B ’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp.. Tính cạnh đáy của hình chóp. Tính độ dài cạng đáy AB. Khi quay tam giác vuông OAB [r]
(1)PHẦN 1
CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ ĐẠO HÀM
I. Quy t c tính đ o hàmắ ạ (u ± v ± w)'=u ' ± v ' ± w ' (u1±u2±⋯± un)'=u '1± u '2±⋯±u 'n
(k.u)'=k.u' (u.v)'=u '.v+u.v '
(u.v.w)'=u '.v.w+u.v '.w+u.v.w '
(uv)
'
=u '.v − u.v ' v2 ;(
1 v)
'
=−v ' v2 y'x=yu'.u'x
II. Công th c tính đ o hàmứ ạ (k)'=0
(xα)'=α.xα −1
(1x)
'
=− 1 x2 (√x)'= 1
2√x
(uα)'=α.uα −1.u '
(1u)
'
=−u ' u2 (√u)'= u '
2√u
(sinx)'=cosx (cosx)'=−sinx (tanx)'= 1
cos2x =1+tan
x (cotx)'=− 1
sin2x=−(1+cot
x)
(sinu)'=u ' cosu (cosu)'=−u ' sinu (tanu)'= u '
cos2u=u'.(1+tan
u) (cotu)'=− u '
sin2u=− u '.(1+cot
u)
(ex)'=ex
(ax)'=axlna
(eu)'=eu.u'
(au)'=aulna.u '
(ln|x|)'=1
x (loga|x|)'=x ln1 a
(ln|u|)'=u '
u (loga|u|)'=u lnu' a
y=axcx+b+d ⇒y '=ad−bc
(cx+d)2 ; y=
ax2+bx+c
a ' x+b ' ⇒y '=
aa' x2+2 ab' x+bb' − a ' c (a ' x+b ')2 Vấn đề : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( bước làm tốn )
Hàm số bậc ba : Hàm số bậc bốn :
6 -2 -4 -6 -10 -5
y x ( d) ( C) h y =
gx = f x = 1.7x
H
M Hàm số
f(x) =x/( x-1) f(x) =1 x(t) =1 , y( t)=t T? p h?p
-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 12345
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y m a y m n x
I
f(x )=x^ 2/( 2(x- 1) ) f(x )=x/2 +1/2 x(t )=1 , y(t )=t T? p h?p
- 14-1 3-1 2- 11-1 0-9-8-7- 6- 5- 4- 3- 2-1 - 11 - 10 - - - - - - - - - 1 x y x y mn x I
Tập xác định : D = R Đạo hàm : y’=
y’= 2
x x
x = ?
3 x x
2 2 3
x x
x
Baûng biến thiên :
5
x
Các khỏang đồng biến , nghịch biến , điểm
cực đại , điểm cực tiểu
y’’=
y’’= 2 x x y x
x = ? Bảng xét dấu y’’:
0 '( )
''( ) f x f x
Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn
Vẽ đồ thị :
Tập xác định : D = R\
0
'( )
''( )
f x f x
Đạo hàm : y’=
0
'( )
''( )
f x f x
f(x )= 3^ x
-17-16-15-14-13-12-11-10- 9-8-7- 6-5-4-3- 2-1 - 15 - 14 - 13 - 12 - 11 - 10 -9 -8-7-6-5-4 -3-2-1 23 x y
y=3x
( y’<0 ) ,
f( x)= (1 / 3)^ x
-16-1 5-1 4-1 3-12-11-10-9-8-7-6-5-4- 3-2-1123 -15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3 -2-1 123 x y x y 31
y’ không xác ñònh
d x
c
Tiệm cận :
Tiệm cận đứng :
f(x )=ln( x)/ln(3) f(x )=3^x f(x )=x
-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y y =x y=3x
y=log3x .Tieäm cận ngang : y = ac
Bảng biến thiên :
f(x )=ln(x)/ln(1 /3 ) f(x )=(1/3)^ x f(x )=x -1 5-14-1 3-12-1 1-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123
-1 5-1 4-1 3-1 2-1 1-1 0-9-8-7-6-5-4-3-2-1
1234 x y x y31 xy 31log
y=x
Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch biến ) Hàm số cực trị
Vẽ đồ thị :
(2)1. Hàm đa thức bậc ba y=ax3+bx2+cx+d (a0)
1/ TXĐ: D=
2/ Đạo hàm y'=3ax2+2bx+c; y''=6ax+2b.
Đồ thị ln có tâm đối xứng trùng với điểm uốn U.
y’=0 có hai nghiệm phân biệt y’=0 có nghiệm kép y’=0 vơ nghiệm
a> 0
a b x bx loga loga x b
a< 0
0
a loga x b x a b a 0
2. Hàm đa thức (hàm trùng phương) y=ax4+bx2+c (a0)
1/ TXĐ: D=
2/ Đạo hàm y'=4ax3+2bx=2x(2ax2+b); y''=12ax2+2b Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
y’=0 có ba nghiệm y’=0 có nghiệm
a>0
log
x
a
a b x b a b x bx loga
(3)loga x b a 0
3. Hàm số bậc bậc (hàm biến) y=axmx++bn :
+TXĐ: D= \ {− n
m} ; y '=
an−bm (mx+n)2=
D (mx+n)2
+TCĐ: lim y
x →−n m
=∞⇒(d):x=− n
m +TCN: limx → ∞y =a
m⇒(d):y= a m
D>0
loga x b x a b
D<0
1 3 1 2
3 3 9.5 5x x x x x x
4 5
3 4.3 27 0x x
Baøi tập : 1/ Khảo sát hàm số :
a/ y= 4x1 6.2x1 8 0
b/ y= log3xlog3x21 c/ y=
2 3 7 11 11
x x
d/ y=
2 5 4
1 4
2 x x
e/ y= 1 1
3 10 x x
f/ y =
7 log log 0
6
x x
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Phương trình tiếp tuyến với (C) đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M (x0 ;y0 ) là:
y – y0 = y’ (x0) ( x – x0 )
Trong phương trình có ba tham số x0 ; y0 ; y’(x0) Nếu biết ba số đó
(4)Chú ý : y’ (x0) hệ số góc tiếp tuyến ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b y’ (x0) = a
Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b y’ (x0) = −1a
Các dạng thường gặp
1/ Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) điểm M0(x0 ; y0) (C)
y = y’(x0)(x – x0) + y0
2./ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Gọi M0(x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M0 là:
y = y’(x0)(x – x0) + y0
Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 y0
3./Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến qua A(xA ; yA)
Gọi M0(x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M0 là:
y = y’(x0)(x – x0) + y0
tiếp tuyến qua A(xA ; yA) nên yA = y’(x0)(xA– x0) + y0
giải pt tìm x0, trở dạng 1
Bài tập :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 4log log3 39x x tại giao điểm với trục hoành 3/ Cho hàm số y = x3
3 −2x
+3x+1 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C) : a/ Tại điểm có hoành độ x0 = 12
b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 4/ Cho hàm số y = 27
9 81
1 log log log log
x x
x x
có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C) : a/ Tại giao điểm ( C ) trục tung
b/ Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 24 x +1
5 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) :
a) Tại điểm uốn (C) b) Tại điểm có tung độ -1
c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –
d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y =
6 Cho (C) : y = x −2
x+2 Viết phương trình tiếp tuyến (C):
a) Tại giao điểm (C ) với trục Ox
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –
c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x
(5)7 Cho (C ) : y = x
2 +x −1
x −1 Viết phương trình tiếp tuyến (C ):
a) Tại điểm có hịanh độ x =
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + = c) Vng góc với tiệm cận xiên
8 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a) y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0)
b) y = 1
2x 4−3x2
+3
2 qua điểm A(0 ; 3
2¿
c) y = x+2
x −2 qua điểm A(-6 ; 5)
d) y = x
2
−4x+5
x −2 qua điểm A(2 ; 1)
Vấn đề : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài tốn: Dựa vào đồ thị ( C) hàm số y =f(x) ,
Biện luận số nghiệm phương trình : F(x , m ) = ( với m tham số ). Cách giải :
Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2)
Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2)
tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình : f(x) =g(x) (1)
Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (1).
(1) vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có điểm chung.
(1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơnx1 (C1) (C2) cắt N(x1;y1).
2 3
2 x x 4
(1) có nghiệm képx0 (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0). Chuyển phương trình : F(x , m ) = dạng : f(x) = h(m) (*)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( C) đường thẳng
(d) : y= h (m)
Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết :
( Neáu (d) (C ) có ngiao điểm (*) có nnghiệm đơn Nếu (d) (C ) có giao điểm (*) vô nghiệm
(6)Vấn đề 5:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài tốn: Tìm giátrị lớn – giá trị nhỏ hàm số y= f (x) trên
Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ]
Tính y’
Lập bảng biến thiên (a ; b ) Kết luận : 16 0
x x
13
log x1 2
Tính y’
Giải pt y’ = tìm nghiệm log log 23 x 9 x Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn M , kết luận : 3 13
log log 2x x
Chọn số nhỏ m , kết luận :3log 2log 3log 0x 4x 16x
Bài tập
Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau tập tương ứng :
a/
1
5
3 1
3
2 4
3 : : 16 : (5
treân
1 21 22 3
(0,25) ( ) 25 ( ) :( ) :( ) 4 3
b/ (2 3)1 treân (2 3) 1
c/ 4 10 5 treân 10 5 e/ y=x+cos
2x
treân [0; π 2]
f/ y=(x+2).√4− x2 tập xác định g/ y = x3 + 3x2 - 9x – treân [ - ; ] h/ y = x + 2 2.2 22.2 2.2 treân 52 23
m/ y= 3
3 treân
3 27 3
CÁC DẠNG TÓAN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ B.BÀI TẬP.
1 Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị:
a) y = x3 + 4x2 + 4x + y = x + 1 b) y = x3 + 3x2 + y = 2x + 5
c) y = x3 – 3x y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – y = x2 + 1
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh ba điểm phân biệt
3) Tìm m để đồ thị hàm số y = 1
3x
− x+m cắt trục hòanh ba điểm phân biệt 4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + khơng cắt trục hịanh.
