nêu được cơ sở lý luận của việc sử dụng phương pháp và kiến thức toán học vào chứng minh bất đẳng thức

Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Mục lục Trang Mục lục Phần Mở đầu Phần Nội dung Các kiến thức cần lu ý Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức Các tập nâng cao 21 ứng dụng Bất đẳng thức 25 Tài liệu tham kảo 30 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức A Phần mở đầu I Lý chon đề tài Cơ sở khoa học - Giải toán Bất đẳng thức rèn cho học sinh phơng pháp t phân tích, tổng hợp có đợc linh hoạt phơng pháp giải toán, rèn cho học sinh có trí tởng tợng cao, phát huy tính tích cực, chủ động t duy, có tính sáng tạo giải toán - Giải toán Bất đẳng thức nội dung hay khó, kiến thức vận dụng đòi hỏi phải có tinh tế, phải có nhìn khái quát, tổng hợp nhiều mặt, phải có hớng mục đích Nhng rõ ràng nội dung có ý nghĩa việc rèn kĩ Toán học cho học sinh - Qua giảng dạy tìm hiểu dạng toán này, thấy dạng toán khó, làm học sinh phải linh hoạt biết phân biệt dạng để đa toán quen thuộc để thực giải đơn giản - Khi đợc nghiên cứu sâu dạng toán này, giáo viên nâng cao t lực chuyên môn, để từ truyền đạt cho em toán đợc dễ hiểu Cơ sở thực tiễn - Khi học sinh cha đợc phân dạng toán chứng minh Bất đẳng thứcthì em thờng lúng túng, hay tìm mò khó tìm lời giải nhanh Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức - Qua thực tế giảng dạy học sinh dạng toán chứng minh Bất đẳng thức, đà phân rõ phơng pháp giải toán khác để em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ em đa cách làm cho phù hợp với để có cách giải nhanh - Với giáo viên nắm đợc phơng pháp giải toán chứng minh Bất đẳng thức nâng cao đợc lực t lực chuyên môn II Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu toán đa đợc phơng pháp giải tập khác để em giải tập cụ thể cách dễ ràng Khi học sinh có đợc phơng pháp phân tích t tổng hợp toán học, nâng cao lực giải toán có nghị lực vợt khó để giải toán - Khi nghiên cứu dạng toán chứng minh Bất đẳng thức nâng cao lực chuyên môn làm t liệu dạy học sinh giỏi - Chọn lọc số toán chứng minh Bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu đợc sở lý luận việc sử dụng phơng pháp kiến thức Toán học vào chứng minh Bất đẳng thức IV Phạm vi nghiên cứu Chơng trình toán lớp 10, 11, 12 THPT chơng trình thi Đại học môn toán V Đối tợng nghiên cứu Các toán Bất đẳng thức VI Phơng pháp nghiên cứu Phơng pháp tìm hiểu tài liệu Qua thực tế giảng dạy học sinh Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Tổng kết, đánh giá, so sánh qua số toán cụ thể, từ rút đợc kinh nghiệm cho dạng toán Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức B phần nội dung I.các kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa A B A B ≥  A ≤ B ⇔ A − B ≤ 2-tÝnh chÊt + A>B ⇔ B < A +A>B + A>B vµ B >C ⇔ A > C + A > B + A>B ⇒ A+C >B + C A n > B n víi n lỴ ⇒ + m > n > vµ A > ⇒ A m > D An + A>B vµ C > ⇒ A.C > B.C + m > n > vµ B vµ C < ⇒ A.C < B.C m + < A < B, < C Bn ∀n 3-mét số bất đẳng thức A < An +A < B vµ A.B > ⇒ A n > B n với n chẵn + A>B C > D ⇒ A+C > B + +A>B>0 ⇒ ⇒ 1 > A B Nguyễn Văn Xá Chứng minh BÊt d¼ng thøc + A ≥ víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + An ≥ víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + A ≥ víi ∀A (dÊu = x¶y A = ) + -A 0) + A− B ≤ A − B ( dÊu = x¶y A.B < 0) + Các đẳng thức (a b)2 =a2 2ab +b2 ( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3 ( a ± b)2 = a2 ± 3a2b +3ab2 ± b2 (a ± b)4 =a± 4a3 + 6a3 b3 ± 4ab3 +b4 (a+b)(a-b) = a2 - b2 – Mét số Bất đẳng thức Lợng giác hay dùng Ngoài kiến thức công thức Lợng giác, phơng trình Lợng giác, cần quan tâm tới Bất đẳng thức Lợng giác sau Những Bất đẳng thức coi nh kết đà biết, vµ sau nµy, tµi lƯu nµy, mäi sù dÉn chúng không thích thêm (trừ trờng hợp cần thiết) Chứng minh Bất đẳng thức hiển nhiên đợc tìm thấy (1)| sinx| ≤ hay – ≤ | sinx | ≤ ,∀x∈ (2)| cosx| ≤ hay – ≤ | cosx | ≤ ,∀x∈ (3)| tanx + cotx | ≥ 2, ∀x≠ k π , k ∈ (4) a.sinx + b.cosx ≤ a + b ,∀x∈ n (5) ∑ sinx i i=1 n n ≤ sin( ∑x i=1 n i ) ,∀xi∈[ 0; π ] , i = 1, n , n ∈*, dÊu “=” x¶y x = x2 = = xn Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất d¼ng thøc n (6) ∑ cosx i i=1 n n ≤ cos( ∑x i  π π ,∀xi∈ − ;  , i = 1, n , n ∈*, dÊu “=” x¶y x = x2 = )  2 i  π ,∀xi∈0; ÷ , i = 1, n , n ∈*, dÊu “=” x¶y x1 = x2 = … )  2 i =1 n … = xn n (7) ∑ tanx i i=1 n n ≥ tan ( ∑x i =1 n = xn Tất nhiên phải nhớ lại kiến thức Bất đẳng thức đà nêu SGK lớp 10, Bất đẳng thức quen thc thêng sư dơng – Mét sè lu ý vận dụng kiến thức vào chứng minh Bất đẳng thøc –  π π NÕu x ≤ k (k > 0) ta đặt x = k.sina (a ∈  − ;  ) hc x =  2 k.cosb (b ∈ [ 0; π ] ) – 2 NÕu x + y = k ta đặt x = k.sin , y = k.cos α , α ∈[ 0; 2π ) – NÕu x ≥ k > th× ta đặt x = k , 0; ữ, x2 k2 = cosβ  2 2 k tan β vµ sin β > 0, tan β > NÕu x ≥ k > ta đặt x = kπ π    , β ∈ 0; ÷∪  ; π  , ®ã sin β > cosβ  2 2  –  π π 2 2 Với x ta đặt x = tan γ , γ ∈  − ; ÷ , ®ã x + k = k (1+ tan  2 γ)= k2 vµ cos γ > cos2 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thøc – NÕu gi¶ thiÕt cho a + b = c ta đặt ẩn phụ c a = + m  b = c − m  víi m t ý – NÕu gi¶ thiÕt cho: x + y + z = k th× ta nên đặt: k x = + m  k  hay y = + n  k  z = − m − n  – NÕu cho a 12 + a 32 + a 22 a3 = – k  x = + a  k  y = + b  k  z = + c  ®iỊu + a 24 k + x 3, n kiÖn + + a 2n an = víi a +b +c = a + a + a + a + + a n = k , CMR: k k k2 , ta đặt a = + x 1, a = + x , ≥ n n n k + xn n Víi ®iỊu kiƯn x + y = k y l (hay x n) đặt y = + m víi m ≥ (hay x = n - m víi m ≥ 0) Tõ ®ã suy x = k - l - m (hay y = k - n x = k − l − m x = n − m hay  m) suy ra:  y = l + m y = k − n − m Råi thay c¸c ẩn vào vế bất đẳng thức cần chứng minh x + y ≥ u x + y = u + n Nếu điếu kiện cho là: ta nên đặt với m,n > x v x = v − m tõ ®ã y = m −v +u + n  x = v − m a + b ≥ k a + b = k + m Nếu điếu kiện cho là: ta ®Ỉt  víi n,m > b ≥ l b = l + n a = k + m − l − n  b = l + n từ Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức ii số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : §Ĩ chøng minh A > B Ta chøng minh A B > Lu ý dùng bất đẳng thøc M ≥ víi∀ M VÝ dơ ∀ x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z ≥ xy+ yz + zx b) x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 ≥ (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu x + y + z - xy – yz - zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) = [ ] ( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z ) ≥ ®óng víi mäi x;y;z ∈ R V× (x-y)2 ≥ víi∀x ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2 ≥ víi∀x ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2 ≥ víi∀ z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x + y + z ≥ xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ≥ ®óng víi mäi x;y;z ∈ R VËy x + y + z ≥ 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z ∈ R Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiƯu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) ≥ DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dơ 2: chøng minh r»ng : a2 + b2  a + b  a) ≥  ;b)   a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3   c) H·y tổng quát toán Gải a2 + b2 a + b  −    a) Ta xÐt hiÖu ( ) = a + b a + 2ab + b − 4 = 2a + 2b − a − b − 2ab = ( a − b) ≥ ( a2 + b2  a + b  VËy ≥    ) DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiÖu a2 + b2 + c2  a + b + c  −  3   = [ ] ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥ a2 + b2 + c2  a + b + c  VËy ≥  3   DÊu b»ng x¶y a = b =c 10 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức a k +1 + b k +1 a k +1 + ab k + a k b + b k +1 − ≥0 ⇔ ( a k − b k ).( a − b ) ≥ (3) Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sư a ≥ b giả thiết cho a -b a b k ⇔ a k ≥ b ≥ bk ⇒ (a ) − b k ( a − b ) k (+) Giả sử a < b theo gi¶ thiÕt (a k - a , ab+bc+ac > , abc > 28 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thøc Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i : Gi¶ sư a ≤ th× tõ abc > ⇒ a ≠ a < Mà abc > vµ a < ⇒ cb < Tõ ab+bc+ca > ⇒ a(b+c) > -bc > V× a < mµ a(b +c) > ⇒ b + c < a < vµ b +c < a + b +c < trái giả thiÕt a+b+c > VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiƯn ac ≥ 2.(b+d) Chøng minh có bất đẳng thức sau lµ sai: a < 4b , c < 4d Giải : Giả sử bất đẳng thức : a < 4b , c < 4d cộng vế ta đợc a + c < 4(b + d ) (1) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) ≤ 2ac Tõ (1) vµ (2) ⇒ a + c < 2ac (2) hay ( a − c ) < Vậy bất đẳng thức a < 4b (vô lý) c < 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > 1 + + th× cã ba số lớn x y z Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 =x + y + z – ( + + ) v× xyz = x y z 29 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức theo giả thiết x+y +z > 1 + + x y z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 có số dơng Thật ba số dơng x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có mét vµ chØ mét ba sè x , y,z lớn III.các tập nâng cao 1/dùng định nghÜa a2 1) Cho abc = vµ a > 36 Chøng minh r»ng + b2+c2> ab+bc+ac 3 Gi¶i Ta cã hiƯu: a2 + b2+c2- ab- bc – ac = a2 a2 + + b2+c2- ab- bc – ac 12 = ( =( =( VËy : a2 a2 + b2+c2- ab– ac+ 2bc) + − 3bc 12 a a − 36abc -b- c)2 + 12a a a − 36abc -b- c)2 + >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên 12a a2 + b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chøng minh r»ng a) x + y + z + ≥ x.( xy − x + z + 1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã a + 5b − 4ab + 2a − 6b + > c) a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ 30 a >0 ) Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Gi¶i : a) XÐt hiƯu H = x + y + z + − x y + x − xz − x ( = x2 − y2 ) + ( x − z ) + ( x − 1) 2 H ta có điều phải chøng minh b) VÕ tr¸i cã thĨ viÕt H = ( a − 2b + 1) + ( b − 1) + ⇒ H > ta có điều phải chứng minh c) vế trái viÕt H = ( a − b + 1) + ( b − 1) ⇒ H ≥ ta có điều phải chứng minh Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y xy =1 Chøng minh r»ng (x ) + y2 ≥8 ( x − y) 2 Gi¶i : x + y = ( x − y ) + xy = ( x − y ) + 2 Ta cã (x ⇒ + y2 ) = ( x − y) (v× xy = 1) + 4.( x − y ) + Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x − y ) + 4( x − y ) + ≥ 8.