Đang tải... (xem toàn văn)
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù)a. Böôùc 4: Keát luaä[r]
(1)Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA
A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Đơn vị đo góc cung: Độ:
Goùc10 góc bẹt 180
1 Radian: (rad)
1800 rad
Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thơng dụng:
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Radian
6
4
3
2
3 2
4 3
6
5 2
II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghĩa:
Đường tròn lượng giác:
Số đo số cung lượng giác đặc biệt:
k C
A
k C
k A
2
D B,
k
,
2 2
D
2k
2 2
B
2k
x
y
(tia gốc)
Z) (k )
,
(Ox Oy k
t
(tia ngọn)
O
y x
o
180 O
x y
O
C A
B
D
x
y
B
M
(điểm gốc)
t
O A
(điểm ngọn)
k2
(2)III Định nghĩa hàm số lượng giác:
1 Đường tròn lượng giác:
A: điểm gốc
x'Ox : trục cơsin ( trục hồnh ) y'Oy : trục sin ( trục tung )
t'At : truïc tang u'Bu : truïc cotang
2 Định nghĩa hàm số lượng giác:
a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
Gọi P, Q hình chiếu vng góc M x'Ox vàø y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu
Ta định nghóa:
cos sin tg cot
OP OQ AT
g BU
b Các tính chất :
Với ta có :
1 sin hay sin
1 cos hay cos
tg xác định
2 k
cotg xác định k
c Tính tuần hồn
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
cot ( ) cot
k k
tg k tg
g k g
(k Z)
x y
O
C A
B
D
1
1 R
1 '
x '
u u
t
' t '
y
y t
' u
' t
t
x u
' y '
x O
t
1 Q
B
T
M
A P
U
Trục cosin
Trục tang Trục sin
Trục cotang
(3)IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt
- 3 -1 - /3
(Điểm gốc)
t
t' y
y'
x x'
u u'
- 3 -1 - /3
1
1 -1
-1
-/2
5/6 3/4
2/3
-/6
-/4 -/3 -1/2
- /2 - /2
-1/2 - /2
- /2 1/2 /2 /2
3 /2 /2
1/2
A
/3 /4
/6
3 /3 3
B /2 3 /3 1 3
O
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Goùc
Hslg
6
4
3
2
3 2
4 3
6
5 2
sin
2
2
2
3
2
2
2
1 0
cos
2
2
2
1
2
2
2
-1
tg
3
3 kxñ -1
3
0
cotg kxñ
3
3
3
-1 kxñ kxñ
(4)V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó cung :
1 Cung đối : - (tổng 0) (Vd:
6 &
,…) 2 Cung bù : - ( tổng ) (Vd:
6 &
,…)
3 Cung phụ :
( tổng
2
) (Vd:
3 &
,…)
4 Cung
2
: vaø
(Vd:
3 &
,…)
5 Cung : (Vd:
6 &
,…)
1 Cung đối nhau: Cung bù :
cos( ) cos sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
3 Cung phuï : Cung
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
5 Cung :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
Đối cos Bù sin
Phụ chéo
Hơn
2
sin cos cos trừ sin
(5)Ví dụ 1: Tính ) 11
cos( ,
4 21
tg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ) cos(2 ) cos(3 )
cos( x x x
A
VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản:
2
cos sin
sin tg =
cos cos cotg =
sin
2
2
2
1 tg =
cos
1 cotg =
sin
tg cotg =
Ví dụ: Chứng minh rằng:
cos4xsin4 x1sin2 xcos2x 6x 6x x x
cos sin sin
cos
Công thức cộng :
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tg +tg tg( + ) =
1
tg tg
tg( ) =
1
tg tg tg tg
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.cos sin cos( )
4
2.cos sin cos( )
4
Công thức nhân đôi:
2
2
2
4
2
cos cos sin
cos
2sin
cos sin
sin 2 sin cos
2
2
1 tg tg
tg
2 cos
cos2
2 cos
sin2
sin2
2 cos
(6)Công thức nhân ba:
3
3
cos cos 3cos
sin 3sin sin
Công thức hạ bậc:
2 cos
2 cos ;
2 cos sin
;
2 cos
cos2 2
tg
6.Cơng thức tính sin , cos ,tg theo
2
ttg
2 2
2
1 ;
1 cos ;
2 sin
t t tg
t t t
t
Cơng thức biến đổi tích thành tổng :
1
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
Ví dụ:
Biến đổi thành tổng biểu thức: Acos5x.cos3x
Tính giá trị biểu thức:
12 sin 12
cos
B
Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos cos cos
2
cos cos sin sin
2
sin sin 2sin cos
2
sin sin cos sin
2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos tg tg
tg tg
4 cos 3 cos
cos3
4 sin sin
3
(7)Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: Asinxsin 2xsin 3x
Các công thức thường dùng khác:
cos sin cos( ) sin( )
4
cos sin cos( ) sin( )
4
8 cos sin
cos
4 cos sin
cos
6
4
B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có)
Bước 4: Kết luận