(7)6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y = 2x −1
x+1
a) Tại hai điểm phân biệt
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị
7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y = 2x
2
+3x+3 x+1
a) Tại hai điểm phân biệt
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị
8) Tìm m để đường thẳng qua điểm A( -1 ; -1) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số
y = x+2
2x+1
a) Tại hai điểm phân biệt
b) Tại hai điểm thuộc nhánh
9) Chứng minh (P) : y = x2 -3x – tiếp xúc với (C) : − x
2+2x −3 x −1
10) Tìm m cho (Cm) : y = x
2+m
x −1 tiếp xúc với đường thẳng y = -x +
11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + tiếp xúc với trục hòanh.
12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.
ĐỌC THÊM:
1. Hàm số bậc hai bậc (hàm hữu tỷ) y=ax
+bx+c
mx+n =(λx+μ)+ A mx+n :
+TXĐ: D= \ {− n m}
+TCĐ: lim y
x →−n m
=∞⇒(d):x=− n
m +TCX: x → ∞limmxA+n=0 TCX: y=x+
am>0 y'=0 có hai nghiệm phân biệt Các giới hạn:
x → −n m
+¿
y=+∞ lim
x →− n m
−y=− ∞;lim¿ ⇒ lim
x→ − n m
y=∞⇒TCĐ:x=− n m lim
x →− ∞y=− ∞;x→lim+∞y=+∞
4 2
81a b
y'=0 vô nghiệm Các giới hạn:
x → −n m
+¿
y=+∞ lim
x →− n m
−y=− ∞;lim¿ ⇒ lim
x→ − n m
y=∞⇒TCĐ:x=− n m lim
x →− ∞y=− ∞;x→lim+∞y=+∞
3 25 3 5
(a )
am'<0 y'=0 có hai nghiệm phân biệt Các giới hạn:
(8)x →− n m
+¿
y=− ∞ lim
x →− n m
−y=+∞;lim¿ ⇒ lim
x →− n m
y=∞⇒TCĐ :x=− n m lim
x →− ∞y=+∞ ;x →lim+∞y=− ∞
2 4 2 2 1 3 9 9 9
( 21)(a a a a )( 1)
x →− n m
+¿
y=− ∞ lim
x →− n m
−y=+∞;lim¿ ⇒ lim
x →− n m
y=∞⇒TCĐ :x=− n m lim
x →− ∞y=+∞ ;x →lim+∞y=− ∞ 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
( )
2
( )
x y x y x y xy x y x y
Các bảng xét dấu thường gặp:
Nhị thức bậc p(x)=ax+b: p(x)=0x=b/a x b/a +
p(x) trái dấu với a dấu với a
Tam thức bậc hai p(x)=ax2+bx+c:
TIỆM CẬN 1 Định nghĩa:
6
4
2
y
x (d) (C)
(9)(d) tiệm cận (C)
¿
⇔limMH M →∞ (M∈(C))
¿
❑=0
2 Cách xác định tiệm cận a Tiệm cận đứng: limf x→ x(x)
0
=∞⇒(d):x=x0 .
b Tiệm cận ngang: limf (x)
x→ ∞
=y0⇒(d):y=y0 .
c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ đó:
λ=lim
x → ∞
f(x)
x ; μ=x →∞lim[f(x)− λx] .
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc bậc (hàm biến)
y=ax+b mx+n
+TXĐ: D= R\ {− n m}
+TCĐ: lim y
x →−n m
=∞⇒(d):x=− n m
+TCN: lim y
x → ∞=
a
m⇒(d):y= a m
f(x)=x/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t T ?p h?p
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y m a y m n x
I
* Hàm số bậc hai bậc (hàm hữu tỷ)
y=ax
+bx+c
mx+n =(λx+μ)+ A mx+n
+TXĐ: D= R\ {− n m}
+TCĐ: lim y
x →−n m
=∞⇒(d):x=− n m
+TCX: lim
x → ∞
A
mx+n=0 TCX: y=x+
f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=x/2+1/2 x(t )=1 , y(t )=t T ?p h?p
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y x y m n x
I
Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau :
1/ y = 2 1
2 x x
2/ y =
3 2 3 1
x x
3/ y =
2 2 3
6 5
x x
x
4/ y =
5 2 x
5/ 2 2 3 1 x x y x Phương pháp tìm tham số m để hàm số đạt cực trị x0
Hàm số đạt cực trị x0
0
'( ) 0
(10) Hàm số đạt cực đại x0
0
'( ) 0
''( ) f x
f x
Hàm số đạt cực tiểu x0
0
'( ) 0
''( ) f x
f x
PHẦN 2
HAØM LUỸ THỪA , HAØM SỐ MŨ VAØ HAØM SỐ LOGARIT
CHỦ ĐỀ 2 : HAØM SỐ LŨY THỪA , HAØM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARÍT
HÀM SỐ MŨLOGARIT
I. Hàm số mũ
y=ax; TXĐ D=R Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x + x +
y +
1
y +
1
(11)f(x)=3^x
-17-16 -15 -14 -13 -12 -11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y
y=3x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y x y
II Hàm số lgarit
y=logax, ĐK:
¿
x>0 0<a≠1
¿{
¿
; D=(0;+)
Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x 0 + x 0 +
y +
1
y +
1
Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3) f(x)=3^x f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y
y=x y=3x
y=log3x
f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y x y x y log y=x
III Các công thức
1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
anam=an+m ; an
am=a n− m
; ( 1
an =am ; a0=1; a1=
1 a ) ;
(an)m=anm; (ab)n=anbn;
(ab)
n
=a
n
bm ; a
m n
=√nam .
2 Công thức logarit :
logab = cac=b ( 0<a1; b>0) Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0;R ta có:
loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga
x1
x2 = logax1logax2;
alogax
(12)logaαx= 1
α logax ;(logaax=x); logax=
logbx
logba ;(logab=
1 logba )
logba.logax=logbx; alogbx=xlogba.
IV Phương trình bất phương trình mũlogarit
1/ Phương trình mũ- lôgarít :
Daïng ax= b ( a> , a0 ) b0 : pt vô nghiệm b>0 : log
x
a
a b x b
Daïng logax b ( a> , a0 )
Điều kiện : x > 0
log
b a x b x a
2/Bất phương trình mũ- lôgarít :
Dạng ax > b ( a> , a0 )
b0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 :
ax b xlogab , a>1 ax b xlogab, < a < 1
Daïng loga x b ( a> , a0 )
Điều kiện : x > 0
log
b
a x b x a , a >1 loga x b x a b , < x < 1
3/ Cách giải :Đưa số – Đặt ẩn phụ Bài tập
7/ Giải phương trình :
1/ 3x1 3x2 3x3 9.5x 5x1 5x2
2/ 2.16x - 17.4x + = 3/ log
4(x +2 ) = log2x
4/ 34x8 4.32x5 27 0
5/ 4x1 6.2x1 8 0 6/ log3xlog3x2 1
7/
2 3
7 11 11 7
x x
8/
2 5 4
1
4 2
x x
9/31x31x 10 10/
7 log log 0
6
x x
11/ log ❑3
2x+3 log
x+2=0
12/ 4log9 xlog 3x
13/ lnx + ln(x+1) = 14/ 3.25x + 49x = 35x
15/
3 27
9 81
1 log 1 log 1 log 1 log
x x
x x
8 / Giải bất phương trình : 1/ 2x23x 4
2/ 16x 4x 6 0 3/ 13
log x1 2
/ log3x2 log9x2
5/ 3 13
log 4x 3 log 2x3 2
(13)LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức
Bài 1: Tính a) A =
1
5
3 1
3
2 4
3 : 2 : 16 : (5 3
b)
1 1 4 5 2
(0, 25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )
4 3 4 3
Baøi 2: a) Cho a = (2 3)1 b = (2 3)1 Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1
b) cho a = 4 10 5 vaø b = 4 10 5 Tính A= a + b
Bài 4: a) Biết 4-x + 4x = 23 Tính 2x + 2-x
b) Biết 9x + 9-x = 23 Tính A= 3 x + 3-x
Bài 5: Tính
a) A = 2 2 2 2 2 2 b) B = 5 2 23
c) C =
3 2 23
3 3 d) D = 3 27 33
Vấn đề 2: Đơn giản biểu thức
Bài 6: Giản ước biểu thức sau
a) A = (a 5)4 b) B = 81a b4
với b 0
c) C = (a325)35 (a > 0) d) D =
2 1
3 9
(a 21)(a a )(a 1) với a > 0
e) E =
2
1 1
2 2
1 1
2 2
( )
2 ( )
x y x y x y
xy
x y x y
với x > 0, y > 0
f ) F =
2 2 1 1 a x x x
với x =
1 2 a b b a
vaø a > , b >
g) G =
a x a x a x a x
Với x =
2 1 ab
b vaø a > , b > 0
h)
1 2
2
1
( )
1 .( )
( ) 2
a b c b c a
a b c
a b c bc
HAØM SỐ LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tìm tập xác định hàm số
Bài 12 tìm tập xác định hàm số a)
1
(1 ) x b)
2
(3 x ) c) (x2 – 2)-2 d) (x2 2x 3)
e) a)
2
2 3
3x x 4
c)
(14)Vấn đề 2: Tính đạo hàm hàm số
Bài 13: Tính đạo hàm hàm số
a)
2
2 3
3x x 4
b) 2x 13
c) 4 x2
d)
1
2 3
3x x 2
e) x2 x 2
f)
3
4x x 3
g)
x x h) 2x 1
i) ) (x2 – 2)-2
Vấn đề 3: Khảo sát biến thien vẽ đồ thị hàm số
Baøi 14
a) y = x-4/3 b) y = x3 c) y =
1
(1 ) x
d) y = x 4/3 e) y = x -3 f) y =
1 2
(1 x )
LOGARIT
Vấn đề 1: phép tính logarit
Bài 15 Tính logarit số A = log24 B= log1/44 C =
5
1 log
25 D = log279
E = log4 48 F = 3
log 9
G =
3 5
2
4 log
2 8
H=
1 3 27
3 3 log
3
I = log (2 2)16 J=
0,5
log (4)
K = loga3a L =
5
log ( )
a
a a
Bài 16 : Tính luỹ thừa logarit số A = 4log 32 B = 27log 39
C = 9log 23
D =
3
2log
3 2
E =
log 10
8 F = 21 log 70 G = 23 4log 3 H = 9log 3log 53 I = (2 )a log 1a
J = 27log 3log 53
Vấn đề 2: Tìm số X
Bai 17: Tìm số X biết a) logx7 = -1 b)
10
logx 0,1 c) log 3x d) log 8x 6
e)
3 log 3
4
x
f)
5 3
log 2 5
(15)a) 81
1 log
2 x
b)
1
log log log log 2 2
a x a a a
c) 2
1
log 9log 3log 5 2
x
d)
0,1
log x2 e)
2 1
log log 32 log 64 log 10
5 3
a x a a a
Vấn đề 3: Rút gọn biểu thức
Bài 19: Rút gọn biểu thức
A = log 8log 813 B =
1
3
log 25log 9
C =
3
2 25
1
log log 2 5
D = log log 9log 23 E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73
F =
log 30
log 30 G =
5 625
log 3
log 3 H =
2
96 12
log 24 log 192 log 2 log 2
I = 13
log 2log 49 log 27
J = a logab b logba
HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác định hàm số
Bài 21: tìm tập xác định hàm số sau
a) y =
3 log
10 x b) y = log3(2 – x)2 c) y = 1 log
1 x x
d) y = log3|x – 2| e)y =
2 3 log ( 2)
x x
f) y =
2
log
1 x x g) y =
2
2
log x 4x 5
h) y =
1
log x1 i) lg( x2 +3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm hàm số
Bài 22: tính đạo hàm hàm số mũ
a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x
e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( ex22 1x
) h) y = 44x –
i) y = 32x + 5 e-x +
1 3x
j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y =
2 1
4x
