MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Thông qua tìm tòi, tổng hợp để đưa ra được các dạng bài tập và phương pháp giải cho từng dạng bài toán giúp học sinh có kiến thức chắc về nội dung hết sức quan trọng của chương trình.. Đ[r]

(1)

TRƯỜNG THCS & THPT HAI BÀ TRƯNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÔNG MẪU MỰC

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

(2)

Mở đầu

Chương Phần nội dung

1.1 Một số hệ phương trình thường gặp 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.1.2 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn 1.1.3 Hệ gồm phương trình bậc hai ẩn

phương trình khác 1.1.4 Hệ đối xứng loại 1.1.5 Hệ đối xứng loại 1.1.6 Hệ đẳng cấp bậc hai hai biến x & y 1.2 Một số kiến thức cần nắm vững giải hệ phương trình

khơng mẫu mực 1.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực 10 1.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương 10 1.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 16 1.3.3 Phương pháp 21

Chương Một số tập tự luyện 26

(3)

1 Lí chọn đề tài

Hệ phương trình dạng toán phổ biến đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên, lớp chọn đề thi học sinh giỏi cấp, đặc biệt thi học sinh giỏi mơn tốn lớp

Đối với nhiều học sinh, tốn giải hệ phương trình coi tốn khó, địi hỏi người học phải có lực tư logic, kiến thức phải chắn hệ phương trình

Chính giải hệ phương trình ln gây hấp dẫn người dạy lẫn người học Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình, nhiên khơng có phương pháp vạn để giải toán

Trong q trình giảng dạy học sinh ơn thi vào lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9,tơi thấy học sinh gặp phải khó khăn lúng túng giải hệ phương trình đặc biệt hệ phương trình khơng mẫu mực Làm để học sinh tìm tịi khám phá đưa việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực giải hệ phương trình quen thuộc, vấn đề trăn trở, suy nghĩ thân nhiều đồng nghiệp Để bồi dưỡng chuyên môn đồng thời giúp em học sinh lớp có thêm vài phương pháp giải hệ phương trình nên tơi viết chuyên đề với tên đề tài:

"Một số phương pháp

giải hệ phương trình khơng mẫu mực"

(4)

học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10

2 Mục đích nghiên cứu

Trang bị cho học sinh số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực mạng lại hiệu rõ rệt

Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ giải tốn, qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thơng qua tìm tịi, tổng hợp để đưa dạng tập phương pháp giải cho dạng toán giúp học sinh có kiến thức nội dung quan trọng chương trình

4 Đối tượng nghiên cứu

Hệ phương trình chương trình đại số

Phân loại dạng toán phương pháp giải dạng

5 Phạm vi nghiên cứu giới hạn nghiên cứu

Chuyên đề xây dựng, nghiên cứu triển khai chương trình tốn đại số

Hệ phương trình khơng mẫu mực

(5)

(6)

NỘI DUNG

1.1 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

1.1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Định nghĩa 1.1 Là hệ phương trình có dạng: (

ax + by = c (1) a0x + b0y = c0 (2) phương trình (1), (2) phương trình bậc hai ẩn x y Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như:

• Phương pháp

• Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đồ thị

• Sử dụng máy tính cầm tay

• Phương pháp tính theo định thức,

1.1.2 HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Định nghĩa 1.2 Là hệ phương trình có dạng

      

a1x + b1y + c1z = d1 (1)

a2x + b2y + c2z = d2 (2)

a3x + b3y + c3z = d3 (3)

trong phương trình (1), (2) (3)

là phương trình bậc ba ẩn x, y z

(7)

• Phương pháp

• Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đồ thị

• Sử dụng máy tính cầm tay

• Phương pháp tính theo định thức,

1.1.3 HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI

ẨN VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

Định nghĩa 1.3 Là hệ phương trình có dạng (

ax + by + c = f (x, y) =

trong x, y ẩn f (x, y) biểu thức chứa hai biến x, y Cách giải: Với hệ ta giải bằng:

