thuvienhoclieu com 20 de chon HSG toan 8

Câu 1 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau . b) Giải phương trình Câu 2 a) Giải phương trình b) Chứng minh rằng chia hết cho 48 với n chẵn. Câu 3 a) Tìm các giá trị của x để biểu thức: có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. Câu 4 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ , . a) Chứng minh b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5 a) Chứng minh rằng b) Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn và Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.

www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu 2 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau x  y  z  18 x  z  y  20  b) Giải phương trình x  30 x  31x  30  Câu 148  x 169  x 186  x 199  x     10 23 21 19 a) Giải phương trình 25 b) Chứng minh rằng A  n  6n  8n chia hết cho 48 với n chẵn Câu a) Tìm giá trị x để biểu thức: P   x  1  x    x  3  x   có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ b) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB , MF  AD a) Chứng minh DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a) Chứng minh rằng P 1 1     1 2 100 1 1    b) Cho a, b, c ba số khác thoả mãn a  b  c  2016 a b c 2016 Chứng minh rằng ba số a, b, c tồn hai số đối ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) 2 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: x  y  z  18 x  z  y  20  Ta có: x  y  z  18 x  z  y  20   3x   2.3x.3  32  y  y.3  32   z  z  1  2  3x  3   y  3   z  1  2 x  3 �0;  y  3 �0;  z  1 �0 Vì  với x, y, z nên: �x  � �y  �z  1 � b) Giải phương trình: x  30 x  31x  30  Hướng dẫn x  30 x  31x  30  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com x   30 x  30 x  30   x  x x  x   30  x  x  1  x  x  1  x  x  1  30  x  x  1   x  1  x  x  30   Ta có: � 1� x  x   �x  �  � 2� với x nên suy ra: x  x  30   x  5  x    x5 � �� x  6 � Câu 148  x 169  x 186  x 199  x     10 23 21 19 a) Giải phương trình: 25 Hướng dẫn 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19 148  x � � 169  x 186  x 199  x � �� �� �  1� �  � �  � �  � � 25 23 21 19 �� �� �� � �� 1 1 �  123  x  � �    � �25 23 21 19 � 1 1� �1 �    � Vì �25 23 21 19 � nên 123 – x = 0, suy x = 123 b) Chứng minh rằng: A  n  6n  8n chia hết cho 48 với n chẵn Hướng dẫn n3  6n  8n chia hết cho 48 với n chẵn Ta có: A  n  n  8n A  n  n  6n   A  n  n  2  n  4 Vì n số chẵn nên đặt n  2k  k �� A  2k  2k    2k   , đó: A  8k  k  1  k   A  23 k  k  1  k   Vì k  k  1  k   tích số tự nhiên liên tiếp nên: - Tồn số bội nên - Tồn số bội nên k  k  1  k   M2 k  k  1  k   M3 16 nên AM 3,16   Vậy A chia hết cho 3, 16 mà  nên AM3.16  48 Câu (2 điểm) a) Tìm giá trị x để biểu thức: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com P   x  1  x    x  3  x   có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ b) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Hướng dẫn P   x  1  x    x  3  x   P   x2  5x  6  x2  x   P   x  x   36 x Vì  x  �0 P   x  x   36 �36 nên x Do Min P = -36  5x   Từ ta tìm x = hoặc x = -5 P = -36 b) Gọi hai số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho Ta có: a  b3   a  b   a  ab  b  a  b3   a  b  �  a  2ab  b2   3ab � � � a3  b3   a  b  �  a  b   3ab � � � a  b   3ab Vì a  b chia hết  chia hết cho 3;  a  b �  a  b �  3ab � �chia hết cho Do Câu (3 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh: DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Hướng dẫn a) Chứng minh: AE  FM  DF � AED  DFC � đpcm b) DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi � ME  MF  a không đổi � SAEMF  ME.MF lớn � ME  MF (AEMF hình vng) � M trung điểm BD Câu Chứng minh rằng: Hướng dẫn P 1 1     1 2 1002 1 1     2 1002 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 P www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 1 1     1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 99         1  1 2 99 100 100 100  www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử  a  b b) Cho A   a  1  a  3  a    a    15   b  c    c  a    a  b  c  ab  ac  bc  2 Chứng minh rằng a  b  c Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a  2a  3a  4a      Câu Tìm số dư phép chia biểu thức  cho đa thức x  10 x  21 Câu Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD  AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Câu a) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương số đo diện tích bằng số đo chu vi b) Chứng minh rằng nếu a, b, c số đo ba cạnh tam giác vuông, với a độ dài cạnh huyền thì số x  9a  4b  8c ; y  4a  b  4c ; z  8a  4b  7c số đo ba cạnh tam giác vng khác Câu a) Tìm số x, y nguyên dương biết x  y  18  xy b) Tìm số nguyên x, y biết x  y  xy  11 x  x  x  x   2016 ĐÁP ÁN Câu a) A   a  1  a  3  a    a    15 A   a  1  a    a  3  a  5  15    A  a  8a  a  8a  15  15 Đặt a  8a   t , ta có: A  t  t    15 A  t  8t  15 A   t  3  t   Do A   a  8a   3  a  8a    A   a  8a  10   a  8a  12  A   a  8a  10   a    a   www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com b) Ta có:  a  b   b  c    c  a    a  b  c  ab  ac  bc  2 Vì ;;; với a, b, c nên (*) xảy ; Vậy a  b  c Câu Ta có: A  a  2a  3a  4a  A  a  2a  a  4a  a   A  a  a    2a  a     a    A   a    a  2a  1  A   a    a  1  a Vì     a  1 �0 với a nên A �3 Vậy giá trị nhỏ A  � a   � a  Câu (2 điểm) Tìm số dư phép chia biểu thức x  10 x  21 Hướng dẫn  x    x    x    x  8  2016 cho đa thức P ( x )   x    x    x    x    2016   x  10 x  16   x  10 x  24   2016 Đặt t  x  10 x  21 (t �3; t �7) , biểu thức P(x) viết lại: P ( x )   t    t  3  2016  t  2t  2001 Do t  2t  2001 cho ta số dư 2001 Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Hướng dẫn B D A E C a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x (  x  a ) Ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com AD  AE  DE  a  x  x  DE � DE  a  2ax  x  x � DE  a  2ax  x � a a2 � a2 � DE  �x  2.x  � � � 2 � a� a � DE  �x  � � 2� a2 DE  2 a2 a �x Vậy DE nhỏ bằng Khi D, E trung điểm AB, AC a b) Diện tích tam giác ABC là:  a  x  x Diện tích tam giác ADE là: Khi diện tích tứ giác BDEC là: a   a  x x 2 1  a  ax  x 2 2 �2 a a 3a �  �x  2.x   � 2� 4 � � a � 3a 3a  �x  � � 2� 2� 8 3a a �x Vậy diện tích tứ giác BDEC nhỏ bằng Khi D, E trung điểm AB, AC Câu a) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích bằng số đo chu vi Hướng dẫn a) Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z Theo đề ta có: xy   x  y  z  2 (1) x  y  z 2 � z2  x  y    xy thay vào (1) ta có: x  y  z Từ z2   x  y    x  y  z  z2  4z   x  y    x  y  z2  4z    x  y    x  y    z  2   x  y  2 � z2  x y2 2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com � z  x  y  thay vào (1) ta được: xy   x  y  x  y   xy  x  y  xy  x  y  8 x  y     y    16  8  x  4  y  4   x    y    1.8  2.4 Từ tìm giá trị x, y, z là: (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13) (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10) 2 b) Theo đề ta có a  b  c 2 2 2 Ta có: x  9a  4b  8c � x  81a  16b  64c  72ab  144ac  64bc mà a  b  c � x  81 b  c   16b  64c  72ab  144ac  64bc � x  97b  145c  72ab  144ac  64bc (1) y  4a  b  4c � y  16a  b  16c  