x Bài 23 Tìm đạo hàm hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x2lnx -
2
2 x
c) ln( x 1x2 ) d) y = log3(x2- 1)
e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log
a(x2 + 2x + 3)
Vấn đề 3: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
Bài 24: khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ , logarit
a) y = 3x b) y =
1 3
x
c) y = log4x d) y = log1/4x
(16)Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng Đưa số
Bài 25 : Giải ác phương trình sau a) 2x4 34
b)
2 6
2
2x x 16 2 c) 32x39x23x5 d) 2x2 x 41 3 x
e) 52x + 1 – 52x -1 = 110 f)
5 17
7 1
32 128 4
x x
x x
f) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - g) (1,25)1 – x = (0,64)2(1 x) Dạng đặt ẩn phụ
Bài 26 : Giải phương trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
c) 52x + 4 – 110.5x + – 75 = d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x
e) 5 x 53 x 20
f) 4 15 4 15 2
x x
g) 5 6 5 6 10
x x
Daïng Logarit hóaï
Bài 27 Giải phương trình
a) 2x - = 3 b) 3x + 1 = 5x – c) 3x – 3 = 5x27x12 d) 2x2 5x25x6
e)
1
5 8 500
x x x
f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x Dạng sử dụng tính đơn điệu
Bài 28: giải phương trình
a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng Đưa số
Bài 29: giải phương trình
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – 2 + 1) Dạng đặt ẩn phụ
Bài 30: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln x2 ln x b) logx2 + log2x = 5/2
c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log2x6 9
e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – log16x = 2log2x
g)
2
2 2
log x3log xlog x2
(17)Daïng mũ hóa
Bài 31: giải phương trình
a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x
Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Bài 32: Giải bất phương trình
a) 16x – 4≥ 8 b)
2
1
9 3
x
c)
6
9x 3x
d) 4x2 x 1
e)
2
4 15
3
1
2 2
2
x x
x
f) 52x + > 5x
Bài 33: Giải bất phương trình
a) 22x + + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c)
1
1
4x 2x 3
d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x≥ 2log 48
g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 34: Giải bất phương trình
a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2)
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Bài 35: Giải bất phương trình
a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1
g) 13
3 1 log 1
2 x x
Bài 36: Giải bất phương trình a) log2
2 + log2x ≤ b) log1/3x > logx3 – 5/2
c) log2 x + log2x ≤ d)
1 1
1 1 log xlogx
e) 16
1 log 2.log 2
log 6
x x
x
f)
4
3 1 3 log (3 1).log ( )
16 4
x
x
Bài 37 Giải bất phương trình
a) log3(x + 2) ≥ – x b) log5(2x + 1) < – 2x
c) log2( 5 – x) > x + 1 d) log2(2x + 1) + log3(4x +
PHẦN 3 TÍCH PHÂN
(18)a Lý thuyÕt
TÍCH PHÂNỨNG DỤNG
1. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm những hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm hàm số thường gặp
Nguyên hàm những hàm số hợp
∫dx=x+C
∫xαdx=x
α+1
α+1+C(α ≠1)
∫dxx =ln|x|+C(x ≠0)
∫exdx=ex+C
∫axdx= ax
lna+C(0<a ≠1)
∫cos xdx=sinx+C
∫sin xdx=−cosx+C
∫ 1
cos2x dx=tanx+C
∫ 1
sin2x dx=−cotx+C
∫d(ax+b)=1
a(ax+b)+C
∫(ax+b)αdx=1 a
(ax+b)α+1
α+1 +C(α ≠1)
∫dxax+b=1
aln|ax+b|+C(x ≠0)
∫eax+bdx=1 ae
ax+b+C
∫cos(ax+b)dx=1
asin(ax+b)+C
∫sin(ax+b)dx=−1
acos(ax+b)+C
∫cos2(ax1
+b) dx= 1
atan(ax+b)+C
∫sin2(ax1
+b) dx=−
1
acot(ax+b)+C
∫du=u+C
∫uαdu=u
α+1
α+1+C(α ≠1)
∫duu =ln|u|+C(u ≠0)
∫eudu=eu+C
∫audx= au
lna+C(0<a ≠1)
∫cos udu=sinu+C
∫sin udu=−cosu+C
∫ 1
cos2u du=tanu+C
∫ 1
sin2u du=−cotu+C
Chú ý: 1)
p(x) q(x)=
p(x)
(x −a)(x −b)(x − c)= A x −a+
B x − b+
C x − c p(x)
q(x)=
p(x)
(x −m)(ax2+bx+c)= A x − m+
Bx+C ax2+bx+c p(x)
q(x)=
p(x) (x − a)(x −b)2=
A x − a+
B (x −b)2+
C x −b
2) ∫dx
ax+b= 1
aln|ax+b|+C (a ) 3) ∫ dx
(x −a)(x −b)dx= 1 a − bln|
x − a
x − b|+C (a b¿
4) ∫dx
x2− a2= 1 2aln|
x −a
x+a|+C 5)
ax+b¿2 ¿ ¿−1
a . 1 ax+b ¿ dx ¿ ∫¿
(19)6) ∫dx
√x2+a=ln|x+√x 2+a|
+C
PHẦN
hình học
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
sin =
AB
BC (ĐỐI chia HUYỀN) cos =
AC
BC (KỀ chia HUYỀN)
3 tan =
AB
AC (ĐỐI chia KỀ) cot =
AC
AB (KỀ chia ĐỐI)
II.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC
AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH 2
1 1 1
AH AB AC
III ĐỊNH LÍ CƠSIN
a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV ĐỊNH LÍ SIN
a b c
2R
sin A sin B sin C
V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC ; b)
AM AN
MB NC
VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1 Tam giác thường:
a) S =
1 ah
2 b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2 Tam giác cạnh a: a) Đường cao: h =
a 3
2 ; b) S =
2
a 3 4
c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3 Tam giác vuông: a) S =
1
2ab (a, b cạnh góc vng)
b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền 4 Tam giác vng cân (nửa hình vng):
H C
B
A
N M
C B
(20)a) S =
1
2a2 (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a 2 5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vng có góc 30o 60o
b) BC = 2AB c) AC =
a 3
2 d) S =
2
a 3 8
6 Tam giác cân: a) S =
1 ah
2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước)
8 Hình thoi: S =
1
2d1.d2 (d1, d2 đường chéo)
9 Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 2 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11 Đường trịn: a) C = 2R (R: bán kính đường trịn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)
Họ tên : ……… Lớp : ……….
VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1 Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác
a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm
b) * BG =
2
3 BN; * BG = 2GN; * GN = 1
3BN
2 Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm
3 Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4 Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1 Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác nhau.
Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc nhau
2 Hình chóp đều: Có đáy đa giác đều Có mặt bên tam giác cân nhau Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc nhau
3 Đường thẳng d vng góc với mp():
a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp() Tức là:
d a; d b a b
a,b
d ()
b)
( ) ( ) ( ) ( ) a
a d ( )
d ()
60o 30o
C B
A
G P
N M
C B
A
O
H A
d' d
(21)c) Đt d vng góc với mp() d vng góc với đt nằm mp()
4 Góc đt d mp(): d cắt () O Ad
Nếu
AH ( ) H ( )
góc d () hay AOHˆ = 5 Góc mp() mp():
Nếu
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
thì góc () () hay EMFˆ =
6 Khoảng cách từ điểm A đến mp(): (hình mục 4) Nếu AH () d(A, ()) = AH (với H ()) IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2 Thể tích khối chóp: V =
1 Bh
3 (diện tích đáy đa giác)
3 Tỉ số thể tích khối chóp:
S.A B C
S.ABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
4 Diện tích xq hình nón trịn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5 Thể tích khối nón trịn xoay: V =
1 Bh
3 (diện tích đáy đường trịn)
6 Diện tích xq hình trụ trịn xoay: Sxq = 2Rl (R: bk đường trịn; l: đường sinh) 7 Thể tích khối trụ tròn xoay: V = Bh = R2h ( h: chiều cao khối trụ)
8 Diện tích mặt cầu: S = 4R2 (R: bk mặt cầu )
9 Thể tích khối nón trịn xoay: V =
3
4 R
3 (R: bán kính mặt cầu)
F
E
M B
(22)PHẦN BÀI TẬP
Chủ đề 1: Khối chóp - Khối lăng trụ
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a
Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác cạnh a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a
a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
*Lưu ý:(Khối lăng trụ đứng có tất cạnh chia thành tứ diện nhau)
Bài 4:Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, C
= 600, đường chéo BC’
mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) góc 300.
a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ
Bài 5:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách các
điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a AA’ = 3a
Tính thể tích lăng trụ
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A
= 600 Chân đường vng góc hạ từ
B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB’ = a.
a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích hình hộp
Bài 8: Cho tứ diện S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH
a) Chứng minh: SABC b) Tính thể tích hình chóp
Bài 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 600 Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC
HD: * Tính:
S.DBC
S.ABC
V SD SB SC SD
. .
