mot so de thi HSG toan 9

X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M, N sao cho diÖn tÝch tam gi¸c MDN lín nhÊt.. Chu vi tam gi¸c APQ kh«ng ®æi khi M thay ®æi trªn cung nhá BC..[r]

(1)

phòng GD- đt

huyn trc ninh đề thi chọn học sinh giỏinăm học 2005 -2006 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm 120 phút Bài 1: ( điểm)

Cho

 

2

2 x

x x 2x x

A

x x x x



 

  

  

a.Rót gän A

b.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: ( điểm) Giải hệ phơng trình:

2

4x 4xy y 2x xy

   

 



Bài 3: ( điểm)

Cho phơng trình x2 - 2(m -1)x + m - = 0

a.Chøng minh r»ng víi mäi m phơng trình có nghiệm

b.Tìm hệ thức liên hệ nghiệm mà không phụ thuộc vào m

c.Xác định m cho phơng trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyt i

Cho đờng tròn (O ; R), M điểm nằm ngồi đờng trịn Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đờng tròn (O ; R) ( A, B tiếp điểm) Một đờng thẳng d qua M cắt đờng tròn (O) hai điểm C D ( C nằm M D) Gọi I trung điểm CD Đờng thẳng AB cắt MO, MD, OI theo thứ tự điểm E, F, K

a.Chøng minh r»ng OE OM = OK OI = R2

b Khi đờng thẳng d không qua O Chứng minh OECD tứ giác nội tiếp c Cho biết R = 10cm; OI = 6cm; MC = 4cm Tớnh MB?

Cho p = abc số nguyên tố Chứng minh phơng trình a2 + bx + c = 0

không có nghiệm hữu tỷ

phòng GD- đt

huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏinăm học 1998- 1999 Mơn Tốn lớp 9 Thời gian làm 120 phút

đề thức

(2)

Câu Cho số dơng x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn xy + yz + zx = 999 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z:

 2  2  2  2  2  2

2 2

999 y 999 z 999 z 999 x 999 x 999 y P

999 x 999 y 999 z

     

  

  

C©u Cho biĨu thøc:

1

A

x x x x x

  

 

a.Tìm giá trị thích hợp x? b Rót gän A

c Chøng minh : A

d Tính giá trị A biết x Câu Giải hệ phơng trình:

x y z

3x 2y 4z 24 4x 9y 25z 108

   



   

   



Câu Cho đờng trịn (O; R) (O’; r) tiếp xúc ngồi M Kẻ tiếp tuyến chung

ngoµi NP (    

'

N O ;P O )

a.TÝnh gãc NMP vµ tÝnh NP?

b.Gọi Q giao điểm PM với đờng tròn (O) (Q khác M) Chứng minh : ba điểm N, O, Q thẳng hàng

c.TÝnh MN? MP?

d.Từ điểm A thuộc tia MQ nằm miền ngồi đờng trịn (O), kẻ AB AC tiếp tuyến đờng tròn (O) ( B C tiếp điểm) Chứng minh rằng: Khi điểm A di động tia MQ ( miền ngồi (O) đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm cố định

phòng GD- đt

huyn trc ninh thi chn học sinh giỏinăm học 1997- 1998 Mơn Tốn lớp 9 Thời gian làm 120 phút

Bµi Rót gän biÓu thøc sau:

a

x y xy xy

A :

x y x y x y

   

  

    

  víi x0; y0; xy

(3)

b B 4 35 48 10 7 4 Bµi Giải phơng trình:

2x 4x 2x 4x 1 

Bµi Cho sè dơng x, y, z thỏa mÃn điều kiện xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức:

 2  2  2  2  2  2

2 2

1 y z z x x y

P x y z

1 x y z

     

  

  

Bµi Tìm giá trị nhỏ hàm số sau:

y x 3 x 1  x 15 x 1  

Bài Cho đờng thẳng d, d lấy điểm phân biệt M N Kẻ tia Nx d Trên tia Nx lấy điểm O cho NO = 1/2MN Tia MO cắt đờng tròn (O; ON) A B ( M O nằm phía A) Đờng trịn (M; MA) cắt MN C

a Chøng minh: AB2 = MA MB

b Chøng minh : MC2 = CN MN

c Qua O kẻ đờng thẳng vng góc với AB, cắt d E Từ M E kẻ tiếp tuyến MP EQ với đờng tròn (O), ( P Q tiếp điểm khác N) Chứng minh : MP EQ = 1/4PQ2.

