OB, OC Chứng minh điểm M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF HD: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt Bài Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường tròn (O) D Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB điểm thứ hai E Chứng minh rằng: a) CAD  CBD  1800 b) Tứ giác BCED hình bình hành HD: a) Chứng minh BAC  BCD , BAD  BDC  CAD  CBD  BCD  BDC  CBD  1800 b) Chứng minh BCD  EDC ( BAC) , ECD  BDC ( BAD)  BC // DE, BD // CE Bài Trên cạnh góc xMy lấy điểm T, cạnh lấy hai điểm A, B cho MT  MA.MB Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác TAB HD: Chứng minh MAT  MTB  ATM  B  sd AT  MT tiếp tuyến Bài Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) Vẽ dây BD đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) AB2  AC.AD b) BC  BD AC AD  BC  AB AC AC AB AC BC    HD: a) ABC  ADB  đpcm b)     BD  AD AB AD AD AB BD Trang 63 Đại số Nguyễn Anh Tuấn Bài Cho đường tròn (O) điểm M bên ngồi đường tròn Tia Mx quay quanh M, cắt đường tròn A B Gọi I điểm thuộc tia mx cho MI  MA.MB Hỏi điểm I di động đường nào? HD: MT  MA.MB  MI  MI = MT  Điểm I di động đường tròn (M, MT) Bài Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến A M So sánh góc: AMC, ABC , ACB HD: Bài Cho hai đường tròn (O, R) (O, R) (R > R) tiếp xúc ngồi A Qua A kẽ hai cát tuyến BD CE (B, C  (O); D, E  (O)) Chứng minh: ABC  ADE HD: Bài Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc Gọi I điểm cung AC cho vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M IC = CM a) Tính góc AOI b) Tính độ dài OM V GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƢỜNG TRÕN GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƢỜNG TRÕN Định lí Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC lấy điểm I K cho AI  AK Dây IK cắt cạnh AB, AC D E a) Chứng minh ADK  ACB b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân sd AK  sd BI AB  sd C b) C  B 2 Bài Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường tròn (O) N cắt đường thẳng AB I Chứng minh rằng: AE  AF a) Các tam giác INE INF tam giác cân b) AI  HD: a) INE  sdCN  E b) AI  AE  IE , AI  AF  IF  đpcm Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt I cắt đường tròn (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN tam giác cân b) Các tam giác EAI DAI tam giác cân c) Tứ giác AMIN hình thoi HD: a) ADK  HD: a) DA  DC, EA  EB, FB  FC  AMN  ANM b) DAI  DIA  DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN  đpcm Bài Từ điểm M bên ngồi đường tròn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC Vẽ đường kính BD Hai đường thẳng CD MB cắt A Chứng minh M trung điểm AB Trang 64 Nguyến Anh Tuấn Đại số CD  MAC  MA = MC = MB Bài Từ điểm A bên ngồi đường tròn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC ADE (B nằm HD: A  sd A C; D nằm A E) Cho biết A  500 , sdBD  400 Chứng minh CD  BE sdCE  sd BD sdCE  sd BD  sdCE  1400 Gọi H = CD  BE  CHE   900 2 Bài Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau: HD: A  sd AB  400 , sdCD  1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA CB kéo dài Tính góc CID AMB HD: Bài Cho đường tròn (O) Từ điểm M ngồi (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho CMD  400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc AEB  700 , tính số đo cung AB CD HD: Bài Cho đường tròn (O) điểm M ngồi (O) Vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC qua O (B nằm M C) Đường tròn đường kính MB cắt MA E Chứng minh: sd AnC  sdBmA  sdBkE với AnC , BmA BkE cung góc AMC VI CUNG CHỨA GĨC Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc  ( 00  a  1800 ) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn AMB  a hai cung chứa góc  dựng đoạn AB Chú ý:  Hai cung chứa góc  nói hai cung tròn đối xứng qua AB  Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích  Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường tròn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc  – Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB – Vẽ tia Ax tạo với AB góc  – Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia Ax AmB vẽ cung chứa góc  Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây MN = R (điểm M cung AN ) Hai dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào? HD: Chứng minh MON MON  600  AIB  1200  I nằm cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ Trang 65 Đại số Nguyễn Anh Tuấn AC khơng chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào? HD: a) ADB  ADC  450  D di động cung chứa góc 450 dựng đoạn AB (nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C) b) Vẽ Ax  AB DE cắt Ax F  EAF = CAB  AF = AB  AF cố định AEF  900  E nằm đường tròn đường kính AF Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC HD: Phần thuận: CBF = CDE  BMD  BME  900  M nằm đường tròn đường kính BD Mặt khác E  C M  C, E  B M  B  M thuộc cung nhỏ BC Phần đảo: DM cắt BC E, BM cắt DC F CBF = CDE  CE = CF Kết luận: Quỹ tích điểm M cung nhỏ BC đường tròn đường kính BD Bài Cho tam giác ABC vng A Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường tròn đường kính AB, N thuộc nửa đường tròn đường kính AC) a) Tứ giác BMNC hình gì? b) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A HD: a) BMNC hình thang vng b) Gọi K trung điểm BC Quỹ tích điểm I cung DAE đường tròn đường kính AK Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia AM, AN BN lấy điểm C, D, E cho MC = MA, ND = NB, NE = NA Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn HD: ACB  ADB  AEB  450  C, D, E nằm cung chứa góc 450 dựng đoạn AB Bài Cho tam giác ABC vng A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường tròn Từ suy BE  CE HD: a) ABE  ADE  B, D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AE  A, B, D, E  (P) b) ACB  ADB  A, B, C, D  (P) (P) (P) có điểm chung A, B, D  (P)  (P)  BEC  BAC  900 Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động đường nào? HD: Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, A  500 , AB = 3,5cm HD: Bài tốn có hai nghiệm hình Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm VII TỨ GIÁC NỘI TIẾP Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn đgl tứ giác nội tiếp đường tròn Định lí  Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800  Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường Trang 66 Nguyến Anh Tuấn Đại số tròn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp  Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn tứ giác nội tiếp đường tròn  Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn  Tứ giác ABCD có hai đỉnh C D cho ACB  ADB tứ giác ABCD nội tiếp Chú ý: Trong tứ giác học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường tròn Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) A  a (00  a  900 ) Gọi M điểm tuỳ ý cung nhỏ AC Vẽ tia Bx  AM, cắt tia CM D a) Tính số đo góc AMD b) Chứng minh MD = MB a HD: a) AMD  900  b) MBD cân  MD = MB Bài Cho tam giác ABC khơng có góc tù Các đường cao AH đường trung tuyến AM khơng trùng Gọi N trung điểm AB Cho biết BAH  CAM a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp b) Tính số đo góc BAC HD: a) AHN  AMN  AMHN nội tiếp b) BAC  ANM  900 Bài Cho tam giác ABC vng A Điểm E di động cạnh AB Qua B vẽ đường thẳng vng góc với tia CE D cắt tia CA H Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp b) Góc ADH có số đo khơng đổi E di động cạnh AB c) Khi E di động cạnh AB BA.BE  CD.CE khơng đổi HD: a) BAC  BDC  900 b) ADH  ACB c) Vẽ EK  BC KBE  ABC  BE.BA = BK.BC; KCE  DCB  CE.CD = CK.CB Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB dây AC Từ điểm D AC, vẽ DE  AB Hai đường thẳng DE BC cắt F Chứng minh rằng: b) AFE  ACE a) Tứ giác BCDE nội tiếp HD: a) DCB  DEB  180 b) AECF nội tiếp  AFE  ACE Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB Lấy hai điểm C D nửa đường tròn cho AC  CD  DB Các tiếp tuyến vẽ từ B C nửa đường tròn cắt I Hai tia AC BD cắt K Chứng minh rằng: a) Các tam giác KAB IBC tam giác b) Tứ giác KIBC nội tiếp HD: a) Chứng minh tam giác có hai góc 600 b) BKC  BIC  600 Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC BD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp HD: a) MEN  MFN  900 b) D  CEF  1800 Bài Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường tròn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh năm điểm A, I, Trang 67 Đại số