BO 20 DE THI HSG Toán

ĐỀ 1 Câu 1 : ( 2 điểm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y 2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( x 2 + y 2 ) Câu 2 : ( 4 điểm ) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x 3 + ax 2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức : P =         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xxxx x a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 3 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị ngun của x để p có giá trị ngun . Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3điểm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm);Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . ĐỀ 2 Bài 1: ( 5 điểm) a) Rút gọn: A = 1 - 11 1 22 +− + − ++ − ++− xx xx xx xx xx (0 1 ≤≤ x ) b) Cho: x = 33 2525 −−+ Tính giá trò của biểu thức f(x) = 3 x + 3x Bài 2: ( 3 điểm) Giải hệ phương trình:        =++ =++ =++ =++ )4(12 )3(14 )2(15 )1(10 yxt xtz tzy zyx Bài 3: ( 5 điểm) Cho phương trình: x 2 – 2mx + 2m –1 = 0 a) Chứng minh: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m ≠ 1. b) Tính giá trò của biểu thức: A = ).1.(2 3.2 21 2 2 2 1 21 xxxx xx +++ + c) Tìm giá trò lớn nhất của A. Bài 4: ( 3 điểm) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt hai tiếp tuyến trên tại hai điểm P và Q. Chứng minh rằng chu vi tam giác APQ không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. Bài 5: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm của tam giác đó. Dựng hình bình hành BHCD và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. 1) Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC. Chứng minh: CAOHAB ˆˆ = 3) AI cắt OH tại G. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC. 4) Gọi M, N theo thứ tự là điểm đối xứng của D qua AC, AB. Chứng minh: N, H, M thẳng hàng. ĐỀ 3 Câu 1: (2,0điểm) Rút gọn biểu thức: 1. 5 3 29 12 5A = − − − 2. ( ) 2 3 2 3 3 , 0, 0, x x y y y xy y x B x y x y x y x x y y − + + − = + > > ≠ − + Câu 2: (2,0điểm) 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + + 4. ( 1)( 3)( 4)( 6) 10 0;a a a a a− − − − + > ∀ Câu 3 : (2,0điểm) 5. Cho biểu thức 2 1 2 1P x x x x= + − + − − xác định x để P đạt giá trị nhỏ nhất. (1,0 điểm) 6. Giải phương trình: 2 7 6 5 30x x x− = + − 7. Giải hệ phương trình: 2 1 1 2 x y y y x  − = −  + =  Câu 4: ( 2,0điểm) 8. Cho đường thẳng (d m ) : 2mx + (3m – 1)y – 6 = 0 a. Tìm đường thẳng ( d ) đi qua điểm A( - 1 ; - 3 ) và xác định hệ số góc của đường thẳng đó(1,0 đ) b. Tìm điểm cố định B của (d m ) với mọi m Câu 5: (2,0điểm) 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ). Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. ĐỀ 4 Câu 1: ( 1 điểm ). Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây có nghĩa: 2 2 x 1x6x7- ++ Câu 2: ( 2 điểm ). Cho A = [( y 1 x 1 + ). y 1 x 1 yx 2 ++ + ] : 33 33 xyyx yyxxyx + +++ a. Tìm điều kiện để A xác định. b. Rút gọn A c. Cho xy = 6. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Câu 3: ( 2 điểm ). Giải phương trình 1x43x -++ + 1-x6 -8x + = 5 Câu 4: ( 2 điểm ). Giải bài toán cổ: Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó Tính số trâu mỗi loại. Câu 5: ( 2 điểm ). Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC); MBC = CAB và AB = BD. Hãy tính các góc của hình thang. Câu 6: ( 1 điểm ). Chứng minh rằng nếu x = sin α (0 < α < 90 0 ) thì: αcos- αcos 1 x-1 x 2 2 = ĐỀ 5 Câu 1: ( 3 điểm) Cho biểu thức: 2 1 1 ( ) : 2 1 1 1 x x x A x x x x x + − = + + − + + − 1- Rút gọn biểu thức A. 2- Tính giá trị của A khi 7 2 6x = − . 3- Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất. Câu 2: (3 điểm) 1- Cho phương trình: 2 ( 1) (2 3) 4 0m x m x m− − + + + = (1) a) Giải phương trình (1) khi m=2. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 ;x x thõa mãn 2 2 1 2 2x x+ = . 2- Cho phương trình ( 1) 2 1 3 1 a x y x ay − + =   + =  (I) a) Giải hệ (I) với 3 1a = + . b) Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm. Câu 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm N thuộc đoạn AM, vẽ đường tròn (O) có đường kính AN. 1- Gọi F là giao điểm của phân giác trong AD với (O), gọi E là giao điểm của phân giác ngoài góc A với (O). Chứng minh: EF là đường kính của đường tròn (O). 2- Đường tròn tâm (O) cắt AB tại K, cắt AC tại H, KH cắt AD tại I. Chứng minh: 2 .FK FI FA= . 