Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Cụm trường THPT chuyên DHĐB Bắc bộ

Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Cụm trường THPT chuyên DHĐB Bắc bộ giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập giải đề nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi. Chúc các bạn thi tốt!

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)  Câu (4 điểm) Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn thoả mãn điều kiện un   un 1  un , 5  n  1, 2, 3, Chứng minh rẳng dãy u n  có giới hạn hữu hạn Câu (4 điểm) Cho ABC có đường trịn nội tiếp  I  tiếp xúc với BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn  I  điểm L khác D a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN M , N cắt EF U , V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức trình cho với số nguyên dương, phương có nghiệm nguyên Câu (4 điểm) Cho p số nguyên tố có dạng 12 k  11 Một tập S tập M  {1; 2; 3;; p  2; p  1} gọi “tốt” tích tất phần tử S khơng nhỏ tích tất phần tử M \ S Ký hiệu  S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia  S cho p xét tập tốt M có chứa p 1 phần tử Câu (4 điểm) Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1 An1  n   Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k HẾT -(Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN Câu Nội dung trình bày Điểm 4,0 Đề xuất trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam  Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn thoả mãn điều kiện un   un 1  un , 5  n  1, 2, 3, Chứng minh rẳng dãy u n  có giới hạn hữu hạn 5 5 Ta có u n   u n 1  u n  un  un 1  un1  un , n  1, 2,3, (1) Đặt v n  un 1  un , n  1, 2,3, từ (1) ta có v n 1  v n , n  1, 2,3, 1,0 (2)  Vì dãy số ( u n ) n 1 bị chặn nên tồn số M cho un  M , n  1, 2,3, suy  M  M  M , n  1, 2,3, 5 (3) 0,5 Từ (2) (3) ta thấy dãy (v n ) không giảm bị chặn Do đó, dãy hội tụ Đặt lim v n  a b  5a Ta chứng minh lim u n  b  Thật vậy, lim v n  a nên   nhỏ tùy ý, n0  N * cho  a  , n  n0 Khi đó, nhờ có đánh giá 3 8b   , un 1  b  un  b  (un 1  b)  (un  b)  un 1  un  5 5 1,0 ta thu un 1  b   un  b  , n  n0 5 Từ kiện ta suy un0 1  b   un0  b  ; 5 3   3 un0   b  un0 1  b      uu0  b   ; 5 5 5 un0  k hay k k 1 k 2     3 3  b    uu0  b          1    5 5 1,0 k un0  k 3 1   k k  3  5   3 u b    b    uu0  b    n0 1 5 5 Do u n  k  b   với k đủ lớn tức u n  b   với n đủ lớn   nhỏ tuỳ ý Vậy lim u n  b Hay dãy u n  có giới hạn hữu hạn (đpcm) 0,5 Đề xuất trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai Cho ABC có đường tròn nội tiếp  I  tiếp xúc với BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn  I  điểm L khác D a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN M , N cắt EF U ,V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN 4,0 a) Trước hết ta chứng minh K trực tâm MDN Thật vậy:  ANF  FDB Do AN  BC nên  Do D, E , F tiếp điểm  I  BC , CA, AB nên BD  BF   BFD    BDF ANF  BFD AFN  ANF cân A  AN  AF Chứng minh tương tự ta có AM  AE mà AE  AF nên AN  AF  AE  AM  NEM vuông E ; NFM vuông F  NE  MD; MF  ND mà NE  MF  K suy K trực tâm MDN -Bây ta chứng minh A, K , L thẳng hàng: + Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Gọi D ' điểm đối xứng D qua T Ta có ND '  KM (vì vng góc với ND ), MD '  KN (vì vng góc với MD ) Do ND ' MK hình bình hành Do A trung điểm MN nên K trung điểm KD’ Do D’, A, K thẳng hàng (1) + Hơn nữa, tứ giác DFKL nội tiếp đường trịn đường kính DK nên DL vng góc với LK Mặt khắc DD’ đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác DMN nên DL vng góc với LD’ Do L, K, D’ thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy A, K , L thẳng hàng (đpcm) 1,0 1,0 b) Gọi P giao UL  DMN   P  L  ; Q giao LV  DMN   Q  L    DNM  Lại có MEU   FNM  (do Do MU