Nguyễn Anh Tuấn F, H, E nằm đường tròn HD: a) BHCD hình bình hành  ACD  ABD  900 O trung điểm AD b) AIH  AFH  AEH  900 Bài Cho tam giác ABC Dựng ngồi tam giác tam giác BCD, ACE ABF Chứng minh rằng: a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác nói qua điểm b) Ba đường thẳng AD, BE, CF qua điểm c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF HD: a) Gọi O giao điểm thứ hai hai đường tròn (ABF) (ACE)  AOB  AOC  BOC  1200  BODC nội tiếp  đường tròn (BCD) qua O b) AOB  BOD  1800  A, O, D thẳng hàng Tương tự B, O, E thẳng hàng; C, O, F thẳng hàng  Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng qui c) ABD = FBC  AD = CF; ACF = AEB  CF = BE Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến đường tròn I cắt AD BC M N Chứng minh rằng: a) MN // CD b) Tứ giác ABNM nội tiếp HD: a) BIN  BDC  MN // CD b) BAM  BNM  1800 Bài 10 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 6cm Trên tia Oy lấy hai điểm C D cho OC = 3cm, OD = 4cm Nối BD AC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp HD: Bài 11 Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn (O) Từ điểm M tiếp tuyến A, vẽ cát tuyến MBC Gọi I trung điểm BC Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp VIII ĐƢỜNG TRÕN NGOẠI TIẾP ĐƢỜNG TRÕN NỘI TIẾP Định nghĩa a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác đgl đa giác nội tiếp đường tròn b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đgl đường tròn nội tiếp đa giác đa giác đgl đa giác ngoại tiếp đường tròn Định lí Bất kì đa giác có đường tròn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng đgl tâm đa giác Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc Chú ý:  Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh  Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh  Cho n_ giác cạnh a Khi đó: – Chu vi đa giác: p  na (p nửa chu vi) (n  2).1800 n 3600 – Mỗi góc tâm đa giác có số đo n – Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo Trang 68 Nguyến Anh Tuấn Đại số – Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R – Bán kính đường tròn nội tiếp: r 1800 a  a  R sin n 1800 2sin n 1800 a  a  r tan n 1800 tan n – Liên hệ bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp: R2  r  – Diện tích đa giác đều: S  nar a2 Bài Một đường tròn có bán kính R  3cm Tính diện tích hình vng nội tiếp đường tròn HD: a  R  2(cm)  S  18cm2 Bài Một đa giác nội tiếp đường tròn O;2cm  Biết độ dài cạnh 3cm Tính diện tích đa giác a HD: R   n   S  3(cm2 ) 180 2sin n Bài Cho lục giác ABCDEF, độ dài cạnh a Các đường thẳng AB CD cắt M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự N P a) Chứng minh MNP tam giác b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP HD: a) MNP có góc 600  MNP tam giác cạnh 3a b) R  a Bài Cho ngũ giác ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC AD cắt BE M N a) Tính tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp ngũ giác b) Chứng minh tam giác AMN CMB tam giác cân c) Chứng minh AC.BM  a2   r  a a HD: a)   : R  180   1800  tan   2sin       0,8   b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác  AB  BC  CD  DE  EA Dùng định lí góc đường tròn, chứng minh tam giác có hai góc AB BM c) ABM  ACB   AC BC Bài Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A đường tròn (O) vẽ cung AB, AC cho sd AB  300 , sd AC  900 (điểm A nằm cung BC nhỏ) Tính cạnh diện tích tam giác ABC sin150 IX ĐỘ DÀI ĐƢỜNG TRÕN, CUNG TRÕN HD: BC  R , AC  R , AB  2R sin150 , S  R2 Cơng thức tính độ dài đƣờng tròn (chu vi đƣờng tròn) Độ dài C đường tròn bán kính R tính theo cơng thức: C   d ( d  2R ) C  2 R Cơng thức tính độ dài cung tròn Trang 69 Đại số Nguyễn Anh Tuấn Trên đường tròn bán kính R, độ dài l cung n0 tính theo cơng thức:  Rn l 180 Bài Cho   3,14 Hãy điền vào bảng sau: Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S 94,2 28,26 HD: Bài Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC  OA Biết độ dài đường tròn (O) 4 (cm) Tính: a) Bán kính đường tròn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn HD: Bài Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, A  1200 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ABC HD: Bài Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? HD: Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) tiếp xúc ngồi với A Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O) C Chứng minh R  R độ dài cung AC nửa độ dài cung AB (chỉ xét cung nhỏ AC, AB) HD: Bài Cho đường tròn đường kính BC  2R Trên đường tròn lấy điểm A cho AB  R Gọi P1, P2 , P3 chu vi đường tròn có đường kính CA, AB, BC Chứng minh rằng: P12 P22 P32   HD: Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường tròn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường tròn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn HD: Bài Cho nửa đường tròn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường tròn đường kính OA OB nửa đường tròn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn HD: Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC Chứng minh diện tích tam giác ABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O) X DIỆN TÍCH HÌNH TRÕN, HÌNH QUẠT TRÕN Cơng thức tính diện tích hình tròn Diện tích S hình tròn bán kính R tính theo cơng thức: Cơng thức tính diện tích hình quạt tròn Trang 70 S   R2 Nguyến Anh Tuấn Đại số Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 tính theo cơng thức: S  R2n 360 hay S lR (l độ dài cung n0 hình quạt tròn) Bài Một hình vng hình tròn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn HD: Gọi chu vi hình 4a  Shv  a2 , Sht  a2  Sht  Shv  Bài Chứng minh diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vng hai lần diện tích hình tròn nội tiếp hình vng HD: Gọi độ dài cạnh hình vng a  Sngoại tiếp   a2 ; Snội tiếp   a2 Bài Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 6cm a a HD: Rngoại tiếp   , Rnội tiếp    S  9 (cm2 ) 0 180 180 2sin tan 3 Bài Một tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo thành cạnh tam giác cung nhỏ căng cạnh a2 12 Bài Tam giác ABC vng A, đường cao AH = 2cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A ta vẽ ba nửa đường tròn có đường kính BH, CH BC Tính diện tích miền giới hạn ba nửa đường tròn HD: S   a2  HD: Đặt HB  R, HC  2r  AH  HB.HC  4Rr  Rr   S   Rr   (cm2 ) BÀI TẬP ƠN CHƢƠNG III Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Một góc vng quay quanh O, hai cạnh góc cắt Ax By C D Hai đường thẳng OD Ax cắt E Chứng minh rằng: a) AC.BD  R2 b) Tam giác CDE tam giác cân c) CD tiếp tuyến nửa đường tròn (O) HD: a) AOC  BDO  AC.BD  OA.OB  R2 b) CDE có CO vừa đường cao, vừa trung tuyến c) Vẽ OF  CD  FOD = AOE  OF = OA = R  CD tiếp tuyến (O) Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy điểm M cho AM  R Vẽ tiếp tuyến MC (C tiếp điểm) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BC D a) Chứng minh BD // OM b) Xác định dạng tứ giác OBDM AODM c) Gọi E giao điểm AD với OM, F giao điểm MC với OD Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn (O) HD: a) AOM  B  BD // OM b) OBDM hình bình hành, AODM hình chữ nhật c) OE = R, FE  OE  EF tiếp tuyến (O) Bài Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ đường kính AOC AOD Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F Chứng minh rằng: Trang 71 Đại số Nguyễn Anh Tuấn a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF HD: a) ABC  ABD  900 b) CED  CFD  900 c) Chứng minh FA tia phân giác (hoặc ngồi) góc F, EA tia phân giác (hoặc ngồi) góc E BEF  A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF Bài Từ điểm A ngồi đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm A C) Gọi H hình chiếu T OA Chứng minh rằng: a) AT  AB.AC b) AB AC  AH AO HD: a) ATB  ACT  AT  AB.AC c) Tứ giác OHBC nội tiếp b) AB.AC  AH AO  AT c) AOC  ABH  ACO  AHB  ACO  BHO  1800  OHBC nội tiếp Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Vẽ dây AD // BC Tiếp tuyến A B đường tròn cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh rằng: a) AIB  AOB b) Năm điểm E, A, I, O, B nằm đường tròn c) IO  IE HD: a) AIB  sd AB  AOB b) ABOI, AOBE nội tiếp c) EIO  EAO  900  IO  IE Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh CB CD lấy hai điểm di động M N cho CM = CN Từ C vẽ đường thẳng vng góc với BN, cắt BN E AD F a) Chứng minh tứ giác FMCD hình chữ nhật b) Chứng minh nam điểm