- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tươn[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT THỌ XN TP THANH HĨA - TRIỆU SƠN
ĐỀ GIAO LƯU Ngày 12/01/2020
KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019- 2020
Mơn: TỐN – LỚP THCS
Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề có 05 câu, gồm 01 trang
Họ tên học sinh: SBD:
Bài 1: (4,0 điểm): Cho biểu thức A=
2
( )
x y x y x x y y
x y
x x y y x y
a Rút gọn biểu thức A b So sánh A A
Bài 2: (4,0 điểm)
a Giải phương trình x2 15 3 x 2 x2 8
b Giải hệ phương trình
2
2
2 2
2( )
x x y
x y
Bài 3: (4,0 điểm)
a Tìm tất số nguyên tố p để p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố
b Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn x3 – y3 = 13(x2 + y2)
Bài 4:(6 điểm): Cho tam giác ABCnội tiếp O , lấy điểm D thuộc đoạn BC (D
không trùng B, C) Vẽ O' tiếp xúc với (O) K, tiếp xúc với đoạn CD AD, F, E Các đường thẳng KF KE, cắt (O) M, N
a) Chứng minh MN / /EF
b) Chứng minh MCtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC c) Chứng minh EF qua điểm cố định Dchạy BC
Bài 5: (2,0 điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh :
3
2 2
( ) ( ) ( )
x y z
P
x y z y z x z x y
(2)(3)-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2019-2020
Bài Ý Nội dung Điểm
Bài 4đ
a đ
Điều kiện để A có nghĩa x0, y ; xy Khi 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
x y x y
x y x y x xy y
A
x y x y x y
x y x xy y
x y x xy y
x y
x xy y x y
x y x y x xy y
x xy y x y
x xy y xy 0,5 0,5 0,5 0,5 b đ
Vì x 0; y0 x y nên ( x y)2>0
0
x xy y xy
Do : A =
xy xy y xy x xy
hay A<1
Ta có : A - A A( A 1)0 Vậy A A
Dấu đẳng thức xảy A=0 ó x=0 y =
0.5 0,5 0,5 0,5 Bài đ a
2 đ Vì
2 15 8 3 2 0
3
x x x x
Ta có 2 2 2 2 2
15
15 3
1
3( 1)
15
1
1 (*)
15
x x x
x x x
x x x x x x x x x x
Vì x > 2
3 1
1
2 15 4 8 3
x x x x x
Do (*) x – = x =1 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x =
0,5
0,5
(4)b 2đ
2 2
2 2
2( )
x x y
x y
(I)
Đặt
a x y b x y
2
2 2 2
2 , ( )( )
2( ) ( ) ( )
x a b x y x y x y ab
x y x y x y a b
Hệ phương trình cho trở thành
2
2 2
2
2 7 ( )
5 ( ) ( ) ( ) 12
3; ( / )
4, 5,5 ( ì )
a b ab a b ab ab a b
a b a b ab a b a b
a b ab t m
a b ab loai v S P
Ta có
3 1;
2 2;
a b a b
ab a b
- Nếu
1 2
2
2
x
a x y
b x y
y - Nếu
1 2
2 1
2
x
a x y
b x y
y
Vậy tập nghiệm hệ phương trình
3
; ; ;
2 2
. 0.5 0.5 0.5 0.5 4đ a 2đ
Giả sử tồn số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện đề
Khi p số nguyên tố lẻ p = p1 + p2 = p3 – p4 với p1; p2 ; p3 ; p4 số nguyên tố
Vì p số nguyên tố lẻ nên p1 p2 không tính chẵn lẻ Như có số nguyên tố 2, giả sử p2 =
Lại p số nguyên tố lẻ nên p3; p4 khơng tính chẵn lẻ Cũng có số nguyên tố Do p3 > p4 nên p4 =
Từ p = p1 + = p2 – suy p; p1; p3 ba số nguyên tố lẻ liên tiếp
Chỉ có số p1 = 3; p = 5; p2 = thỏa mãn Vậy p =
0,5
0,5 0,5
(5)b 2đ
Đặt (x,y) = d suy x = md ; y = nd với m > n (m,n) = thay vào phương trình ta có :
m3d3 – n3d3 = 13(m2d2 + n2d2)
d(m – n)(m2 + mn + n2) = 13(m2 + n2).
Lại có (m2 + mn + n2 , m2 + n2 ) = (mn , m2 + n2 ) Ta chứng minh (mn , m2 + n2 ) = 1
Thật giả sử (mn , m2 + n2 ) = d1
2
1
m n d
mn d
Vì mn d1 (m,n) = nên m n chia hết cho d1 Giả sử m d1
Lại có m2 + n2 d1 nên n d1 Khi
d1 d1 = (m2 + mn + n2 , m2 + n2 ) = 1
Khi 13 (m2 + mn + n2) m2 + mn + n2 = 13 m = 3, n = 1 d = 5
x = 15, y = 5
Vậy x = 15, y =
0,5
0,5
0,5
0,5
4 6,0 đ
a 2đ
a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung d với O O' Gọi H giao (d) BC
- Xét (O) ta có
1
(6)
MNK FKH (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây
cung chắn cung) - Xét (O’) ta có
EF
K FKH (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây
cung chắn cung)
KEF MNK MN / /EF
0.5
0,5 0,5
b 2đ
b) Ta có tam giác HKF cân H suy HKF HFK
BM CM KH KC BMMà HKF
góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn HFK góc có đỉnh bên đường tròn chắn suy
Suy BCM MKC nên ta có MClà tiếp tuyến KFC
1
c
c) Gọi AM cắt EFtại I Ta chứng minh I cố định cách chứng minh I giao điểm đường phân giác ABC
BM CM Ta có suy AM phân giác BAC Ta
chứng minh CI phân giác ACB hay ACI ICB Thật vậy:
+) Xét (O’) có DEFEKF (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung)
+) AKN AMN AIEnên tứ giác AEIKnội tiếp Suy raEAI EKI D EF EAI EKF EKI
EIA IKF
MIF IKF
Suy
2
( ) (1)
MIF MKI g g MI MK MF
Ta có MClà tiếp tuyến KFCsuy
2 . (2)
MC MF MK
Từ (1) (2) suy MI MCLúc ta có:
MIC MCI IAC ICA MCB BCI ICA BCI
Nên CI phân giác ABC, mà AM phân giác góc BAC nên I cố định
0.5
0.5
0.5
(7)5 2,0đ
Đặt a =
1
x ; b =
1
y ; c =
1
z suy abc = (a, b, c > 0)
Biểu thức P viết lại
2 2
2 2
(1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 )
a bc a b ca b c ab c
P
b c c a a b
a a b b c c
b c c a a b
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
Chứng minh:
3
a b c
b c c a a b
(bất đẳng thức Ne – bit)
Ta có
3
9
1 1
2
1 1
( ) ( )
a b c
b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b b c c a
a b b c c a
Dấu = xảy a = b = c
Bất đẳng thức ln áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có
3
1 1
( ) ( )
1 1
3 ( )( )( ).3
a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a
Chứng minh :
2 2 3
2
a b c
b c c a a b
Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacopxki dạng phân thức ta có :
2
2 2
3
2( )
3
2
a b c
a b c a b c
b c c a a b a b c
abc
Dâu = xảy a = b = c Do
3
3
2
P
Dấu “ =” xảy x = y = z =
0,75
0,5
0,5
0,25
(8)- Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.