V SA SB SC SA
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB
a) Chứng minh rằng: SH (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp đó.
Bài 12: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a thể tích
3 3
6
a
Tính độ dài cạnh bên hình chóp ĐS: SA =
5 2
(23)Bài 13: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao
3 2
a
thể tích a3
Tính cạnh đáy hình chóp ĐS: AB = a 2
Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC tích 3a3/8, mặt bên tạo với đáy (ABC) góc
600 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a 3
Chủ đề 2: Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu
Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón trịn xoay
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
Bài 3: Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b)Tính thể tích khối nón
Bài 4: Một hình nón có đường sinh l thiết diện qua trục tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b)Tính thể tích khối nón
Bài 5: Một hình nón có đường cao a, thiết diện qua trục có góc đỉnh 1200
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b)Tính thể tích khối nón
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh l góc đường sinh mặt đáy .
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b)Tính thể tích khối nón
Bài 7: Một hình nón có đường sinh 2a diện tích xung quanh mặt nón 2a2.
Tính thể tích hình nón
Bài 8: Một hình nón có góc đỉnh 600 diện tích đáy 9 Tính thể tích hình nón Bài 9: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng a.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
b) Tính thể tích khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện này Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích thiết diện đó
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền bằng
2
a
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
b) Tính thể tích khối nón
c) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
Bài 12: Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng.
(24)Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
b) Tính thể tích khối trụ
c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện được tạo nên
Bài 14: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho
c) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục của hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ
Bài 15: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ R 2.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ
Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao h = 50cm. a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC), ABC vng B
AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
Bài 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a. a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
Bài 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu đó.
(25)Phần tham khảo Khối đa diện Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a
HD: * Đáy BCD cạnh a H trọng tâm đáy
* Tất cạnh đầu a
* Tính: V =
1 3Bh =
1
3SBCD AH * Tính: SBCD =
2 3
4
a
(BCD cạnh a)
* Tính AH: Trong VABH H :
AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH =
2
3 BM với BM = 3 2
a
)
ĐS: V =
3 2
12
a
Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác cạnh a
HD: * Đáy ABCD hình vng cạnh a H giao điểm đường chéo * Tất cạnh đầu a
* Tính: V =
1 3Bh =
1
3SABCD SH * Tính: SABCD = a2
* Tính AH: Trong VSAH H:
SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH =
2 2
a
)
H S
C B
(26)ĐS: V =
3 2
6
a
Suy thể tích khối bát diện cạnh a ĐS: V =
3 2
3
a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a
a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
HD: a) * Đáy A’B’C’ cạnh a AA’ đường cao * Tất cạnh a
* VABC.A B C = Bh = SA B C .AA’
* Tính: SA B C =
2 3
4
a
(A’B’C’ cạnh a) AA’ = a
ĐS: VABC.A B C =
3 3
4
a
b) VA BB C =
1
3 VABC.A B C ĐS:
3 3
12
a
( khối lăng trụ đứng có tất cạnh chia thành tứ diện nhau)
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, C
= 600, đường chéo
BC’
mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) góc 300.
a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a)* Xác định góc cạnh BC’ mp(ACC’A’)
+ CM: BA ( ACC’A’)
BA AC (vì ABC vuông A) BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng)
+ = BC A
= 300 * Tính AC’: Trong VBAC’ A (vì BA AC’)
tan300 =
AB
AC AC’ = 300
AB
tan = AB 3
* Tính AB: Trong VABC A, ta có: tan600 =
AB AC
AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a
b) VABC.A B C = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC =
1
2AB.AC = 1
2.a 3.a = 3
2
a
* Tính CC’: Trong VACC’ C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 2a 2
ĐS: VABC.A B C = a3 6
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách
các
điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ.
HD: * Kẻ A’H (ABC)
* A’ cách điểm A, B, C nên H trọng tâm ABC cạnh a
* Góc cạnh AA’ mp(ABC) = A A H
= 600
C'
B' A'
C
B A
60
30
C' B'
A'
C B
A
a 60
H
C'
B' A'
(27)* Tính: VABC.A B C = Bh = SABC.A’H
* Tính: SABC = 3
4
a
(Vì ABC cạnh a)
* Tính A’H: Trong VAA’H H, ta có:
tan600 =
A H AH
A’H = AH tan600 =
2
3 AN. 3 = a
ĐS: VABC.A B C =
3 3
4
a
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a AA’ = 3a
Tính thể tích lăng trụ HD: * Đường cao lăng trụ AA’ = 3a
* Tính: VABC.A B C = Bh = SABC.AA’
* Tính: SABC =
1
2 AB.AC (biết AC = a)
* Tính AB: Trong VABC A, ta có:
AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
ĐS: VABC.A B C =
3
3 3
2
a
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A
= 600 Chân đường vng góc hạ
từ
B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB’ = a.
a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích hình hộp
HD: a)Gọi O giao điểm đướng chéo AC BD * B’O (ABCD) (gt)
* Góc cạnh bên BB’ đáy (ABCD) = B BO
* Tính = B BO
: Trong VBB’O O, ta có:
cos =
OB BB =
OB a
+ ABD cạnh a (vì A
= 600 AB = a) DB = a
OB =
1
2 DB = 2
a
Suy ra: cos =
1
2 = 600
b) * Đáy ABCD tổng đều ABD BDC
SABCD= 3
4
a
=
2 3
2
a
N B
2a 3a
a
C' B'
A'
C B
A
a
60
a O
D' C'
B' A'
D C
(28)* VABCD.A B C D = Bh = SABCD.B’O =
2 3
2
a
.B’O
* Tính B’O: B’O =
3 2
a
(vì B’BO nửa tam giác đều) ĐS:
3 4
a
Bài 8: Cho tứ diện S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh: SABC
b) Tính thể tích hình chóp HD: a) Gọi M trung điểm BC * CM: BCSH (SHmp( ABC)) BC AM
BCmp(SAM) Suy ra: SABC (đpcm)
b) * Tất cạnh a
* Tính: VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC .SH * Tính: SABC =
2
a 3 4
* Tính SH: Trong VSAH H, ta có: SH2 = SA2 – AH2
(biết SA = a; AH =
2
3AM mà AM = a 3
2 ABC cạnh a) ĐS: VS.ABC =
a 2 12
Bài 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một
góc 600 Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC
HD: a) Hạ SH (ABC) H trọng tâm ABC cạnh a Gọi E trung điểm BC
* Góc tạo cạnh bên SA với đáy (ABC) =
SA E = 600
* Tính:
S.DBC
S.ABC
V SD SB SC SD
. .
V SA SB SC SA
* Tính SD: SD = SA – AD
* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH nửa tam giác đều)
AH =
2
3AE mà AE = a 3
2 ABC cạnh a
Suy ra: SA =
2a 3
3
* Tính AD: AD =
AE
2 ( ADE nửa tam giác đều)
Suy ra: AD =
a 3 4
a
M H
C
B A
S
60
E D
a H
C B
(29)* Suy ra: SD =
5a 3 12 ĐS:
S.DBC
S.ABC
V SD 5
V SA 8
b) Cách 1: * Tính VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC.SH * Tính: SABC =
2
a 3
4 (vì ABC cạnh a)
* Tính SH: Trong VSAH H, ta có: sin600 =
SH
SA SH = SA.sin600 = a Suy ra: V S.ABC =
3
a 3 12
* Từ
S.DBC
S.ABC
V 5
V 8 Suy ra: V
S.DBC =
5a 3 96
Cách 2: * Tính: VS.DBC =
1 3Bh =
1
3SDBC.SD * Tính: SDBC = 1
2DE.BC
* Tính DE: Trong VADE D, ta có: sin600 =
DE
AE DE = AE.sin600 =
3a
4 Suy ra: SDBC =
2
3a 8
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB
a) Chứng minh rằng: SH (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD)
* (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB)
* SH AB ( đường cao SAB đều)
Suy ra: SH (ABCD) (đpcm)
b) * Tính: VS.ABCD =
1 3Bh =
1
3SABCD.SH
* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH =
a 3
2 (vì SAB cạnh a)
ĐS: VS.ABCD =
a 3 6
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy
góc 600 Tính thể tích khối chóp đó.
HD: * HạSH (ABC) kẻ HM AB, HNBC, HP AC * Góc tạo mặt bên (SAB) với đáy (ABC) = SMH
= 600
* Ta có: Các vng SMH, SNH, SPH (vì có chung cạnh
góc vng góc nhọn 600)
* Suy ra: HM = HN = HP = r bán kính đường trịn nội tiếp ABC
* Tính: VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC .SH
S
D a
H C
A B
7a 6a P
C A
(30)* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)
= p(p AB)(p BC)(p CA) (công thức Hê-rông) * Tính: p =
5 6 7
9 2
a a a a
Suy ra: SABC =
2 6 6a
* Tính SH: Trong VSMH H, ta có: tan600 =
SH
MH SH = MH tan600
* Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH
MH =
ABC
S
p = 2a3 6 Suy ra: SH = 2a 2
ĐS: VS.ABC = 8a 3
Bài 12: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a thể tích 3
6
a
.
Tính độ dài cạnh bên hình chóp ĐS: SA =
5 2
a
Bài 13: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao
3 2
a
và thể tích a3
Tính cạnh đáy hình chóp ĐS: AB = a 2
Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC tích 3a3/8, mặt bên tạo với đáy (ABC)
góc 600 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a 3
Chủ đề 2: (3 tiết)
Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vng OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vng OA đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
b) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15
Tính: AB = ( AOB O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OB OA =
2
1
3 4
3 . = 12
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a. b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón c) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2
* Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2
5a
N M
B
2a
A B
S
3
A
(31)b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OB SO =
3 1 3 3 3 3 a .a a
Tính: SO =
2 3
3 2
a a
(vì SO đường cao SAB cạnh 2a)
Bài 3: Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vng. b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
c) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác vuông cân S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = a2 2
Tính: SA = a 2; OA = a ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy = a2 2 + a2 = (1 + 2) a2
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
3
1
3 3
a .a a
Bài 4: Một hình nón có đường sinh l thiết diện qua trục tam giác vng. b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
c) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = . 2
l .l = 2 l
Tính: OA = 2
l
( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 2 l + 2 l = 1 1 2 2 l
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
3 2 2 6 2
l l l .