8ab  32ac  8bc mà a  b  c � y  16  b  c   b  16c  8ab  32ac  8bc 2 2 2 � y  17b2  32c  8ab  32ac  8bc (2) z  8a  4b  7c � z  64a  16b  49c  64ab  112ac  56bc mà a  b  c � z  64  b  c   16b  49c  64ab  112ac  56bc 2 2 2 � z  80b  113c  64ab  112ac  56bc (3) Từ (2) (3) ta có y  z  97b  145c  72ab  144ac  64bc (4) 2 2 Từ (1) (4) suy x  y  z Vậy x, y, z độ dài ba cạnh tam giác vuông 2 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử x  y  z a)   x3  y  z b) x  2014 x  2013x  2014 Câu  2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  2 2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  a) Tìm x, biết:  2  19 49 b) Chứng minh rằng với số nguyên n ta có B  a  a chia hết cho 30 Câu Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Câu www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Tìm tất số phương gồm chữ số biết rằng ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Câu 2012 2012 2013 2013 2014 2014 2015 2015 Cho a, b dương a  b  a  b  a  b Tính a  b ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  y  z a)   x3  y  z b) x  2014 x  2013x  2014 Hướng dẫn a)  x  y  z  x3  y  z 3 �  y3  z3  x  y  z   x3 � � �   y  z �  y  z   y  yz  z   x  y  z    x  y  z  x  x2 � � �   y  z   3x  xy  yz  3xz   3 y  z  � x  x  y  z  x  y � � �  3 y  z   x  y   x  z  b) x  2014 x  2013x  2014  x  x  2014 x  2014 x  2014  x  x3  1  2014  x  x  1  x  x  1  x  x  1  2014  x  x  1   x  x  1  x  x  2014  Câu (2 điểm)  2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  2 2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  a) Tìm x, biết:  2  19 49 b) Chứng minh rằng với số nguyên n ta có: B  a  a chia hết cho 30 Hướng dẫn a) ĐKXĐ: x �2013; x �2014 x  2014  a  a �0  Đặt Ta có:  a  1   a  1 a  a 2  a  1   a  1 a  a 2  19 49 a  a  19  3a  3a  49 � 49a  49a  49  57a  57a  19 � www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com � 8a  8a  30  �  2a  3  a    � a � �� 5 � a � 4031 4023 �x x hoặc b) Ta có: B  a5  a B  a  a  1 B  a  a  1  a  1 B  a  a  1  a    B  a  a  1  a    5a  a  1 B   a    a  1 a  a  1  a    5a  a  1  a    a  1 a  a  1  a   tích số tự nhiên liên tiếp nên tồn số a    a  1 a  a  1  a   M5 bội 5,  (1) Vì 5a  a  1 M5 (2) Từ (1) (2) suy BM5 Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn C D F A E o � � $ a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì E  A  F  90 ) B � Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân giác BAC b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ � AD nhỏ nhất, AD nhỏ D hình chiếu A BC www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Câu (2 điểm) Tìm tất số phương gồm chữ số biết rằng ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Hướng dẫn �,0 a, b, c, d 9, a Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d Σ�� Theo đề ta có: � abcd  k � �  a  1  b  3  c  5  d  3  m2 � Suy ra: � abcd  k � � abcd  1353  m � với k , m ��,31  k  m  100 2 Do m  k  1353  m  k   m  k   123.11  41.33 Vì k , m �� nên m  k  m  k Do đó: m  k  123 �m  67 � �� � m  k  11 k  56 hoặc � � m  k  41 �m  37 � �� � m  k  33 �k  � Kết luận = 3136 Câu (2 điểm) 2012 2012 2013 2013 2014 2014 Cho a, b dương a  b  a  b  a  b 2015 2015 Tính a  b Hướng dẫn Ta có: a 2012  b 2012  a 2013  b2013  a 2014  b 2014  a  b   a 2012  b 2012    a 2011  b 2011  ab  a 2014  b 2014 � a  b  ab  (vì a 2012  b 2012  a 2013  b 2013  a 2014  b 2014 ) �  a  1  b  1  a 1 � �� b 1 � Với a = b  b � b  hoặc b  (loại) 2012 2013 Với b = a  a � a  hoặc a  (loại) Vậy a = 1, b = 2015 2015 Do a  b  2012 2013 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu 2 a) Tìm x; y  Z thoả mãn x  xy  y 169 www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com đ i ể m ) www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 15 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Bài a) Xác định hằng số a, b cho: ax3  bx  x  50 chia hết cho x  x  10 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: xy  x  y  Bài 1  � a) Chứng minh rằng x y x  y với x, y  1 1 1   �   Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b  c b  c  a c  a  b a b c với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Bài Cho hình chữ nhật có AB  2CD , gọi E, I trung điểm AB, CD Nối D với E Vẽ Dx  DE , tia Dx cắt tia đối tia CB M Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM  EK Gọi G giao điểm DK EM � a) Tính DBK b) Gọi H chân đường vng góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng �x y.z  � �1 1 �x  y  z  x  y  z � Bài Cho ba số thực khác thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng có ba số x, y, z lớn Bài Chứng minh rằng số tự nhiên có dạng p  p số nguyên tố, có số lập phương số tự nhiên khác Bài Cho a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác chu vi 2p Chứng minh rằng: abc a) 1 �1 1 �   �2 �   � �a b c � b) p  a p  b p  c  p  a  p  b  p  c � HƯỚNG DẪN Bài www.thuvienhoclieu.com Trang 44 www.thuvienhoclieu.com A D E B C I G K H M a) Ta có: EBC ~ DCM (g.g) BE EC EC    DC DM EK � EC  CK mà EC  DE � CK  DE �  BCK �  1350 BEC vuông cân B nên BE  BC , BED Do BED  BCK (c.g.c) �  CBK � � DBK �  900 � EBD � b) Ta có tứ giác DEKM hình chữ nhật nên CKM vng cân M suy H trung điểm CM AI // DM (cùng vng góc với DE), HI // DM (tính chất đường trung bình) nên ba điểm A ; I, H thẳng hàng Các tam giác CIH, CHK vuông cân C H nên KH  CI  DI mà DI // KH nên tứ giác DIKH hình bình hành Lại có tứ giác DEKM hình chữ nhật, EM, DK, IH đồng quy G trung điểm DK Vậy G �IH bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng Bài Chứng minh rằng số tự nhiên có dạng p  p số nguyên tố, có số lập phương số tự nhiên khác Hướng dẫn p   a  a  1 � p   a  1  a  a  1 Đặt Vì p số nguyên tố nên: a   � p  13 (thỏa mãn) Hoặc a  a   (vơ lí) a  Vậy số tự nhiên có dạng p  p số nguyên tố, có số lập phương số tự nhiên khác www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 16 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x  2014 x  2013 2) x( x  2)( x  x  2)  Câu (4 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang 45 www.thuvienhoclieu.com 1) Tìm a, b biết  2a 3b  3a   15 23  a 20 2 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  xy  x  y  2013 Câu (4 điểm) 2014 1) Cho a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng bằng 2013 Chứng minh rằng: B  a1  a2   a2013 chia hết cho 2 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn 2a  a  3b  b Chứng minh rằng: a  b 3a  3b  số phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC H, K, D Chứng minh rằng MH + NK = AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a  b  c  d x  (a  b)(c  d ), y  (a  c )(b  d ), z  (a  d )(b  c ) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z Hết Họ tên thí sinh: ., Số báo danh: 3 ĐÁP ÁN Chú ý: Dưới hướng dẫn bản, làm học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung x  2014 x  2013  x  2013x  x  2013  x ( x  2013)  ( x  2013)  ( x  1)( x  2013) 2 x( x  2)( x  x  2)   ( x  x)( x  x  2)  1 2  ( x  x)  2( x  x )   ( x  x  1)  ( x  1)4  2a  3a  20 có 20(1  2a )  15(7  3a) Từ 15 � a 1  2a 3b  2.1 3b   23  7a ta 15 23  7.1 Thay a  vào tỉ lệ thức 15 Suy b  Vậy a  , b  Ta có A  x  y  xy  