I Định lý bản: ( Quan trọng cho ta cach lấy nghiệm)
u = v+k2 sinu=sinv
u = -v+k2 u = v+k2 cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v ) cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
Ví dụ : Giải phương trình:
sin sin( )
x x
4 cos )
cos(x
cos3xsin2x sin4 cos4 1(3 cos )
x x x
II Các phương trình lượng giác bản:
1 Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( m R)
* Gpt : sinx = m (1)
Nếu m 1 pt(1) vô nghiệm
Nếu m 1 ta đặt m = sin ta coù (1) sinx=sin x = +k2
x = ( - )+k2
(8) Nếu m 1 pt(2) vô nghiệm
Nếu m 1 ta đặt m = cos ta có (2) cosx=cos x = +k2
x = +k2
* Gpt: tgx = m (3) ( pt có nghiệm m R) Đặt m = tg
(3) tgx = tg x = +k
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt có nghiệm m R) Đặt m = cotg
(4) cotgx = cotg x = +k
Các trường hợp đặc biệt:
sin x =
2
sinx = x = k
sin x =
2
cos x =
cosx = x = + k
2
cos x =
x k
x k
x k
x k
Ví dụ:
1) Giải phương trình : a) sin
2
x b) cos( )
4
x c) )
6 sin(
2 x d) )
3 cos(
2 x
e) sin2xcos2x1 f) cos4 xsin4 xcos2x
2) Giải phương trình:
a) cos 4xsin4x2 cos 2x c) 4(sin4 xcos4 x)sin4x20 b) sin6xcos6xcos 4x d) sin3 cos cos3 sin
4
x x x x
e) )
2 ( sin
cotgx x tgxtg x
(9)
2
2
2
2
sin sin
cos cos
0
cot cot
a x b x c
a x b x c
atg x btgx c
a g x b gx c
( a 0)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta phương trình : at2bt c (1)
Giải phương trình (1) tìm t, suy x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :
a) cos2x5sinx b) cos cos
x x c) 2sin2x 4 5cosx d) cos cos 2x x 1 cos 2xcos 3x
e) sin4 cos4 sin 2
x x x f) )
2 cos( ) cos (sin
2 x x x
g) sin4 cos4 sin
2
x x
x
h) sin4 xcos4 xsinx.cosx0
k)
sin 2
cos sin ) sin (cos
2 6
x
x x x
x
l) ) cos2
2 sin
3 sin cos (sin
5
x
x x x
x
3 Daïng 3:
acosx b sinxc (1) ( a;b0)
Cách giải:
Chia hai vế phương trình cho a2b2 pt
2 2 2
(1) a cosx b sinx c
a b a b a b
(2)
Đặt
2 2
b
cos vaø sin
a a
a b b
với 0;2thì :
2
2
c (2) cosx.cos + sinx.sin =
a c
cos(x- ) = (3) a
b b
Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x
(10)Chú ý :
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a2 b2 c2
Ví dụ : Giải phương trình :
a) cosx sinx 1 b) cosx 3sinx c) 4(sin4 xcos4x) sin 4x2 d)
x tgx
cos
e)
1 sin cos
2
2 sin cos
2
x x
x x
d Daïng 4:
asin2x b sin cosx x c cos2 x0 (a;c0) (1)
Cách giải 1:
p dụng công thức hạ bậc : sin2 cos cos2 cos
2
x x
x x
và công thức nhân đôi : sin cos 1sin 2
x x x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng
Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang )
Chia hai vế pt (1) cho cos x ta pt: 2 atg x btgx c2 0
Đây pt dạng biết cách giải
Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x k
có phải nghiệm (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
3sin2x(1 3)sinx.cosxcos2 x1 30
d Daïng 5:
a(cosxsin )x bsin cosx x c 0 (1)
Cách giải :
Đặt cos sin cos( ) với - 2
4
t x x x t
Do
2
2 t
(cos sin ) 2sin cos sinx.cosx=
2
x x x x
Thay vào (1) ta phương trình :
2 1
0
t
(11) Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: cos( )
x t tìm x
Ví dụ : Giải phương trình : sin 2x2 2(sinxcos ) 0x
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa xsin )x bsin cosx x c 0
Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2x4(cosxsin ) 4x
4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng
giác biết Ví dụ: Giải phương trình:
sin cos
sin4 x 4x x
b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số
Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây:
A=0 B=0 A B
A=0
B=0
C=0 A B C
Ví dụ : Giải phương trình :
a sin2 xsin 22 xsin 32 x b sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x c 2sin3xcos 2xcosx0 d )
4 sin( cos 2
sin x x x
c Phương pháp 3: Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải phương trình :
a cos3xcos2xcosx10 b 4cos3 xcos2x4cosx10
c cos cos
cos
x x
x
d sin4 xcos22x2
* Phương trình có chứa (cosxsin ) sinx.cosxx
Ví dụ : Giải phương trình : a 1 sin cos3 3sin 2x
x x b sin3 cos3 2(sin cos )
x x x