Tính: SO = 2
l
( SOA O)
Bài 5: Một hình nón có đường cao a, thiết diện qua trục có góc đỉnh 1200
b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón c) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB cân S nên A
= B
= 300
hay ASO
= BSO
= 600
* Sxq = Rl = .OA.SA = .a 3.2a = 2a 3
Tính: OA = a 3; SA = 2a ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2a 3 + 3a2 =
2 3 a
(32)b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1 3
3 a aa
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh l góc đường sinh mặt đáy . b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
c) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Góc đường sinh mặt đáy A
= B
= * Sxq = Rl = .OA.SA = lcos.l =
2
l cos
Tính: OA = lcos ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
l cos
+ l2cos2 =
1cos l cos
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO
=
2
1 3
2
.l cos lsin
=
3
3
2
l cos sin
Tính: SO = lsin ( SOA O)
Bài 7: Một hình nón có đường sinh 2a diện tích xung quanh mặt nón 2a2.
Tính thể tích hình nón
HD: * Sxq = Rl Rl = 2a2 R =
2
2 2
2
a a a l a
* Tính: SO = a 3 ( SOA O)
* V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
3 1 3 3 3 3 a .a a
Bài 8: Một hình nón có góc đỉnh 600 diện tích đáy 9 Tính thể tích hình nón
HD: * Thiết diện qua trục tam giác SAB đều
* Sđáy = R2 9 = R2 R2 = R = 3
* SO =
3 2 3
3 3
2 2
AB R
* V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
3 3 9 3
3 .
Bài 9: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng a. d) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
e) Tính thể tích khối nó
f) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện này
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A
= B
= 450
(33)* Sxq = Rl = .OA.SA = . 2 a .a = 2 a
Tính: OA = 2
a
( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 2 a + 2 a = 1 1 2 2 a
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
3 2 2 6 2
a a a .
Tính: SO = 2
a
( SOA O)
c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy góc 600: SMO
= 600
* SSAC =
1
2SM.AC = 1 2. 6 3 a . 2 3 3 a = 2 3 a
* Tính: SM =
6 3
a
( SMO O) * Tính: AC = 2AM =
2 3
3
a
* Tính: AM = OA2 OM2 =
3 3
a
* Tính: OM =
6 6
a
( SMO O) Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
d) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón e) Tính thể tích khối nón
f) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện đó
HD: a) * Sxq = Rl = .OA.SA = .25.SA = 25 1025(cm2)
Tính: SA = 1025 ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 25 1025 + 625
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
25 20
3 . (cm3)
c) * Gọi I trung điểm AB kẻ OH SI OH = 12cm
* SSAB =
1
2.AB.SI = 1
2 .40.25 = 500(cm2)
* Tính: SI =
OS.OI OH =
20 12
.OI
= 25(cm) ( SOI O)
* Tính:
1
OI =
1
OH -
1
OS OI = 15(cm) ( SOI O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
(34)* Tính: AI = OA2 OI2 20(cm) ( AOI I)
Bài 11:Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền bằng a 2
d) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón e) Tính thể tích khối nón
f) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = .
2 2
a
.a =
2 2
2
a
Tính: OA = 2
AB
=
2 2
a
; Tính: SA = a ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2 2
2
a
+
2
2
a
=
2
2 1 2
( ) a
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1 2 2
3 2 2 12
a a a .
Tính: SO =
2 2
a
( SOA O)
c) * Kẻ OM BC SMO
= 600 ; * S SBC =
1
2SM.BC =
1 2 2
2 3 3
a a . .
=
2 2
3
a
* Tính: SM =
2 3
a
( SOM O) * Tính: BM = 3
a
( SMB M) Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng.
b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ c) Tính thể tích khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2
* OA =R; AA’ = 2R
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .R R2 2 2 R3
Bài 2:Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm. d) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
e) Tính thể tích khối trụ
f) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)
* OA = 5cm; AA’ = 7cm
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2)
C
M a
S
B
A O
A
B O
O' A'
B'
(35)b) * V = R h2 = .OA OO2 = .52.7 = 175(cm3)
c) * Gọi I trung điểm AB OI = 3cm
* SABB A = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)
* AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) ( OAI I)
Bài 3:Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r 3
d) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ e) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho
f) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r r 3 = 2 3 r2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 3 + 2r2 = ( 3 1 )r2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .r r2 3r3 3 c) * OO’//AA’ BAA
= 300
* Kẻ O’H A’B O’H khoảng cách đường thẳng AB
trục OO’ hình trụ
* Tính: O’H =
3 2
r
(vì BA’O’ cạnh r)
* C/m: BA’O’ cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r
* Tính: A’B = r ( AA’B A’)
Cách khác: * Tính O’H = O A 2 A H =
2
2 3
4 2
r r r
( A’O’H H)
* Tính: A’H = 2
A B
= 2
r
* Tính: A’B = r ( AA’B A’)
Bài 4:Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ R
2.
c) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ d) Tính thể tích khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R R 2 = 2 2 R2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 R2 + 2R2 = ( 2 1 ) R2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .R R2 2R3 2
Bài 5:Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao h = 50cm. d) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ e) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho
f) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
( Cách giải hình vẽ 14)
h r l
B' A' O'
I
O B
A
r
H A
B O
O' A'
r
R R
A' O'
(36)ĐS: a) * Sxq = 2Rl = 5000(cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 + 5000 = 10000(cm2)
b) * V = R h2 = 125000(cm3)
c) * O’H = 25(cm)
Bài 2: Mặt cầu (1 tiết)
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC), ABC vuông B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
HD: a) * Gọi O trung điểm CD. * Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh: DAC vuông A OA = OC = OD =
1
2CD
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy)
* Chứng minh: DBC vuông B OB =
1
2CD
* OA = OB = OC = OD =
1
2CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; 2
CD
)
b) * Bán kính R = 2
CD
=
1
2 AD2 AC2 =
1
2 AD2 AB BC2
=
1 2
2 2 5 2
25 9 16
2
a a a a
* S =
2
2
5 2
4 50
2
a a
; * V =
4
3 R3 =
3
3
4 5 2 125 2
3 2 3
a a
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a. c) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S
d) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
HD: a) Gọi O tâm hình vng (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
b) R = OA =
2 2
a
; S = 2a2; V =
3 2
3
a
Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
HD: a) * Gọi O trung điểm SC
* Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC
vuông A, D, B
* OA = OB = OC = OD = OS = 2
SC
S(O; 2
SC
)
b) * R = 2
SC
=
1
2 SA2 AB BC2 =
6 2
a
O D
C B
A
2a a
S
O
D C
B
(37)* S =
2
2
6
4 6
2
a a
; * V =
3
4 6
6
3 2
a a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đôi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu đó.
HD: * Gọi I trung điểm AB Kẻ vng góc với mp(SAB) I
* Dựng mp trung trực SC cắt O OC = OS (1)
* I tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vì SAB vng S)
OA = OB = OS (2)
* Từ (1) (2) OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA =
2
2
2 2
SC AB OI AI
=
2 2
4
a b c
* S =
2
2 2
2 2
4
4
a b c (a b c )
* V =
3
2 2
2 2 2
4 1
3 4 6
a b c (a b c ) a b c
A BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh trung điểm I cạnh BC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài giải:
c
b
a I
O S
C
(38)a) Áp dụng công thức
1 3
V Bh
B = a2, h = SA = a
3
1 3
V a
( đvtt)
b) Trong tam giác vng SAC, có AI trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1)
BC AB BC SA BC SB SBC vuông B, IB trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS =
IC (2)
Tương tự ta có ID = IS = IC(3) Từ (1), (2), (3) ta có I cách tất đỉnh hình chóp nên I tâm mặt cầu
ngoại tiếp
Bài tập2. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, ABa BC, a 3 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải:
Trong mp( SAC), dựng SH AC H SH (ABC)
1 . 3
V B h
, B diện tích ABC, h = SH
2
1 3
.
2 2
a B AB BC
Trong tam giác SAC có AC = 2a
2 3
3 2
a SH a
Vậy
3
2
a V
(đvtt)
Bài tập3 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 45o
(39)b) Tính diện tích xung quanh mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Giải:
a) Gọi O tâm hình vuông ABCD SO (ABCD)
2
1 2
, ; tan 45 .
3 2
V B h B a hSO OA a
3
2 6
a V
(đvtt) b) Áp dụng cơng thức Sxq .r l r = OA, l =SA= a
Thay vào công thức ta được:
2
2 2 .
2 2
xq
a a
S a
(đvdt)
Bài tập4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ Giải:
a) Ta có V B h. , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ
Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên
2
3 4
a B
h = AA’ = a
3
3 4
a V
(40)r bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC
2 3 3
.
3 2 3
a a r
, l =AA’ =a nên diện tích cần tìm
2
3 3
2 . 2
3 3
xq
a a
S a
(đvdt)
Bài tập5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a SA (ABC) Tam giác ABC vuông cân B, ABa
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
c) Gọi I H trung điểm SC SB Tính thể tích khối chóp S.AIH
Giải:
a)
3
1 . 3
1 2
. 2. 2 , 2
2 3
V B h
a
B S a a a h SA a V
#ABC
b) Gọi I trung điểm SC
SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC
BC SA BC Ab nên BC SB B thuộc mặt cầu đường kính SC Như tâm mặt cầu trung điểm I SC
cịn bán kính mặt cầu 2
SC R
Ta có
2
2 2
2 2 2
4 4 2 2 2
AC a a a
SC SA AC a a a R a
c) Áp dụng công thức
3
1 1
. .
