PHỊNG GD & ĐT LÂM THAO Đề thức THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 02 trang) A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng: Câu Cho x + y = Giá trị biểu thức A x xy y x y bằng: A -2 B C D -1 Câu Cho f ( x) 10 x x a chia hết 2x- Giá trị a bằng: A 10 B -12 C 12 D -10 Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức B A x x 2020 với x �0 x2 B –1 C 2019 2020 Câu Cho 3x - y = 3z 2x + y = 7z Tính giá trị biểu thức: A A -2 B 5 C D x xy x2 y D 2018 2019 ( x �0, y �0) 8 13 5x �1 x 1 A x B x C x � D x x �1 a b Câu Tìm giá trị a, b để đẳng thức sau: ( x �2; x �2 ) x2 x2 x 4 A a 1; b 1 B a 2; b 3 C a 2; b D a 2; b 3 Câu Số nghiệm phương trình: x 3 x 1 36 là: A B C D 2020 2019 Câu Số nghiệm phương trình : x 2019 x 2020 là: A .3 B C D Vơ số nghiệm Câu Tìm giá trị x để phân thức sau: m ( x �1) x 1 C �m �6 D m = m = Câu Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm âm A m B m Câu 10 Một người nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h phần cịn lại với vận tốc 30km/h Tính vận tốc trung bình người tồn qng đường A 25 B 26 C 27 D 24 Câu 11 Cho tam giác ABC có � A 120 , AB = 3cm, AC = 6cm Độ dài đường phân giác AD bằng: A cm B cm C 3cm D cm Câu 12 Một hình thang cân có đường chéo vng góc với cạnh bên, biết đáy nhỏ 14cm đáy lớn 50cm Tính diện tích hình thang A 766 cm2 B 756 cm2 C 758cm2 D 768cm2 Câu 13 Một đa giác lồi có n cạnh, số đường chéo n 150 Số cạnh đa giác là: A n 21 B n 17 C n 20 D n 16 Câu 14 Cho tam giác ABC có AB= 6cm, AC= 8cm Các đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài BC: A B C D Câu 15 Cho tam giác ABC vuông A; đường cao AH BC , H �BC Biết HB = 9cm, HC = 16 cm Độ dài cạnh AB, AC là: A 15cm 20cm B 12 cm 23cm C 14cm 21cm D 18cm 17cm Câu 16 Một bóng đá khâu từ 32 miếng da Mỗi miếng ngũ giác màu đen khâu với miếng màu trắng, miếng lục giác màu trắng khâu với miếng màu đen, hình vẽ Số miếng màu trắng là: A 22 B 24 C 20 D 18 B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh tổng bình phương năm số nguyên liên tiếp khơng số phương b) Tìm số ngun tố a, b, c biết: abc a b c 200 Câu 2.(4,0 điểm) a) Cho 4a 15ab 3b 0; b 4a Tính giá trị biểu thức: T b) Giải phương trình: 5a b 3b 2a 4a b 4a b 2x x x x 1 x x 1 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự N, M a) Chứng minh CN DM = a2 � 900 b) Gọi K giao điểm MA NB Chứng minh rằng: MKN c) Tìm vị trí E F để MN nhỏ Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC có hai điểm M, N di động cho BM = CN Chứng minh trọng tâm G tam giác AMN di động đường cố định Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y +z =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q x x4 y2 x y z y4 y2 z y z z4 x2 x z HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GD & ĐT LÂM THAO I THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan( điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A B C D B A C B A D A D C B A C Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Phần tự luận ( 12 điểm) Đáp án Điểm Câu (3,0 điểm) a) (1,5 điểm) Chứng minh tổng bình phương năm số ngun liên tiếp khơng 1,5 số phương Ta có: (a 2) (a 1) a (a 1) (a 2) 5(a 2) Do a khơng có tận nên a không chia hết cho Vậy 5( a 2) Không số phương b) (1,5 điểm) Tìm số ngun tố a, b, c biết abc a b c 200 Vì a, b, c có vai trò Giả sử a �b �c abc a b c 200 � abc a b c 200 � c(ab 1) (ab 1) ab a b 202 � (ab 1)(c 1) (b 1)(a 1) 202 0,5 0,5 0,5 0,5 Nếu ba số đều nguyên tố lẻ vế trái chia hết cho vế phải không chia hết cho (loại).Suy tồn số suy c=2 2ab a b 204 � (2a 1)(2b 1) 405 � (2a 1)(2b 1) 5.34 Ta có vi (2b� 1) � 2 a�1 �3�� 2b1 20 b � 2;3;5;8(loai) 2b (2b 