A, B, M, E, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường tròn c) Đường tròn (O) cắt AC điểm thứ hai I Chứng minh tam giác IBF vng cân d) Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt đường thẳng FI K Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng HD: a) FDC = NCB  FD = CN = CM b) A, B, M, E, F nằm đường tròn đường kính BF O trung điểm BF c) IF  IB  IF = IB d) IBKC nội tiếp  BCK  BIK  900  BCK  BCD  1800 Bài Cho đường tròn (O) Vẽ hai dây AC BD vng góc với I (điểm B nằm cung nhỏ AC) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình thang cân b) Tổng diện tích hai hình quạt tròn AOB COD tổng diện tích hai hình quạt tròn AOD BOC (các hình quạt tròn ứng với cung nhỏ) HD: a) BDC  ABD  AB // CD  R2  sđ AB  sđCD  , Squạt AOD  Squạt BOC   R2  sđ AD  sđBC  360 360 Bài Cho nửa đường tròn đường kính BC = 10cm dây BA = 8cm Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường tròn đường kính AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết 25 HD: a) SABC  24(cm2 ) b) Svp    24(cm2 ) c) Stk  24(cm2 ) b) Squạt AOB  Squạt COD  Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Biết BC = 2cm, A  450 a) Tính diện tích hình tròn (O) b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn Tính diện tích lớn Trang 72 Nguyến Anh Tuấn Đại số HD: a) R  OB   S  2 (cm2 ) b) Svp   2 (cm2 ) c) S ABC lớn  A điểm cung lớn BC Khi SABC   1(cm2 ) Bài 10 Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH HD: Bài 11 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M đường tròn cho góc MAB  900 Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN  AH HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng HD: Bài 12 Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC HD: Bài 13 Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA  BC tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường tròn (O) Chứng minh CD//OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE HD: Bài 14 Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE  AC CF  AB (E  AC, F  AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) HD: Bài 15 Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE HD: Bài 16 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R HD: Trang 73 Đại số Nguyễn Anh Tuấn CHƢƠNG IV HÌNH TRỤ – HÌNH NĨN – HÌNH CẦU I HÌNH TRỤ Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABOO vòng quanh cạnh OO cố định, ta hình trụ  Hai hình tròn (O) (O) nằm hai mặt phẳng song song đgl hai đáy hình trụ  Đường thẳng OO đgl trục hình trụ  Mỗi vị trí AB đgl đường sinh Các đường sinh vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ Cắt hình trụ mặt phẳng  Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với đáy, phần mặt phẳng nằm hình trụ (mặt cắt – thiết diện) hình tròn hình tròn đáy  Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục OO mặt cắt hình chữ nhật Diện tích – Thể tích Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h  Diện tích xung quanh: Sxq  2 Rh  Diện tích tồn phần: Stp  2 Rh  2 R2  Thể tích: V   R2h Bài 60 Một hình trụ có bán kính đáy đường cao Khi cắt hình trụ mặt phẳng qua trục mặt cắt hình chữ nhật có diện tích 50cm2 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ ĐS: Sxq  62,5 (cm2 ) , V  62,5 (cm3 ) Bài 61 Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3 Tính diện tích xung quanh hình trụ ĐS: Sxq  64 (cm2 ) Bài 62 Một hình trụ có bán kính đáy 3cm Biết diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ ĐS: h  R  3(cm) Bài 63 Một hình trụ có diện tích xung quanh 20 cm2 diện tích tồn phần 28 cm2 Tính thể tích hình trụ ĐS: V  20 (cm3 ) II HÌNH NĨN – HÌNH NĨN CỤT Hình nón Khi quay tam giác vng vòng quanh cạnh OA cố định hình nón A  Điểm A đgl đỉnh hình nón  Hình tròn (O) đgl đáy hình nón  Mỗi vị trí AC đgl đường sinh hình nón  Đoạn AO đgl đường cao hình nón Trang 74 O C Nguyến Anh Tuấn Đại số Diện tích – Thể tích hình nón Cho hình nón có bán kính đáy R đường sinh l, chiều cao h  Diện tích xung quanh: Sxq   Rl  Diện tích tồn phần: Stp   Rl   R2  Thể tích: V   R2h Hình nón cụt S Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng nói mặt phẳng đáy đgl hình nón cụt O’ r A  Hai hình tròn (O) (O) đgl hai đáy