Đề thi HSG môn Toán 11 năm học 2019 - 2020 có đáp án Trường THPT Nguyễn Quán Nho

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm [r]

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO

Tháng

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2019-2020

MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1( 4,0 điểm) 1) Cho hàm số

4

yx  x có đồ thị (P1) hàm số yx22x3có đồ thị (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) hai điểm phân biệt A, B cắt (P2) hai điểm C, D Tìm m để AB 2CD

2) Giải bất phương trình

2

2

1 2

1

1

x x x x x

    

  

Câu 2( 4,0 điểm)

1) Giải phương trình 4cos3 cos 2cos 4cos tan tan 2

x

x x x x x 

2) Giải hệ phương trình   

2

9

7 25 19 35

y y y x xy x

x y x x y

     

 

       



Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho số thực dương x y z, , Chứng minh

2 2

3 3

1 1

1 4

x y z

y z z x x y

     

        

2) Cho dãy số  un xác định sau

 

1

1

,

2 1

n n

n

u

n u

u

n u 



 

  



 

 



Tính tổng 2019 số hạng

đầu tiên dãy số  un Câu 4( 4,0 điểm)

1) Xung quanh bờ ao gia đình bác Nam trồng 20 chuối Do khơng cịn phù hợp bác muốn thay để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên Tính xác suất để bác Nam chặt khơng có hai gần

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm I Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, H hình chiếu vng góc C đường thẳng BI Các đường thẳng AC KH có phương trình x y

2

Câu 5( 4,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB 3a AD a Cạnh bên

2

SA a SA vng góc với mặt đáy ABCD Gọi H K, hình chiếu vng góc đỉnh A lên cạnh SB SD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng AHK

2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ABC P điểm tam giác ABC Chứng minh

rằng

2 2

2 2 2

PA PB PC PH

OA OB OC OH

-HẾT -

ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020

Câu Đáp án Điểm

1a Xét phương trình:

4

x  x  m (1) x22x  3 m 0(2)

ĐK:

1

2

m

m m

    

     



2 2

1

2

1 2 4

2 ( ) 2( )

( ) 2[( ) ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = AB CD AB CD x x x x

x x x x x x x x

      

       

ĐS: m = 2.0

1b

(2 điểm)

+ Điều kiện x0

+ Ta có

2

2

2

2

x   x x    

  nên

2

1 2 x   x

Do bất phương trình 2

1 x x 3x 1 x x

        

2

1

x x x x x

       0.5

+ Nếu x0 bất phương trình trở thành 1 (vơ lý)

+ Nếu x0 bất phương trình x 1 x

x x

      

+ Đặt x t x

  với t 2, bất phương trình trở thành 1 t 1 t3 13

2

4

t t

    

0.5

+ Với 13

t  13 12 13 105 13 105

4 8

x x x x

x

 

        

+ Vậy bất phương trình có nghiệm 13 105 13 105

8 x

   

0.5 2a

(2 điểm) + Với điều kiện

cos cos cos cos x x x x              

phương trình tương đương với

sin sin

4 cos cos cos 4 cos cos cos

2 x

x

x x x x

x x

    

0.5

  sin2sin cos2cos

2 cos cos cos 4 cos

cos cos

x x

x x

x x x x

x x         0,5

2 cos cos cos

x x

x

    

2 cos cosx x cos x cosx

    

 

2 cos cosx x cosx cos x

    

 

2 cos cosx x cosx cos 2x

     0.5

2 cos 2x cos x 1

    cos 2 cos x x         x k x k             + So sánh với điều kiện ta  

2b

(2 điểm)

  

2

2

9

7 25 19

0; 2;

y y y x x y

xy y x x

    

   



        

Từ PT đầu hệ kết hợp với điều kiện xác định suy x7,y0

Do   

(1) 9y  2y3 yx 3x4 xy4x0

  

  

 2

2

2

4

9

0

9 3

xy x y y y x x

xy x y y y x x



   

  



   

   

  

2

9

0

9 3

x y y x

y x

xy x y y y x x

    

 

   

      

 

 x y

+ Thế vào (2), ta được: 7x225x19  x22x357 x2 3x211x227 x2x5x7 

3x25x144x 5 x5x25x14 

Đặt  

5 14 ;b 0,

a x  x  x a b Khi phương trình trở thành 3a24b27ab  a b 3a4b

Với a   b x (thỏa mãn) x 3 (loại)

Với 61 11137 18

a b x  (thỏa mãn) 61 11137 18

x  (loại) Kết luận: Hệ có nghiệm hệ là:

3 7;3 7   61 11137 61; 11137

18 18

   

 

 

3.a

(2 điểm)

+ Đặt

2 2

3 3

1 1

1 4

x y z

P

y z z x x y

  

  

        

và 1x2 a, 1 y2 b, 1z2 c với a b c, , 1

+ Ta có 1 y3  1 y1 y y2

+ Theo cô-si   

2

2

1

2 y

y y y 

    2

1

2 y y 

  

+ Suy

      2 2 1

2 1

x x a

b c y z y z        

   0.5

+ Hoàn tồn tương tự ta có

      2 2 1 2

2 1

y y b

c a z x z x                  2 2 1 3

2 1

z z c

a b x y x y           

+ Cộng bất đẳng thức      1 , , theo vế ta

2 3

a b c

P

b c c a a b

  

