1. Trang chủ
  2. » Biểu Mẫu - Văn Bản

Chuyên đề 8: Lượng giác

13 8 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 202,89 KB

Nội dung

Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện nếu có của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết[r]

(1)LƯỢNG GIÁC Chuyên đề 8: TOÙM TAÉTGIAÙO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Ñôn vò ño goùc vaø cung: Độ: 180 o Goùc 10 = goùc beït 180 Radian: (rad) x O y 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad và ngược lại số góc (cung ) thông dụng: 00 Độ Radian 300 π 450 600 π 900 π 1200 2π π 1350 3π 1500 5π 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Ñònh nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α α t α 3600 2π x O (tia gốc) t M A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: Số đo số cung lượng giác đặc biệt: A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ B π + 2kπ + π + 2kπ - π + 2kπ C kπ D π + kπ 33 Lop10.com x A O − (2) y III Định nghĩa hàm số lượng giác: x' u B u' Đường tròn lượng giác: • A: ñieåm goác • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) • t'At : truïc tang • u'Bu : truïc cotang t −1 C R =1 O + A − −1 D y' x t' Định nghĩa các hàm số lượng giác: a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc M trên x'Ox vàø y'Oy T, U là giao điểm tia OM với t'At và u'Bu Ta ñònh nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q x' O Trục cosin + T α α t u P b Caùc tính chaát : • y' sin α = OQ x A − −1 Trục tang t' Với α ta có : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ • • tgα xaùc ñònh ∀α ≠ π + kπ cotgα xaùc ñònh ∀α ≠ kπ c Tính tuần hoàn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cosα tg(α + kπ ) = tgα cot g(α + kπ ) = cot gα cosα = OP (k ∈ Z ) 34 Lop10.com tgα = AT cot gα = BU (3) IV Giá trị các hàm số lượng giác các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2π/3 π u π/4 /2 5π/6 π/6 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 /2 /2 -π/6 -1 -π/2 cos α tg α cotg α kxñ 300 450 2 2 π 3 3 π 600 900 π π 3 2 3 − - /3 kxñ t' 1200 2π 3 − − − 35 Lop10.com -1 -π/3 y' x -π/4 - /2 Hslg sin α + O - /2 00 /3 A (Ñieåm goác) -1/2 Goùc π/3 /2 3π/4 x' /3 π/2 3 1350 3π 2 − -1 -1 - 1500 5π 3 − − − 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxñ kxñ (4) V Hàm số lượng giác các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : Cung đối : α vaø -α Cung buø : α vaø π -α Cung phuï : α vaø Cung hôn keùm π : α vaø π π (toång baèng 0) −α ( toång baèng π ) ( toång baèng π ) sin(−α ) = − sin α tg(−α ) = −tgα cot g(−α ) = − cot gα π (Vd: π π 6 ,…) 5π ,…) & π ,…) & 2π ,…) & 7π ,…) cos(π − α ) = − cosα Buø sin Đối cos Cung phuï : sin(π − α ) = sin α tg(π − α ) = −tgα cot g(π − α ) = − cot gα Cung hôn keùm π sin( − α ) = cosα tg( − α ) = cotgα Phuï cheùo Hôn keùm π sin baèng cos cos trừ sin π cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cosα tg( + α ) = −cotgα π π cot g( − α ) = t gα cot g( + α ) = − t gα Cung hôn keùm π : cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tg(π + α ) = tgα π π cos( − α ) = sin α cot g(π + α ) = & π Cung buø : cos(−α ) = cosα π π (Vd: (Vd: Cung đối nhau: &− (Vd: +α Cung hôn keùm π : α vaø π + α π π (Vd: Hôn keùm π tang , cotang cot gα 36 Lop10.com (5) Ví duï 1: Tính cos(− 21π 11π ) , tg 4 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos( VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: π + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x) cos2α 1 + cotg2α = sin α tgα cotgα = 1 + tg2α = cos α + sin α = sinα tgα = cosα cosα cotgα = sinα Ví dụ: Chứng minh rằng: cos4 x + sin x = − sin x cos2 x cos x + sin x = − sin x cos x Công thức cộng : cos(α + β ) = cosα cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cosα cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cosα sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cosα tgα +tgβ − tgα tg β tgα − tgβ tg(α − β ) = + tgα tgβ tg(α +β ) = Ví dụ: Chứng minh rằng: π 1.cos α + sin α = cos(α − ) π 2.cos α − sin α = cos(α + ) Công thức nhân đôi: cos α = + cos 2α sin α = − cos 2α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − sin α = cos4 α − sin α sin 2α = sin α cos α 2tgα tg2α = − tg2α sin α cos α = 37 Lop10.com sin 2α (6) Công thức nhân ba: cos 3α = cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α Công thức hạ bậc: cos α = + cos 2α − cos 2α ; sin α = ; 2 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg sin α = 2t ; + t2 α cos α = − t2 ; + t2 tgα = 2t − t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cos β = Ví duï: Biến đổi thành tổng biểu thức: A = cos x cos x 5π 7π sin Tính giá trị biểu thức: B = cos 12 12 Công thức biến đổi tổng thành tích : cosα + cos β = cos α+β .cos α −β 2 α+β α −β cosα − cos β = −2sin sin 2 α+β α−β sin α + sin β = 2sin cos 2 α+β α−β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tgα + tgβ = cosα cos β sin(α − β ) tgα − tgβ = cosα cos β 38 Lop10.com tg 2α = − cos 2α + cos 2α (7) Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A = sin x + sin 2x + sin 3x Các công thức thường dùng khác: π + cos 4α + cos 4α cos α + sin α = π cos α + sin α = cosα + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cosα − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = π -v+k2π ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = -v+k2π tgu=tgv ⇔ u = v+kπ cotgu=cotgv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k ∈ Z ) Ví duï : Giaûi phöông trình: π 3π 4 sin x + cos4 x = (3 − cos x ) sin x = sin( − x ) cos( x − cos x = sin x II Các phương trình lượng giác bản: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m Daïng 1: Neáu m > thì pt(1) voâ nghieäm • Neáu m ≤ thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù ⎡ x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢ ⎣ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) 39 Lop10.com ) = cos ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • π (8) • Neáu m > thì pt(2) voâ nghieäm • Neáu m ≤ thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù ⎡ x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢ ⎣ x = − β +k2π * Gpt: tgx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) • Ñaët m = tg γ thì (3) ⇔ tgx = tgγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotgx = m (4) • ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) Ñaët m = cotg δ thì (4) ⇔ cotgx = cotgδ ⇔ x = δ +kπ Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = ⇔ x = kπ sin x = ⇔ x = cosx = ⇔ x= π + k 2π π + k 2π cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π cos x = π + kπ ⇔ x = k 2π Ví duï: 1) Giaûi caùc phöông trình : a) sin x = π b) cos( x − ) = − π d) cos( x + c) sin(2 x − ) + = e) sin x + cos x = π )− =0 f) cos x + sin x = cos x 2) Giaûi caùc phöông trình: a) + cos4 x − sin x = cos x c) 4(sin x + cos x) + sin x − = d) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = b) sin x + cos6 x = cos x x e) cot gx + sin x(1 + tgx.tg ) = 40 Lop10.com (9) Daïng 2: a sin x + b sin x + c = a cos2 x + b cos x + c = ( a ≠ 0) atg x + btgx + c = a cot g2 x + b cot gx + c = Caùch giaûi: Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta phương trình : at + bt + c = (1) Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví duï : =0 d) cos x cos x = + cos x + cos3 x a) cos2 x + 5sin x − = b) cos x − cos x + c) sin x = + cos x e) sin x + cos4 x = sin x − f) 2(sin x + cos x) − cos( x x + cos4 = − 2sin x 2 2(cos x + sin x) − sin x cos x g) sin k) Daïng 3: − sin x a cos x + b sin x = c (1) • =0 l) 5(sin x + a a2 + b2 = cos α vaø ( a;b ≠ 0) b (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c a +b Pt (3) coù daïng Giaûi pt (3) tìm x (2) = sin α với α ∈ [ 0;2π ) thì : a2 + b − x) = cos 3x + sin 3x ) = cos x + + sin x Chia hai veá cuûa phöông trình cho a2 + b2 thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Ñaët h) sin x + cos x + sin x cos x = Caùch giaûi: • π 41 Lop10.com c a2 + b (3) (10) Chuù yù : Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a) cos x + sin x = −1 b) cos x + sin x = d) tgx − = cos x c) 4(sin x + cos4 x ) + sin x = e) d Daïng 4: cos x − sin x = cos x − sin x − a sin x + b sin x.cos x + c cos2 x = (a;c ≠ 0) (1) Caùch giaûi 1: − cos x + cos x vaø cos2 x = 2 và công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng Aùp dụng công thức hạ bậc : sin x = Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: atg2 x + btgx + c = Đây là pt dạng đã biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = π + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? Ví duï : Giaûi phöông trình: sin x + (1 − ) sin x cos x − cos x + − = d Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = Caùch giaûi : π (1) Đặt t = cos x + sin x = cos( x − ) với - ≤ t ≤ t2 − Do (cos x + sin x )2 = + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : t2 − at + b + c = (2) • 42 Lop10.com (11) • Giaûi (2) tìm t Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: π cos( x − ) = t tìm x Ví duï : Giaûi phöông trình : sin x − 2(sin x + cos x ) − = Chuù yù : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví duï : Giaûi phöông trình : sin x + 4(cos x − sin x ) = 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phöông phaùp 1: Biến đổi pt đã cho các dạng pt lượng giác đã biết Ví duï: Giaûi phöông trình: sin x + cos x + sin x − = b Phöông phaùp 2: Biến đổi pt đã cho dạng tích số Cơ sở phương pháp là dựa vào các định lý sau đây: ⎡ A=0 A.B = ⇔ ⎢ ⎣ B=0 A.B.C = Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a sin x + sin2 x + sin2 x = ⎡ A=0 ⇔ ⎢⎢ B=0 ⎢⎣C=0 b sin x − cos2 x = sin x − cos2 x c sin3 x + cos x − cos x = d sin x + 2 cos x + sin( x + π )+3= c Phöông phaùp 3: Biến đổi pt dạng có thể đặt ẩn số phụ Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : * Phương trình chứa cùng một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a cos x + cos x − cos x − = b cos x − cos x − cos x + = c cos x − 8cos x + = cos x d sin x + cos x = * Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) và sinx.cosx Ví duï : Giaûi phöông trình : a + sin3 x + cos3 x = sin 2x 3 b sin x + cos x = 2(sin x + cos x) − 43 Lop10.com (12) BAØI TAÄP REØN LUYEÄN DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác Sử dụng phương pháp sau • Biến đổi phương trình dạng phương trình lượng giác • Biến đổi phương trình dạng phương trình tích số • Biến đổi phương trình dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển phương trình đại số Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau π 7x 3x x 5x 1) sin x + 2 cos x + sin( x + ) + = 2) sin cos + sin cos + sin x cos x = 2 2 3) cos ( x + π ) + cos (2 x + x x cos − sin 2 = 4) sin x π ) + cos (3x − π ) = cos + sin x sin ( x + 6) sin x + cos x = sin x + π π 5) cos x + sin x = cos x − sin x ) Bài : Giải các phương trình lượng giác sau x π x sin ( − ).tg2 x − cos2 = 2 cos x (cos x − 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x 10 tg2 x − tgx = cos x.sin x 11 cos x − 8cos x + = cos x cos x 12 cot gx − = + sin x − sin x + tgx 2 13 cot gx − tgx + 4sin x = sin x x 14 tgx + cos x − cos2 x = sin x.(1 + tgx.tg ) 2sin3 x + cos x + cos x = π x sin x.cos x − sin 2 x = 4sin ( − ) − 2 sin x + cos x − 3sin x + cos x = sin x + cos4 x 1 = cot g2 x − 5sin x 8sin x (2 − sin x )sin x tg x + = cos4 x − tgx (tgx + 2sin x ) + cos x = cos x + cos x.(2tg2 x − 1) = DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số Sử dụng phương pháp sau • Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) • Chuyển phương trình phương trình đại số • Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn • Sử dụng phương pháp giải tích đại số để tìm tham số theo yêu cầu đề bài Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin x + cos x − cos x + sin 2 x + m = 1 Bài 2: Định m để phương trình : sin x + cos x + + (tgx + cot gx + + )=m sin x cos x 44 Lop10.com (13) ⎛ π⎞ coù nghieäm x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ Baøi 3: Cho haøm soá: 2( + cos x) + m( − cos x) = cos x cos x π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0; ) Baøi 4: Cho phöông trình : + 3tg x + m(tgx + cot gx) − = sin x Tìm tất các giá trị m để phương trình có nghiệm Bài 5: Xác định m để phương trình : 2(sin x + cos4 x) + cos 4x + 2sin 2x − m = π có ít nghiệm thuộc đoạn [0; ] Baøi 6: Cho phöông trình : sin x − 4(cos x − sin x) = m (1) Tìm tất các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Bài 7: Tìm m để phương trình : 4(sin x + cos4 x) − 4(sin x + cos6 x) − sin 4x = m có nghiệm Baøi 8: Cho phöông trình cos x + sin x cos x − m = ⎡ π⎤ Định m để phương trình có nghiệm x ∈ ⎢ 0; ⎥ ⎣ 4⎦ Bài 9: Tìm m để phương trình : cos x + (sin x cos x − m)(sin x + cos x) = ⎡ π⎤ có nghiệm trên đoạn ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦ cos x + sin x Baøi 10: Cho phöông trình: = mtgx cos x − sin x Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm Baøi 11: Cho phöông trình: sin x + (sin x − 1) = m Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm π π Bài 12: Tìm m để phương trình : + 2sin 2x = m(1 + cos x)2 có nghiệm x ∈ [− ; ] 2 Heát 45 Lop10.com (14)

Ngày đăng: 01/04/2021, 05:18

w