d Dựng đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng d M tiếp xúc với đờng tròn (O)

phòng GD- đt

huyn trc ninh thi chọn học sinh giỏinăm học 1999- 2000 Mơn Tốn lớp 9 Thời gian làm 120 phút

C©u Cho biÓu thøc :

 

2

3

2

a b ab a b A

ab ab

  



  a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị cña A biÕt:

a 20 11 20 11

2 3

b

2 2

     

 

 

   

(4)

Bµi Giải phơng trình:

1

x y z x y z

      

Bµi Cho a, b, c ba số dơng thỏa mÃn: a + b = c Chøng minh r»ng:

3 3

4 4

a  b c

Bài Cho hình thang vuông ABCD ( Â = D = 900) Tia phân giác gãc C ®i qua

trung ®iĨm I cđa AD

a Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn (I; IA)

b Gọi H tiếp điểm BC với đờng trịn tâm I nói trên, K giao điểm AC BD Chứng minh: KH //DC

c Kẻ đờng thẳng vng góc với DA I, cắt BC E Nối DE Gọi F l giao

điểm tia AB tia DE Chøng minh:

2

AD AB.BF

4 

d Dựng đờng tròn tiếp xúc với DC C tiếp xúc với đờng tròn (I; IA)

phòng GD- đt

C©u 1: ( ®iĨm)

Rót gän biĨu thøc:

2

1 a a 1

P :

a a

1 a a 1 a 1 a

     

      

     

    víi -1 a

C©u 2: ( ®iĨm)

a Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn k1ta cã:

 

1 1

2

k k k k

 

   

   

b.Chøng minh r»ng:

 

1 1

voi n N, n 23    n 1 n     C©u 3: ( ®iĨm)

Cho ba sè x, y, z tháa m·n:

3 3

2 2

x y z x y z     



  

 

TÝnh tÝch P = xyz C©u 4: ( ®iĨm)

Cho đờng trịn (O; R) đờng thẳng d cố định ( d (O)) Gọi A chân đ-ờng cao hạ từ O xuống d Từ điểm E d kẻ tiếp tuyến EP, EQ với (O) Dây

(5)

cung PQ cắt OA Ivà cắt OE K Gọi B giao điểm thứ hai AP với (O; R) Tiếp tuyến (O) B cắt đờng thẳng d C

a Chứng minh điểm O, A, B, C thuộc đờng tròn b Chứng minh: AC = AE

c Chøng minh: OI OA = R2

d Khi điểm E di động d K chuyển động đờng nào? Vì sao? Câu 5*: ( điểm)

Cho

  n n

n

2 3

a voi n N

2

  

 

Chøng minh r»ng: an có giá trị số nguyên với nN

phòng GD- đt

Bµi 1: Cho phơng trình ẩn x:

2 a b a

x x ( 0)

b a b

 

      

 

 

a Chứng minh phơng trình ln có nghiệm phân biệt Với điều kiện a, b nghiệm hai số đối

b Gäi x1, x2 hai nghiệm phơng trình HÃy tính:

2

1

Q x x

theo a, b c Chøng minh Q2

d Gi¶ sư hai nghiƯm x1, x2 cã mét nghiệm lớn nghiệm nhỏ

hơn Chøng minh: a b  Bµi 2:

Cho

2 2

Px y 2z t với x, y, z, t số không âm HÃy tìm giá trị nhỏ P giá trị tơng ứng x, y, z, t biÕt:

2 2

x 3y 4z 101 x y t 21

   

 

   

 Bµi 3:

a Với x2, chứng minh: x x 1 Tìm x để đẳng thức xảy b Giải phơng trình: x x  x2 3 x2 

Bài 4:

(6)

Cho hình vuông cạnh a Trên cạnh AD; CD lấy M, N cho gãc BMN = 450.

