Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: . a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử b) Cho Chứng minh rằng . Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Câu 3. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức . Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho . Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Câu 5 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì thì các số ; ; cũng là số đo ba cạnh của một tam giác vuông khác.
UBND HUYỆN GIA VIỄN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Năm học: 2014- 2015 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) x2 − x 2x2 − − ÷ Câu (5 điểm) Cho biểu thức: A = − ÷ 2x + 8 − 4x + 2x − x x x a) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) Giải phơng trình sau: a) x( x + 2)( x + x + 2) + = b) y + x + y − x +1 + = x + x + x + 16 x + 72 x + x + 20 x + 12 x + 42 c) + = + x+2 x+8 x+4 x+6 Câu (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 2) Tìm a,b cho f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x2 + x − 3) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0.TÝnh: P = ab 4a − b 2 Câu (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M (CM < CD), vẽ hình vuông CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a) Chứng minh: DH vng góc với BM b) Tính Q = PC PH KP + + BC DH MK c) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2 Câu (1,5 điểm) 1) Cho x, y > Chứng minh rằng: x y x2 y2 + + ≥ 3 + y x y x 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = xy ( x − 2)( y + 6) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 Hết UBND HUYỆN GIA VIỄN PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP Năm học 2014 - 2015 Môn thi : TỐN Thời gian: 150 phút khơng kể thời gian giao đề (Hướng dẫn gồm 05 câu, 05 trang) CHÚ Ý : - Nếu HS làm cách khác mà cho điểm tối đa theo thang điểm ý - Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa theo biểu điểm ý Câu Đáp án Biểu điểm x2 − x 2x2 − − − ÷ Cho biểu thức: A = 2 ÷ 2x + 8 − 4x + 2x − x x x a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm 2 x + ≠ Giá trị A xác định ⇔ 8 − x + x − x ≠ x ≠ x ≠ −8 x ≠ −4 x ≠ ⇔4(2 − x) + x (2 − x) ≠ ⇔(2 − x)(4 + x ) ≠ ⇔ x ≠ x ≠ x ≠ - ĐKXĐ : x ≠ 2; x ≠ 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (Nếu HS nêu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) * Rút gọn : 3,0 điểm x2 − x x2 A = − 1− − ÷ Ta có 2 ÷ 2x + 8 − 4x + 2x − x x x (5 điểm) x2 − x x − x − 2x2 = − ÷ ÷ 2 x2 2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x) 0,75 điểm = ( x − x)(2 − x ) − x x + x − x − 2( x + 4)(2 − x) x2 0,75 điểm = x − x − x + x − x x( x +1) − 2( x −1) 2( x + 4)(2 − x) x2 0,75 điểm = − x( x + 4) ( x + 1)( x − 2) x + = 2( x + 4)(2 − x) x2 2x 0,75 điểm b) (1,0 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x +1 ∈ Z ⇔ x +1 M2x ⇒ 2x + M2x Mà 2x M2x 2x ⇒ M2x ⇒ Mx ⇒ x = x = -1 * 0,5 điểm 0,25 điểm * Ta thấy x = x = -1 (TMĐKXĐ) Vậy A= x +1 ∈ Z ⇔ x = x = -1 2x Gi¶i phơng trình sau: 0,25 im a) (1,5 im) x( x + 2)( x + x + 2) + = ⇔ (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + = ⇔ (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + = ⇔ (x2 + 2x + 1)2 = ⇔ (x+1)4 = ⇔ x + = ⇔ x = -1 Vậy PT cho có nghiệm x = -1 b) (1,5 điểm) y + x + y − x +1 + = ⇔ y + y + + (2 x ) − 2.2 x + = ⇔ ( y + 1) + (2 x − 1) = ⇔ y + = x − = ⇔ y = -1 x = Vậy PT cho có nghiệm (x, y) = (0; -1) c) (1,0 điểm) (4 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm x + x + x + 16 x + 72 x + x + 20 x + 12 x + 42 + = + (1) x+2 x+8 x+4 x+6 - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 0,25 điểm ( x + 2) + ( x + 8) + ( x + 4) + ( x + 6) + + = + x+2 x+8 x+4 x+6 + x +8+ = x+4+ + x+6+ ⇔ x+2+ x+2 x+8 x+4 x+6 − = − ⇔ x + x + x +6 x +8 x + − x − x + 48 − x − 48 = ⇔ ( x + 2)( x + 4) ( x + 6)( x + 8) −2 x −2 x = ⇔ ( x + 2)( x + 4) ( x + 6)( x + 8) ⇔ x = ( x + 2)( x + 4) = ( x + 6)( x + 8) - PT (1) ⇔ (3 điểm) 2 2 ⇔ x = x2 + 6x + = x2 + 14x + 48 ⇔ x = 8x = - 40 ⇔ x = - (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT cho có nghiệm : x1 = 0; x2 = - 1) (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - - HS biến đổi : p = (n2 + 1)(n - 1) - Nếu n = 0; không thỏa mãn đề - Nếu n = thỏa mãn đề p = (22 + 1)(2 - 1) = - Nếu n > không thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n – 1> n2 + > n – 1> - Vậy n = p = n3 - n2 + n - số nguyên tố 2) (1,0 điểm) Tìm a,b cho f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − 2 * g ( x ) = x + x − = (x -1)(x - 2) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm * f ( x ) = ax + bx + 10x − Mg ( x ) ⇔ f ( x ) = ax + bx + 10x − = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x∈ R) - Thay x1 = 1, x2 = vào (1) ta có: 0,25 điểm a + b + = 8a + 4b + 16 = ⇒ a = b = -8 Vậy f ( x ) = ax + bx + 10x − Mg ( x ) ⇔ a = b = -8 0,25 điểm 0,25 điểm 3) (1,0 điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0.TÝnh: P = ab 4a − b 2 - HS biến đổi : 4a2 + b2 = 5ab ⇔ (4a - b)(a -b) = ⇔ b = 4a b = a - Mà 2a > b > ⇒ 4a > 2b > b nên a = b - Ta có : P = a2 2 = 4a − a A (6,5 điểm) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm - Vậy 4a + b = 5ab 2a > b > P = 0,25 điểm - Hình vẽ 0,25 điểm B K H P D N C M a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vng góc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 - CM: ∆ DPC = ∆ BMC (cgc) - Chứng minh BHP = 900 b) (2,0 điểm) Tính Q = 0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm PC PH KP + + BC DH MK 0,5 điểm - HS CM : MP ⊥ BD - DM PC PC S =2 = ∆PDM BC S ∆BDM DM BC ; 0,5 điểm 1 DB.KP DB.KP PH S PH S ∆PBM = = = = ∆PBD Tương tự : DH DB.MK S ∆BDM DH DB.MK S ∆BDM 2 S ∆PDM + S ∆PBM + S∆PBD =1 ⇒Q = S ∆BDM c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM 0,5 điểm 0,5 điểm - CM: ∆ MCP ∼ ∆MKD (g.g) ⇒ MP MK = MC MD (1) - CM: ∆DBC ∼ ∆DKM (g.g) ⇒ DK BD = DC DM (2) - Từ (1) (2) ⇒ MP MK + DK BD = DM (MC + DC) ⇒ MP MK + DK BD = DM2 1) (0,75 điểm) 0,5 điểm x y + ≥ với x, y > y x x y x y ⇒ + -2 ≥ 0; + - ≥ y x y x x y x y ⇒ ( + -2)( + -1) ≥ y x y x 2 x y x y x y ⇒ + + − ( + ) − 2( + ) + ≥ y x y x y x 2 x y x y ⇒ + + ≥ 3 + y x y x 0,25 điểm - HSCM: 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Dấu “=” xảy ⇔ x = y > 2) (0,75 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (1,5 điểm) 0,25 điểm B = xy ( x − 2)( y + 6) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ ⇒ x2 -2x +3 ≥ x ∈ R 0,25 điểm (1) 2 y + 6y +9 = (y+3) ≥ ⇒ y + 6y + 12 ≥ y ∈ R (2) + B = xy ( x − 2)( y + 6) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2045 0,25 điểm = (x - 2x)( y + 6y) + 12(x - 2x) + 3(y + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) + Từ (1) ; (2) (3) ⇒ B ≥ 2.3 + 2009 ⇒ B ≥ 2015 *) B = 2015 ⇔ x = y = -3 *) Min B = 2015 ⇔ x = y = - 2 Hết 0,25 điểm ... + = + (1) x+2 x +8 x+4 x+6 - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 0,25 điểm ( x + 2) + ( x + 8) + ( x + 4) + ( x + 6) + + = + x+2 x +8 x+4 x+6 + x +8+ = x+4+ + x+6+ ⇔ x+2+ x+2 x +8 x+4 x+6 − = −... − ⇔ x + x + x +6 x +8 x + − x − x + 48 − x − 48 = ⇔ ( x + 2)( x + 4) ( x + 6)( x + 8) −2 x −2 x = ⇔ ( x + 2)( x + 4) ( x + 6)( x + 8) ⇔ x = ( x + 2)( x + 4) = ( x + 6)( x + 8) - PT (1) ⇔ (3 điểm)... 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x∈ R) - Thay x1 = 1, x2 = vào (1) ta có: 0,25 điểm a + b + = 8a + 4b + 16 = ⇒ a = b = -8 Vậy f ( x ) = ax + bx + 10x − Mg ( x ) ⇔ a = b = -8 0,25 điểm 0,25 điểm 3) (1,0 điểm)