a Chứng minh CE vuông góc với DF.. b Chứng minh CM CE.. Chứng minh MAD cân.. cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngà
Trang 1Phòng GD –ĐT Thuận An
Trường THCS Trịnh Hoài Đức
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Lần 2 - Năm học 2009-2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức:
A=
12 12
36
6
1 6 6
1 6
2
2 2
2
x
x x x
x x x
x
( Với x 0 ; x 6 ) 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với 1
19 24 5
x
Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình:
x x x x x x x x
Câu 3: ( 6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x2 - (2x + 3)(x + 5) + 3
b) x20 + x +1
c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4
Câu 4 (8 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC M là giao điểm của CE và DF
a) Chứng minh CE vuông góc với DF
b) Chứng minh CM CE. a
CF
c) Gọi K là giao điểm CM và DA Chứng minh MAD cân
d) Tính diện tích MDC theo a
cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
Hết
Trang 2-Phòng GD –ĐT Thuận An
Trường THCS Trịnh Hoài Đức
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Lần 2 - Năm học 2009-2010
Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút
Đáp án
Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức:
6
1 6 6
1 6
2
2 2
2
x
x x x
x x x
x
( Với x 0 ; x 6 ) 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x = 1
19 24 5 Giải 1) ( 1 điểm ) ĐK: x 0; x 6 )
A = .(12(6)( 1)6)
) 6 (
1 6 ) 6
(
1
6
2
x
x x x
x
x x
x
x
=
2
12( 1)
x x x x x x
= 12(x x 1).12(x12 1) 1x
2
2) A=
19 24 5 1
19 24 5
3
1
Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình:
x x x x x x x x
ĐK : x{2;3;4;5;6}
Phương trình tương đương
( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 8
0,5 0,5 0,5
Trang 3
8( 6) 8( 2) ( 2)( 6)
8( 2)( 6) 8( 2)( 6)
x x
2
2
8 20 0
( 2)( 10) 0
x x
x x
x x
x 2 hoac x 10 (thỏa điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình là x=-2;x=10
0,5
0,5 0,5
Bài 3.(6điểm)
a) x2 - (2x + 3)(x + 5) +3= x2 - 2x2-13x-15 +3 = -x2-13x -12
=-(x2+x+12x+12)=-[x(x+1)+12(x+1)]=-(x+1)(x+12)
b) x20 + x +1 =x20-x2+x2+x+1 =x2(x18-1) +(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x9-1)+(x2+x+1) =x2(x9+1)(x3-1)(x6+x3+1)+(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)[x2(x9+1)(x-1)(x6+x3+1)+1]
c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4 =A
Đặt t =x2+y2+1
Ta có : A = t4 -17t2x2 +16x4 = t4 –t2x2 -16t2x2 +16x4 = t2(t2-x2) -16x2(t2-x2)
=(t2-x2)(t2-16x2) =(t+x)(t-x)(t-4x)(t+4x)
= ( x2+y2+1+x) ( x2+y2+1-x)(x2+y2+1-4x)( x2+y2+1+4x)
1 1 1 1
1 1
Câu 4 (8 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC M là giao điểm của CE và DF
a) Chứng minh CE vuông góc với DF
b) Chứng minh CM CE. a
CF
c) Gọi K là giao điểm CM và DA Chứng minh MAD cân
d) Tính diện tích MDC theo a
Trang 4M
F E
C
B A
D
1 1 ( )
BECCFD c g c C D
CDF vuông tại C 0 0
Hay CE DF
b.Xét CMF v CBEà có CMF CBE 90 0
và MCF chung
=> CMF đồng dạng CBE (gg)
=> CM CF CM CE.
BC
CB CE CF
Mà BC =a
Do đó : CM CE. a
CF
c.Gọi K là giao điểm của AD với CE Ta có :
( )
AEK BEC g c g BCAK
AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
1 2
AM KD AD AMD
d CMD FCD g g( ) CD CM
FD FC
Do đó :
.
CMD
FCD
.
FCD
S CF CD CD
2
1 4
CMD
CD
FD
Trong DCF theo Pitago ta có :
.
DF CD CF CD BC CD CD CD
Do đó :
2
2
.
4
MCD
CD
CD
2
2
2
2
Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng Nếu cả hai
máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng Trên thực tế thì
hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác
làm việc Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng
Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
Trang 5Cả hai máy cùng làm việc 4 ngày cày xong cánh đồng
Và cả hai máy cùng làm việc trong hai ngày
Suy ra : còn ½ cánh đồng máy 2 phải hoàn thành công việc 1 mình
Mà máy 2 phải cày một mình ½ cánh đồng đó trong 6 ngày
Suy ra : máy 2 cày xong hết cánh đồng mất 12 ngày
Ta có : 1 ngày, máy 2 cày được 1
12 cánh đồng
=> 2 ngày , máy 2 cày được : 1
6cánh đồng
Mà 2 máy , 2 ngày cày chung được ½ cánh đồng
=> 2 ngày máy 1 cày được 1 1 1
2 6 3 cánh đồng
=> 1 ngày máy 1 cày được 1
6 cánh đồng
=> máy 1 cày hết cánh đồng hết 6 ngày
Vậy máy 1 cày hết cánh đồng mất 6 ngày
Máy 2 cày hết cánh đồng mất 12 ngày
(học sinh giải được bằng cách khác vẫn có điểm tối đa)
4