x  y  2013 Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5  x  x( y  1)  y  y   y  y   2003  ( x  y  1)  ( y  3)  2003 www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.5 Trang 46 www.thuvienhoclieu.com 2 Nhận thấy với x,y ta có ( x  y  1) �0;( y  3) �0 Suy A �2003 Dấu “=” xảy x  4, y  0.5 Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x  4, y  Dễ thấy a  a  a (a  1)(a  1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Xét hiệu 0.5 3 B  (a1  a2   a2013 )  ( a13  a23   a2013 )  (a1  a2   a2013 )  (a13  a1 )  (a23  a2 )   (a2013  a2013 ) chia hết cho a1 , a2 , a2013 20132014 M3 Mà số tự nhiên có tổng bằng Do B chia hết cho 3 2 Từ 2a  a  3b  b có (a  b)(3a  3b  1)  a 2 Cũng có (a  b)(2a  2b  1)  b Suy ( a  b) (2a  2b  1)(3a  3b  1)  ( ab) Gọi (2a  2b  1,3a  3b  1)  d Chứng minh d=1 � 3a  3b  số phương � a  b số phương (đpcm) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 A M O N B H D E I K C Ta có IM//AC, IN//AB � AMIN hình bình hành � MN cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI � M, O, N thẳng hàng (đpcm) Kẻ OE vng góc với BC Chứng minh MHKN hình thang vng Ta có O trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy OE đường trung bình hình thang vng MNKH nên MH + NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O trung điểm AI OE//AD Suy OE đường trung bình ΔADI nên AD = 2OE (2) www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Trang 47 www.thuvienhoclieu.com Từ (1) (2) ta có MH + NK = AD (đpcm) 0.5 Ta có MN // BC MN đường trung bình ABC (Do O trung điểm AI) � I trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) Vậy để MN song song với BC I trung điểm BC Xét hiệu x  y  (a  b)(c  d )  (a  c)(b  d )  (d  a)(b  c ) Vì d  a, b  c nên (d  a)(b  c)  Suy x  y (1) 0.5 Vì b  a, c  d nên (a  a )(d  c)  Suy y  z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z  y  x www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 17 0.5 0.5 0.5 Xét hiệu y  z  (a  c)(b  d )  (a  d )(b  c)  (a  b)( d  c) 0.5 0.5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút  5x A  y  z   x  y  z    xy  yz  xz  2  x  y  z    25 xy  25 yz  25 xz  Câu Cho phân thức a) Tìm giá trị x, y, z để phân thức xác định b) Rút gọn A Câu 2 a) Tìm giá trị a để h  x   3x  ax  32 chia cho x  có số dư b) Giải phương trình nghiệm nguyên x  y   xy  x c) Phân tích đa thức x  x  13x  42 thành nhân tử Câu a  16 a  4a  8a  16a  16 Tìm a �� để M �� a) Cho abc  2016 b) Biết ax  by  cz  ax  by  cz N 2 bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  M Tính Câu Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx  AB , Cy  CA chúng cắt D a) Tứ giác BHCD hình gì? Vì sao? b) Gọi E điểm cho BC đường trung trực EH Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân c) BD cắt EH K Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để tứ giác HCDK hình thang cân Câu Cho �x, y, z �1 Chứng minh rằng �x  y  z  xy  yz  xz �1 HƯỚNG DẪN Câu www.thuvienhoclieu.com Trang 48 www.thuvienhoclieu.com a) Ta có  5x  y  5z  x  y  z Xét  2   25 xy  25 yz  25 xz   25 � �x  y  z    xy  yz  xz  � �   xy  yz  xz   � x  y  z  xy  yz  xz  �  x  y   y  z   z  x  2 � x y  yz  zx 0 � x y z0 Để phân thức xác định x, y, z khơng đồng thời bằng 2 x  y  z   a  2b b) Đặt x  y  z  a xy  yz  xz  b  a  a  2b   b a  2ab  b  a  b  ab A     a  2b  b  5 a  b 5 a  b Khi A Vậy Câu x  y  z  xy  yz  xz a) HS tự làm b) Gọi I giao điểm AE BC, K giao điểm EH BD Ta có IM / / DE nên BC / / DE , tứ giác BCDE hình thang Lại có CE  CH mà CH  BD nên BD  CE , tứ giác BDCE hình thang cân � c) BH cắt AC