BM vµ BN cắt AC lần lợt E, F

a Chng minh rằng: điểm M, E, F, N, D thuộc đờng tròn b Chứng minh rằng: SBMN 2SBEF

c Gọi H giao điểm MF NE, I giao điểm BH MN Tính BI theo a

d Xác định vị trí M, N cho diện tích tam giác MDN lớn Tìm giá trị lớn

Bµi

Cho hai thùng nớc với dung tích lớn tùy ý hai gáo có dung tích 2lít 2 lít Hỏi dùng gáo để chuyển lít nớc từ thùng sang thựng c khụng?Ti sao?

phòng GD- đt

Bµi 1: Cho:

     

1 1 x

A :

1 x 1 x x

x

B x x x x (-1 x 1) x

  

 

     

    

   



        

 a Rút gọn A, B

b Với giá trị x A + B = Bài Cho hệ phơng trình:

m x y m x y

     





a Giải hệ phơng trình víi m = -1

b Xác định m để phơng trình có nghiệm

a Tìm hệ thức x1, x2 khôngphụ thuộc vµo p

b Chøng minh r»ng: 3p x1 + x22 - p >

c Tìm giá trị nhá nhÊt cña:

2

1

p 3p x + x +3 p A

3p x + x -3 p p

 

Bài 4.Từ điểm A (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm) Qua điểm M thay đổi cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến AB, AC lần lợt P Q BC cắt OP OQ lần lợt E, F Chứng minh rằng:

a Chu vi tam giác APQ không đổi M thay đổi cung nhỏ BC b Tứ giác PQEF tứ giác nội tiếp

c TØ sè EF

PQkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M Tính tỉ số góc BAC 600.

(7)

phßng GD- ®t

Bµi TÝnh:

 

2

5 14

A

2 2 B 2x 3x 17 2x 3x

 

    

  

 

     

biÕt 2x2  3x 17 2x2 3x52 Bài Cho hệ phơng tr×nh:

mx 4y 10 m x my

   



 

a Giải biện luận hệ phơng trình

b Chứng minh : hệ phơng trình có nghiệm (x; y) M(x; y) ln thuộc đờng thẳng cố định

Bµi Cho phơng trình :

2

x 2 k x 3k 10 0 a Tìm k để phơng trình có nghiệm

b Giả sử x1, x2là nghiệm phơng trình cho Tìm giá trị nhỏ P

=x12+x22

c Với giá trị nguyên k phơng trình cho có nghiệm số nguyên

Bài Cho (O1), (O2) cắt A, B Tiếp tuyến chung ca ng trũn trờn na

mặt phẳng bê O1O2 chøa ®iiĨm B cã tiÕp ®iĨm theo thø tự E, F Qua A kẻ cát tuyến

song song với EF cắt đờng tròn (O1) C, cắt (O2) D, CE cắt DF I Chứng minh

r»ng:

a IA vu«ng gãc víi EF b Tứ giác IEBF nội tiếp

c AB qua trung điểm EF

d Qua A kẻ cát tuyến thứ CAD cắt (O

1) C, cắt (O2) D Chứng minh:

góc C AB' DAB

(8)

së GD- ®t

tỉnh nam định đề thi chọn học sinh giỏinăm học 2002- 2003 Mơn Tốn lớp 9 Thời gian làm 120 phút

3 5

A

10 10

 

 

   

Chøng minh r»ng:

3

2 4

2001 2001 2003 2003

P a b a b Q a b a b

R a b a b

       

 

là số nguyên chia hết cho Câu 3: Cho hệ phơng trình:

2

4x 4xy y m 2x xy

   

 

 

 

a Giải hệ phơng trình m= b Tìm m để hệ cú nghim

Câu 4: Cho hai vòng tròn (C1), (C2) tiếp xúc T Hai vòng tròn nằm

vòng tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tơng ứng M, N Tiếp tuyến chung T (C1),

(C2) cắt (C3) P PM cắt (C1) điểm thứ hai A MN cắt (C1) thứ hai B PN

cắt (C2) điển thứ D MN cắt (C2)tại ®iÓm thø hai C

a Chứng minh : ABCD tứ giác nội tiếp b Chứng minh đờng AB, CD, PT đồng quy

Câu 5: Một ngũ giác có tính chất tất tam giác có đỉnh đỉnh liên tiếp của ngũ giác có điện tích Tính diện tích ngũ giác