MỘT số đề THI HSG TOÁN 8 có đáp án

Đây là những đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 rất hay và rất bổ ích cho các em học sinh và giáo viện dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tham khảo. Nó cũng thật sự bổ ích cho những ai người yêu thích môn Toán học. Phần đáp án, lời giải cũng được chọn lọc phương pháp và trình bày tương đối chi tiết, đáp ứng được nhu cầu tham khảo đa dạng của người đọc. Chúc quý độc giả có được những trải nghiệm bổ ích và thú vị.

Đề Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: Rót gän biĨu thøc: a) Cho x2  x  x  x  18 x  yz xz xy 1    0( x, y, z �0) TÝnh   x y z x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đờng thẳmg c¾t AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK Bài (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Đáp án Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Râ rµng kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44 Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) 3 x – 4x – 18 x + = x – 7x + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) => (x+3)(x-2) ( x  2) x2  x   = Víi ®iỊu kiƯn x � -1 ; x2 -7x (x+3)(x -7x +3) x -7x +3 x  x  18 x  + b) (1,5đ) Vì 1 1 1    �  �  � x y z z �x y � �1 � �1 1 1 1 � �   �  ��   �    � z x y x y y � �x y � z �x � 1 1 �1 � 1 1    3 �  ��    3 x y z x y �x y � x y z xyz Do ®ã : xyz( xyz xyz xyz yz zx xy 1 �   3�   3 + + )= y x y z x y z x z Bài : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c A K B C E CBE cân C => B góc C1 góc tam giác BCE => �B � E ��B � 1C � C 1 1 BM (ta E D mµ AC // vÏ) M => �  CBM � �B �  CBM � � Hoµn toµn tC nên BO tia phân giác CBM 1 ơng tự ta có CD tia phân giác cđa gãc BCM Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB , BMC Mà : BAC hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A song song với OK => K,O,M thẳng hàng BMC � (cmt ); � � �M � � AM A2 mà Ta lại có : M 1 (hai góc đồng vị) A2 K M CKM cân C => CK = CM KÕt hỵp AB = CM => AB = => K 1 CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Ta cã M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + V× (2x + 1)2 �0 =>(2x + 1)2 + M Vậy giá trị nhỏ nhÊt cña M = x = - đề Câu Tìm số có chữ số: a1a a thoã mãn điều kiện a b sau: a) a1a 2a =  a a  b)  a 4a 5a 6a a  a a  C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn – 2)  áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phơng trình:   1      2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đờng kẻ từ A B lần lợt song song với BC AD cắt đờng chéo BD AC tơng ứng F E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diƯn tÝch tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 S2 = S3 S4 C©u Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Đáp án Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22  a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => sè ®ã 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mãn câu Đặt m = 3k + r víi r  n = 3t + s víi s   xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1)  ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 )  ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) víi  r ; s  r = vµ s =1 => m = 3k + vµ n = 3t + r = vµ s = m = 3k + vµ n = 3t + 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn 2) Điều phải chøng minh ¸p dơng: m = 7; n = => mn – = 12   ( x7 + x2 + 1)  ( x2 + x + 1)  ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + Câu Giải PT: 1         x 1.2  2.3    2006.2007  2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 Nh©n vÕ víi ta đợc: 2   x 2 1.2  0  2.3  1    2006.2007  2008  2005    2005.2006.2007   1`.2.3 2.3.4 1 1   3     x 2006.2007   1.2 2.3 2.3 3.4  1.2.3  2.3.4  1.2.3    2006.2007.2008  2005.2006.2007   1003.1004.669   3   x  2.2006.2007.2008  x  5.100.651  1.2 2006.2007  C©u a) Do OE OA  OB OC O F OB  OA OD AE// BC => BF// AD