• Phương pháp

1.1.4 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI

Định nghĩa 1.4 Là hệ phương trình mà ta thay đổi vai trò hai ẩn cho phương trình phương trình khơng thay đổi

Cách giải:

(8)

Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn S, P Tìm S, P Bước 4: Tìm nghiệm x; y hệ phương trình cho

1.1.5 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI

Định nghĩa 1.5 Là hệ phương trình mà ta thay đổi vai trị hai ẩn cho phương trình, phương trình biến thành phương trình ngược lại

Cách giải: Trừ vế cho vế tương ứng phương trình để biến đổi phương trình tích có nhân tử x − y, ẩn theo ẩn để giải hệ phương trình

1.1.6 HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI HAI BIẾN x & y

Định nghĩa 1.6 Là hệ phương trình có dạng (

ax2 + bxy + cy2 = d a0x2 + b0xy + c0y2 = d0 Cách giải:

Nếu x 6= ta đặt y = kx nhận xét chia vế cho vế ta phương trình ẩn k, tìm k từ tìm x, y

Nếu x = viết lại hệ phương trình cho giải hệ phương trình

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC • Các đẳng thức

(9)

• Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức • Tính ∆ ∆0

(10)

1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC

Khơng có phương pháp chung để giải hệ phương trình khơng mẫu mực Tùy theo đặc trưng phương trình hệ mà ta lựa chọn phương pháp như: Biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức, để dưa hệ cho thành hệ đơn giản hệ quen thuộc ( mẫu mực) từ ta tìm tập nghiệm hệ phương trình

1.3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Phương pháp chủ yếu sử dụng kĩ biến đổi đồng đặc biệt kĩ phân tích nhằm đưa phương trình hệ dạng đơn giản

DẠNG Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn

Ví dụ 1.1 Giải hệ phương trình: (

xy + x + y = x2 − 2y2 (1)

x√2y − y√x − = 2x − 2y (2)

Nhận xét: Dễ dàng thấy phương trình (1) hệ đưa phương trình tích, từ ta tìm x theo y, thay vào phương trình (2), từ tìm giá trị y, giá trị x Lời giải

• Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ (∗)

pt (1) ⇔ x2 − xy − 2y2 − (x + y) = 0

⇔ x2 − y2 − y (x + y) − (x + y) = 0

(11)

• Thay x = 2y + vào phương trình (2) biến đổi: (y + 1)

p

2y −

= ⇔ y = 2, (do y ≥ 0) ⇒ x = • Do x = 5, y = thỏa mãn điều kiện (*)

Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (5; 2)

6x2 − 3xy + x = − y (1) x2 + y2 = (2) Lời giải

pt (1) ⇔ 6x2 − 3xy + 3x − 2x + y − = ⇔ 6x2 − 2x − (3xy − y) + (3x − 1) = ⇔ (3x − 1) (2x − y + 1) =

⇔

 

x = y = 2x + • Thay x =

3 vào phương trình (2) biến đổi ta được: y2 =

9 ⇔   

y = √

2 y = −2

√

• Thay y = 2x + vào phương trình (2) biến đổi : x2 + (2x + 1)2 = ⇔ 5x2 + 4x =

⇔ x (5x + 4) = ⇔

 

x = x = −4

(12)

• Với x = y = • Với x = −4

5 y = −

Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) =

3; 2√2

3 !

