Đề thi HSG môn Toán 11 năm học 2019 - 2020 có đáp án Trường THPT Nguyễn Duy Trinh

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

SỞ GD&ĐTNGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11- NĂM HỌC 2019-2020

Môn thi: Tốn

Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu (7,0 điểm). Giải phương trình sau:

a)  2  

sin cos 2sin sin sin

x

x x   x x 

b) x 4 3 x 12 x x2   x 1 2x5

Câu (7,0 điểm).

a) Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng q lần

b) Giải hệ phương trình

  

3

( , )

3 2

2

x y x y

x y x

y xy y

    





 

    

 

Câu (4,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABCvng C, có phân giác AD

với ( ;7 7) 2

D  thuộc BC Gọi EvàFlần lượt thuộc cạnhABvà ACsao cho AE AF.Đường thẳng

EFcắt BC K Biết ( ;3 5) 2

E  , F có hồnh độ nhỏ phương trình đường thẳng AK

2

x y  Viết phương trình cạnh tam giác ABC

b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d x:  y đường tròn

    2 2

:

T x  y  Từ điểmM thuộc đường thẳngd kẻ hai tiếp tuyến MA MB, (A B, tiếp điểm) cát tuyến MCD đến đường tròn  T với C nằm M D; AB cắt CD N Tìm tọa độ điểm Mbiết CD1

9 ND

Câu (2,0 điểm) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x  y z Chứng minh rằng:

     

2

4 4

x y z y z x z x y

xyz

yz zx xy

  

  

  

ĐÁP ÁN

Câu Đáp án Điểm

1

(7,0đ) a) (3,5đ) Giải phương trình   

2

sin cos 2sin sin sin

x

x x   x x  (1)

(1)  1 2sin cosx x 1 cosx2 sin2x4sinx sinx 0,5

     

2 4sinx 2sin cosx x cosx sin x sinx

      1,0

     

2 2sinx cosx 2sinx sinx 2sinx

     

2sinx 1 sinx cosx 2

     2sin

3 sin cos

x

x x

  

 

  



1,0

+) sin cos sin

6 x x   x 

 

2 ,

6

x   k  x  k  k

         

0,5

+)  

2

1

2sin sin

5

2

x k

x x k

x k

 

 

   

     

  



Vậy phương trình cho có nghiệm

 

5

2 , ,

3 6

x   k  x  k  x  k  k

0,5

b) (3,5đ) Giải phương trình

4 12

x   x  x x   x x

ĐK:

2 x

   Đặt

2

2

4 12 , ( 0)

2 t

t x   x  x x   t 0,5

Khi phương trình trở thành:

2

7

1

2 t

t x x



     1,0

Suy t2 + 2t = a2 + 2a vớia 2x5, (a0) (t a t)(  a 2)  0 t a 1,0 Với t a ta có x 4 3 x 2x 5 12 x x2   x 1 89

4

x  1,0

2 (7,0đ)

a) (3,5đ) Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng lần

+TH1: Chữ số xuất lần Có C32cách chọn vị trí cho chữ số

Có A92cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 2

3.

C A số có chữ số thỏa mãn trường hợp

1,0

+TH2: Chữ số a (khác 0) xuất lần a vị trí (vị trí hàng nghìn) Có cách chọn a

Có cách chọn thêm vị trí cho a

Có A92cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có

9

9.3.A số có chữ số thỏa mãn trường hợp

+TH3: Chữ số a (khác 0) xuất lần a khơng xuất vị trí hàng nghìn Có cách chọn a

Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số a

Có cách chọn chữ số (khác khác a) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại

Vậy có

3

9.8.8.C số có chữ số thỏa mãn trường hợp

1,0

Vậy có 2 2

3. 9.3. 9.8.8.C3 3888

C A  A   số thỏa mãn đề 0,5

b) (3,5đ) Giải hệ phương trình

  

3 2 3 1 (1)

5

3 2 2 2 (2)

2

x y x y

x

y xy y

    



 

    

  ĐK: 2; 5;3

3

y x  yx

2

(1) ( 3) 4(3 )( 1) ( 9)( 1)