MặT khác AB// CD ta lại có A B O K E F H D OA OB  OC OD b) AB nªn OE OF  OB OA C => EF // AB ABCA vµ ABB1D hình bình hành => A 1C = DB1 = Vì EF // AB // CD nên c) Ta cã: A1B1 S1 = EF AB  AB DC AH.OB; => AB = EF.CD CK.OD; S3 = AH OD S3   AH CK S2 CK OD => S2 = AH.OD; S4 = OK.OD AH OB S1 AH   => ; S4 CK OB CK S1 S3  => S1.S2 = S4 S2 S3.S4 C©u A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + Giá trị nhá nhÊt A = Khi: y- = => =1 x- y- = x=7 ®Ị C©u 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 C©u 2: a Cho x y z   0 (1) vµ a b c y a b c   2 (2) x y z x2 y z Tính giá trị cđa biĨu thøc A=   a b c b Biết a + b + c = TÝnh : B = ab bc ca   2 2 a b  c b c  a c  a  b2 Câu 3: Tìm x , biết : xã x  10 x  19   3 (1) 2006 1997 1988 Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a.BM EF b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dơng Tìm giá trị nhỏ a b c P= (a+ b+ c) (  ) Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta cã: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iĨm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 – 16 z2 (*) V× x2=y2 + z2  (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 C©u 2: ( 1,25 ®iĨm) a Tõ (1)  bcx +acy + abz =0  ab ac bc  x2 y z x2 y z Tõ (2)     2    0    4  a b c a b c  xy xz yz   abz  acy  bcx   4 2 xyz   b ( 1,25 ®iĨm) Tõ a + b + c =  a + b = - c  a2 + b2 –c2 = - 2ab T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac B= ab bc ca     2ab  2bc  2ca C©u 3: ( 1,25 ®iĨm) (1)  x· 2007 x  2007 x  2007   0 2006 1997 1988  x= 2007 A C©u 4: a ( 1,25 ®iĨm) Gäi K lµ giao ®iĨm CB víi EM; H giao điểm EF BM EMB =BKM ( gcg)  Gãc MFE =KMB  BH  EF K b ( 1,25 ®iĨm)  ADF = H Tơng tự: CE BF BM; AF; CE đờng cao BEF đpcm B E BAE (cgc) M AF  BE C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: P=1+ D F C a a b b c c a b a c b c        3             b c a c a b b a  c a c b x y Mặt khác y x 2 víi mäi x, y d¬ng  P  3+2+2+2 =9 VËy P = a=b=c ®Ị Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phơng trình: x  x  x 6 x 8  98 96 94 92 Bài (2đ): x 3x Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P có giá trị 2x nguyên Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung ®iĨm cđa AK Chøng minh r»ng: EF song song víi tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  x  2007 A , ( x kh¸c 0) 2007 x Đáp án Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) x  x  x 6 x 8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x 8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 98 96 94 92 1 1  ( x + 100 )( + )=0 (0,25®) 98 96 94 92 1 1 0 Vì: + 98 96 94 92 Do : x + 100 =  x = -100 ( VËy phơng trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài (2®): x  x  ( x  x)  (4 x  2)  5  x   P= 2x  2x  2x  (0,5®) x nguyên x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên phải nguyên hay 2x - ớc 2x nguyên cđa (0,5®) => * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5®) VËy x = 1;0;3; 2 P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AB AM AMN đồng d¹ng  ABC  AC AN   AMN = ABC ( hai góc tơng ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25đ) BAH =  CHA ( so le trong, AB // CH) mµ  CAH =  BAH ( Ax tia phân giác) Suy ra: CHA = CAH nên CAH cân C (0,5đ) ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đờng trung bình tam giác KHA Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)(0,5®) Bài (1đ): 2007 x x.2007 2007 x  x.2007  2007 2006 x A= = + 2007 x 2007 x 2007 x ( x  2007) 2006 2006   = 2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5đ) 2007 Câu ( -®Ị ®iĨm ) Cho biÓu thøc A =  x2   10  x        :  x   x    x x  x  x     a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rót gän biĨu thøc A c, T×m giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x  4x 1 x  5x    x 1 2x 1 C©u ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh AQR APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trùc cđa AC 5, Chøng minh ®iĨm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( điểm): x  3x  Cho biÓu thøc A = 2x Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu ( ®iĨm) a, Chøng minh r»ng x  y  z  x  y   3xy. x  y   z b, Cho 1   0 x y z TÝnh A yz xz xy   x2 y2 z2 Đáp án Câu a, x # , x # -2 , x #   x   :  x  2 x x 2 x 2 x  2 x    x  =  x  2 x  2 : x  b, A=  =  x2   x  2 x  2  x 0  2 x 0  x 2 2 x x   1; x c, Để A > Câu §KX§ : x  4x 1 x  5x  x  3x  x  3x  1   0   0 PT  x 1 2x 1 x 1 2x 1    x  3x     0  x  x   x  2 0   x  1 x   3x   0  x 1 2x 1  x =1 ; x = ; x = - 2/     Cả giá trị thỏa mãn ĐKXĐ 2  VËy PT ®· cho cã tËp nghiƯm S = 1;2;   3 C©u 3: 1,  ADQ = ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tợng tự ta có: ARP= ADS AP = AS APS tam giác cân A 2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM  RQ  PAN PAM = 450 nªn gãc MAN vuông Vậy tứ giác Mặt khác : AHMN có ba góc vuông, nên hình chữ nhật 3, Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm SQR 10 Bài 3: Giải phơng trình (1.5đ) Câu a: (0.75đ) - Đa đợc vỊ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2)2 = 0.50®  x 1    x 2 VËy phơng trình có nghiệm: x = 1; x = ĐK: x N*n Câu b: (0.75đ) - Đa dạng 0.25đ 2 ( x  1) 31  1.3 2.4 3.5 x( x  2) 16  0.25® 2( x  1) 31  x2 16 0.25® (t/m x  N*) Từ tìm đợc x = 30 Vậy phơng trình có nghiệm: x = 30 0.25đ Bài 4: (1đ) Giả sử a(2 b) > 1; b.(2 c) >1; C(2 – a) >  abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > (1) 0.25® < a < nên a > Do a + (2 – a) = không đổi, suy a(2 a) lớn a=2–a  a=1 T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt  b = c(2 – c) lín nhÊt  c = VËy a (2 - a) b(2 – b) c(2 – c)  1.1.1 = (2) DÊu = xảy a = b = c =1 0.25đ (1)và (2) mâu thuẩn Do ®ã sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 a) đồng thời lớn 0.25đ C Bài 5: (3.5đ) K H M O A 120 B Câu a: (1đ) Chứng minh: B0H C0A (g.g) 0.5® 0B 0H   0A.0B = 0C.0H 0C A 0.25đ Câu b: (1.25đ) 0B 0H 0C A  (suy tõ  B0H  C0A) A 0H  0C B 0.25® - Chøng minh  0HA  OHA = OBC  0BC (c.g.c) 0.25đ (không đổi) Câu c: (1.25đ) Vẽ MK BC -  BKM  BHC (g.g)  BM BK  BC BH  BM.BH = BC.BK (1) 0.5®  CKM   CAB (g.g) 0.25® CM CK   CM.CA = BC.CK CB CA (2) 0.25® - Céng tõng vế (1) (2) ta đợc: - BM BH + CM CA = BC BK + BC CK = BC (BK + CK) = BC (không đổi) 0.25đ THI S 46 Cõu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 121 A( 2 x 4x2 2 x x  3x   ):( ) 2 x x 4 2 x x  x3 d) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị x để A > 0? f) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z       d) Cho x y z Chứng minh :    a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD d) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? e) Chứng minh : CH.CD = CB.CK f) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 1,0 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : �2  x �0 �2 �x  �0 � x �2 �۹� �x  x �0 � � �2 x  x �0 122 Điểm �x �0 � �x �x �3 �  x 4x2 2 x x  3x (2  x)  x  (2  x ) x (2  x) A(   ):( )   x x   x x  x3 (2  x)(2  x) x ( x  3)  1,0 x2  8x x(2  x)  (2  x)(2  x) x  0,5 x( x  2) x (2  x) 4x2  (2  x)(2  x )( x  3) x  0,25 4x Vậy với x �0, x ��2, x �3 A  0,25 x 3 b 1,0 Với x �0, x �3, x ��2 : A  � � x3 � x  3(TMDKXD) 4x 0 x 3 Vậy với x > A > c x7  � x7  � � x   4 � x  11(TMDKXD) � �� x  3( KTMDKXD) � Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x  1) �0;( y  3) �0;( z  1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy   0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = x y z x y z    � (   )2  a b c a b c 2 x y z xy xz yz �    2(   )  a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz �   2 1 a b c abc x2 y z �    1(dfcm) a b c Bài 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 6,0 123 H C B 0,25 F O E A D K a 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO  DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b �  KDC � Ta có: � ABC  � ADC � HBC Chứng minh : CBH : CDK ( g  g ) � b, CH CK  � CH CD  CK CB CB CD 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : AFD : AKC ( g  g ) AF AK �  � AD AK  AF AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC ( g  g ) CF AH �  CD AC CF AH  � AB AH  CF AC Mà : CD = AB � AB AC 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ THI SỐ 47 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x  17 x  21 x    4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác 124 1   0 x y z Tính giá trị biểu thức: A  yz xz xy   x  yz y  xz z  xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực HA' HB' HC'   AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB  BC  CA ) 4 c) Chứng minh rằng: AA'2  BB'2  CC'2 tâm a) Tính tổng ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 =  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 =  2x(2x – 4) – 8(2x – 4) =  (2x – 8)(2x – 4) =  (2x – 23)(2x –22) =  2x –23 = 2x –22 =  2x = 23 2x = 22  x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): xy  yz  xz 1   0  0  xy  yz  xz 0  yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A  yz xz xy   ( x  y)( x  z) ( y  x )( y  z) (z  x )(z  y) Tính A = ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm )  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  N, a , b, c, d 9, a 0 Ta có: abcd k ( 0,25điểm ) (0,25điểm) với k, m  N, 31  k  m  100 125 (0,25điểm) (a  1)( b  3)(c  5)(d  3) m   abcd k abcd  1353 m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123hoặc m+k = 41  m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37  k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm)  Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA'   a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' S HAC HB'   ; S ABC CC' S ABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC      1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC   1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) 126 (0,5điểm ) (0,5điểm ) - Xét điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm) -  BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2  AB2 + AD2  (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 (AB  BC  CA ) 4  AA'2  BB'2  CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu Bµi 1: (6 điểm) Giải phơng trình sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = b, ĐỀ THI SỐ 48 2x  2 x 1 1 x c, |x - 4| + |x - 9| = Bài 2: (4 điểm) Giải bất phơng trình x  x 1 x 1   (m  2) x víi m lµ h»ng sè m m Bµi 3: (3 điểm) Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm 8cm Một đờng cao có độ dài 5cm Tính độ dài đờng cao thứ hai Bài 4: (3 điểm) Một vòi nớc chảy vào bể nớc Cùng lúc vòi nớc khác chảy từ bể Mỗi lợng nớc chảy 127 lợng nớc chảy vào Sau nớc bể đạt tới dung tÝch bĨ Hái nÕu bĨ kh«ng cã nớc mà mở vòi chảy vào bể đầy? Bài 5: (4 điểm) 2B Gäi BC = a, AC = b, AB = c Chøng minh Cho tam gi¸c ABC cã A 2 hÖ thøc a = b + bc ĐÁP ÁN Bài Sơ lợc lời giải Điể m Bài a, Đa phơng trình tích (6 Giải đợc x = -5 x = điểm b, ĐKXĐ: x �1 0,5 ) Víi x �1 ta cã  2x 2 �  2( x  1)   x � x  � x  x 1 x 1 0,5 Ta thấy x = không thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phơng trình vô nghiệm c, Nhận xét |x - 4| = x  v� i x �4 � vµ �  x v� i x Khi ®ã (1) � x  m(m  1) - NÕu m = th× m - = Khi ®ã (1) � 0x < x (luôn với x) Kết luận: - Với m < m tập nghiệm lµ S = 128 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 � � �x | x  � m( m  1) � 0,25 - Víi m = biểu thức vô nghĩa - Với m > tập nghiệm S = x | x Bài (3 điểm ) m(m  1) 0,5 0,25 - Víi m = th× S = R - VÏ h×nh: A 0,5 B 8cm 6cm K D C H Giả sử ABCD hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm có đờng cao dài 5cm Vì < < nên xảy hai trờng hợp: AH = 5cm Khi S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20 (cm) AK = 5cm Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 15 (cm) VËy ®êng cao thø hai cã độ dài 1 0,5 20 15 cm cm Bài Gọi thời gian vòi nớc chảy đầy bể x(giờ) ĐK: x > (3 Khi vòi chảy đợc bể x điểm ) vòi khác chảy lỵng níc b»ng bĨ 5x �1 � Theo đề ta có phơng trình .5 x x Bài (4 điểm ) Giải phơng trình tìm đợc x = (TMĐK x>0) Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể - Vẽ hình 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 129 E 0,5 c 0,25 A c B 0,25 b a C HÖ thøc a2 = b2 + bc a2 = b (b + c) Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = c, suy CE = b + c E (do tam giác ABE cân A) Khi ABE ABE E (góc tam giác) nên A 2E � BAC �  ABC � �  2B � VËy E Theo gi¶ thiÕt A Chøng minh ®ỵc  BCE suy  ACB (g.g) BC CE  � BC  AC.CE AC BC hay a2 = b (b + c) ĐỀ THI SỐ 49 Baøi 1: ( điểm ) Rút gọn biểu thức A x y 3x  y y  x  g xy  y x  xy x  y Bài 2: ( điểm ) Giải phương trình 3x x 3x   0 x   x  x    x  5 Bài 3: ( điểm ) Tìm giá trị nguyên x để phân thức có giá trị số nguyên 130 A x  x  11x  x 5 Baøi 4: ( ñieåm ) Số học sinh tiên tiến hai khối 270 học sinh Biết số học sinh tiên tiến khối 60% số học sinh tiên tiến khối Tính số học sinh tiên tiến khối? Baøi 5: ( điểm ) Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AD, AF, EF, ED a/ Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình thoi? Bài 6: ( điểm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao 12(m), AC  BD, BD=15(m) a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Chứng minh BD = DE.DH Từ tính độ dài DE b/ Tính diện tích hình thang ABCD Ba øi (3 đ) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Đáp án x y 3x  y y  x  g xy  y x  xy x  y * Điều kiện: x �0; y �0; x ��y A A  x y 3x  y y  x x y 3x  y x  y  g   g xy  y x  xy x  y y  x  y  x  x  y  x  y  x  y  x   3x  y  y x y 3x  y   y  x  y x  x  y xy  x  y   x  y   x  y x  xy  3xy  y   xy  x  y  xy  x  y  xy 2 (3 đ) Ñie åm 3x x 3x   0 x   x  x    x  5 * Tập xác định: x �2; x �5 1 0,5 1 131 3x x 3x 3x x 3x    0�   0 x  5 x  x  2  x  5 x  x   x  2  x  5 0,5 � 3x x  5  x x  2  3x  � 3x2  15x  x2  2x  3x  � x  0�TXÑ � 2x2  10x  � 2x x  5  � � x   � x  5�TXĐ � Vậy S   0 (3 ñ) A  x3  3x  11x   x  x   x5 x 5 A � � � � x   �1; �3 x 5 *x   �1 � x � 6; 4 *x   �3 � x � 8; 2 0,5 0,5 x � 2; 4;6;8 (3 đ) Gọi số học sinh tiên tiến khối x (học sinh) (x > 0) số học sinh tiên tiến khối 270 - x (học sinh) 0,25 0,25 Ta có phương trình: 60 3 x  270  x � x   270  x  100 810  3x � x  � 15x  3240  12x � 27x  3240 � x  120 (Nhậ n) 0,25 0,25 Vậy số học sinh khối 120 học sinh, khối 270 – 120 = 150 học sinh (4 ñ) a/ � DF � � �� MN / / PQ; MN  PQ Vaäy MNPQlaø PQ / / DF ; PQ  DF � � MN / / DF ; MN  132 hình bình hành b/ Giả sử MNPQ hình chử nhật MP = NQ Mà AC � � � �� AC  AB AB � NQ  AD  � MP  AF  0,5 Vậy tam giác ABC cân A MNPQ hình chử nhật ** Hoặc: MN  MQ� � MN / / BC �� AE  BC; đồ ngthờ i EB  EC MQ / / AE � � Nê ntamgiá c ABC câ ntại A c/ Giả sử MNPQ hình thoi MN = MQ BC AE MN  MQ �  � AE  BC 2 0,5 Vậy tam giác ABC vuông A MNPQ hình thoi MP  NQ � AC  AB ** Hoặc: Vậ ytamgiá c ABC vuô ngtại A (4 đ a/ Kẻ BH  DC DH  BD2  BH  152  122  92 � DH  9 m Xeùt tam giác BDH tam giác EDB �  DBE �  1v� BHD � �� BDH # EDB � BDE chung � BD DH BD2 �  � DE   25 m DE BD DH 1 b/  AB  DC  BH 1  � DE � BH  � 25� 12  150 m 2 SABCD  0,5 0,5 133 134 ... + 45 Đáp án Câu Ta cã a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22  a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1)... 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 5761 382 4 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không... a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) x  x  x 6 x 8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x 8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 98 96 94 92 1 1  ( x + 100 )( + )=0 (0,25®) 98 96 94