THPT Võ Minh Đức GIẢI ĐỀTOÁN TUYỂN SINH 10ĐỀ SỐ 9 (Thời gian : 120 phút) Bài 1. Cho P = 2 2 1 1x y y x+ + + . Hãy tính giá trị của P theo a, biết a = 2 2 (1 )(1 )xy x y+ + + Bài 2. a) Giải phương trình : 2 2 2 ( 3) 6 3 5 0x x− − − + = b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình : 3 2 2 2 2 2 4 3 0 2 0 x y y x x y y + − + = + − = Hãy tính giá trị biểu thức : 2 2 x y+ Bài 3. Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 1 1 x y + Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (ab < ac) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A) a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng. b) Chứng minh : · · MAE ADE= và MA ⊥ DE. c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn có tam là O. Tứ giác AMOH là hình gì ? d) Cho góc · ACB = 30 o và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a. GIẢI : Bài 1. Cho P = 2 2 1 1x y y x+ + + . Hãy tính giá trị của P theo a, biết a = 2 2 (1 )(1 )xy x y+ + + Ta có P 2 = 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 (1 )(1 )x y y x xy x y+ + + + + + a 2 = 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) 2 (1 )(1 )x y x y xy x y+ + + + + + P 2 – a 2 = 2 2 2 2 (1 ) (1 )x y y x+ + + 2 2 2 2 (1 )(1 )x y x y− − + + = 2 2 2 2 2 2 (1 ) ( 1 )(1 )x y y y y x+ − + − − + + = – 1 Bài 2. a) Giải phương trình : 2 2 2 ( 3) 6 3 5 0x x− − − + = (1) Đặt t = 2 3x − ≥ 0 Pt (1) ⇔ t 2 – 6t + 5 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 5 + Với t = 1 ⇔ 2 3x − = 1 ⇔ x 2 – 3 = 1 hoặc x 2 – 3 = – 1 ⇔ x = ±2 hoặc x = ± 2 + Với t = 5 ⇔ 2 3x − = 5 ⇔ x 2 – 3 = 5 hoặc x 2 – 3 = – 5 ⇔ x = ±2 2 Vậy phương trình có nghiệm : x = ±2 ; x = ± 2 hoặc x = ±2 2 Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên THPT Võ Minh Đức b) Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình : 3 2 2 2 2 2 4 3 0 (1) 2 0 (2) x y y x x y y + − + = + − = Hãy tính giá trị biểu thức : 2 2 x y+ Từ (2), ta có : x 2 (1 + y 2 ) = 2y ⇔ x 2 = 2 2 1 y y+ ≤ 1 vì 1 + y 2 ≥ 2y , với mọi y Nên : – 1 ≤ x ≤ 1 Từ (1) , ta có : – x 3 – 1 = 2(y – 1) 2 ≥ 0 ⇒ x 3 ≤ – 1 Vậy x = -1 và y = 1 Do đó : x 2 + y 2 = 2 Bài 3. Cho hai số thực dương x và y thỏa : x + y = 5 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 1 1 x y + Ta có : S = 1 1 x y + = x y xy + = 5 xy đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi xy đạt giá trị lớn nhất Do x + y = 5 (không đổi) nên tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y x + y ≥ 2 xy ⇔ xy ≤ 2 ( ) 4 x y+ = 25 4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 5 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của S là : 4 5 Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D và E khác A) a) Chứng minh : D, H, E thẳng hàng. b) Chứng minh : · · MAE ADE= và MA ⊥ DE. c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn có tâm là O. Tứ giác AMOH là hình gì ? d) Cho góc · ACB = 30 o và AH = a. Tính diện tích ∆HEC theo a. O E D H C M B A Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên a) Từ gt ⇒ · DAE = 90 o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H) do đó DE là đường kính , hay D, H, E thẳng hàng b) Trong ∆ABC vuông tại A, AH đường cao nên · · ABH HAE= (1) ∆AHE cân tại H (HA = HE = bk) · · HAE HEA= (2) (1) , (2) ⇒ · · ABH HEA= mà · · MCA MAE= (∆MAC cân tại M) ⇒ · · ADE MAE= (4)(cùng phụ · · ABH HEA= ) Mà DA ⊥ AE nên AM ⊥DE (2góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) THPT Võ Minh Đức c) ∆BDH∼∆CEH (do (4) và · · BHD CHE= : đối đỉnh) nên : · · DBC CED= : cùng nhìn CD dưới một góc bằng nhau, nên tứ giác DBEC nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Với O là giao điểm của hai đường trung trực của BC và DE , nên AH // OM , AM // OH Do đó AMOH là hình bình hành d) Cho góc · ACB = 30 o và AH = a suy ra ∆vuông AHC là nửa tam giác đều và AC = 2AH = 2a và HC = 3a và · ADE = · ACB = 30 o nên ∆AHE đều ⇒ E là trung điểm AC do đó diện tích tam giác HEC bằng 1 3 diện tích tam giác vuông AHC S HEC = 1 3 S AHC = 1 3 . 1 2 .AH.HC = 2 3 6 a (đvdt) Giáo viên : Huỳnh Đắc Nguyên . THPT Võ Minh Đức GIẢI ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 9 (Thời gian : 120 phút) Bài 1. Cho P = 2 2 1 1x y y x+ + +. và AH = a suy ra ∆vuông AHC là nửa tam giác đều và AC = 2AH = 2a và HC = 3a và · ADE = · ACB = 30 o nên ∆AHE đều ⇒ E là trung điểm AC do đó diện tích tam