Đang tải... (xem toàn văn)
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định.. ii) Luôn có một bảng tốt.. Đường tròn ngoại t[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | (Đề thi gồm trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XII, NĂM 2019
ĐỀ T I M N TOÁN HỌC 10
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019
Câu ( điểm )
Giải hệ phương trình
Câu ( điểm )
Cho tam giác ABC có ABAC, điểm D E F, , nằm cạnh BC CA AB, , cho
|| , ||
DE AB DF AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm A G, Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm H H E Đường
thẳng qua G vng góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm K K G, đường
thẳng qua G vng góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm L L G Gọi P Q,
lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK GDL, Chứng minh điểm D thay đổi cạnh BC thì:
a) Đường trịn ngoại tiếp tam giác GEF qua hai điểm cố định b) Đường trịn ngoại tiếp tam giác GPQ ln qua điểm cố định
Câu ( điểm )
Tìm t t số nguyên dương m n, số nguyên tố p thỏa mãn
3
4m m 40m2 11pn5 Câu ( điểm )
Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 1
a a b c b b c a c c a b
ab bc ca
Câu (4 điểm )
Cho bảng vng kích thước 100 100 mà ô điền ký tự A B C D, , , cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không nh t thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, cịn hình chữ nhật có cạnh song
2 2
2
3
1
2 ,
2 2
y y y x
x y
x x x x y
(2)song với cạnh ho c nằm cạnh bảng bốn ô vuông đơn vị bốn g c n điền đủ bốn ký tự A B C D, , , “bảng tốt”
a) Hỏi cách điền trên, c cách điền mà bảng ô vuông 4, 1 2 có chứa đủ ký tự A B C D, , , ?
b) Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho: i) Ln có cột bảng mà từ đ c thể chọn 76 c p tốt
ii) Ln có bảng tốt
- HẾT -
(Thí sinh khơng sử dụng tài liệu ính a Cán coi thi không giải thích thêm)
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC D &ĐBBB NĂM 2019 MƠN: TỐN 10
ĐÁP ÁN, T ANG ĐIỂM
Câu Nội dung trình bày Điểm
Câu
Giải hệ phương trình
2 2
2
3
1 1 1
2
2 5 1 2 4 2 2
y y y x
x x x x y
Nguồn Chu n am Sơn- Thanh a
4đ
Điều kiện: 2x4y 2 0 Từ phương trình (1), ta c :
2x4y 2 y2 1 y y2 1 y2
2
2
2x 4y 2 y 1 y
0,5
Thay vào phương trình (2) ý
1 0
y y
Lúc ta
x x2 2x 5 1 2 y2 1 y x 1 x12 4 2 y2 1 y
2
2
1 1
1 1
2 2
x x
y y
(3)
1,0
Đ t 1
2 x
u Từ (3) cho ta 2
1 1
u u y y
u y u2 1 y2 1 0
2 0
1 1
u y u y
u y
u y
2
1 0
1 1
u y u y
u y
(4)
(4)Do
2
2 2
1 1
1 0
1 1 1 1
u u y y
u y
u y u y
Nên từ (4) cho ta u y, hay 1 2 1 2
x
y x y
0,5
Thay vào phương trình (1) ta
12 1 2 5 2
y y y y 2
1 4
y y
2
1 2
y y
(do y2 1 y 0) Tìm 3, 5
4 2
y x Kết luận: Hệ c nghiệm x y; 5 3;
2 4
1,0
Câu2 Cho tam giác ABC có AB AC, điểm D E F, , nằm cạnh BC CA AB, ,
sao cho DE AB DF|| , ||AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm A G, Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
tại điểm H H E Đường thẳng qua G vng góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm K K G, đường thẳng qua G vng góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm L L G Gọi P Q, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK GDL, Chứng minh điểm D thay đổi cạnh BC thì:
a) Đường trịn ngoại tiếp tam giác GEF qua hai điểm cố định b) Đường trịn ngoại tiếp tam giác GPQ ln qua điểm cố định Nguồn Chu n V nh Ph c
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
a) Gọi O, O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AEF Gọi E' điểm đối xứng với
E qua đường thẳng AO Khi đ EE' ||BC vng góc với AO suy tứ giác BDEE’ hình bình hành suy DEBE', kết hợp với DEAF ta BF AE
( C thể không cần dựng điểm E’, d th y tam giác BFD câc F c tứ giác EDF hình bình hành, nên ta c BF DF E)
0,5
'
Suy ra OAE OBFOEOF Kết hợp với OA phân giác góc
EAF O AEF Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF qua hai điểm cố định
, A O
1,0
b) D th y tam giác FBD cân F suy FBFD, 1
2
GBF GOA GFA FGB cân F suy FBFG Từ đ suy F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DGB Chứng minh tương tự ta E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DGC
Từ đ EF trung trực GD, kết hợp với AG vng góc với GD suy EF//AG
FHDEAF EDF FHDcân F suy FHFD H GBD
1,0
P giao điểm đường thẳng qua O song song với GH EF, Q giao điểm đường thẳng qua O’ song song với GC EF
E tâm đường tròn (GDC) O tâm đường tròn ngoại tiếp (AGC) suy OEGC, kết hợp với GC vng góc với GL suy GL song song OE Do đ OEO Q' QEQO 1 Tương tự ta POPF 2
1,0
E'
M Q O'
P L
K H
G
E
F
A
O
B