F, ta có F  90 Hình thang HKDC hình thang cân �  HCD � � KHC �  CHF � � � KHC (vì CHF  HCD (so le trong)) �  HCF � HIC  HFC � HCI � CH phân giác góc ACB � ABC cân C Vậy HKDC hình thang cân ABC tam giác cân C Câu Từ �x, y, z �1 suy x �xz ; y �yz z �zx nên x  y  z  xy  yz  xz �0 (1) � x  y  z  xy  yz  xz �1  xyz �1 (2) Xét   x    y    z    x  y  z  xy  yz  xz   xyz  �0 www.thuvienhoclieu.com Trang 49 www.thuvienhoclieu.com Từ (1) (2) suy �x  y  z  xy  yz  xz �1 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 18 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x  2017 x  2016 x  2017 x b)   y  z   x  y  z    xy  yz  xz  2 Câu a) Một số điện thoại có 10 chữ số 098716abcd Hãy tìm bốn số cuối bốn số điện thoại đó, biết rằng bốn số tạo thành số phương nếu ta thêm vào chữ số đơn vị số phương b) Chứng minh rằng với n ��, n �1 , ta có Câu 1 1     � 13 25 20 n   n  1 x  xy  y � 2  x , y �� x  xy  y a) Chứng minh rằng với , ta ln có b) Cho a  b  c  a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3 b3 c3   a  ab  b b  bc  c c  ca  a Câu 2 a) Tìm số nguyên x, y, z biết x  y  z  xy  y  z  b) Phân tích đa thức x  x  2015.2016 Câu 1) Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB=6cm, AC=8cm M điểm di chuyển cạnh huyền BC Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Khi tứ giác ADME đạt diện tích lớn bao nhiêu? 2) Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vng Chứng minh rằng: S ABCD  AC  MN  NP  PQ  QM  a) b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ c) Xác định vị trí M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ HƯỚNG DẪN Câu 2 2 b) Đặt x  y  z  a ; xy  yz  zx  b , ta có B  a  a  2b   b   a  b  Câu www.thuvienhoclieu.com Trang 50 www.thuvienhoclieu.com a) Theo đề ta có: � �abcd  n �  a  1  b  1  c  1  d  1  m2 ( 31  m, n  100 ) � m  n  11 � �m  56 � m  n  1111  11.101  1111.1 � � �� m  n  101 �n  45 � Vậy số điện thoại cần tìm 0987162025 b) Ta có n   n  1 2  1 �1 �   � � 2n  2n  2n  n  1 �n n  � 1 �1 �  2 � � 13  �2 � 1 �1 �   � � 25  �3 � ……… n   n  1  1 �1 �  � � 2n  2n  �n n  � 1 1 1 �1 1 1 �1       �       �   13 25 �2 3 n n  � 20 n   n  1 Câu 2 a) x  y  z  xy  y  z  � x  y  z  xy  y  z   � x  y  z  xy  y  z  �1 (vì x, y, z số nguyên) 2 � y � �y � � �x  � �  1�  z  1 �0 � � �2 � �x  � � �y  �z  � 2 b) x  x  2015.2016  x  2016 x  2015 x  2015.2016  x  x  2016   2015  x  2016    x  2016   x  2015  Câu 1) Đặt AE  x (  x  ) BE EM  x EM  �  � EM    x  Ta có AB AC www.thuvienhoclieu.com Trang 51 www.thuvienhoclieu.com 4 4 4 2 �9   x  3   x    6x  x2     x2  6x    �  x  3  � � � 3 3 3  12 � x  � M trung điểm BC S ADME  AE AD  x Vậy minS ADME 2) a) Gọi I, J, K trung điểm QN, MN, PQ ta có 1 1 MN IJ  QM KI  PN DK  PQ 2 2 ; ; ; AC AC AC.BD �  S ABCD  MN  NP  PQ  QM    BJ  JI  IK  KD  � 2 BJ  b) Theo phần a) chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ đường gấp khúc BJIKD trùng với đoạn BD, tức MN / / AC / / PQ MQ / / BD / / NP lúc tứ giác MNPQ hình chữ nhật Vậy với hình chữ nhật nội tiếp hình vng cho có chu vi bằng chu vi nhỏ so với chu vi tất tứ giác nội tiếp hình vng c) Từ đỉnh M, N, P, Q ta dựng đường thẳng song song với cạnh hình vng Các đường thẳng hoặc trùng hoặc song song Nếu chúng song song đơi giao điểm chúng tạo thành hình chữ nhật Ta có S MNPQ  S MHQ  SQGP  S PFN  S MEN  S EFGH 1 1 S AMHQ  SQGPD  S PFNC  S EFGH  S MEBN   S ABCD  S EFGH � S ABCD  2 2 S EFGH EF HG hoặc HE �FG Do S MNPQ đạt giá trị nhỏ  � S MNPQ  Vậy tứ giác nội tiếp hình vng có diện tích nhỏ có hai đường chéo song song với cạnh hình vng www.thuvienhoclieu.com