   0,5

2 2

2 3

a b c

P

ab ca bc ab ca bc

          

a b c P

ab bc ca    

  0.5

 

 

3

5

ab bc ca P

ab bc ca

 

   

  đpcm

+ Dấu “=” xảy x  y z 0.5 3.b

(2 điểm)

Cho dãy số  un xác định sau

  1 ,

2 1

n n n u n u u n u             

Tính tổng

Ta có    2

1 1

2 1

1 1

4 2

n

n n n n

n u

n n n

u u u u



  

   

         

 2  2

2 2

1

1 1

2 2

n n n

n n n n n

u u  u 

 

          

 

Tương tự ta có  2  2

1

1 1

2 2

n n

n n

u    u      u 

Suy

2

1

1 1

2 2

2 2

n n

n n

u u u



        

2 22 1 1 1

n

u

n n n n

   

   

2019 2019

1

1

2

i

i i

u

i i

 

 

    

 

 

 

1 1 1 1 1 4038

3 5 4037 4039 4039 4039

       

             

        0,5

4.a

(2 điểm)

+ n()C204 4845

Trường hợp 1: Cả chặt gần có 20 cách 0.5 + Trường hợp 2: Trong chặt có gần

- Chặt gần có 20 cách

- Mỗi gần có 15 khơng gần Vậy trường hợp có:

20 X 15 = 300 cách 0,5

Trường hợp 3: Trong chặt có gần nhau: - Chặt gần có 20 cách

+ Trường hợp 4: Trong chặt có hai cặp gần - Chọn cặp gần có 20 cách

- Mỗi cách chọn cặp gần lại có 15 cặp gần chọn từ 16 Vậy trường hợp có 150

2 15 20

 cách Vậy n(A)4845(203002100150)2275

Suy ra:

969 455 4845 2275 )

(A   P

0.5

Bài b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm I Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, H hình chiếu vng góc C đường thẳng BI Các đường thẳng AC KH có phương trình x y

2

x y Biết điểm B thuộc đường thẳng y điểm I thuộc đường thẳng x Tìm tọa độ điểm C

Hướng dẫn

K giao điểm HK AC nên có tọa độ K(-3; 2) Đường thẳng BK vng góc với AC nên có phương trình: x - y + = Vì B thuộc đường thẳng y - = nên tọa độ B(0; 5)

Gọi 7;

2

E trung điểm BK, M trung điểm BC EM // AC nên phương trình EM là: x + y -

2 = Suy tọa độ M là: M m;2 m Do MH = MK nên tam giác HMK cân M, có MD trung

tuyến trung trực, nên phương trình đường thẳng MD có dạng:

2

x m t

y m t, thay vào

phương trình HK ta có:

3

2 2

5

m

m t m t t , suy tọa độ D là: 4;

5

m m

D

N

D H

E

K

M I

A

Từ tọa độ D K suy tọa độ 12 9;

5

m m

H Suy tọa độ véc tơ BH là:

12 27 ;

5

m m

BH Mặt khác gọi I 1;n , ta có BI 1;n hướng với BH

nên 12 27 22 24

4

m

n m m n m m n

m (1) Ngoài BM IM nên ta có: m m m m n

2

2m 2m n m (2) Thế (1) vào (2) ta được:

2 3 11 12 3 0 3 4 3 11 12 3 0

4

m

m m m m m m m m

m

3 2

4 18 36 27

2

m m m m m m m

Khi tọa độ 7; 7; 3;2 3;2

2 2

M E C K nên tam giác ABC vuông C

Câu

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB 3a AD a Cạnh bên SA 2a SA vng góc với mặt đáy ABCD Gọi H K, hình chiếu vng góc đỉnh A lên cạnh SB SD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng

AHK

2,0

Ta có AH SB, mà BC SA BC SAB BC AH

BC BA

Suy ra: AH SBC AH SC 0,50

Tương tự: AK SC

Gọi I SC AHK , từ suy ra: SC AHIK 0,50

Do đó: AC AHK, CAI ASC 0,25

Ta có: AC AB2 AD2 2a 0,25

Mà: tanASC AC ASC 600

AS 0,25

KL: AC AHK, 60 0,25

2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ABC P điểm tam giác ABC

Chứng minh

2 2

2 2 2

PA PB PC PH

OA OB OC OH

2,0

Ta có: OP xOA yOB zOC S

A

B

D H

K I

C

O A

B

C

H

P

Từ ta có:

2 2 2

2

2

2

OP OA PA OP OA PA

x OA OP OA x

OA

Suy ra:

2

2

1

OP PA

x

OA OA

0,50

Tương tự:

2

2

1

OP PB

y

OB OB ,

2

2

1

OP PC

z

OC OC

0,25

Mà ta có: x y z

2 2 2

2 2 2

1 1

1 1

2 2

OP PA OP PB OP PC

OA OA OB OB OC OC

2 2 2

2 2 2

3 OP OP OP PA PB PC

OA OB OC OA OB OC

2 2

2

2 2 2

1 1

1 OP PA PB PC

OA OB OC OA OB OC

0,50

Mặt khác ta có: 12 12 2 2

OA OB OC OH

2 2

OP OH PH 0,25

Do đó:

2 2 2 2

2 2 2 2

PA PB PC OP OH HP PH

OA OB OC OH OH OH

KL:

2 2

2 2 2

PA PB PC PH

OA OB OC OH (đpcm)

0,25

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

- - - - -