, (x; y) = 3; −

2√2

! , (x; y) = (0; 1) , (x; y) =

−4

5; −

DẠNG 2: Cộng trừ vế hai phương trình biến đổi phương trình tích

x3 + y3 = + y − x + xy (1) 7xy + y − x = (2) Lời giải Cộng vế với vế phương trình (1) phương trình (2) ta được:

x3 + y3 + 6xy = ⇔

h

(x + y)3 − 23i− 3x2y − 3xy2 + 6xy = 0

⇔ (x + y − 2) x2 + y2 + − xy + 2y + 2x = ⇔ (x + y − 2)h(x − y)2 + (x + 2)2 + (y + 2)2

i = ⇔

"

x + y − =

(x − y)2 + (x + 2)2 + (y + 2)2 = ⇔

"

(13)

Với y = − x, thay vào phương trình (2), ta được:

7x2 − 12x + = ⇔  

x = x =

7 ⇔      

x = y = 

   

x = y =

Với x = y = −2, không thỏa mãn phương trình (2) hệ loại Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) = (1; 1) , (x; y) = 7;

9

Ví dụ 1.4 Giải hệ phương trình: 

   

x2 + y + x3y + xy2 + xy = −5 (1) x4 + y2 + xy (1 + 2x) = −5

4 (2) (I) Lời giải (I) ⇔     

x2 + y + x3y + xy2 + xy = −5 x4 + 2x2y + y2 + xy = −5 ⇔     

x2 + y + xy x2 + y + xy = −5 (3) x2 + y2 + xy = −5

4 (4)

Trừ vế với vế phương trình (3) cho phương trình (4) ta được:

x2 + y + xy x2 + y − x2 + y2 = ⇔ x2 + y x2 + y − − xy = ⇔

"

x2 + y =

x2 + y − − xy = ⇔

"

y = −x2

(14)

Với y = −x2, thay vào phương trình (2) ta được: x3 =

4 ⇔ x =

3

r

4 y = −

3

r 25 16

Với x2 + y = xy + thay vào phương trình (4) ta được: (xy + 1)2 + xy = −5

4 ⇔ (xy)

2

+ 3xy + = ⇔

xy +

2

= ⇔ xy + =

⇔ xy = −3

2

Khi     

x2 + y = −1 xy = −3

2

⇔   

x = y = −3

2

Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) =

r 4; −

3

r 25 16

!

; (x; y) =

1; −3

DẠNG 3:Biến đổi phương trình hệ dạng phương trình bậc hai theo ẩn chẳng hạn ẩn y, lúc ta xem

x tham số

Biểu diễn y qua x cách giải phương trình bậc hai ẩn y Ví dụ 1.5 Giải hệ phương trình:

(

y2 = (x + 8) x2 + 2 (1)

16x − 8y + 16 = 5x2 + 4xy − y2 (2)

(15)

Lời giải

Biến đổi phương trình (2) dạng:

y2 − (4x + 8) y + 16 + 16x − 5x2 = (3) phương trình bậc hai ẩn

y, x tham số

Có ∆0 = 9x2, phương trình (3) có hai nghiệm y = 4−x y = 5x+4 Với y = − x thay vào phương trình (1) ta được:

(4 − x)2 = (x + 8) x2 + 2 ⇔ (x + 2) (x + 5) x = ⇔    

x = x = −2 x = −5 Do hệ có nghiệm

(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (−2; 6) , (x; y) = (−5; 9) , Với y = 5x + thay vào phương trình (1) ta được:

(5x + 4)2 = (x + 8) x2 + 2 ⇔ x (x − 19) (x + 2) = ⇔    

x = x = 19 x = −2 Do đó, Hệ có nghiệm:

(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (19, 99) , (x; y) = (−2; −6) , Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (19, 99) , (x; y) = (−2; −6) , (x; y) = (−2; 6) , (x; y) = (−5; 9) ,

x2 + = 3x + y − xy (1) x2 + y2 = (2)

Nhận xét: Viết phương trình (1) dạng phương trình bậc hai ẩn x , y tham số phương trình có ∆ bình phương biểu thức, ta tìm giá trị x, từ tìm y

(16)

Ta có: ∆ = (y − 1)2, phương trình (3) có hai nghiệm x = 1, x = − y

Với x = 1, thay vào phương trình (2) ta có y = ±1

Với x = − y, thay vào phương trình (2) ta có (2 − y)2+ y2 = ⇔ y = x =

Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (1; −1)

1.3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

• Phương pháp đặt hai ẩn để đưa hệ cho thành hệ đơn giản với ẩn phụ Giải hệ ẩn phụ mới, từ suy nghiệm hệ phương trình ban đầu

• Có thể từ hệ phương trình cho nhìn thấy ẩn phụ mới, có phải thơng qua vài phép biến đổi nhìn thấy việc đặt ẩn phụ

2px2 + 3y −py2 + 8x − = 0

x (x + 8) + y (y + 3) − 13 = Nhận xét: Cả phương trình hệ ta thấy có biểu thức: p

x2 + 3y và py2 + 8x nên ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ hai ẩn mới.