1) 3;5;9;15. (2 a 1)(2b 1) 405 0,5 Nếu b = a = 68 (loại) 0,25 Đáp án Điểm Nếu b= a= 41 Nếu b= a= 23 Vậy a, b, c � (2;5; 23);(2;3; 41) va hoan vi Câu (4 điểm) 0,25 a) Cho 4a 15ab 3b 0; b 4a Tính giá trị biểu thức 5a b 3b 2a 4a b 4a b 5a b 3b 2a (5a b)(4a b) ( 4a b)(3b 2a ) T = (4a b)(4a b) 4a b 4a b 12a 15ab 4b 16a b Thay 15ab 4a 3b vào T ta 16a b T 1 16a b T b) Giải phương trình 0,5 0,5 0,5 O,5 2x x x x 1 x x 1 Ta có 3 ( x ) f x 4 3 x x x x ( x ) f x 4 x2 x x2 x Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình suy x �0 Chia cả tử mẫu cho x ta có 2x x 5 � 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 0,25 0,25 x Đặt x y ta có � y y 14 y 1 y 1 y2 � � � ( y 2)(5 y 7) � � y � 0,5 x Nếu y=2 � x � x 1 � x 7 7 � � 51 (vô nghiệm ) Nếu y � x � �x � x � 10 � 100 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0,75 0,25 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ Đáp án Điểm tự N, M a)Chứng minh CN DM = a2 � 900 b)Gọi K giao điểm NB MA Chứng minh MKN c)Tìm vị trí E F để MN nhỏ 0,25 CN CE FA AB � CN DM a AB BE FD DM CN DA � DAM � � BCN đồng dạng MDA (c.g.c) � CNB b) Ta có từ câu a) � BC DM � KNM � � 900 � KMN 900 Vậy MKN c) Ta có MN MD CD CN �CD MD.NC a 2a 3a (Áp dụng bất đẳng thức a)AB//CD suy cosi) Vây MN = 3a CN = DM thi E, F trung điểm BC, AD 0,75 1 Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC có hai điểm M, N di động cho BM = CN Chứng minh trọng tâm G tam giác AMN di động đường cố định Đáp án Điểm 0,25 Gọi I, F, E trung điểm MN, BN, BC IE cắt AC, AB L, P Ta có IF, FE đường trung bình tam giác BNM, BNC BM va FE / / NC , EF NC � IF / / BM , FI 0,5 � FEI � �� Vì BM = CN suy tam giác EFI cân � FIE APL � ALP � ALP cân Gọi Ax tia phân giác góc BAC � Ax//PL Gọi K trọng tâm tam giác ABC ta có G trọng tâm tam giác AK AG � KG / / IE � KG / Ax AE AI AMN � 0,25 Vậy M, N di động AB, AC thi G di động đông KQ cố định Q Câu (1,0 điểm) x a b2 2 b Ta có a �۳ x4 y2 a x y z y4 y2 z y z z4 x2 x z b dấu (=) xảy a= b Ta có x z z x4 y x y x y4 y2 x2 z y z z4 z x z y4 y x y z4 y2 z y x4 x2 z x x y 0,25 yz zx 0,25 Đáp án Q x x y x y z y y z y z z x2 x z � 4 1� y4 z4 x4 z � x y � �x y x y z2 y2 z y z x2 x z � � � � ( x2 y )2 ( y2 z2 )2 ( x2 z )2 � � � � �x y x y z2 y2 z y z x2 x z � � � 2 2 2 1� (x y ) ( y z ) (x z ) � � � � x y z y z x � Điểm 0,25 1� ( x y)2 ( y z) ( x z) � 1 � � � x y z � x y z y x z � 4 Vậy Q � x y z 0,25 ……….Hết……… a ) Cho số a, b, c thỏa mãn b �c, a b �c c 2(ac bc ab) a ( a c) a c Chứng minh : b (b c ) b c a)(1,5 điểm a) Cho a, b, c ba số nguyên thỏa mãn (a b)(b c)(c a) a b c Chứng minh a b c M27 Nếu có hai số chia cho có số dư vế trái chia hết cho cịn vế phải khơng chia hết cho (loại ) Nếu có ba số chia cho có số dư khác vế phải chia hết cho 3, vế trái không chia hết cho (loại) Suy ba số chia cho có số dư vế phải chia hết cho 27 a b c M27 a)Cho số a, b, c thỏa mãn b �c, a b �c c 2(ac bc ab) a ( a c) a c Chứng minh : b (b c ) b c Ta có c 2( ac bc ab) � c 2ac 2bc 2ab (1) Thay (1) vào tử số ta có a (a c)2 a (a c)2 a a 2ac c c 2ac 2bc 2ab 2(a c) 2b( a c) 2(a c)(a b c ) Tương tự ta có mẫu số b (b c )2 2(b c )(a b c) a (a c) 2( a c )(a b c) (a c) Vậy b (b c )2 2(b c )(a b c) (b c ) ... tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GD & ĐT LÂM THAO I THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 20 18- 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa... thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm... 5.34 Ta có vi (2b� 1) � 2 a�1 �3�� 2b1 20 b � 2;3;5 ;8( loai) 2b (2b 1) 3;5;9;15. (2 a 1)(2b 1) 405 0,5 Nếu b = a = 68 (loại) 0,25 Đáp án Điểm Nếu b= a= 41 Nếu b= a= 23 Vậy a, b,