4 4 6
S AIH
S AIH S ACB
S ACB
V SI SH a
V V
V SC SB
Bài tập6:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Tính thể tích khối lập phương
b) Tính bán kính mặt cầu qua đỉnh lập phương
(41)Giải:
a) V = a3 (đvtt)
b) Gọi O điểm đồng quy đường chéo AC’, DB’, A’C, BD’ O tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương
Bán kính mặt cầu
' 3
2 2
AC a R
c) Hai khối chóp ảnh qua phép đối xứng mặt phẳng (ABC’D’) đpcm C BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1) Cho hình chóp S.ABCD cậnh đáy a, góc SAC 600
a) Tính thể tích khối chóp
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
2) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA a SA vng góc đáy a) Tính thể tích khối chóp
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
c) Quay tam giác vuông SAC quanh đường thẳng chứa cạnh SA, tính diện tích xung quanh khối nón tạo
3) Cho hình nón có đường cao 12cm, bán kính đáy 16cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón
b) Tính thể tích khối nón
4) Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, mặt bên hợp đáy góc 600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
5) Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC =a đơi vng góc Gọi H trực tâm tam giác ABC
a) Chứng minh OH (ABC)
b) Chứng minh 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
(42)PHẦN 4
Đề ơn tập
ĐE
: BÀI 1: Cho hàm số : y = mxx++1m
1 Tìm m để hàm số cắt trục tung điểm có tung độ y = ½ Khảo sát hsố m =
3 Tìm m đề hàm số nghịch biến TXĐ
BÀI 2:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính thể tích khôi lập phương thể tích hình chóp A’.ABD
BÀI 3: Cho hàm số y = f(x) = cos
2 x 1+sin2x
1 Tính đạo hàm hsố Tính giá trị biểu thức A = 32f( π
4 ) + 12 f’( π 4 ) ;
BÀI 4: Giải phương trình sau: a
3
3 2 x 3 2
; b log (3x x2) 1
BÀI 5: Tìm TXĐ hàm số sạu:
a ylg(x2 3x3); b y 32x51
ĐỀ 2: BÀI 1: 1.Tìm đạo hàm hàm số : y = lnlnx −x+11
(43)BAØI 2: Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị ( C m )
1 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = – Khảo sát hsố ( C1 ) ứng với m = –
3 Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) điểm uốn
BÀI 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a; góc cạnh bên đáy 600 Tính thể tích
khối chóp theo a
BÀI 4: Giải phương trình sau: a 3 2x x1 72
; b log (2 x2 3) log (6 x10) 0
BÀI 5: Giải bất phương trình sau: a
2 5 4
1
4 2
x x
; b 12
log (5x1) 5
ĐỀ 3: BAØI 1: cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1
a Khảo sát hs đồ thị ( C )
b Tìm toạ độ giao điểm ( C ) đường thẳng d: y = x –
c Biện luân theo a số giao điểm ( C) đường thẳng d1 có pt y = ax –
BÀI 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a, SH đường cao a C/m: SA BC ; SB AC b Tính SH ;
c Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp BÀI 3:
1 Tìm TXĐ hsố: ylog3x25x7.
2 Giải phương trình: a
2
2 3 x 2 3
b 5x16.5x 3.5x152
c 3log3x log 33 x1 0 ; d 4log9xlog 3 0x
BÀI 4: Tìm họ nguyên hàm hsố sau : a) f(x) = 1
23x ; b) f(x) = tg 2x + 2.
ĐỀ 4 BAØI 1: : Cho hs y = e4x + 2e– x Rút gọn biểu thức : E = y’’’ – 13 y’ – 12y = 0.
BAØI 2: a Khảo sát hàm số y = –x3 + 3x + 1, đồ thị ( C )
b Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) điểm có hồnh độ x = –1 c Dựa vào đồ thị (C) bl theo m số nghiệm ptrình : x3 – 3x + m – =
BàI : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD
a Tính độ dài đoạn thẳng SO
b Tính diện tích toàn phần thể tích khèi chãp S.BCD
BÀI : Giải phương trình bất phương trình sau :
a log (5x x4) 1 ; b
4
3 x 4.3 x 27 0
;
c
3 27
9 81
1 log 1 log 1 log 1 log
x x
x x
; 12
1 3 .log (5 1) 5; log 0
1 x
d x e
x
ĐỀ 5 BAØI : Khảosát hàm số
4
1 3
3
2 2
y x x
(44)2 Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) điểm uốn Tìm m để phương trình sau có nghiệm : x4 – 6x2 + + m = 0.
BÀI 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng SA(ABCD) Biết SA = a 2; AB = a.
a CMR: mặt bên hình chóp tam giác vng b Tính góc đường thẳng AB, SC;
c Tính diện tích thể tích khối nón sinh tam giác SAC quay quanh trục SA BÀI 3: 1.Tìm TXĐ hs : y = √log2(x2−3x −10)
2 Giải pt bất pt sau: a
1
1
125 25
x
x
; b.
2 16
2 log log log log
3
x x x x
;
2
3 5 1
3 1; 2
2
x x x
c d
; d log 2x x log (2 )x x .
BÀI 4: Tính tích phân sau: a/ K ∫8x3 x45.dx; d) 2
3 xdx I
x
∫
;
ĐỀ 6:BAØI 1: a Khảo sát hsố:
3 2 2 x y
x
có đồ thị (C).
b Tìm ( C ) điểm có toạ độ nguyên?
c Viết pttt với đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x –
BÀI 2: Tìm GTLN GTNN hàm số : y 4 3 x x ;
2 Xác định m để hàm số : y x 3mx22x đạt cực đại x = 2.
BÀI 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng cạnh a, SA =a 6 vng góc với đáy a Tính góc tạo SC với (ABCD)
b Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp; c Tính diện tích tồn phần hình chóp BÀI 4: Giải pt bất pt sau:
2 5 5 2
2 4
4 x x 4 x x 4; log log ( 3) 2; log 3 1
a b x x c x
2
4 15 12
4 4
1
/ log log log 8; / ;
2
x x x
d x x e
ĐỀ 7: BÀI 1: Tính : a
(2cos3 3sin ) I ∫ x x dx
; b)
J ∫tgxdx
BÀI 2:Cho hàm số : y =
2 1 1 mx m
x
, m tham số.
a Khảo sát m = –1
b Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng xác định
(45)a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Gọi I trung điểm AB; Tính thể tích hình chóp A.BCOI c Tính khoảng cách từ O đến mp ( SBC)
BÀI 4: Giải pt bất pt sau: a
2 2
3x x 27; b log 2x x log (2 )x x ;
c)
4 2
2 1
5 7
x x
. d log (2x x3) 2
ĐỀ 8: BAØI 1: Cho hs y = 2x+x −m1 ; đđồ thị ( Cm)
1 Khảo saùt hs m =0
2 biện luận số giao điểm ( Cm) đường thẳng d : y – 3x +4 =0
BAØI 2:
1 Tìm giá trị lớn hs : a) y3 x x ; b)
2
sin
0.5 x
y .
2 Xác định m để hàm số : y = mx4 + (m2 – 4).x2 + 3m + có cực trị.
BÀI : Giải phương trình bất phương trình sau :
2 2
2 2
) 16 2.4 0; ) log 5 1;
) log 5 1; ) log (4.3 6) log (9 6) 1
x x
x
x x
x
a b x x
c x x e
BÀI : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B cạnh bên SA vng góc với đáy, góc ACB = 600, BC
= a SA = a 3 Gọi M trung điểm cạnh SB a C/m : ( SAB) ┴ ( SBC )
b Tính thể tích khối tứ diện MABC
c Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
ĐỀ : BAØI : Cho hs y = −1 3x
3
+2x2 , đồ thị ( C)
1 Khảo sát hàm số trên; viết pt tiếp tuyến với ( C ) điểm uốn? Vẽ tiếp tuyến Tìm m để pt : x3 – 6x2 + 3k – = cĩ nghi m phân bi t?ệ ệ
BAØI : Tính :
cos3 cos5 I ∫ x xdx
;
sin sin 7 J ∫ x xdx
Giải pt bất phương trình sau :
a log7(x – 2) – log7(x +2) = – log7(2x-7) ; b
2
3x 9x 4 c
2
log (x 4x6) 2
; d 22x 3.2x232 0 .
BÀI : Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a ; góc tạo cạnh bên đáy 600 Gọi H trung
điểm BC O tâm đáy ABCD
a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tính thể tích khối chóp S.ABHO
ĐỀ 10 : BÀI : Tìm m để hàm số y = x3 – mx2 + m x + 2m + đồng biến R ?
BAØI :
(46)a Khảo sát hàm số ; đồ thị ( C )
b Tìm k để phương trình : – x4 + 8x2 + – k = có nghiệm phân biệt ?
BÀI : Cho tứ diện ABCD có cạnh a
1 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ? Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tường ứng ? Tính khoảng cách cạnh đối diện
BÀI :
1 Tìm TXĐ hàm số : a y =
2
2x x
; b 0,3 7 2 log
2 x y
x
2 Tính đạo hàm hs : a 3 1
e
y x
; b ln 22 x ; c y3 cosx
ĐỀ 11 : BAØI :
Cho hàm số : y x 3 2m x 1 1 , có đồ thị ( Cm )
1 Tìm m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt ?
2 Khảo sát m = Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị vừa vẽ điểm uốn ? BÀI :
1 Tìm cực trị hàm số : ysin2x 3.cosx; x0;
2 Tìm hệ số m, n để hs : y x3mx n đạt cực tiểu x = –1 qua A( 1; ) BAØI : Giải phương trình bất phương trình sau :
a 8.4x9x 6x1
; b lg2x 3lgxlgx2 4 ;
c 12
log (x1) log (2 x)
; d 22x 3.2x2 32 0
.
BAØI : Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, ΔABC cạnh a gọi M trung điểm BC a C/m : BC ┴ ( SAM) ; Tính khoảng cách từ A đến mp ( SAM)
b Tính thể tích khối chóp hình cầu ngoại tiếp tứ diện
ĐỀ 12 : BAØI : Cho hàm số :
4 1
2 y
x
, đồ thị ( H ).
1 Khảo sát hsố trên; tìm toạ độ điểm nguyên ( H ) Viết pttt với ( H ) biết tiếp tuyến vng góc với d :
1
2008 4
y x
BÀI 2:
1 Tìm m để hsố : y = x3 – mx2 + 2mx có cực trị.
2 Tìm giá trị lớn nhỏ hs : y x 2cosx; 0;2
.
BAØI : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có tất cạnh a Tính diện tích tồn phần thể tích lăng trụ
2 Xác định tâm, bán kính tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho ? BAØI : Giải phương trình bất phương trình sau :
a log log 3 9 9 1 x
x ; b log (3 x2) log ( 3 x 2) log 5 3 ; c log (2x x3) 2 ; d log (log (log (22 x1))) 0 ; e 22x3 4x23x5
; f
2
1
(47)đề thi hk tham khảo
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ Môn TOÁN – LỚP 12
Thời gian: 90 phút
A PHẦN CHUNG: (7,0 điểm)
Phần dành cho tất học sinh học chương trình chuẩn chương trình nâng cao.