2

x y

PT x y x y x y x y

x y

   

            

 



1,0

TH1: x 6y9

Từ PT (1), x   3 6y     9 y Suy hệ PT vô nghiệm 0,5 TH2: x2y1 Thay vào PT (2) ta có

2 2( 2)

3 2 (2 1)( 2)

3 2

y

y y y y y y

y y



         

  

1,0

2

2

3 2

y

y

y y

  

   

   



PT 2

3y 2 y2  y vơ nghiệm

2

;

2

3y 2 y2  y  Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) với x3,y2

1,0

3 (4,0đ)

a) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABCvng C, có phân giác AD với ( ;7 7)

2

D  thuộc BC Gọi EvàFlần lượt thuộc cạnhABvà ACsao

cho AEAFĐường thẳng EFcắt BC K Biết ( ;3 5) 2

E  , Fcó hồnh độ nhỏ phương trình đường thẳng AK x2y 3 Viết phương trình cạnh tam giác

ABC

Gọi I giao điểm ADvà EF, suy Ilà trung điểm EF

Chứng minh DF AK

0,5

A

B

C D

F I

K

Phương trình DF là: 4x2y 7 Gọi ( ;7 ) (2 2; )

2

t t

F t  t I   (3 ; t), (11 ; )

4

t t

IE  ID  t

      

Do IE ID   0 (3 )(11 ) 16(t  t  t3)(t 4)

2

9 20 140 225

5 t

t t

t   

    

  

Vì Fcó hồnh độ nhỏ nên ( ;5 3) (2; 2) 2

F  I 

1,0

Do đường thẳng ADcó phương trình x  y A(1; 1)

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giácABC là: : 0; : 0; : 14

AC x y  AB x  y BC x y 

0,5 b) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho đường thẳngd x:  y đường tròn   T : x1 2 y42 5 M điểm thuộc d, qua M kẻ hai tiếp tuyếnMA MB, đến ( )T (A B, tiếp điểm) cát tuyến MCD đến đường tròn( )T với C nằm M

D; AB cắt CD N Tìm tọa độ điểm M biết CD1 ND

+ Gọi K trung điểm DC, I tâm đường tròn (T), IK vng góc CD Mà IA vng góc MA suy đường trịn đường kính MI qua I, K, A,B (Kí hiệu đường trịn (T’))

Đường tròn (T) tâm I(1;-4), R2 =5

0,5

+ 1, 4,

9 9 18

CD DN  NC  NK   

N điểm ( T) ta có: ND.NC=NA.NB=20/81 Tương N (T’) : NK.NM=NA.NB=20/81 Suy 40

9 NM 

Mặt khác 2 2 19 2 385

4 81

IK ID KD R KD  IN IK KN 

0,5

+ Sử dụng định lý cosintrong tam giác INM ta có:

2 2 2

2 ( ) IN ( )

IM IN NM  IN NM cos INM  NM  IN NM cos INK (*) Với cos (INM) cos( INK) cos INK( ) KN

IN



      , thay vào (*) ta có:IM2=IN2+NM2+2NK.NM=385 1600 40 2025 25

81  81 81 81  Vậy IM =

0,5 M

A

B

C

D N

Vậy giao đường tròn (I;5) (d) cho ta điểm M cần tìm (1;1) (-4;-4) 0,5 4

(2,0đ)

Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x  y z Chứng minh rằng:

     

2

4 4

x y z y z x z x y

xyz

yz zx xy

  

  

   (1)

Ta có   

2 2

9

yz zx xy  x y z   yz zx xy

 1         

4 4

y z z x x y

yz yz zx zx xy xy

  

   

   (2)

0,5

Tacó  

4  2 2  2 2 2  2

y z yz

yz yz yz yz yz yz yz yz yz



  

        0,5

Do

 

       

 

1 1

2

4 4 2

18 18

2 6

y z z x x y

yz yz zx zx xy xy yz zx xy

yz zx xy

 

  

      

       

  



  

Vậy (2) Suy đpcm

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

- - - - -