h  Đoạn OO đgl trục Độ dài OO chiều cao  Đoạn AC đgl đường sinh O R Diện tích – Thể tích hình nón cụt Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều cao h, đường sinh l  Diện tích xung qaunh: Sxq   ( R  r )l  Thể tích: V   h( R2  Rr  r ) l C Bài Cho tam giác ABC vng C Biết BC = a, AC = b Quay tam giác vng vòng quanh cạnh AC BC, hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỷ số thể tích hai hình nón tỷ số diện tích xung quanh hai hình nón V S ĐS:  V2 S2 Bài Một hình quạt tròn có bán kính 20cm góc tâm 144 Người ta uốn hình quạt thành hình nón Tính số đo nửa góc đỉnh hình nón ĐS: sin a  0,4 Bài Một hình nón có bán kính đáy 5cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón ĐS: V  100 (cm3 ) Bài Một hình nón có đường sinh dài 15cm diện tích xung quanh 135 cm2 a) Tính chiều cao hình nón b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón ĐS: a) h  12(cm) b) Stp  216 (cm2 ) , V  324 (cm3 ) Bài Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 14 cm cm , chiều cao 23 cm a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) 9269  (cm3 )  9,7 lít ĐS: a) V  b) S  621,5 (cm2 ) Bài Từ khúc gỗ hình trụ cao 15cm , người ta tiện thành hình nón tích lớn Biết phần gỗ bỏ tích 640 cm3 a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ b) Tính diện tích xung quanh hình nón ĐS: a) V  960 (cm3 ) b) Sxq  136 (cm2 ) Trang 75 Đại số Nguyễn Anh Tuấn III HÌNH CẦU Hình cầu Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R vòng quanh đường kính AB cố định hình cầu  Nửa đường tròn phép quay nói tạo thành mặt cầu  Điểm O đgl tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu Cắt hình cầu mặt phẳng  Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình tròn  Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường tròn: – Đường tròn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường tròn lớn) – Đường tròn có bán kính bé R mặt phẳng khơng qua tâm Diện tích – Thể tích Cho hình cầu bán kính R  Diện tích mặt cầu:  Thể tích hình cầu: V   R3 S  4 R2 Bài Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2 ) số đo thể tích (tính cm3 ) Tính bán kính hình cầu ĐS: R  3(cm) Bài Một hình cầu có diện tích bề mặt 100 m2 Tính thể tích hình cầu 500 ĐS: V  (m ) Bài Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Ta quay nửa đường tròn nội tiếp, nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vng ABH vòng quanh AH, hai mặt cầu hình nón Tính: a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nói c) Thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cẩu ngoại tiếp hình nón S V 1 a a 23 3 a3 ĐS: R  2r; AH  a)  b)  c) V  ; OA  S2 V2 216 BÀI TẬP ƠN CHƢƠNG IV Bài Một hình cầu nội tiếp hình trụ Cho biết diện tích mặt cầu 60 cm2 Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích hình trụ ĐS: a) Stp  90(cm2 ) b) V  30 15  (cm3 ) Bài Tam giác ABC vng A có BC = 2a B  300 Quay tam giác vng vòng quanh cạnh AB ta hình nón đỉnh B Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính AB ĐS: Stp  3 a2  Sc Bài Người ta chia hình tròn (O;12 cm) thành hai hình quạt có số đo cung 1200 2400 Từ hai hình quạt người ta uốn lại thành hai hình nón a) Tính nửa góc đỉnh hình nón b) Tính thể tích hình nón Trang 76 Nguyến Anh Tuấn Đại số c) Tính tỉ số diện tích tồn phần hai hình nón ĐS: a) Độ dài cung nhỏ 8 (cm) , độ dài cung lớn 16 (cm) Hình nón tạo hình quạt nhỏ có đường sinh 12 cm chu vi đáy 8 cm  R1  4(cm)  sin a  Hình nón tạo hình quạt lớn có đường sinh 12 cm , chu vi đáy 16 cm  R2  8(cm)  sin b  S 64 128 2 256 5 b) V1   (cm3 ) , V2  (cm3 ) c)  S2 160 3 Trang 77 ... thương tổng chữ số số bị chia ĐS: 198 Bài Tìm hai số biết tổng hai số 17 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị tích chúng 105 đơn vị ĐS: 12 và 13 Bài ĐS: Dạng 2: Toán. .. c) max A  x  4 x 9 x  x 1 A   Bài Cho biểu thức: x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A  Bài Cho biểu thức: x 1 ĐS: a) A  x 3 b)  x  9; x  A Bài Cho biểu thức: a)... Đại số  Tập xác định D hàm số y  f ( x ) tập hợp giá trị x cho f ( x) có nghĩa  Khi x thay đổi mà y nhận giá trị không đổi hàm số y đgl hàm Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y  f ( x ) tập hợp tất