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x - 3x - 3 (1)
1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình:
3
- x + 3x +1+ m = 0
3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm có hồnh độ x0 =
Câu II:(3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A =
2+ 2+ 1+
14
2 .7
2) Giải phương trình sau:
a) -10.3 + = 0x x b)
1
4
1 log (x - 3) = 1+ log
x
Câu III: (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, cạnh SA vng góc với đáy, góc ABC bằng600, BC = a SA = a Tính thể tích khối chóp
B PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm)
Học sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó.
I Dành cho học sinh học chương trình chuẩn: Câu IVa :(3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
1
y = log (x +1)
đoạn [1 ; 3]
(48)b) Giả sử M điểm thuộc đường trịn đáy cho BAM =300 Tính diện tích thiết diện hình nón tạo mặt phẳng (SAM)
II.Dành cho học sinh học chương trình nâng cao: Câu IVb: (3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
3
1 1
2 2
1
y = log x + log x - 3log x +1 3
đoạn [ ¼ ; ]
2) Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy r Tính diện tích xung quanh hình nón
ĐỀ 2
KIỂM TRA HỌC KỲ I (Năm học : 2008 – 2009)
Mơn Tốn-Khối 12 Chuẩn-Nâng cao Thời gian : 90 phút (không kể thời gian phát đề)
PHẦN CHUNG:( điểm)
Câu 1(3đ): Cho hàm số : y=f(x)= 2x
x −1 (1)
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
2 Chứng minh đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm M N phân biệt với m Xác định m để đoạn thẳng MN ngắn
Câu 2(2đ):
Giải phương trình: log2(4 3
x
−6)−log2(9
x
−6)=1 2.Chứng minh rằng: (
4
√m3−4
√n3
)(√4m3+√4 n3)
√m −√n −√m.n=m+n ;
với m n n , 0; m>0
Câu 3(2đ): Cho hình chóp S.ABC có ΔABC vng B có AB=3 cm , BC=4 cm , cạnh bên
SA⊥(ABC) SA=4 cm Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC; mặt phẳng (P) cắt SC SB D E
1 Chứng minh: AE⊥(SBC)
2 Tính thể tích khối chóp S.ADE
II PHẦN RIÊNG ( điểm )
A Học sinh học chương trình chuẩn chọn câu 4a. Câu 4a
1 ( đ ) Giải bất phương trình sau: log1
√5+x<log1
3 .
2 ( đ ) Giải phương trình: 25x -33.5x +32 = 0.
3 ( đ ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x4 – 3x3 – 2x2 + 9x 2; 2.
B Học sinh học chương trình nâng cao chọn câu 4b. Câu 4b
(49)(1đ) Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số:
2 3 1
1
x x
y x
.
(1 đ) Giải phương trình: 4x =5-x
Hết
-I Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm):
Câu I (3 điểm)
Cho hàm số
3
y = x - 6x + 9x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2 BiÖn luËn theo m số nghiệm phương trình : x - 6x + 9x -3 + m = 03
C©u II (3®iĨm)
1) Tìm hàm số f(x) biết f ’(x) = – x2 f(2) = 7
3
2) Tìm tập xác định hàm số ylog (2 x2 x12) log (3 9) x
3) Giải bất phương trình: log0 25(2− x)>log0 25( 2 x+1)
Câu III (1 điểm)
Rút gọn biểu thức
634 617
B 2
5
log log
log
II Phần riêng (3 điểm):(Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó)
1 Theo chương trình chuẩn: Câu IVa: ( điểm)
Cho chúp S.ABCD có đáy hình thang vng A B Cạnh bên SA vng góc với đáy , SA = AD = 2a AB = BC a Tính thể tích khối chópS.ABCD
Câu Va: (1 điểm )
Giải phương trình : (1
2) x2
−2
=24−3x
2 Theo chương trình nâng cao: Câu IVb: ( điểm )
Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vng góc với đôi một.Biết SA = a, AB = BC = a√3 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC
2) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Câu Vb: ( điểm )
Tìm lim
x→0
e2x−e3x 3x
ĐỀ 3 đề thi học k i
Môn: Toán, Lớp 12 - Nm hc 2008-2009
(50)ĐỀ
KIỂM TRA HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2008-2009 MƠN TỐN LỚP 12 ( Thời gian 90 phút )
-A-PHẦN CHUNG BẮT BUỘC: ( điểm )
Câu 1: (4 điểm)
Cho hàm số
2 1
1
x y
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm đồ thị (C) trục tung
c) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y m x 22 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt
Câu 2: (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật ABCD có AD a AB a , 3, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy (ABCD), cạnh bên SB tạo với mặt đáy (ABCD) góc 300 Gọi H hình chiếu vng góc A SD
a) Chứng minh DC vng góc với AH
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp H.ABC
B-PHẦN DÀNH CHO HỌC SINH TỪNG BAN: ( điểm )
* Học sinh Ban Cơ làm câu 3a, 4a, 5a:
Câu 3a: (1điểm) Giải phương trình: 5x 3.51x 8 0
Câu 4a: (1điểm) Giải bất phương trình:
2
2
log x 2x 3 1 log 3x1
Câu 5a: (1điểm) Cho tam giác ABC vng góc A, AC b AB c , quay quanh cạnh huyền BC Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành
* Học sinh Ban Nâng cao làm câu 3b, 4b, 5b:
Câu 3b: (1điểm) Giải hệ phương trình:
2
4
1
5 5
log log 5
x y
x y
x y x y
Câu 4b: (1điểm) Giải phương trình:
2
3
log x 2x1 log x 2x
Câu 5b: (1điểm) Hình trụ có bán kính đáy R trục OO 2R Hai điểm A, B thuộc hai đường trịn đáy (O) (O’) cho góc AB trục OO’ Tính khoảng cách AB OO’ theo R
(51)
Thời gian : 90 Phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( điểm) Cho hàm số
3 3 1
y x x (C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Biện luận theo k số nghiệm phương trình x33x 1 k
3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung
Câu 2 ( điểm)
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
4
3 -8 6 -1
y x x x đoạn [-2; 2]
Câu 3 (2 điểm)
Giải phương trình sau:
2
3 1
8 8
x
x
ln2 x2lnx 3 0
Câu 4 ( điểm)
Tìm tập xác định hàm số sau:
2
3
log (2 )
y x x
Câu 5 ( điểm)
Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình vng cạnh 10cm Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ tạo thành từ hình trụ
Câu 6 ( điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA(ABC) Biết SA=BC=2a, AB=a Tính thể tích khối chóp S.ABC
2 Lấy điểm M tùy ý nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng tỏ điểm M ln nằm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
ĐỀ
KIỂM TRA HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2008-2009 MƠN TỐN LỚP 12 ( Thời gian 90 phút)
I PHẦN DÀNH CHUNG CHO CẢ HAI BAN ( điểm )
Câu 1: (3.0 điểm) : Cho hàm số y=3x+2
x −1 có đồ thị (C)
a Khảo sát vẽ đồ thi (C)
b.Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có tọa độ số nguyên
c Chứng minh đồ thị (C) không tồn điểm mà tiếp tuyến với đồ thị qua giao điểm hai tiệm cận
(52)b 2 logx3+2 log3x −3=0
Câu 3: (2.0 điểm) : Trong không gian cho tam giác ABC vng A., có cạnh BC = 2a; AB=a√2 Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục đường thẳng chứa cạnh AB Tính góc đỉnh hình nón
II PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG BAN ( điểm ) A Phần dành riêng cho ban bản:
Câu 1: (1,50 điểm) : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, BC = 2a ; cạnh bên SA = SB = SC =
a√3 Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 2: (1,50 điểm) : Cho hàm số y=1 3mx
3
−(m−1)x2+3(m−2)x −1
3 Với giá trị m hàm số có cực
đại cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực đại cực tiểu x1 , x21 thỏa mãn điều kiện x1+2x2=1 B Phần dành riêng cho ban KHTN: ( điểm )
Câu 1: (1,50 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a SAB tam giác vng góc với đáy Xác định tâm tính diện tích mặt càu ngoại tiếp hình chóp
Câu 2: (1,50 điểm) : Cho hàm số y=x
+ (2m+3)x+m2+4m
x+m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có
hai cực trị hai giá trị trái dấu
ĐỀ 7
MƠN: TỐN - KHỐI 12 - BAN CƠ BẢN Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề
-Câu 1(3,0 điểm)
Cho hàm số:
2 3
x y
x , gọi đồ thị hàm số (C).
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung
Câu 2 (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( ) x3 8x2 16x9 đoạn 1;3
Câu ( 2,0 điểm)
Giải phương trình sau:
a) 2x4 2x2 5x13.5x
b) log (2 x3) l og ( x 3)log 72
Câu ( 1,0 điểm)
Tính ∫(1 x)sinx dx
Câu ( 3,0 điểm)
(53)b) Xác định tâm O tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a
-HẾT ĐỀ
KIỂM TRA HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2008-2009 MƠN TỐN LỚP 12 ( Thời gian 90 phút
Mơn: Tốn Thời gian: 90 phút
PHẦN 1: Chung cho tất học sinh Ban KHXH-NV, Ban Cơ Ban KHTN(7đ)
Câu 1 3đ: Cho hàm số y x 36x29x4 có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
b Viết phương trình tiếp tuyến ( ) với đồ thị (C) điểm M(-2;2)
c Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trìnhx36x29x 4 log2m có nghiệm phân biệt.