Lời giải Điều kiện: (

x2 + 3y ≥ y2 + 8x ≥ (∗)

(17)

Hệ phương trình cho trở thành: (

2a − b = a2 + b2 = 13

⇔ (

b = 2a −

a2 + (2a − 1)2 = 13 ⇔

(

b = 2a −

(5a + 6) (a − 2) =

⇔         

b = 2a − 



a = a = −6

5(loại) Do

(

a = b = ⇒

( p

x2 + 3y = 2

p

y2 + 8x = 3 ⇔

      

y = − x

2

3 − x2

3 2

+ 8x =

⇔   

y = − x

2

3

(x − 1) (x + 5) x2 − 4x + 13 = ⇔         

y = − x

2

3 "

x = x = −5

⇔        (

x = y = (

x = −5 y = −7

(thỏa mãn điều kiện)

Bằng cách thử, hệ có nghiệm

(x; y) = (1; 1), (x; y) = (−5; −7)

(18)

Nhận xét: Chưa nhìn thấy để dùng phương pháp đặt ẩn phụ, ta biến đổi phương trình (1) phương trình (2) để xuất biểu thức chung x(y + 1) x + (y + 1) Lời giải

(

x2 + y2 + 2y = 2x + y + xy = ⇔

(

x2 + (y + 1)2 =

x (y + 1) + [x + (y + 1)] = Đặt a = x + (y + 1), b = x(y + 1)

Khi (

a2 − 2b = a + b = ⇔

(

b = − a

a2 − 10 + 2a = ⇔ (

b = − a

a2 + 2a − 15 =

⇔

      

b = − a "

a = a = −5

⇔ "

a = 3; b = a = −5; b = 10

Với a = 3, b = ta có (

x + (y + 1) = x (y + 1) = ⇔

"

x = y = x = 2; y = Với a = −5, b = 10 ta có

(

x + (y + 1) = −5

x (y + 1) = 10 hệ vơ nghiệm Bằng cách thử, hệ có nghiệm:

(x; y) = (1; 1), (x; y) = (2; 0)

y + xy2 = 6x2 (1) + x2y2 = 5x2 (2) Nhận xét:

• Nếu x = khơng thỏa mãn hệ phương trình

• Nếu x 6= chia hai vế phương trình (1) phương trình (2) cho x2 6= để phương trình xuất biểu thức chung1

(19)

Lời giải

Với x = 0, không thỏa mãn hệ phương trình

Với x 6= chia hai vế (1) (2) cho x2 6= ta được:      y x2 +

y2 x =

x2 + y = ⇔        y x x + y

=

x + y 2

− 2y x = Đặt S =

x + y; P = y

x Khi ta có (

P.S =

S2 − 2P = ⇔ (

S = P =

Ta có (

x =

y =   

x = y =

Bằng cách thử, Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 2) , (x; y) =

2;

Ví dụ 1.10 Giải hệ phương trình:       

(x + y)

1 + xy

= x2 + y2

1 + x2y2

= 49 Nhận xét: Đây hệ đối xứng loại 1, ta đặt ẩn phụ theo tổng tích cách thơng thường hệ phương trình ẩn phức tạp

Nhưng thơng qua vài bước biến đổi, sau sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hệ phương trình đơn giản

(20)

Ta có       

(x + y)

