10 đề thi học sinh giỏi lớp 8 tham khảo

Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 b) x − 17 x − 21 x + + + =4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + =0 x y z yz xz xy A= + + x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi khác Tính giá trị biểu thức: Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA ' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM c) Tam giác ABC biểu thức ( AB + BC + CA) AA' + BB' + CC' đạt giá trị nhỏ nhất? Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐÁP ÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 điểm ) b) Tính x = 2007 điểm ) ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 c) 4x – 12.2x +32 = ( 0,25điểm ) ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) ( 0,25điểm ) ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 ( 0,25điểm ) ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x ( 0,25điểm ) (1 (1 = = = = • Bài 2(1,5 điểm): 1 xy + yz + xz + + =0 ⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ x y z xyz x2+2yz = ( 0,25điểm ) x2+yz–xy–xz y2+2xz Tương tự: ( 0,25điểm ) yz = = yz = –xy–xz x(x–y)–z(x–y) (y–x)(y–z) xz ; z2+2xy ( 0,25điểm ) = = xy Do đó: A = ( x − y)( x − z) + ( y − x )( y − z) + (z − x )(z − y) Tính A = điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, Ta có: abcd = k (a +1)(b +3)(c +5)(d +3) = m abcd = k (x–y)(x–z) (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) ( 0,5 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ với k, m∈ N, 31 < k < m < 100 ⇔ ⇔ (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ (0,25điểm) (0,25điểm) abcd +1353 = m 2 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng k = 56 k = (0,25điểm) Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) • Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) S a) S HBC ABC HA'.BC HA' = = ; AA' AA'.BC (0,25điểm) S HC' S HB' HAB HAC = = Tương tự: S ; S CC' BB' ABC ABC (0,25điểm) HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒BI AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ( AB + BC + CA) ≥4 AA'2 + BB'2 + CC' ⇔ (0,25điểm) Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ABC Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Kết luận (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài (4 điểm) Cho biểu thức A =  − x3  − x2  − x:  1− x  − x − x2 + x3   với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x =− c, Tìm giá trị x để A < Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Bài (3 điểm) 2 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) 2 Chứng minh a = b = c Bài (3 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 + = AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 : A= 0,5đ 1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x ) : (1 − x) 0,5đ = 0,5đ = (1 + x )(1 − x) 0,5đ KL b, (1 điểm) Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Tại x = = (1 + = −1 = − A = 0,25đ 2    1 + ( − )  − 1 − (− )     0,25đ 25 )(1 + ) 34 272 = = 10 27 27 0,5đ KL c, (1điểm) Với x khác -1 A với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > KL 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 0,5đ a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc 2 2 2 2 Biến đổi để có (a + b − 2ac) + (b + c − 2bc) + (a + c − 2ac) = Biến đổi để có (a − b) + (b − c) + (a − c) = (*) Vì (a − b) ≥ ; (b − c) ≥ ; (a − c) ≥ ; với a, b, c nên (*) xảy (a − b) = ; (b − c) = (a − c) Từ suy a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ =0; Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x x +11 (x số nguyên khác -11) Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số (x khác -15) Theo ta có phương trình x −7 x +15 x x +15 = x −7 x +11 0,5đ 0,5đ Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) Từ tìm phân số 0,5đ 1đ 0,5đ − KL Bài (2 điểm) + Biến đổi để có A= a (a + 2) − 2a(a + 2) + (a + 2) B 2 2 = (a + 2)(a − 2a + 1) + = (a + 2)(a − 1) + a Vì a + > ∀ (a −1) ≥ 0∀a nên (a + 2)(a −1) (a + 2)(a −1) + ≥ 3∀a 0,5đ ≥ 0∀a M 0,5đ 0,5đ N Dấu = xảy a − = ⇔ a = KL Bài (3 điểm) 0,25đ 0,25đ A D I C Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI hình thang Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân b,(2điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ cm ; BD = 2AD = cm 3 cm AM = BD = cm Tính NI = AM = DC = cm cm , MN = DC = BC = 3 cm Tính AI = Tính AD = 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (5 điểm) B A O M a, (1,5 điểm) C D Lập luận để có Lập luận để có ⇒ N OM OD = AB BD OD OC = DB AC OM ON = ⇒ AB AB , ON OC = AB AC 0,5đ 0,5đ 0,5đ OM = ON b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = (1), xét ∆ADC để có DC = AD AB AD 1 AM + DM AD + = =1 ⇒ OM.( )= AB CD AD AD Xét ∆ABD để có Từ (1) (2) (2) 0,5đ Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng 1 0,5đ Chứng minh tương tự ON ( AB + CD ) = 1 từ có (OM + ON) ( AB + CD ) = ⇒ 1 + = AB CD MN 0,5đ b, (2 điểm) S AOB OB = S AOD OD S OB S S BOC = ⇒ AOB = BOC ⇒ , S OD S AOD S DOC DOC Chứng minh S AOD = S BOC ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) S AOB S DOC = S BOC S AOD Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1: a − (b − c)2 b2 + c2 − a Cho x = ;y= (b + c) − a 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: 1 1 a, = +b+ a+b− x a x b, (x ẩn số) (b − c)(1 + a ) (c − a )(1 + b) (a − b)(1 + c) + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c số đơi khác nhau) Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Bài 3: Xác định số a, b biết: (3 x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun Bài 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm)  1    x − + 1÷+ + 1÷ : Cho biểu thức: A =     x  ( x + 1)  x  x + 2x +  x   a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0, CMR: 1 + ≥ a b a+b b, Cho a,b,c,d > CMR: a−d d −b b−c c−a ≥ + + + d +b b+c c+a a+d Bài 4: x + xy + y a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > x − xy + y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x + 1995)2 với x > Bài 5: a, Tìm nghiệm ∈ Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho VABC M điểm ∈ miền VABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) a (b + c) (b − c) + b(c + a ) (c − a ) + c( a + b) (a − b) 1 Cho a, b, c khác nhau, khác a + b + c = Rút gọn biểu thức: N = 1 + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 13 Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng M = x + y − xy − x + y + b) Giải phương trình: ( y − 4,5) + ( y − 5,5) − = Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x + y = 345 14 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 với x > Bài : (1,5điểm) Cho abc = A= Rút gọn biểu thức: a b 2c + + ab +a + bc +b +1 ac +2c +2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > Tính: P= ab 4a −b 2 Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM < CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ∆ ABC AEMF hình vng Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 15 Giáo viên Tơn Nữ Bích Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng §Ị thi hsg líp SỐ 10 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: b) Rút gọn: (a + b + c) − a − b − c x − x − 12 x + 45 3x − 19 x + 33 x − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: nhiên n A = n (n − 7) − 36n chia hết cho 5040 với số tự Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B Tính xem giếng b) Giải phương trình: x +a − x −2a =3a (a số) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh số: 22499 9100          09 n-2 sè n sè số phương ( n ≥ ) 16 ... BOC S AOD Thay số để có 20 082 .20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 20 08. 2009 Do SABCD= 20 082 + 2.20 08. 2009 + 20092 = (20 08 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời... 7; x = -3 điểm ) b) Tính x = 2007 điểm ) ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 c) 4x – 12.2x +32 = ( 0,25điểm ) ⇔ 2x(2x – 4) – 8( 2x – 4) = ⇔ (2x – 8) (2x – 4) ( 0,25điểm ) ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 =... Vân * Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Kết luận (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu §Ị thi hsg líp SỐ MƠN TỐN Thời gian: 120 phút Bài (4 điểm) Cho biểu thức