Kéo dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC cắt đường tròn O tại M.[r]
(1)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 3
(Thời gian : 120 phút) Bài 1.
Cho M =
2
2 2
3 :
3 1
x x x x
x x x x
(điều kiện biểu thức có nghĩa)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Với giá trị x M < c) Tìm x để M có giá trị ngun Bài 2.
Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình :
x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = 0
a) Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn
Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông A, AB = a ; AC = b nội tiếp đường tròn tâm O Kéo dài đường phân giác AD tam giác ABC cắt đường tròn O M Vẽ đường thẳng DE AB , DF AC
a) Chứng minh AEDF hình vng b) Tính DE theo a, b , từ suy EF
c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC
Bài 4.
Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15
GIẢI Bài 1
a) Ta có
Điều kiện : x ≠ ; x ≠
1
2; x ≠ 1
M =
2
( 2)( 1) 2.3 ( 1)
3 ( 1)
x x x x x x x x
x x x x
=
2
8
3 (2 )
x x x
x x x
=
2
4
3 (1 )
x x x
x x x
=
2
( 1) (1 )(3 1)
3 (1 )
x x x x
x x
=
2
(1 )(1 ) (1 )(3 1)
3 (1 )
x x x x x
x x
=
2
(1 ) (3 1)
3
x x x
x = x x x = x
b) M <
1
x
(2) x = 3k + , k
Hay x số nguyên chia cho dư Bài 2.
Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình :
x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = (1)
a) Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt
Ta có : = (m + 1)2 – 4(m2 – 2m + 2) = – 3m2 + 10m – = (1 – m )(3m – 7)
+ (1) vô nghiệm < (1 – m )(3m – 7) < m < m >
7
+ (1) có nghiệm kép = (1 – m )(3m – 7) = m =1 m =
7
+ (1) có hai nghiệm phân biệt < (1 – m )(3m – 7) > < m <
7 3 (*)
b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn
Theo Vi-et, ta có :
1
2
1
2
b m x x
a c
m m
x x a
Nên : đặt E = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (m + 1)2 – 2(m2 – 2m + 2) = – m2 + 6m –
+ Ta có : – m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2
Nhưng (1) có nghiệm x1 ; x2 ≤ m ≤
Giá trị lớn E : – (
7
3 )2 = 50
9
Giá trị nhỏ E : – (1 – 3)2 =
* Chú ý điều kiện : ≤ m ≤
7
3, không giải thường mắc sai lầm sau :
– m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2 ≤
(3)Bài 3.
a b
N
F
E
D
M
B
O
C
A
a) Chứng minh AEDF hình vng
Ta có tứ giác AEDF có A E F 1v đường chéo AD phân giác góc EAD nên AEDF hình vng
b) Tính DE theo a, b , từ suy EF
Áp dụng định lí Py ta go cho vuông ABC : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2
BC a2b2
Áp dụng tính chất phân giác AD :
DB AB a
DC AC b
DB DC AB AC
DC AC
BC a b
DC b
DC =
2
b a b
DC
a b
Từ chứng minh trênAEDF hình vuông nên DF // AB
CD DF
CB AB
2
2
b a b
DF a b
a
a b
DF b
a a b
ab DF
a b
(4)c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC
+ Ta có : ABD AMC :
BAD MAC (AD phân giác)
ABD AMC (góc nội tiếp chắn cung AC)
Suy :
AB AD
AM AC AB.AC = AM.AD
Khi A di động (O) tam giác ABC tam giác vuông, nên AEDF hình vng AB.AC = AM.AD
Do AEDF hình vng AD EF AD = EF SAEDF =
1
2AM EF2AM AD =
2AB AC = SABC
Bài Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15
Gọi số có hai chữ số có dạng : x = ab10a b (a ≠ , < a, b ≤ 9, a, b ), x nguyên dương
Theo đề ta có : 37(10a + b) = 31.k + 15 , k
37x – 31k = 15 (*) (37, 31) = (ước chung lớn hay gọi nguyên tố nhau)
Bài tốn trở thành tìm nghiệm ngun dương phương trình (*) Suy : 31k = 37x – 15 k =
31 15
31
x x
= x +
6 15
31
x
(nguyên dương ) Đặt t =
6 15
31
x
, t nguyên dương 31t = 6x – 15 6x = 31t + 15 x =
30 12
6
t t
= 5t + +
3
t
Đặt u =
3
t
, u nguyên dương 6u = t + t = 6u – Thế vào x, k tính theo u :
x = 5t + + u = 5(6u – 3) + + u = 31u – 13 k = x + t = 31u – 13 + 6u – = 37u – 16
Vậy nghiệm phương trình có dạng tổng quát :
31 13,10 99
37 16
x u x
k u
+ Chọn u = k = 21 x = 18
Thử lại : 37.18 – 15 = 651 651 : 31 = 21
+ Tương tự chọn u = k = 58 , x = 49
+ chọn u = k = 95 ; x = 80
+ Chọn u = k = 132 , x = 111 (loại)
(5)