Câu 21đ : Tìm GTLN,GTNN hàm số: y= os2x+4sinxc đoạn
0; 2
Câu 32đ : Giải phương trình:
a 52x+5x+1=6 b
2
2
log (x1) log ( x3) log ( x7)
Câu 41đ : Biết 2 10 Chứng minh:
1 1
2 log log
PHẦN II: Học sinh thuộc ban làm phần dành riêng cho ban đó(3đ)
A Ban KHTN:
Câu 52đ : Trên mặt phẳng (P) có góc vng xOy, đoạn SO=a vng góc với (P) Các điểm M, N chuyển động
trên Ox, Oy cho ta ln có OM+ON=a
a Xác định vị trí M, N để thể tích tứ diện S.OMN lớn
b Khi tứ diện S.OMN tích lớn , xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.OMN
Câu 61đ : Giải hệ phương trình:
2 5
log log log 2 2 2
x y
xy
B Ban KHXH-NV Ban Cơ Bản: Câu 51đ : Giải bất phương trình:
2
2
5 6
6 5
x x
Câu 62đ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh
bên SB=a 3
a Tính thể tích hình chóp S.ABCD
b Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
-Hết -ĐỀ
(54)I PHẦN DÀNH CHUNG CHO CẢ HAI BAN ( điểm )
Câu 1: (3.0 điểm) : Cho hàm số y=3x+2
x −1 có đồ thị (C)
a Khảo sát vẽ đồ thi (C)
b.Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có tọa độ số nguyên
c Chứng minh đồ thị (C) không tồn điểm mà tiếp tuyến với đồ thị qua giao điểm hai tiệm cận
Câu 2: (2.0 điểm) : Giải phương trình sau a 22x+1 – 9.2x + = 0
b logx3+2 log3x −3=0
Câu 3: (2.0 điểm) : Trong không gian cho tam giác ABC vng A., có cạnh BC = 2a; AB=a√2 Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục đường thẳng chứa cạnh AB Tính góc đỉnh hình nón
II PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG BAN ( điểm ) A Phần dành riêng cho ban bản:
Câu 1: (1,50 điểm) : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, BC = 2a ; cạnh bên SA = SB = SC =
a√3 Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 2: (1,50 điểm) : Cho hàm số y=1
3mx
3−(m−1
)x2+3(m−2)x −1
3 Với giá trị m hàm số có cực
đại cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực đại cực tiểu x1 , x21 thỏa mãn điều kiện x1+2x2=1 B Phần dành riêng cho ban KHTN: ( điểm )
Câu 1: (1,50 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a SAB tam giác vng góc với đáy Xác định tâm tính diện tích mặt càu ngoại tiếp hình chóp
Câu 2: (1,50 điểm) : Cho hàm số y=x
2
+(2m+3)x+m2+4m
x+m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có
hai cực trị hai giá trị trái dấu
-Hết
-ĐỀ 10
Mơn : TỐN - LỚP 12 CƠ BẢN Thời gian làm : 90 phút ………
Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - (1 )
1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1 )
2/ Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x 3 + 3x 2 – - m =
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm có hồnh độ
Bài (0, điểm )
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
2 4 3 , x 1 ; 3
y x x
Bài ( 1, 75 điểm )
(55)a/ (251 )
x+1 =25x
b/
2
2 32
log x 5log x 2 0
2/ Giải bất phương trình :
2
3
log (2x 4 ) log (9 )x x
Bài ( điểm )
1/ Tính vi phân hàm số sau : a/
3
(3 2)
y x b/ y = ln(3x + 1)
2/ Cho hàm số
2x x 3
y e e x Tìm x để y ’ ≥ 0
Bài ( điểm )
Cho hàm số
2 1 2
x y
x
(2)
1/ Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số cho
2/ Chứng minh với số thực k đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 ) hai điểm phân biệt
Bài (2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , SA (ABCD) SA = 2a
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2/ Chứng minh điểm S , A , B , C , D nằm mặt cầu Xác định tâm tính bán kính mặt cầu
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta hình nón Hãy tính diện tích xung quanh hình nón 4/ Tính bán kính mặt cầu có tâm điểm A tiếp xúc với mặt phẳng (SCD)
-ĐỀ 11
KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2008 -2009 Mơn : TỐN - LỚP 12 CƠ BẢN
Thời gian làm : 90 phút
Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = -x 3 - 3x 2 + (1 )
1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1 )
2/ Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình -x 3 - 3x 2 + - m =
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm có hồnh độ
Bài ( 0, điểm )
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
2 3 2 , x 1 ;2
y x x
Bài ( 1, 75 điểm )
1/ Giải phương trình sau :
a/
2 1
81 9
x
x
b/
log4
x+2 log16x −2=0
2/ Giải bất phương trình :
2
3
log (x 3x1) log ( x 2)
Bài ( điểm )
(56)a/
7 (5 3)
y x b/ y = ln(2x + 3)
2/ Cho hàm số y=3 e2x− ex−5x Tìm x để y ’ ≥ 0
Bài ( điểm )
Cho hàm số
2 3 x y
x
(2)
1/ Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số cho
2/ Chứng minh với số thực k đường thẳng y = x + k cắt đồ thị hàm số (2 ) hai điểm phân biệt
Bài ( 2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , SA (ABCD) SA = a
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2/ Chứng minh điểm S , A , B , C , D nằm mặt cầu Xác định tâm tính bán kính mặt cầu
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta hình nón Hãy tính diện tích xung quanh hình nón 4/ Tính bán kính mặt cầu có tâm điểm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC)
-ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I – MƠN TỐN NĂM HỌC 2008 – 2009
-ĐỀ 12
I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN (7,0 điểm)
Câu I( điểm)
Cho hàm số y=2x −3
x −1 , gọi đồ thị hàm số (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(-3;1)
Câu II( điểm)
1 Tính giá trị biểu thức P=(8114− 2log94
+25log1258) 49log72
2 Cho hàm số y=lnx −1
lnx+1 Tính f '(e2)
Câu III( điểm)
Cho hình chóp tứ giác nội tiếp hình nón Hình chóp có tất cạnh a Tính diện tích hình nón thể tích khối nón
II PHẦN DÀNH CHO HỌC SINH TỪNG BAN (3,0 điểm)
A Thí sinh ban nâng cao
Câu IVa( điểm)
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2cosx – cos2x đoạn [0;π
4]
Câu Va( điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
2 Tìm tâm tính diên tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
B Thí sinh ban
Câu IVb( điểm)
(57)3x
2x+1
=72 log1
2
(5x −1)=−5
Câu Vb(2 điểm)
Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh a√3 Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón
Hết
ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I – MƠN TỐN
NĂM HỌC 2008 – 2009
-ĐỀ1 3
I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN (7,0 điểm)
Câu I( điểm)
Cho hàm số y=x4−4x2+3 , gọi đồ thị hàm số (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho
2 Dựa vào đồ thị (C) , tìm tất giá trị m để phương trình (x2−2
)2+2m=0 có nhiều nghiệm
Câu II( điểm)
1 Tính giá trị biểu thức Q=log3405−log3√75
log214−log2√98
2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y=e2x−4ex+3 [0;ln4]
Câu III( điểm)
Cho hình trụ có đáy hình trịn ngoại tiếp hình vng cạnh a Diện tích thiết diện qua trục hình trụ 2a2
Tính diện tích mặt trụ thể tích khối trụ cho
II PHẦN DÀNH CHO HỌC SINH TỪNG BAN (3,0 điểm)
A Thí sinh ban nâng cao
Câu IVa( điểm)
Chứng minh với giá trị tham số m , hàm số y=x2−2 mx+m2+1
x − m đạt
cực đại , cực tiểu x1 , x2 f(x1)+f(x2) =
Câu Va( điểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên lăng trụ hợp với đáy góc 600 Đỉnh A’ cách A,B,C
1 Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
B Thí sinh ban
Câu IVb( điểm)
1 Giải bất phương trình : 3x
−32− x+8>0
2 Giải phương trình : log3 3x −5
x+1 =1
Câu Vb( điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Tam giác SAC tam giác Tính diện tích mặt bên hình chóp
2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
(58)ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I – MƠN TỐN NĂM HỌC 2008 – 2009
-ĐỀ 14
I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ HAI BAN (7,0 điểm)
Câu I( điểm)
Cho hàm số y=x3+3x2−4
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Chứng minh đường thẳng (d) : y = mx – 2m +16 cắt (C) điểm cố định Tìm giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt
Câu II( điểm)
1 Cho log35=a Tính log2253375 theo a
2 Xét đồng biến , nghịch biến hàm số y=e13x
3−2x2
+3x+1
Câu III( điểm)
Cho hình trụ có bán kính đáy a thiết diện qua trục hình trụ hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tam giác nội tiếp hình trụ ( Hai đáy lăng trụ tương ứng nội tiếp hai đáy hình trụ )
II PHẦN DÀNH CHO HỌC SINH TỪNG BAN (3,0 điểm)
A Thí sinh ban nâng cao
Câu IVa( điểm)
Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số y=sin 2x − x [−π 2 ;
π 2]
Câu Va( điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc mặt phẳng (ABC) , SA− a√3 Tam giác ABC vng B có BC = a góc ACB 600.
1 Tính thể tích khối chóp S.ABC
2 Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB , SC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện AHKCB
B Thí sinh ban
Câu IVb( điểm)
Giải phương trình mũ logarit sau : 2x2
− x
−21+x− x2
=3 log2(x+1)=logx+116
Câu Vb( điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc mặt phẳng (ABC) , SA− a√3 Tam giác ABC vng B có BC = a góc ACB 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC
diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
ĐỀ 15
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I, năm học: 2008 – 2009. Mơn: Tốn.
Lớp : 12. Thời gian: 90’ Câu 1: (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau đoạn [ -4 ; 2] y = x3 + 3x2 – 9x – 2.
Câu 2: (3 điểm)
(59)
2 3
1 x y
x
b, Với giá trị m phương trình sau có nghiệm :
Caâu1)
2 3 1
x
m x
Câu 3: (2 điểm)
Giải phương trình sau: a,
2 5 4
(0,5)x x 1 .
b, log7( 2x – 5) = log7( 4x – )
Câu 4: ( điểm)
Cho khối chóp tam giác S.ABC M,N,P trung điểm cạnh AB, BC, CA tìm tỉ số thể tích khối chóp S.MNP thể tích khối chóp S.ABC?
ĐỀ 15
KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2008-2009
Mơn:TỐN- LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu I: (3 điểm) Cho hàm số
3 3 1
y x x (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M(3;1)
Câu II: (2 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức
1 3
3
log 2log 49 log 27
P
2 Tìm giá trị lớn hàm số
2 1
3
x y
x
đoạn 0;2
Câu III: (2 điểm)
Giải phương trình 9x2 10.3x1 1 0
Giải bất phương trình
2
3
3
log (x x 6) log 3x
Câu III: (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 600
1 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2 Xác định tâm bán kính mặt cầu qua điểm S, A, B, C, D
(60)