Đề thi hsg môn toán 11 năm học 2010 2011

S GIO DC V O TO H TNH đề thức Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 11 THPT NM HC 2010 2011 MễN TON Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi : /4/2011 x 2sin ( )s inx - cos3 x Bi a) Gii phng trỡnh : = 3 sin x cos x 4x 2x b) Tỡm m phng trỡnh cos + cos m = cú nghim x +1 x +1 Bi Tam giỏc ABC cú ba gúc tha h thc : cos A sin B sin C + (sin A + cos B + cos C ) 17 = Hóy tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ú Bi a) Tỡm h s ca s hng cha x4 khai trin : (1 + 2x + 3x2)10 Cn0 Cn1 Cn2 Cnk Cnn b) Tớnh tng : S = + + + + k +1 + + n+1 C n + Cn + C n + Cn + k + C2 n + Bi (vi n N * ) Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a a) Tớnh gúc gia hai ng thng AC v AB b) Gi M, N, P ln lt l cỏc im thuc cỏc cnh AB, BC, DD cho AM = BN = DP Chng minh rng trng tõm tam giỏc MNP luụn thuc mt ng thng c nh M, N, P thay i Bi Dóy s thc (an) tha iu kin : a1 = an2 an +1 = n N * an2 an + n Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n ta cú : a i =1 i sin x cos x > (*) 0,25 x 3 Pt 2sin ( ).s inx - cos x = [1 cos( -x)]s inx - cos x = 2 0,25 (1 s inx) s inx - cos x(1 sin x) = (1 s inx)(s inx - cos x sin x cos x) = 0,5 (6,0) a) (3,0) +/ - sinx = x = + 2k , k Z , tha /k (*) +/ s inx - cos x sin x cos x = 0,5 t sinx - cosx = t , t ( 0,5 Kt hp /k (*) ta cú : t 0; Khi ú pt t + 2t = t= t 0; ( 0,5 2 Đặt cos = ta cú : sinx - cosx = t cos( x + ) = 2 pt có nghiệm x = - + 2k , k Z Vi t = Vy pt cú cỏc h nghim l : x = với cos = + k x=- + 2k , k Z 0,5 b) ( 3,0 ) Pt 2cos 2x 2x + cos m = (1) x +1 x +1 0,5 2x suy u x +1 Li t t = cosu suy t [ cos1;1] t u = 0,5 0,5 (1) 2t2 + t = m vi t [ cos1;1] Xột f(t) = 2t2 + t , t [ cos1;1] , honh nh parabol t0 = [ cos1;1] , suy f(t) = { f (cos1); f (1)} , max f(t) = max { f (cos1); f (1)} Vy vi f(cos1) m f(1) cos2 + cos1 m pt cú nghim (3,0) p dng nh lý cosin v sin tam giỏc cú : cosA = b2 + c2 a , 2bc 1- cos B + 1- cos2 C sin2 A + (cos B 17 17 3 ) + (cos C ) + (sin A ) =0 2 cos B = cos C = B = C = 300 A = 120 sin A = (5,0) a) (3,0) 0,5 0,5 3(sin A + cos B + cos C ) = 3(sin A + cos B + cos C ) = 0,5 0,5 a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC b + c a sin B + sin C sin A T ú ta cú : cosA = = 2bc 2sin B sin C H thc ó cho sin B + sin2 C sin2 A + 0,5 Ta cú (1 + 2x + 3x2)10 = [(1 + 2x) + 3x2)]10 10 2 = C10 (1 + x) + C10 (1 + x) 3x + C10 (1 + x) x + Nhn xột : t s hng th t tr i khai trin trờn khụng cha x4 na 10 0 2 3 4 Ta cú : C10 (1 + x) = C10 (C10 + C10 x + C10 x + C10 x + C1016 x + ) x 2C10 (1 + x)9 = x 2C101 (C90 + C91 x + C92 x + ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x 4C102 (1 + x )8 = x 4C102 (C80 + ) 2 Vy h s ca s hng cha x4 l : C10 C10 16 + 3C10 C9 + 9.C10 C8 = 8085 0,5 b) (2,0 ) Cnk n! (k + 1)!(n + 1)! n !( n + 1)!( k + 1) = = k +1 Cn + k + k !(n k )! (n + k + 2)! (n k )!(n + k + 2)! = n !(n + 1)! n !(n + 1)! (n k )!(n + k + 1)! (n k 1)!(n + k + 2)! C n k C n k = n +1 n n +1 C2 n +1 0,5 n n+ n n+3 C C Cho k = cú : C C = C2nn +1 n n +1 n n +1 C C2nn+11 C2nn+21 = Cho k = cú : C C2nn +1 Cnn 1 C21n +1 C20n +1 Cho k = n - cú : n = C2 n +1 C2nn +1 0,5 Cnn C20n +1 = C2nn++12 C2nn +1 Cho k = n cú : Cng theo v n + ng thc trờn ta cú S = 0,5 0,5 a) (1,5) (4,0) 0,5 Mt bờn ABB A l hỡnh vuụng nờn AB vuụng gúc vi AB AB l hỡnh chiu ca AC trờn mp(ABBA) nờn AB vuụng gúc vi AC.(l ng ), suy gúc gia ACv AB bng 900 b) (2,5) t AM = BN = DP = x ta cú : AN2 = a2 + x2 , AP2 = a2 + x2 , AM2 = a2 + x2 AM = AN = AP (1) Mt khỏc NP2 = NC2 + CD2 + DP2 = (a x )2 + a2 + x2; NM2 = NB2 + BB2 + BM2 = x2 + a2 + ( a - x)2 ; Tng t MP2 = a2 + x2 + (a-x)2 suy MN = NP = PM (2) T (1) v (2) suy hỡnh chúp AMNP l hỡnh chúp u T ú ta cú ng thng ni A vi trng tõm tam giỏc MNPs vuụng gúcvi mp(MNP) Chng minh tng t ta cú ng thng ni C vi trng tõm tam giỏc MNP s vuụng gúc vi mp(MNP) Nh vy trng tõm MNP luụn thuc ng thng c nh l AC 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 t bn = suy bn+1 = bn2 bn + an (2,0) T ú cú : 0.5 1 = bn (bn 1) bn +1 1 1 = + bn (bn 1) bn +1 bn +1 (bn +1 1) 1 = bn +1 bn (bn 1) bn +1 (bn +1 1) T ú ta cú : = n n i =1 i =1 = 1 1 1 = + + + bi b1 b1 (b1 1) b2 (b2 1) bn (bn 1) bn +1 (bn +1 1) 1 1 + = < ( pcm) b1 b1 (b1 1) bn +1 (bn +1 1) bn +1 (bn +1 1) -Ht - 0.5 0,5 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2010- 2 011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Bài Nội dung Điểm Đ/k... n +1 n n +1 C2 n +1 0,5 n n+ n n+3 C C Cho k = có : C −C = C2nn +1 n n +1 n −1 n +1 C C2nn− +11 − C2nn−+21 = Cho k = có : C C2nn +1 Cnn −1 C21n +1 − C20n +1 Cho k = n - có : n =