Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng d tại P và Q.. a Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được.. b Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AP
Trang 1SỞ GD&ĐT BÌNH DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học : 2008 – 2009 Môn thi : TOÁN
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (2 điểm)
Cho hai số x, y thỏa hệ : 2 2 1
12
x y xy
x y y x
Tính x3y3
Bài 2 : (2 điểm)
Xác định m để hệ :
2 2
( 1) ( 1)
Bài 3 : (2 điểm)
Cho biết a, b là nghiệm của phương trình : x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình :
x2 + qx + 2 = 0
Tính giá trị của biểu thức : (b – a)(b – c) theo p và q
Bài 4 : (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, tìm m để biểu thức N = 6x1x2 + x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Bài 5 : (2 điểm)
Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB, CD không trùng nhau Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được
b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD
GIẢI
Bài 1 : (2 điểm)
Cho hai số x, y thỏa hệ : 2 2 1
12
x y xy
x y y x
Tính x3y3
Đặt : x + y = S và x.y = P
Ta có : x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = S3 – 3PS
Theo hệ pt ta có : 1
12
S P PS
3
S P
4
S P
(loại vì không thỏa hệ)
Trang 2Điều kiện tồn tại hai số x, y là S2 – 4P ≥ 0
Ta có các hệ con :
3
x y
x y
4
x y
x y
Vậy x3 + y3 = 43 – 3(-3)4 = 100
Bài 2 : (2 điểm)
Xác định m để hệ :
2 2
( 1) (1) ( 1) (2)
Trừ từng vế, ta được : (x – 1)2 – (y – 1)2 = y – x
x2 – y2 – 2(x – y) = y – x (x – y)(x + y – 1) = 0
1 0
x y
x y
+ x – y = 0 x = y
Thế vào pt (1) : x2 – 2x + 1 = m + x x2 – 3x + 1 – m = 0
= 9 – 4(1 – m) = 5 + 4m
Pt có nghiệm khi và chỉ khi : m ≥ 5
4
Khi đó : x = y = 3 5 4
2
m
+ y = 1 – x , thế vào pt(1) : (x – 1)2 = m + 1 – x
x2 – 2x + 1 = m + 1 – x x2 – x – m = 0
= 1 + 4m
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 1
4
m
Khi đó x1,2 = 1 1 4
2
m
y = 1 – 1 1 4
2
m
Kết luận :
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 5
4
4
m
Bài 3 : (2 điểm)
Cho biết a, b là nghiệm của pt : x2 + px + 1 = 0 (1) và b, c là nghiệm của pt : x2 + qx + 2 = 0 (2) Tính giá trị của biểu thức : (b – a)(b – c) theo p và q
a2 + pa + 1 = 0 (3) và b2 + pb + 1 = 0 (4)
b2 + qb + 2 = 0 (5) và c2 + qc + 2 = 0 (6)
a + b = – p ; b + c = – q
Từ (4) suy ra b ≠ 0 do đó p – q ≠ 0 , (4) trừ (5) theo vế ta được : b(p – q) = 1
b = p q1
Trang 3 a + b = a + p q1
= 1 – p a = 1 – p – p q1
b – a = p q1
– 1 + p + p q1
= p – 1 + p q2
b + c = – q p q1
+ c = – q c = 1 q
p q
b – c = p q1
+ 1 q
p q = p q2
+ q Vậy : (b – a)(b – c) = p 1 2 2 q
Bài 4 : (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
(1) có nghiệm ’ = (m + 1)2 – 2m – 10 ≥ 0 m2 – 32 ≥ 0 (m – 3)(m + 3) ≥ 0
m ≤ 3 hoặc m ≥ 3 (*)
b) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, tìm m để biểu thức N = 6x1x2 + x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Theo Vi-et , ta có :
1 2
2( 1)
b m
x x
a c m
x x a
Do đó : N = 6x1x2 + x1 + x2 = 4(2m + 10) + 4(m + 1)2 = 4m2 + 16m + 44 = (2m + 4)2 + 28
= 4(m2 + 2.2m + 22 + 7) = 4(m + 2)2 + 28
N đạt giá trị nhỏ nhất là 32 khi và chỉ khi m = – 3 (do (*))
* chú ý : học sinh thường sai lầm
N = 4(m + 2)2 + 28 ≥ 28 nên GTNN là 28 khi và chỉ khi m = – 2 (không thỏa (*))
Bài 5 : (2 điểm)
Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB, CD không trùng nhau Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được
b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD
a) Tứ giác CPQD nội tiếp được
Ta có : ACB vuông tại C
và ADB vuông tại D
APB vuông tại B
và ABQ vuông tại B
nên AB2 = AC.AP
AB2 = AD.AQ
Suy ra : AC.AP = AD.AQ
AC AQ
ADAP và ACQ vuông tại A
và ADP vuông tại A
I
Q
P B
D
O
C A
Trang 4suy ra vuông ACQ vuông ADP
suy ra : CPD DQC
và cùng nhìn CD dưới 1 góc bằng nhau
Vậy tứ giác CPQD nội tiếp được
b) Gọi M là giao điểm của AI và CD
Trong APQ vuông tại A nên
trung tuyến AI = IQ
suy ra AIQ cân tại I IQA IAQ
Trong ABQ vuông tại B có đường cao BD
suy ra
IQA ABD
ABD ACD (cùng chắn cung AD)
IQA ACD
Mà : ACD CDA 1v
Nên : IQA CDA 1v AMD1v
Hay AI CD