Trang 52 www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 19 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh rằng ab  a  b  chia hết cho 48 Câu a) Giải phương trình:  2x  x  2016    x  x  2015    x  x  2016   x  x  2015  2 b) Cho số a, b, c, d thỏa mãn abcd  Tính giá trị biểu thức M 1 1    abc  ab  a  bcd  bc  b  acb  cd  c  abd  ad  d  P  x x3 17 Câu Cho đa thức thỏa mãn chia cho dư ; chia cho x  dư tìm dư phép chia P  x  cho x  x  Câu Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA� ; BB� ; CC � , trực tâm H AH BH CH   a) Tính tổng AA� BB� CC � b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự phân giác góc AIC; AIB ( M �AC , N �AB ) Chứng minh AN BI CM  BN IC.AM  AB  BC  CA  2 2 c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện biểu thức AA� BB� CC � đạt giá trị nhỏ 1    2016 x y z Câu Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y yz zx P  2 2 x  y y z z  x2 Tìm giá trị lớn biểu thức HƯỚNG DẪN Câu Ta có ab  a  b    a  1  b  1 Vì a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a   2n  1 , b   n  3 , ( n ��), suy ab  a  b    a  1  b  1  16n  n  1  n   Vì n ,  n  1 ,  n   tích ba số nguyên liên tiếp nên n  n  1  n   chia hết cho 3, mà  16,3  nên 16n  n  1  n   M48 nên ab  a  b  1M48 Câu 2 a) Đặt x  x  2016  a ; x  x  2015  b , ta có a  4b  4ab �  a  2b   � a  2b , từ tìm x www.thuvienhoclieu.com Trang 53 www.thuvienhoclieu.com Câu Vì đa thức chia x  x  có bậc hai nên đa thức dư có dạng ax  b Ta có P  x    x  1  x  3 Q  x   ax  b P  3  17 � 3a  b  17 P  1  � a  b  Do a  ; b  4 nên đa thức dư có dạng x  Câu a) Ta có 1 AA� BC S BHA  BA� AH SCHA  CA� AH 2 ; ; B  A� C  AH  A� S  S AHC AA� � AHB   AA� BC S ABC AH S ABC  Chứng minh tương tự ta có: S AHB  S BHC  S ABC C  BH  AB� B�  BC � AC �  CH BH S BHC  S AHC CH 2    � BB� AC CC AB BB� S ABC CC � 2 ; AH BH CH S AHB  S AHC  S AHB  S BHC  S BHC  S AHC 2S ABC     2 AA� BB� CC � S ABC S ABC b) Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có: AN AI BI AB CM IC    BN BI ; IC AC ; AM AI , từ suy AN BI CM AI AB IC AB IC AB AC     � AN BI CM  BN IC AM BN IC AM BI AC AI AC BI AC AB c) Vẽ Cx  CC � , gọi D điểm đối xứng với A qua Cx Ta có tam giác BAD vuông A CD  CA ; AD  2CC � Xét ba điểm B, C, D, ta có BD �BC  CD BAD vng A nên AB  AD  BD � AB  AD � BC  CD  2 � AB  4CC � � BC  AC   4CC  �  BC AC  2 AB Chứng minh tương tự ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang 54 www.thuvienhoclieu.com 4AA� � AB  AC   BC 2 4BB� � AB  BC   AC 2 4� � BB� CC �  AA 2  AB BC CA   AB  BC  CA 2 2 AA�  BB�  CC � Đẳng thức xảy � BC  AC; AC  AB; AB  BC � ABC Câu Áp dụng bất đẳng thức Ta có P  a  b  � a  b  1  � ; a b ab 2 x  y 2 y  z 2 z  x x y yz zx      x2  y y2  z z  x2  x2  y   y  z   z  x2  2 x  y 2 y  z 2 z  x �1 1 � �1 1 1 � P�    2�   ��2 �      � 2  x  y   y  z   z  x �x  y y  z z  x � �x y y z z x � �1 1 � P �2 �   ��2016 �x y z � Vậy minP  2016 � x  y  z  2016 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 20 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Câu Chứng minh rằng: a) Nếu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương � �  x2  x3 B �  x �: 1 x � �1  x  x  x Câu Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B c) Tìm giá trị x để B  Câu x a) Giải phương trình  x  1  5x      x     5x  3 a b c x2 y z x y z   0   1   1 b) Cho a b c x y z Chứng minh rằng a b c Câu Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a) Tứ giác AMDB hình gì? Tại sao? b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB AD Chứng minh EF / / AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P www.thuvienhoclieu.com Trang 55 www.thuvienhoclieu.com PD  CP  2, cm d) Giả sử CP  BD , PB 16 Tính độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD Câu Tìm tất số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời điều kiện: x  y  z  11 x  y  10 z  100 HD CHẤM THI Mơn: Tốn Câu 1: (4 điểm) Gọi số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho 0,25 2 Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b) ( a  2ab  b )  3ab = a  (a  b)  3ab  = (a + b) 0,5 (2,0) Vì a + b chia hết (a + b) - 3ab chia hết cho 3;   Do (a + b)  (a  b)  3ab chia hết cho Gọi số tự nhiên, liên tiêp là: n, n + 1, n + 2, n + (n N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) b Đặt n2 + 3n = t (t N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 (2,0) = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Câu ( 4,0 điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 thì: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5  x3  x  x2 (1  x)(1  x) : 1 x (1  x)(1  x  x )  x (1  x) A= 1,0 (1  x)(1  x  x  x) (1  x)(1  x) (1  x ) : : 1 x (1  x) (1  x)(1  x  x ) = = (1  x )(1  x) 2  1  1  ( )   = thỡ A = b, (1 điểm) Tại x = 25 34 272 (1  )(1  )   10 9 27 27 = 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25   1  (  ) 0,75 c, (1 điểm) Với x khác -1 B < (1  x )(1  x)  (1) 0,25 Vì  x  với x nên (1) xảy  x   x  0,5 0,25 KL: B < x > Câu 3: (4,0 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang 56 www.thuvienhoclieu.com a (2,0) Đặt x2 - 5x + = a, - x2 = b a + b = - 5x Phương trình trở thành a3 + b3 = (a + b)3 Biến đổi thành ab(a + b) = a = hoặc b = hoặc a + b = 0,5 0,5 1,0 Từ tìm S =  2; 3; -1; 1; 1,2 a b c ayz+bxz+cxy   0� 0 x y z xyz b (2,0) Từ : � ayz + bxz + cxy = 0,5 x y z x y z    � (   )2  a b c a b c Ta có : x y2 z2 xy xz yz �    2(   )  a b c ab ac bc 0,5 0,5 x2 y z cxy  bxz  ayz �   2 1 a b c abc x2 y z �    1(dfcm) a b c 0,5 Câu (6,0 điểm): Vẽ hình, ghi GT, KL D 0,25 C P M F I E O A B a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO đường trung bình tam giác CAM ( ) AM//PO � Tứ giác AMDB hình thang b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh MAF ~ DBA (g-g) nên => không đổi 1,0 1,75 1,0 PD PB PD   k � PD  9k , PB  16k  16 PB 16 d) Nếu CP  BD Nếu CBD ~ DCP (g-g) => CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm); PB = 16k = 3,2 (cm => BD = (cm) C/m BC2 = BP.BD = 16 BC = (cm); CD = (cm) 2,0 Câu (2,0 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang 57 www.thuvienhoclieu.com Ta có: 8x + 8y + 8z < 8x + 9y + 10z = 100 => x + y + z < < 13 với giả thiết, có 11 < x + y + z < 13, x + y + z  Z => x + y + z = 12 Ta có hệ: x + y + z = 12 (1); 8x + 9y + 10z = 100 (2) Nhân vế (1) với trừ vế-vế (2) cho (1), được: y + 2z = (3) Từ (3) suy z = (vì nếu z ≥ y ≥ => y + 2z ≥ 4, mâu thuẫn) Với z = 1, tìm y = x = Thử lại, thấy Vậy có x = 9, y = z = thoả mãn www.thuvienhoclieu.com Trang 58 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ... x2 x3 x  201 2 1 1      201 2  201 2 � 201 2 201 1 201 0 x  201 3 x  201 3 x  201 3 x  201 3     0 � 201 2 201 1 201 0 1 1 ( x  201 3)(     )  � x = 201 3 201 2 201 1 201 0 0.25 0.5... điểm) 201 2 201 2 201 3 201 3 201 4 201 4 Cho a, b dương a  b  a  b  a  b 201 5 201 5 Tính a  b Hướng dẫn Ta có: a 201 2  b 201 2  a 201 3  b2013  a 201 4  b 201 4  a  b   a 201 2  b 201 2...  201 5 .201 6  x  201 6 x  201 5 x  201 5 .201 6  x  x  201 6   201 5  x  201 6    x  201 6   x  201 5  Câu 1) Đặt AE  x (  x  ) BE EM  x EM  �  � EM    x  Ta có AB AC www .thuvienhoclieu. com