tiếp xúc  DMN  M nên DMU   UEM   UME cân NMEF nội tiếp đường trịn đường kính MN ) nên UME 1,0 U  UM  UE UE UL   UEP  ULE (c.g.c) UP UE   UEL   1800  UPE   1800  UEL   EPL   LEF  (3)  UPE Ta có UM  UP.UL  UP.UL  UE    1800  LDF  (do LEFD nội tiếp) LPN   1800  LDN  (do LPND Lại có LEF   LEF  (3) nội tiếp) nên LPN   EPL   P; E ; N thẳng hàng Từ (3) (4) suy LPN Chứng minh tương tự ta có Q; E ; M thẳng hàng   NPQ  Do MNQP nội tiếp nên NMQ 1,0 Do NMEF nội tiếp nên  NMF   NEF   EF  PQ  UV  PQ Do  NEF  NPQ Do  LQP  tiếp xúc với  LUV  L suy UVL  tiếp xúc với  DMN  L (đpcm) Đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Quảng Trị Tìm tất đa thức cho với số ngun dương, phương trình 4,0 có nghiệm ngun Rõ ràng deg( P )  Đặt deg( P )  m hệ số bậc cao không tổng quát, coi Gọi 1,0 nghiệm nguyên lớn phương trình Dễ thấy nên Hơn nữa, ước nên với số tự nhiên Suy 1,0 Do đó, dãy phải hội tụ đến (nguyên) Kéo theo Do đó, Đặt đa thức Từ thỏa mãn 1,0 phải ta suy với Từ đó, ta tìm tất số nguyên 1,0 tùy ý Đề xuất trường THPT chuyên Bình Long, tỉnh Bình Phước 4,0 Cho p số nguyên tố có dạng 12 k  11 Một tập S tập M  {1; 2; 3;; p  2; p  1} gọi “tốt” tích tất phần tử S khơng nhỏ tích tất phần tử M \ S Ký hiệu  S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia  S cho p xét tập tốt M có chứa p 1 phần tử  p 1 p   , ,, p  2, p  1 rõ ràng S tập tốt Trước hết, xét tập S      S  ( 1) p 1  p 1  p 1  p 1   !  !  2   !  2a (mod p ) ,       1,0  p 1 a    ! thỏa mãn p | a  theo định lý Wilson   Ta xét trường hợp: - Nếu a  (mod p)  S  (mod p ) p 1 p 1 p 1  (mod p ) 2 dễ thấy dấu  S thay đổi thành Khi đó, hai trường hợp, ta - Nếu a  1 (mod p) tập S , thay 1,0 tập tốt có  S  (mod p ) Ta chứng minh không tồn S tốt cho  S  (mod p ) Xét tập tốt S gọi a, a tích phần tử S , M \ S Theo định lý Wilson aa  ( p  1)!  1 (mod p) 1,0 Khi đó, a  a (mod p) p | a  , vơ lý ta biết a  khơng có ước nguyên tố  3  dạng k  Còn a  a  (mod p) (2a  1)2  3 (mod p ) , vơ lý    1  p theo giả thiết p  11 (mod12) 1,0 Vậy giá trị nhỏ cần tìm Đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bình Định Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1 An1  n   Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k Dễ thấy kmin  n  , k < n -1 hiển nhiên có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh tô màu TH1 Nếu n số chẵn gọi màu cần tơ 0,1, , n  Ta tô màu sau: Ai Aj tô màu i  j  mod(n  1)    i, j  n   Ai An1 tô màu 0,5 1,0 2i  mod(n  1)    i  n   Cách tô màu thỏa mãn đề Thật 0,5 + Nếu Ai Aj , Ai Ak   i, j, k  n   tơ màu j  k  mod(n  1)  Vơ lí ! + Nếu Ai An1 , Ai Aj   i, j  n   tô màu i  j  mod(n  1)  Vơ lí ! + Ai An 1 , Aj An 1   i, j  n   Nếu màu 2i  j  mod(n  1)   i  j  mod(n  1)  Vơ lí ! Vậy cách thỏa mãn yêu cầu toán Như kmin  n  (1) TH2: Nếu n số lẻ giả sử tơ với n – màu 0,1, , n  Khi đó, tất đoạn thẳng có màu 1, , n  xóa hết cịn lại đoạn thẳng có màu Suy deg Ai  n 1  deg A  n i 0 i ( Vì tổng số bậc lần số cạnh) Điều vơ lí 1,0 Do k  n Với k = n ta tô màu sau: Gọi n màu cần tô 0,1, , n  Ai Aj tơ màu i  j  mod n  Cách tô thỏa mãn yêu cầu toán Thật Ai Aj , Ai Ak tơ màu i  j  mod n  vơ lí Như kmin  n (2) n  1 Từ (1) (2) suy kmin      1,0 ...ĐÁP ÁN Câu Nội dung trình bày Điểm 4,0 Đề xuất trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam  Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn thoả mãn... đủ lớn   nhỏ tuỳ ý Vậy lim u n  b Hay dãy u n  có giới hạn hữu hạn (đpcm) 0,5 Đề xuất trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai Cho ABC có đường tròn nội tiếp  I  tiếp xúc với BC , CA,... ta suy với Từ đó, ta tìm tất số nguyên 1,0 tùy ý Đề xuất trường THPT chuyên Bình Long, tỉnh Bình Phước 4,0 Cho p số nguyên tố có dạng 12 k  11 Một tập S tập M  {1; 2; 3;; p  2; p  1} gọi