1 + xy

= x2 + y2

1 + x2y2

= 49 ⇔       

x + x

+

y +

y

=

x2 + x2

+

y2 + y2

= 49 Đặt a = x +

x; b = y + y Khi ta có hệ phương trình

(

a + b =

a2 + b2 = 53 ⇔ (

a = − b

(5 − b)2 + b2 = 53 ⇔ (

a = − b

(b + 2) (b − 7) =

⇔        (

a = − b b = −2 (

a = − b b =

⇔        (

a = b = −2 (

a = −2 b = Do               

x + x = y +

y = −2 

   

x +

x = −2 y +

y =

⇔            

x = ∓ √

45 y = −1 

 

x = −1 y = ∓

√ 45

Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm (x; y) = +

√ 45 ; −1

!

; (x; y) = − √

45 ; −1

(21)

(x; y) = −1;7 + √

45

!

; (x; y) = −1;7 − √

45

!

1.3.3 PHƯƠNG PHÁP THẾ

Rút ẩn biểu thức số từ phương trình vào phương trình để phương trình đơn giản hơn, nhờ ta có hệ phương trình đơn giản

Ta thường áp dụng cách với hệ mà ta quan sát thấy phương trình hệ mà ẩn có bậc hai phương trình hệ có biểu thức chung

Nhiều phải thông qua vài bước biến đổi tương đương sử dụng phương pháp

x2(y + 1) (x + y) = 3x2 − 4x + (1) xy + x + = x2 (2)

Nhận xét: Dễ dàng rút y từ phương trình (2) hệ, thay vào phương trình (1) ta phương trình ần x, từ có lời giải sau:

Lời giải

• Ta thấy x = khơng thỏa mãn phương trình (2) • Với x 6= 0, (2) ⇔ xy = x2 − x − ⇔ y = x

2 − x − 1

(22)

phương trình (1) ta được: x2. x

2 − x − 1

x +

x + x

2 − x − 1

x

= 3x2 − 4x + ⇔ x2 − 1 2x2 − x − 1 = (x − 1) (3x − 1)

⇔ x (x − 1) 2x2 + x − 5 = ⇔ (x − 1) 2x2 + x − 5 = (vìx 6= 0) ⇔

 

x = x = −1 ±

√ 41 Với x = y = −1

Với x = −1 + √

41

4 y =

−27 + 3√41 20 Với x = −1 −

√ 41

4 y =

−27 − 3√41 20

Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; −1)

(x; y) = −1 + √

41

4 ;

−27 + 3√41 20

! ,

(x; y) = −1 − √

41

4 ;

−27 − 3√41 20

!

Ví dụ 1.12 Giải hệ phương trình: ( √

7x + y +√2x + y = (1) √

2x + y + x − y = (2) Nhận xét: Cả hai phương trình hệ có biểu thức √2x + y nên từ phương trình (2) ta rút √2x + y = + y − x vào phương trình (1)

Lời giải Điều kiện: (

(23)

• Từ phương trình (2) suy √2x + y = + y − x (x − y ≤ 2), vào phương trình (1) ta được: √7x + y = + x − y (x − y ≥ −3) • Do ta được:

      

−3 ≤ x − y ≤

7x + y = + x2 + y2 + 6x − 2xy − 6y 2x + y = + y2 + x2 + 4y − 4x − 2xy

⇔       

−3 ≤ x − y ≤

5x + 2y = + 10x − 10y

2x + y = + y2 + x2 + 4y − 4x − 2xy

⇔       

−3 ≤ x − y ≤ x = 2y −

2 (2y − 1) + y = + y2 + (2y − 1)2 + 4y − (2y − 1) − 2xy

⇔       

−3 ≤ x − y ≤ x = 2y −

y2 − 11y + 11 =

⇔                       

−3 ≤ x − y ≤            

x = 10 +√77 y = 11 +

√ 77   

x = 10 −√77 y = 11 −

√ 77 ⇔   

x = 10 −√77 y = 11 −

√ 77

Bằng cách thử, hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 10 −√77; 11 −

