+ Biểu điểm chi tiết cho từng câu, từng phần tổ chấm thảo luận để thống nhất.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN KHÁNH
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút
––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm)
Chứng minh tổng bình phương ba số ngun liên tiếp khơng phải bình phương số nguyên
Câu 2: (2 điểm)
Hãy tính giá trị biểu thức P = a3 + b3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng:
a=√35+2√6+√35−2√6;b=√317+12√2+√317−12√2 (Khơng sử dụng máy tính cầm tay)
Câu 3: (3 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) trung điểm cạnh AB, BC CA tam giác ABC
a.- Viết phương trình đường thẳng BC
b.- Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Câu 4: (5 điểm)
a.- Cho x > 0; y > Chứng minh 1x+1 y≥
4
x+y∀x ; y
b.- Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Đặt p = a+b2+c Chứng minh p − a1 +
p −b+ p − c=
2 a+
2 b+
2
c tam giác tam giác Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có độ dài cạnh BC, AC, AB a, b, c
Chứng minh rằng: √aSinA+√b SinB+√c.SinC=√(a+b+c)(SinA+SinB+SinC) Câu 6: (4 điểm)
Gọi H chân đường vng góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD hình chữ nhật ABCD Gọi P Q trung điểm đoạn BH CD Chứng minh điểm A, P, Q D nằm đường tròn
––––––––––––––
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN KHÁNH
-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
(2)––––––––––––––––––– Câu 1: (2 điểm)
Gợi ý giải:
+ Để ý n số nguyên số dư chia n2 cho 0 (1) (Thật vậy: Nếu n = 3k n2 chia hết cho 3; n = 3k ± n2 = 3p + 1 nên n2 chia dư với k; p số nguyên ).
+ Gọi a – 1, a, a + ba số nguyên liên tiếp Đặt m = (a – 1)2 + a2 + (a + 1)2 m = 3a2 + (2)
Vậy từ (1) (2) suy tổng bình phương ba số nguyên liên tiếp bình phương số nguyên
Câu 2: (2 điểm) Gợi ý giải:
Từ giả thiết suy a3 = 10 + 3a; b3 = 34 + 3b Suy P = (a3 – 3a) + (b3 – 3b) + 2008 = 2052. Câu 3: (3 điểm)
Gợi ý giải:
a.- + Viết phương trình đường thẳng MP y = 32 x – 13
+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng y = 32 x + b Vì N thuộc đường thẳng BC suy b = –
Vậy phương trình đường thẳng BC y = 32 x – b.-
+ Tương tự ta có PTĐT AC y = – 5x + 28 PTĐT AB y = 72 x –
+ Giải hệ
¿
y=−5x+28 y=7
2x −6
¿{
¿
ta suy tọa độ đỉnh A A (4; 8) Tương tự B(0; – 6); C(6; – 2)
+ Gọi d1 đường thẳng đia qua A song song với BC, d2 đường thẳng qua C song song với AB
Lập luận, xác định phương trình dường thẳng d1 y = 32x+16
3 (1) ; phương trình đường thẳng d2 y = 72 x – 23 (2)
Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta có nghiệm hệ (x = 10; y = 12) tọa độ giao điểm d1 d2 Vậy D(10; 12)
Câu 4: (5 điểm) Gợi ý giải:
a.- Vì x > 0; y > nên 1x+1 y≥
4
x+y ⇔ ⇔ (x – y) 0 Vậy x > 0; y > 1x+1
y ≥
x+y∀x ; y Dấu “=” xảy x = y b.- Từ giả thiết suy p − a1 = =b+c − a
2 > ; p − b>0;
(3)Áp dụng kết câu a ta có: p − a1 + p −b≥
4
2p −(a+b)= c Tương tự, suy p − a1 +
p −b+ p − c≥
2 a+
2 b+
2 c
Dấu “=” xảy
¿
1 p − a+
1 p −b=
4 c
p − b+ p − c=
4 a
p − c+ p− a=
4 b ⇔
¿p −a=p −b p− b=p − c p− c=p − a ⇔a=b=c
¿{ {
¿
Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 5: (4 điểm)
Gợi ý giải:
Vẽ đường cao AH Ta có SinB=AH
HB ;SinC= AH HC ⇒
b SinB=
c SinC Tương tự, suy ra: SinAa = b
SinB= c SinC=
a+b+c
SinA+SinB+SinC=k>0 Vậy √aSinA+√bSinB+√cSinC= =(SinA+SinB+SinC).√k (1) Và (a + b + c) = (SinA + Sin B + SinC).k
Suy ra: √(a+b+c)(SinA+SinB+SinC)=(SinA+SinB+SinC).√k (2) Từ (1) (2) ta có đ.p.c.m
Câu 6: (4 điểm) Gợi ý giải:
Gọi I trung điểm AH Chứng minh IP AD từ suy I trực tâm tam giác APD Suy DI AP (1)
Chứng tỏ tứ giác DIPQ hình bình hành, suy DI // PQ (2) Từ (1) (2) suy AP PQ suy đ.p.c.m
* Chú ý:
+ Điểm tối đa phần chấm với làm có chữ viết rõ ràng, trình bày sạch, đẹp Điểm tổng cộng tồn khơng làm trịn.