Chuyên đề: PT, Lượng Giác

10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 1 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 Phương trình lượng giác 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 2 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 3 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết Các phương trình cơ bản: ☞ sin x sin    x 2k x 2k             ( k   ). ☞ cosx cos    x 2k     ( k   ). ☞ tanx tan    x k     ( k   ). Đặc biệt: ☞ sin x 0   x k   ( k   ). ☞ sin x 1   2 x 2k     ( k   ). ☞ sin x 1    2 x 2k      ( k   ). ☞ cosx 0   2 x k     ( k   ). ☞ cosx 1   x 2k   ( k   ). ☞ cosx 1    x 2k     ( k   ). Ngồi các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng là cơ bản ☞             f x g x 2k sin f x sin g x f x g x 2k                        ( k   ). ☞             os o f x g x 2k c f x c g x f x g s x 2k                       ( k   ). ☞         tan f x tan g x f x g x k              ( k   ). 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 4 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình   5x x sin 3x sin cos 1 2 2  . Giải   1    1 2 sin3x sin3x sin2x    sin 3x sin2x   3x 2x 2k 3x 2x 2k             2k 5 5 x 2k x           ( k   ). Ví dụ 2. Giải phương trình     sin 3x 1 cos4x cos3xsin4x 1   . Giải   1  cos3xsin4x sin 3xcos4x sin 3x    sin7x sin 3x   7x 3x 2k 7x 3x 2k             k 2 k 10 5 x x           ( k   ). Ví dụ 3. Giải phương trình   sin4xsin7x cos3xcos6x 1  . Giải   1      1 1 2 2 cos11x cos3x cos9x cos3x      cos11x cos9x      cos11x cos 9x     11x 9x 2k 11x 9x 2k               k 20 10 2 x x k              ( k   ). 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 5 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 Ví dụ 4. Giải phương trình   1 2 8cos x sin x 1  . Giải Đk: cosx 0   2 x k     . Ta có   1      2 1 2 8cos x sinx 0 2 sin x 3        .   3  2 2 8sin xcos x 1  (  cosx 0  )  2 2sin 2x 1   cos4x 0   2 4x k      k 8 4 x     .              thỏa mãn thỏa mãn thỏa mãn thỏa mãn không thỏa mãn không thỏa mãn 8 3 8 5 8 7 8 9 8 11 8 13 8 x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 ) x 2                                            không thỏa mãn không thỏa mãn 15 8 k ( sinx 0, 2 ) x 2k ( sinx 0, 2 )                           . Vậy các họ nghiệm của   1 là 8 2k    , 3 8 2k    , 5 8 2k    , 7 8 2k    ( k   ). Chú ý: Họ nghiệm 2k n x     ( k   ) thực ra là tập hợp   2k n k      . Ta có             2k 2 2 n n n k 2k k 2k k n 1 2 k. k                                 nói cách khác 2k n x          2 n 2 n x 2k x 2k x n 1 2k                             ( k   ). Nhận xét: Ở ví dụ trên, việc kiểm tra điều kiện cosx 0  được thực hiện ngay ở bước biến đổi đầu tiên phương trình   3 . 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 6 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 C. Bài tập Giải các phương trình sau 1) sin 3xcos2x sin 2xcosx  . Hướng dẫn Sử dụng cơng thức biến tích thành tổng, phương trình đã cho tương đương với sin5x sin3x  . Đáp số: k  , k 8 4    ( k   ). 2)   2 x cosx 4cos x 3 cos 0 2    . Hướng dẫn Biến đổi   2 3 cosx 4cos x 3 4cos x 3cosx cos3x     , phương trình đã cho tương đương với x 2 cos3x cos  . Đáp số: 4k 5  , 4k 7  ( k   ). 3)   sin 2x 1 tan2xtanx 1   . Hướng dẫn Đk: cos2x 0 cosx 0      . Biến đổi 1 cos2x 1 tan2xtanx  , phương trình đã cho tương đương với tan 2x 1  . Đáp số: k 8 2    ( k   ). 4)   sin 2x tan x 1 sin 2xtan2x   . Giải Đk: cos2x 0 cosx 0      . Nhân hai vế phương trình với cosxcos2x ta được   2 cosxsin2xcos2x sinx cos2x sin 2x      sin 2x cos2xcosx sin2xsinx sinxcos2x    sin 2xcosx sinxcos2x   sin 2xcosx cos2xsin x 0    sin x 0   x k   ( k   ). 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 7 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 5) sin x sin2x cosx cos2x 0     . Hướng dẫn Sử dụng cơng thức   4 sina cosa 2 sin a     , phương trình đã cho tương đương với     4 4 sin 2x sin x      . Đáp số: 2k  , 2k 6 3    ( k   ). 6)   2 x 2 3 cosx 2sin 2 4 1 2cosx 1             . ĐS: . Hướng dẫn Đk: 1 2 cosx  . Ta có     2 x 2 4 2 2sin 1 cos x 1 sinx         . Phương trình đã cho tương đương với   2 3 cosx sin x 1 2cosx 1       tanx 3  . Đáp số: 4 2k 3    ( k   ). 7) 2 2 cos2x 1 tan x 3tan x 2 cos x            . Hướng dẫn Ta có tan x cotx 2            Đk: sinx 0 cosx 0      . Lại có 2 2 cos2x 1 2sin x cos x    . Do đó phương trình đã cho tương đương với 3 tan x 1    tanx 1   . Đáp số: k 4     ( k   ). 