√ 77

(24)

x3 + 2xy2 + 12y = (1) x2 + 8y2 = 12 (2)

Nhận xét: Nếu thay 12 = x2 + 8y2 vào phương trình (1) ta biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích

Lời giải

Thay 12 = x2 + 8y2 vào phương trình (1) ta được:

x3 + 2xy2 + x2 + 8y2 y = ⇔ (x + 2y) x2 − xy + 4y2 = 0

⇔

"

x = −2y

x2 − xy + 4y2 = 0

Hệ phương trình cho tương đương       

(

x = −2y

x2 + 8y2 = 12 (I) (

x2 − xy + 4y2 = 0

x2 + 8y2 = 12 (II)

Giải hệ (I): (

x = −2y y2 =

⇔       

(

x = −2 y = (

x = y = −1 Giải hệ (II):

  

x − y

2 2

+ 15 y

2 = 0

x2 + 8y2 = 12

⇔ (

x = 0; y =

x2 + 8y2 = 12 hệ vô nghiệm Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (2; −1)

(25)

Lời giải Ta có (

y3 + xy2 + 3x − 6y = (1) x2 + xy = (2) ⇔

(

y3 + xy2 + 3x − 2.3y = (3) x2 + xy =

Thay = x2 + xy vào phương trình (3) ta được:

y3 + xy2 + x2 + xy x − 2y x2 + xy = ⇔ (x + y) (x − y)2 = ⇔

"

x = −y x = y

• Với x = −y, thay vào phương trình (2) ta y2− y2 = 3, phương

trình vơ nghiệm

• Với x = y, thay vào phương trình (2), ta được: y2 + y2 = ⇔

   

y = r y = −r

2

Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm (x; y) =

r 2;

r

!

, (x; y) = − r

3 2; −

r

(26)

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.1 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 2.1 Giải hệ phương trình sau: (

y (xy − 2) = 3x2 y2 + x2y + 2x = Gợi ý:

Cộng theo vế hai phương trình biến đổi thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (0; 0) , (x; y) = −1√3 3; −

3

√

, (x; y) = (2; −2)

Bài tập 2.2 Giải hệ phương trình sau:     

y2 +

y =

x2 + x x2 + 3y2 = Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích Đáp số:

(x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−1; −1) , (x; y) =

√ 3; √1

3

; (x; y) =

−√3; −√1

x2 + xy =

x3 + y3 + 18y = 27 Gợi ý: Thay = x3 + xy vào phương trình (2)

(27)

xy + x + = 7y x2y2 + xy + = 13y2 Gợi ý: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt x +

y = a, x y = b Đáp số: (x; y) = (3; 1) , (x; y) =

1;

3

x2 − xy + x − y = 3x2 − 3xy − 5x + 5y = Gợi ý: Thế = (x + 1) (x − y) vào phương trình (2) biến đổi thành phương trình tích

Đáp số: (x; y) = (3; 2)

x2 + xy + y2 = 19(x − y)2 x2 − xy + y2 = (x − y)

Gợi ý: Viết phương trình (1) dạng phương trình bậc hai ẩn x Đáp số: (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2; −3) ,

4x2 + y4 − 4xy3 = 1

4x2 + 2y2 − 4xy =

Gợi ý: Trừ theo vế phương trình (2) phương trình (1) biến đổi thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (0; 1) , (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (0; −1) , (x; y) = (−1; −1) , (x; y) =

−√1

5; √

, (x; y) =

1 √

5; − √

(28)

Bài tập 2.8 Giải hệ phương trình sau (

x2 + y2 + x + y =

x2 − 3y2 + 2xy − x + 5y − = 0

Gợi ý: Viết phương trình (2) dạng phương trình bậc hai ẩn x Đáp số:

(x; y) = (1; 2) , (x; y) = (−3; −2) , (x; y) = −1 +

√ 69 10 ;

7 + 3√69 10

!

, (x; y) = −1 − √

69 10 ;

7 − 3√69 10

!