(6)M t khác OEOF, kết hợp với (1) (2) ta QOE POFOPOQOO'là trung trực PQ, kết hợp với OO’ trung trực GA nên tứ giác AQPG hình thang cân hay nội tiếp suy (GPQ) ln qua điểm A cố định
0,5
Câu Tìm số nguyên dương m n, số nguyên tố p thỏa mãn
3
4m m 40m2 11pn 5
Nguồn Chu n ồng Phong- Nam Đ nh
4,0
PT4m1m2 1022pn 0,5
TH1: n1, thử trực tiếp với m1,2,3,4,5 không thỏa mãn
Với m 5 4m 1 22,m2 1022 Do đ 4m1 p m, 210 p : vô lý n1
0,5
TH2: n1, thử trực tiếp với m1,2,3,4,5 không thỏa mãn Với m 5 4m 1 22,m2 1022 Do đ
4m1 p m, 10 p
Suy
2
4 1 11
, 0;1 , 1, , *
10 2.11
x a y b
m p
x y x y a b
m p
D th y m * ta có m2 104m1
1,0
+) Nếu ba
2
2
2
11 10 0 mod(4 1) 11 110 mod (4 1)
11.16 1760 mod(4 1) 11 1760 mod(4 1)
16 1mod (4 1)
1771 mod (4 1)
m m m m
m m m
do m m
m
Mà
4 1 mod ,1771 7.11.23
4 1 77 19
4 1 161 40
4 1 253 63
m
m m
m m
m m
Thử lại không thỏa mãn
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
+) Nếu ba y1,x0
2 4 1 10 2.11. a b m p m p Do 2
| 4 1
| 4 10 4 1 40
| 10
7 | 4 160 |161
23 p m
p m m m m
p m
p
p m p
p 0,5
+ Nếu p23 22.23b 23a 2223a b : vô lý a b * + Nếu p7 22.7b 7a 227a b a b 1
Khi đ ta có
1
2
4 1 7
12 10 22.7 b b m m m
Thay vào phương trình ban đầu tìm n3. Vậy m n p, , 12,3,7
0,5
Câu
Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 1
a a b c b b c a c c a b
ab bc ca
Nguồn Chu n o ng V n Th - a B nh
4,0
2
( ) 1 2( 1)
1
cyc cyc
a a b c a ac ab
ab ab
1
6 1 cyc cyc a ac ab ab
1,0
Áp dụng b t đẳng thức M-GM cho số ta c :
3 1 3 1 cyc cyc ac ac ab ab
(1)
(8)M t khác áp dụng b t đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:
2 2
(a 1)(b 1) (ab 1)
Thiết lập b t đẳng thức tương tự ta suy ra:
2 2
(a 1)( 1) ( 1)
cyc cyc
b ab
2 2
( ( 1)) ( ( 1)) ( ( 1)) ( ( 1))
cyc cyc cyc cyc
a ab a ab
2
1 1
cyc
a ab
1,0
Áp dụng b t đẳng thức M –GM ta lai có
2
3
1
3
1
cyc cyc
a a
ab ab
( 2)
Từ (1) (2) ta c điều phải chứng minh
D u ’ ảy ch a b c
1,0
Câu Cho bảng vng kích thước 100 100 mà ô điền ký tự A B C D, , ,
sao cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không nh t thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, cịn hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh bảng bốn đ nh n điền đủ bốn ký tự A B C D, , , “bảng tốt”
a) Hỏi cách điền trên, c cách điền mà bảng ô vuông 4, 1
2 2 có chứa đủ ký tự A B C D, , , ?
b) Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho: i) Ln có cột bảng mà từ đ c thể chọn 76 c p tốt
ii) Ln có bảng tốt Nguồn Chu n o Cai
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
a) Không m t tính tổng qt, giả sử cột điền A B C D, , , Khi đ , ô thứ hai cột phải điền D thuộc hai hình vng 2 chứa sẵn A B C, , Do đ , ta điền tiếp cột theo thứ tự C D A B, , , Cứ thế, ta điền tiếp cho cột 3,
A C A C B D B D C A C A D B D B
1,0
Tuy nhiên, ta th y hàng đ khơng thỏa mãn ch chứa hai loại ký tự Vậy nên không
c cách điền thỏa mãn điều kiện nêu 1,0 b) i Tồn hai cột
Giả sử phản chứng c p cột tùy ý có nh t 25 c p ô ký tự
Cố định cột 1, xét 99 cột lại Gọi T số ( , )a b đ cột a2 có thứ b từ xuống ký tự Theo giả sử T99 25.
M t khác, theo giả thiết T100 24 (tính theo hàng)
Suy 100 24 99 25 , điều vô lý chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, tức chọn hai cột thỏa mãn đề
1,0
ii Tồn bảng tốt
Giả sử phản chứng khơng có hàng, cột cắt tạo thành hình chữ nhật thỏa mãn Xét cột chọn trên, giả sử c c p ( , ), ( , )A B A C khơng có ( ,C D)
( ,B D) Ta có hai khả năng:
- Nếu có ( ,A D) khơng có ( , )B C , đ c p 76 c p có ký tự A; số lần ký tự A xu t đ tối đa 50 , vô lý
- Nếu có ( , )B C khơng có ( ,A D); đ , 76 c p có 76 152 số lần u t
của kí tự A, B, C, đ số lần u t ký tự A, B, C tối đa c p 150 , vô lý
Từ ta c đpcm
(10)Website HOC247 cung c p môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy b i giáo viên nhiều n m kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ n ng sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- u n thi Đ , T PT QG Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chu ên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Tr n Na Dũng, TS Pha Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Th y Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung c p chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Tr n Na Dũng, TS Pha Sỹ Na , TS Lưu B Thắng, Th y Lê Phúc Lữ, Th y Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc mi n phí học theo chương tr nh SGK từ lớp đến lớp 12 t t
các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m n phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động nh t
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
- - - - -