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 8 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 9 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos. Kỹ thuật rút gọn biểu thức Asin+Bcos A. Tóm tắt lý thuyết Phương trình bậc nhất đối với sin x , cosx là phương trình có dạng:   Asinx Bcos x C 1   với 2 2 A B 0   . Cách giải: Chia hai vế của   1 cho 2 2 A B  , ta được phương trình tương đương 2 2 2 2 2 2 A B C s oinx c B B A B sx A A      . Vì 2 2 2 2 2 2 A B 1 A B A B                     nên tồn tại   0;2   để: 2 2 2 2 A cos A B B sin A B              . Do đó:   2 2 C 1 sinxcos cosxsin A B            2 2 C sin x 2 A B     . Ta thấy (2) là phương trình có dạng   sin f x m      . Chú ý: Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin x , cosx :   1 có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 A B C 0    . 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 10 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 B. Các ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD07] Giải phương trình   2 x x sin cos 3 cosx 2 1 2 2          . Giải Ta có 2 2 2 x x x x x x sin cos sin cos 2sin cos 1 sinx 2 2 2 2 2 2             . Do đó   1  sinx 3 cos x 1    3 1 1 2 2 2 sinx cosx    1 3 3 2 sinxcos cosxsin        1 3 2 sin x     3 6 5 3 6 x 2k x 2k                  6 2 x 2k x 2k              ( k   ). Ví dụ 2. [ĐHD09] Giải phương trình   3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0 1    . Giải Ta có 2sin3xcos2x sin5x sinx   . Do đó   1  3 cos5x sin5x 2sinx    3 1 2 2 cos5x sin5x sinx    3 3 sin cos5x cos sin5x sinx        3 sin 5x sinx     3 3 5x x 2k 5x x 2k                  k 18 3 k 6 2 x x              ( k   ). Nhận xét: Phương trình ở ví dụ 2 khơng phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình này liên quan đến việc rút gọn biểu thức 3 cos5x sin5x  . [...]... trình lượng giác Bài 2 Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;  của phương trình 4sin 2 x 3    3 cos 2x  1  2cos 2  x  2 4    Hướng dẫn 5 17  5 Phương trình đã cho tương đương với sin 2x    sin   x Đáp số: , , 3 2 18 18 6     - 14 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác Chủ đề 2 Đại số hóa phương trình lượng. .. trình lượng giác Loại 1 Một số phép đại số hóa đơn giản A Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn phụ đơn giản: t  sin x , t  sin t  tan x , t  tan x x , t  sin 2x , t  cos x , t  cos , t  cos 2x , 2 2 x , t  tan 2x , … Ta sẽ thấy rẳng việc phát hiện ẩn phụ tuy đơn giản 2 nhưng cũng giải quyết được một lượng lớn bài... số: 2  m   13 4 - 22 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác Loại 2 Đại số hóa phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos A Nội dung phương pháp Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: tổng và tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos ) hoặc hiệu và tích của sin và cos...  Đáp số: 1  m  1 - 27 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 28 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác Loại 3 Đại số hóa phương trình bậc nhất A Tóm tắt lý thuyết Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng: 2... Đáp số: 1  m  2   - 31 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 32 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác Loại 4 A Phép đại số hóa t = tanx Nội dung phương pháp * Ý tưởng chung của phương pháp này là: chọn một số n thích hợp ( n   ) sao... x x , t  sin 2x , t  cos x , t  cos , t  cos 2x , 2 2 x , t  tan 2x , … Ta sẽ thấy rẳng việc phát hiện ẩn phụ tuy đơn giản 2 nhưng cũng giải quyết được một lượng lớn bài tốn giải phương trình lượng giác trong các đề thi đại học Một số ví dụ B Ví dụ 1 [ĐHD06] Giải phương trình cos 3x  cos 2x  cos x  1  0 1 Giải Ta có  1  4cos3 x  3cos x    2cos2 x  1  cos x  1  0   4cos 3 x...    k2 ( k   ) 2 2 3 Vậy  1 có các họ nghiệm là k ,  2  k2 ( k   ) 3 - 15 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác Ví dụ 2  [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn 0;14  của phương trình cos 3x  4 cos 2x  3 cos x  4  0 1 Giải Ta có  1   4cos3 x  3cos x   4  2cos2 x  1  3cos x  4  0  4cos 3 x ... 1 2  0  x  2k  cos x  1   ( k   )  1   x    k2  cos x  2  3  - 16 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác Ta thấy trong ba ví dụ trên việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ Ví dụ 4   [ĐHB06] Giải phương...  2  3    tan x  2  3     x  12  k   ( k   )  x  5  k   12 - 17 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác  1  sin x  cos 2x  sin  x   Ví dụ 5  [ĐHA10] Giải phương trình 1  tan x  4   1 2 cos x  1 Giải  x  cos x  0  Đk:    sin x  cos x  0 x    Ta thấy 1  tan x   ... 0, loại   thỏa mãn  2     x   6  2k   ( k   )  x  7   2k  6  - 18 – ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau x  tan x  cos x  cos 2 x  sin x  1  tan x tan  2  1) Hướng dẫn Biến đổi 1  tan x.tan x 1 2  , đặt t  cos x phương trình đã cho trở thành . thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác - 1 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 Phương trình lượng giác 10 năm thi. Phương trình lượng giác - 2 – ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác . (Hà Nội). DĐ:0983070744 Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết Các phương trình cơ bản: ☞ sin