Bài tập 2.9 Giải hệ phương trình sau:   

x2 + y2 + 2xy x + y = √

x + y = x2 − y Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích Đáp số:

(x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−2; 3)

x3 − y3 = 4x + 2y

x2 − = − y2

Gợi ý: Thay = x2 + 3y2 vào phương trình (1) biến đổi thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (2; 0) , (x; y) = (−2; 0) , (x; y) = −5 √

7 ;

√ 7

! ,

(x; y) = √

7 ;

−√7

!

(29)

x2 − 2xy + x − 2y + = y2 − x2 + 2xy + 2x − = 0

Gợi ý: Nhân hai vế phương trình (1) với (2) cộng theo vế phương trình (2)

Đáp số:

(x; y) = −5 − √

21

2 ;

−1 −√21

!

, (x; y) = −5 + √

21

2 ;

−1 +√21

! ,

x xy − 2y2 = x2 + y − 2xy =

Gợi ý: Trừ vế với vế phương trình (1) phương trình (2) biến đổi thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (3; 1) , (x; y) = (−1; −1) , (x; y) =

3 +√10;

, (x; y) =

3 −√10;

,

Bài tập 2.13 Giải hệ phương trình sau:     

x2 + y2 =

x − y −

4x

y = −2 Gợi ý: Đặt x −

y = a, 4x

y = b Đáp số:

(x; y) = (0; 1) , (x; y) = + √

7

3 ;

1 +√7

(30)

(x; y) = − √

7 ;

1 −√7

!

Bài tập 2.14 Giải hệ phương trình sau: 

   

x − 2y −

x + = x2 − 4xy + 4y2 −

x2 + =

Gợi ý: Đặt x − 2y = a, x = b Đáp số: (x; y) = (2; 1)

x4 − x3y + x2y2 = 1

x3y − x2 + xy = −1

Gợi ý: Trừ vế với vế phương trình (1) phương trình (2), Rồi đặt x2 − xy = t

Đáp số: (x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−1; 0) ,

(x − y) x2 + y2 = 13 (x + y) x2 − y2 = 25

Gợi ý: Trừ theo vế phương trình (1) phương trình (2), đặt x − y = a, xy = b

Đáp số: (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2; −3) , Bài tập 2.17 Giải hệ phương trình sau: (

x2 + y2 + x + y =

(31)

Đáp số:

(x; y) =

−√2;√2

, (x; y) = √2; −√2 (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2)

x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + x2 + 2xy = 6x +

Gợi ý: Thế xy = 6x + − x

2

2 vào phương trình (1) Đáp số: (x; y) =

−4; 17

x (x + 2) (2x + y) = x2 + 4x + y =

Gợi ý: Đặt x (x + 2) = a; 2x + y = b Đáp số: (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−3; 9)

Bài tập 2.20 Giải hệ phương trình sau: ( √

2x + y + −√x + y = 3x + 2y =

Gợi ý: Đặt ẩn phụ Đáp số: (x; y) = (2; −1)

Bài tập 2.21 Giải hệ phương trình sau: 

     

4xy + x2 + y2 +

(x + y)2 = 2x +

(32)

(33)

Kiến thức trình bày chuyên đề giảng dạy cho em học sinh giỏi lớp lớp luyện thi vào lớp 10

Kết thu khả quan, em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi mới, hay, em có niềm tin học tập, khơng ngại khó, u thích mơn Tốn

Với loại hệ phương trình người thầy phải biết phân loại bài, biết vận dụng sáng tạo phương pháp định hướng cách giải cho học sinh

Mặc dù cố gắng thực chuyên đề khơng tránh khỏi thiếu xót, hạn chế định Vì tơi mong muốn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chun đề hồn thiện Để hồn thành chun đề tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng chí tổ Tốn - Lý - Tin đóng góp ý kiến, giúp đỡ tơi suốt q trình làm chuyên đề

Phúc Yên, ngày 07 tháng 03 năm 2014 Người viết