Đề thi HSG toán 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DHĐB bắc bộ

Đề thi HSG toán 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DHĐB bắc bộ là một trong những đề được chọn lọc từ các tỉnh thành trong duyên hải bắc bộ và một số tỉnh khác, đề được phân hóa hay và khó, là nguồn cho kì thi học sinh giỏi quốc gia năm tới

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) +∞ Câu (4 điểm) Cho dãy số (u n ) n=1 bị chặn thoả mãn điều kiện un + ≥ un +1 + un , 5 ∀ n = 1, 2, 3, Chứng minh rẳng dãy ( u n ) có giới hạn hữu hạn Câu (4 điểm) Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp ( I ) tiếp xúc với BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn ( I ) điểm L khác D a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN M , N cắt EF U , V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức trình cho với số nguyên dương, phương có nghiệm nguyên Câu (4 điểm) Cho p số nguyên tố có dạng 12k + 11 Một tập S tập M = {1; 2; 3;K ; p − 2; p − 1} gọi “tốt” tích tất phần tử S khơng nhỏ tích tất phần tử M \ S Ký hiệu ∆ S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia ∆ S cho p xét tập tốt M có chứa p −1 phần tử Câu (4 điểm) Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1 An −1 ( n ≥ ) Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k HẾT (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN Câu Nội dung trình bày Điểm 4,0 Đề xuất trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam +∞ Cho dãy số (un ) n=1 bị chặn thoả mãn điều kiện un + ≥ un +1 + un , 5 ∀ n = 1, 2, 3, Chứng minh rẳng dãy ( u n ) có giới hạn hữu hạn Ta có u n + ≥ u n +1 + u n ⇔ un + + un+1 ≥ un+1 + un , ∀n = 1, 2,3, 5 (1) 5 Đặt v n = un +1 + un , ∀n = 1, 2,3, từ (1) ta có v n +1 ≥ v n , ∀n = 1, 2,3, 1,0 (2) Vì dãy số (un ) +∞ bị chặn nên tồn số M cho un ≤ M , ∀n = 1, 2,3, suy n =1 ≤ M + M = M , ∀n = 1, 2,3, 5 (3) 0,5 Từ (2) (3) ta thấy dãy (v n ) khơng giảm bị chặn Do đó, dãy hội tụ Đặt lim = a b = 5a Ta chứng minh lim u n = b ε Thật vậy, lim = a nên ∀ε > nhỏ tùy ý, ∃n0 ∈ N * cho − a < , ∀n ≥ n0 Khi đó, nhờ có đánh giá 3 8b ε un +1 − b − un − b < (un +1 − b) + (un − b) = un +1 + u n − < , 5 5 1,0 ta thu un+1 − b < ε un − b + , ∀n ≥ n0 5 1,0 Từ kiện ta suy un0 +1 − b < ε un0 − b + ; 5 un0 + − b < 3 ε ε 3 un0 +1 − b + ε <  ÷ uu0 − b + + ; 5 5 5 k k −1 k −2 ε    3 3 un0 + k − b <  ÷ uu0 − b +  ÷ +  ÷ + + + 1    5 5 hay k un0 + k  3 1−  ÷ k k ε 3  5 <  3 u −b + ε − b <  ÷ uu0 − b +  ÷ n0 1− 5 5 Do u n + k − b < ε với k đủ lớn tức u n − b < ε với n đủ lớn ε > nhỏ tuỳ ý Vậy lim u n = b Hay dãy ( u n ) có giới hạn hữu hạn (đpcm) 0,5 Đề xuất trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp ( I ) tiếp xúc với BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn ( I ) điểm L khác D a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN M , N cắt EF U ,V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN 4,0 a) Trước hết ta chứng minh K trực tâm ∆MDN Thật vậy: · Do AN P BC nên ·ANF = FDB Do D, E , F tiếp điểm ( I ) BC , CA, AB nên BD = BF · · · ⇒ BDF = BFD ⇒ ·ANF = BFD = ·AFN ⇒ ∆ANF cân A ⇒ AN = AF Chứng minh tương tự ta có AM = AE mà AE = AF nên AN = AF = AE = AM ⇒ ∆NEM vuông E ; ∆NFM vuông F ⇒ NE ⊥ MD; MF ⊥ ND mà NE I MF = K suy K trực tâm ∆MDN -Bây ta chứng minh A, K , L thẳng hàng: + Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Gọi D ' điểm đối xứng D qua T Ta có ND ' P KM (vì vng góc với ND ), MD ' P KN (vì vng góc với MD ) Do ND ' MK hình bình hành Do A trung điểm MN nên K trung điểm KD’ Do D’, A, K thẳng hàng (1) + Hơn nữa, tứ giác DFKL nội tiếp đường tròn đường kính DK nên DL vng góc với LK Mặt khắc DD’ đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nên DL vng góc với LD’ Do L, K, D’ thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy A, K , L thẳng hàng (đpcm) b) Gọi P giao UL ( DMN ) ( P ≠ L ) ; Q giao LV ( DMN ) ( Q ≠ L ) · · · · Do MU tiếp xúc ( DMN ) M nên DMU Lại có MEU (do = DNM = FNM · · NMEF