( x − y ) ⇔ ( x − y ) − 4( x − y ) + ≥ ⇔ [( x − y ) ] −2 ≥0 B§T cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy ≥ Chøng minh r»ng 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y + xy Giải : 31 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất d¼ng thøc 1 + ≥ Ta cã 2 1+ x 1+ y + xy  1   1  +  ≥ ⇔  − − 2    + x + y   + y + xy  ⇔ ⇔ ⇔ xy − x xy − y + ≥0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) x ( y − x) y( x − y) + ≥0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( y − x ) ( xy − 1) ≥ (1 + x ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 2 Chøng minh r»ng a + b + c Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho sè (1,1,1) vµ (a,b,c) (1.a + 1.b + 1.c ) ≤ (1 + + 1).( a + b + c ) Ta cã ⇔ ( a + b + c ) ≤ 3.( a + b + c ) ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ (®pcm) 2) Cho a,b,c số dơng Chứng minh ( a + b + c ). + +  ≥ a b Gi¶i : (1) ⇔ + a a b b c c + + +1+ + + +1 ≥ b c a c a a a b a c  b c ⇔ 3+ +  + +  + +  ≥ b a c a c b 32 c (1) (vì a+b+c =1 ) Nguyễn Văn Xá Chứng minh BÊt d¼ng thøc x y + ≥ Víi x,y > áp dụng BĐT phụ y x Ta có BĐT cuối ( a + b + c ). + +  ≥ Vậy a (đpcm) c b dùng phơng pháp bắc cÇu 1) Cho < a, b,c a + b3 VËy a + b < + a b T¬ng tù ta cã b3 + c < + b 2c a + c < 1+ c a 3 ⇒ 2a + 2b + 2c < + a 2b + b c + c a (đpcm) 2) So sánh 31 11 17 14 ( ) Giải : Ta thấy 3111 < 3211 = 25 VËy 31 11 < 17 14 11 ( ) = 255 < 256 MỈt khác 256 = 24.14 = 24 (đpcm) dùng tính chÊt tØ sè 1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng : 2< a+b b+c c+d d +a + + + nªn ta cã 33 14 = 1614 < 1714 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức a+b a+b a +b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d (1) b + +c b+c b+c+a < < a +b+c + d b+c + d a +b+c + d (2) d +a d +a d +a+c < < a+b+c+d d +a+b a+b+c+d (3) Cộng vế bất đẳng thức ta cã : 2< a+b b+c c+d d +a + + + , y > Ta có Đặt 2 x+ x = y ⇔ x+ x = y ⇔ x = y −x >0 x = k (k nguyên dơng x nguyên dơng Ta có k (k + 1) = y Nhng k < k ( k + 1) < ( k + 1) ⇒ k < y < k + Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng Nên cặp số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình x = Vậy phơng trình cã nghiƯm nhÊt lµ :  y = KếT LUậN Trong trình giải tập, lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh đợc phát triển đa dạng phong phú tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi ngời học phải có cách suy nghĩ lôgic, sáng tạo, biÕt kÕt hỵp kiÕn thøc cị víi kiÕn thøc míi cách có hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu, không theo phơng pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hơng Do hầu 40 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức hết học sinh làm toán bất đẳng thứcvà vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Rèn kĩ giải toan Bất đẳng thức nội dung quan trọng chơng trình toán THPT Học sinh cần dành nhiều thời gian hợp lí vận dụng nhiều phơng pháp để giải 41 Nguyễn Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức Tài liệu tham khảo Các giảng luyện thi môn toán Các chuyên đề bất đẳng thức Trần Văn Hạo Tạp chí Toán học tuổi trẻ SGK lớp 10, 11, 12 nâng cao 42 ... số toán chứng minh Bất đẳng thức III Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu đợc sở lý luận việc sử dụng phơng pháp kiến thức Toán học vào chứng minh Bất đẳng thức IV Phạm vi nghiên cứu Chơng trình toán. .. Văn Xá Chứng minh Bất dẳng thức hết học sinh làm toán bất đẳng thứcvà vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Rèn kĩ giải toan Bất đẳng thức nội dung quan trọng chơng trình toán THPT Học sinh... phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh Chú ý đẳng thức sau: 11 Nguyễn Văn Xá Chứng minh