nội tiếp đường tròn đường kính MN ) nên UME ⇒ ∆UME cân = UEM U ⇒ UM = UE 1,0 1,0 1,0 UE UL = ⇒ ∆UEP : ∆ULE (c.g.c) UP UE · · · · · · (3) ⇒ UPE = UEL ⇒ 1800 − UPE = 1800 − UEL ⇒ EPL = LEF · · · · Lại có LEF (do LEFD nội tiếp) LPN (do LPND = 1800 − LDF = 1800 − LDN 2 Ta có UM = UP.UL ⇒ UP.UL = UE ⇒ · · nội tiếp) nên LPN (3) = LEF · · Từ (3) (4) suy LPN = EPL ⇒ P; E ; N thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có Q; E ; M thẳng hàng · · Do MNQP nội tiếp nên NMQ = NPQ Do NMEF nội tiếp nên ·NMF = ·NEF · Do ·NEF = NPQ ⇒ EF PPQ ⇒ UV PPQ Do ( LQP ) tiếp xúc với ( LUV ) L suy ( UVL ) tiếp xúc với ( DMN ) L (đpcm) 1,0 Đề xuất trường THPT chun Lê Q Đơn, tỉnh Quảng Trị Tìm tất đa thức cho với số nguyên dương, phương trình 4,0 có nghiệm ngun Rõ ràng deg( P) > Đặt deg( P) = m hệ số bậc cao không tổng quát, coi Gọi 1,0 nghiệm nguyên lớn phương trình Dễ thấy Hơn nữa, nên ước nên với số tự nhiên Suy 1,0 Do đó, dãy phải hội tụ đến (nguyên) Kéo theo 1,0 Do đó, Đặt đa thức phải Từ ta suy thỏa mãn với Từ đó, ta tìm tất số nguyên 1,0 tùy ý Đề xuất trường THPT chuyên Bình Long, tỉnh Bình Phước Cho p số ngun tố có dạng 12k + 11 Một tập S tập M = {1; 2; 3;K ; p − 2; p − 1} gọi “tốt” tích tất phần tử S không nhỏ tích tất 4,0 phần tử M \ S Ký hiệu ∆ S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia p −1 ∆ S cho p xét tập tốt M có chứa phần tử  p +1 p +  , ,K , p − 2, p − 1 rõ ràng S tập tốt Trước hết, xét tập S =    ∆ S = ( −1) p −1  p −1  p −1  p −1  ÷!−  ÷! ≡ −2  ÷! = 2a (mod p ) ,       1,0  p −1 a = −  ÷! thỏa mãn p | a − theo định lý Wilson   Ta xét trường hợp: - Nếu a ≡ (mod p ) ∆ S = (mod p ) - Nếu a ≡ −1 (mod p ) tập S , thay p +1 p −1 p +1 ≡− (mod p) 2 1,0 dễ thấy dấu ∆ S thay đổi thành Khi đó, hai trường hợp, ta tập tốt có ∆ S = (mod p ) Ta chứng minh không tồn S tốt cho ∆ S = (mod p) Xét tập tốt S gọi a, a ′ tích phần tử S , M \ S Theo định lý Wilson aa′ = ( p − 1)! ≡ −1 (mod p ) Khi đó, a ≡ a ′ (mod p ) p | a + , vơ lý ta biết a + khơng có ước ngun tố  −3  dạng 4k + Còn a − a′ ≡ (mod p ) (2a − 1) ≡ −3 (mod p ) , vơ lý  ÷ = −1  p theo giả thiết p ≡ 11 (mod12) Vậy giá trị nhỏ cần tìm Đề xuất trường THPT chun Lê Q Đơn, tỉnh Bình Định Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1 An −1 ( n ≥ ) Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k 1,0 1,0 Dễ thấy kmin ≥ n − , k < n -1 hiển nhiên có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh tô màu TH1 Nếu n số chẵn gọi màu cần tơ 0,1, , n − Ta tô màu sau: Ai Aj tô màu i + j ( mod(n − 1) ) ( ≤ i , j ≤ n − ) Ai An −1 tô màu 0,5 1,0 2i ( mod( n − 1) ) ( ≤ i ≤ n − ) Cách tô màu thỏa mãn đề Thật + Nếu Ai Aj , Ai Ak ( ≤ i, j , k ≤ n − ) tô màu j ≡ k ( mod(n − 1) ) Vơ lí ! + Nếu Ai An −1 , Ai A j ( ≤ i, j ≤ n − ) tơ màu i ≡ j ( mod(n − 1) ) Vơ lí ! + Nếu Ai An −1 , Aj An −1 ( ≤ i, j ≤ n − ) màu 2i ≡ j ( mod(n − 1) ) ⇔ i ≡ j ( mod(n − 1) ) 0,5 Vơ lí ! Vậy cách thỏa mãn yêu cầu toán Như kmin = n − (1) TH2: Nếu n số lẻ giả sử tô với n – màu 0,1, , n − Khi đó, tất đoạn thẳng có màu 1, , n − xóa hết lại đoạn thẳng có màu Suy deg Ai = n −1 ∑ deg A = nM2 i =0 i ( Vì tổng số bậc lần số cạnh) Điều vơ lí Do 1,0 k ≥ n Với k = n ta tô màu sau: Gọi n màu cần tô 0,1, , n − Ai A j tơ màu i + j ( mod n ) Cách tô thỏa mãn yêu cầu toán Thật Ai Aj , Ai Ak tơ màu i ≡ j ( mod n ) vơ lí Như kmin = n (2)  n − 1 + Từ (1) (2) suy kmin =    1,0 ... liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN Câu Nội dung trình bày Điểm 4,0 Đề xuất trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam +∞ Cho... suy thỏa mãn với Từ đó, ta tìm tất số nguyên 1,0 tùy ý Đề xuất trường THPT chuyên Bình Long, tỉnh Bình Phước Cho p số nguyên tố có dạng 12k + 11 Một tập S tập M = {1; 2; 3;K ; p − 2; p − 1} gọi... ≡ (mod p ) (2a − 1) ≡ −3 (mod p ) , vơ lý  ÷ = −1  p theo giả thi t p ≡ 11 (mod12) Vậy giá trị nhỏ cần tìm Đề xuất trường THPT chun Lê Q Đơn, tỉnh Bình Định Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1 An