3- Chứng minh: NH.CD = NK. BD. Câu 4: (1 điểm) Tính tổng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2008 2009 S = + + + + + + + + + ĐỀ 6 Bài 1 : ( 4,0 điểm ) a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 3 + y 3. b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 2 : ( 4,0 điểm ) Giải hệ phương trình : ( ) ( ) ( ) 3xy = 2 x+ y 5yz =6 y+ z 4zx= 3 z+ x      b) Giải phương trình : 2 2 25- x - 10- x = 3 Bài 3: ( 5,0 điểm) a) Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a +1 b +1 a b + là số nguyên; gọi d là ước chung của a và b. Chứng minh : d a +b≤ . b) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x 2009 + 2009y 2010 = 2011. Bài 4 : ( 2,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân. Bài 5 : ( 5,0 điểm ) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Trên đường tròn (O; R) vẽ dây AB = R. Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A). Đường thẳng qua N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E. a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm M trên cung lớn AB; b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. ĐỀ 7 Câu 1 ( 2 điểm) Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2(m – 1 )x + m - 2 = 0 . Với m là tham số, tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Câu 2 : (2 điểm) Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: T = 3 a a b c+ + + 3 b b a c+ + + 3 c c b a+ + ≤ 3 5 Caâu 3 :(2 điểm) Giải phương trình : 2 x + 2 2 ( 1) x x + = 3 Caâu 4 : (1 điểm) Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành một hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã viết với số thứ tự chỉ vị trí mà nó đứng. Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của tổng đó là như nhau. Caâu 5 : (3 điểm) Cho tam gíac ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. a . Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng. b . Gọi I là trung điểm MN, chứng minh góc OIO’ vuông. ĐỀ 8 Câu 1: (4điểm) a/ Chứng minh rằng: 322 32 ++ + + 322 32 −− − = 2 . b/ Giải hệ phương trình gồm hai phương trình sau: 1 y 1 x 1 22 =+ (1) và 2xy1y1x 22 +=−+− (2). Câu 2: (6 điểm) a/ Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình: (x 2 + 4y 2 + 28) 2 = 17(x 4 + y 4 + 14y 2 + 49) b/ Tìm n ∈ Z để n + 26 và n – 11 đều là lập phương của số nguyên dương. c/ Cho biểu thức A = x 2 + xy + y 2 – 3x – 3y + 3002. Tìm giá trị x và y để A đạt min. Câu 3: (2điểm) Giải hệ phương trình: x 3 y 2 5 (x 3)(y 2) 6  + + − =  + − = −  . Câu 4: (4 điểm) Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với hai đường cao AD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Kẻ đường kính BM của (O). Gọi I là giao điểm của BM và DE, K là giao điểm của AC và HM. a/ Chứng minh rằng: Các tứ giác AEDC và CMID là các tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh rằng: OK ⊥ AC. Câu 5: (4 điểm) Cho ∆ABC nội tiếp (O) và một điểm M bất kỳ trên đường thẳng BC (M ≠ B và C). Vẽ đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B; vẽ đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng: P ∈ (O) và đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên BC. ĐỀ 9 Câu 1 (3 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ A = 3x 2 – 8x + 4 b/ B = 4b 2 c 2 – (b 2 + c 2 – a 2 ) 2 . Câu 2 (3 điểm). Cho phương trình ẩn x là: 28 )x5(7 10 m 5 mx2 1 6 mx5 − −− + =− − a. Giải phương trình theo tham số m. b. Tìm các giá trị ngun của m để nghiệm của phương trình là x thoả 0 < x < 10. Câu 3 (2 điểm). So sánh 7474 −−+ và 2 Câu 4 (2 điểm). Giải phương trình: 11x1)1x( 2 −−=−− Câu 5 (4 điểm). Cho ∆ABC có  = 90 0 , phân giác BD, trung tuyến AM và trọng tâm là G. Cho biết GD ⊥ AC tại D. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AG. a. Chứng minh: DE // BC b. Tính số đo · ACB . Câu 6 (3 điểm). Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngồi tam giác các hình vng ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự là M và N. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của EG và BC a. Chứng minh KMIN là hình vng. b.Chứng minh IA ⊥ BC. Câu 7 (3 điểm).a. Chứng minh rằng + 2 3 28 29 30 A = 3 + 3 + 3 + + 3 3 + 3 chia hết cho 13. b. Giải bất phương trình 1+ x < 2 -x ĐỀ 10 Câu 1. ( 2 ®iĨm )Đơn giản biểu thức: P = 56145614 −++ 2) Cho biểu thức : Q = x x x x xx x 1 . 1 2 12 2 +         − − − ++ + với x > 0 và x ≠ 1 a) Rót gän Q b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trò là số nguyên Câu 2 . ( 1 ®iĨm ) Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số đứng trước nó chia hết cho 12. Câu 3 ( 2 ®iĨm ). Giải phương trình: a. x x 1 1 x(x 1)+ + = + + b. 2 2 2 x x 4 8 x 4 + − = − Câu 4 ( 1 ®iĨm ). Tìm nghiệm ngun dương của phương trình: 3x 2 + 2y 2 + z 2 + 2(2xy + yz + zx) = 26 Câu 5 ( 1 ®iĨm ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4x + 4y + 4 xy 6 x 5 y 8− − + Câu 6( 1.5 ®iĨm ). Cho tam giác ABC cân (AB = AC, · BAC 45< o ). Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho DC < DB. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB theo thứ tự tại M, N. Điểm H đối xứng với D qua đường thẳng MN. Gọi giao điểm của các đường thẳng AH và BC là I. Tứ giác ANMH là hình gì? V× sao? Câu 7( 1.5 ®iĨm ). Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M là giao điểm của AB và CD, N là giao điểm của AD và BC. Gọi E, F, và K lần lượt là trung điểm của BD, AC và MN. Chứng minh 3 điểm E, F, K thẳng hàng. ĐỀ 11 Bài 1: (4 điểm) a)Chứng tỏ rằng luôn tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp mà trong chúng ko có số nào là số nguyên tố . b) Tìm tất cả các giá trò tự nhiên của n để tổng 2 A = n n + 6+ có giá trò là số chính phương . Bài 2: (5 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c a b b c c a 3 a + b + c≤ + + + + + < . b) 2 2 2 a b c a + b + c b + c c+ a a + b 2 + + ≥ . Bài 3: (5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3 24 + x 12 - x 6+ = . b) ( ) ( ) ( ) ( ) x + 5 x + 6 x + 8 x + 9 40= . Bài 4: (3 điểm) Cho △ABC không là tam giác vuông có BI và CK là hai đường cao ( I ∈ AC ; K ∈ AB). Vẽ đường tròn tâm B bán kính BK và đường tròn tâm C bán kính CI . Đường thẳng IK lần lượt cắt đường tròn ( B ; BK ) và đường tròn ( C ; CI ) tại các điểm khác là D và E . Chứng tỏ rằng KD = IE . Bài 5: (3 điểm) Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ; qua M kẽ các tiếp tuyến MB và MD với đường tròn (O) (B và D là các tiếp điểm). Một đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) tại C và A ( C nằm giữa M và A ). Gọi I là trung điểm của dây BD. Chứng minh rằng: a) AB . CD = AD . BC ; b) IAB = MAD. ĐỀ 12 Câu 1: (2 điểm) Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số ngun liên tiếp khơng phải là bình phương của một số ngun. Câu 2: (2 điểm)Hãy tính giá trị của biểu thức P = a 3 + b 3 – 3(a + b) + 2008 bết rằng: 3333 2121721217;625625 −++=−++= ba (Khơng sử dụng máy tính cầm tay). Câu 3: (3 điểm)Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC. a Viết phương trình của đường thẳng BC. b Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 4: (5 điểm) a Cho x > 0; y > 0. Chứng minh rằng yx yxyx ; 411 ∀ + ≥+ b Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = 2 cba ++ . Chứng minh rằng nếu cbacpbpap 222111 ++= − + − + − thì tam giác đó là tam giác đều. Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b, c. Chứng minh rằng: ))(( SinCSinBSinAcbaSinCcSinBbSinAa ++++=++ Câu 6: (4 điểm) Gọi H là chân đường vng góc hạ từ đỉnh A lên đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH và CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, P, Q và D cùng nằm trên một đường tròn. ĐỀ 13 Bài 1: (3đ) Cho x3 3x 1x )3x(2 3x2x 3xx P − + + + − − −− − = 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị của P khi x = 14 - 6 5 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P và giá trị tương ứng của x. Bài 2: (3 đ) Giải pt 1) 1 x1x 1 1x2x 1 2x3x 1 = ++ + +++ + +++ 2) 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx Bài 3: (3 đ) 1) Cho biểu thức A = 2 4 20x x− + . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 2) Cho )3)(3( 22 ++++ yyxx =3. Tính giá trị biểu thức P = x + y. Bài 4: (3 điểm) 1) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 )x 2 + 1 = y 2 2) Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: 1980=+ yx Bài 5: ( 3 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin 2 2 A a bc ≤ Bµi 6: (5 đ) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./. ĐỀ 14 Câu 1: ( 6,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + − + − − − = 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2 1 4x 4x 4x 12x 9+ + + − + Câu 2: ( 3,0 điểm) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì 2 2 3 8 15 n 1 S 4 9 16 n − = + + + + không thể là một số nguyên. Câu 3: ( 3,0 điểm) Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên. Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Câu 5: ( 5,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC. 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB). ĐỀ 15 Câu 1:(4 điểm). Giải hệ phương trình: x 2 - 4y = 1 y 2 - 6x= -14 Câu 2:(4 điểm). Toạ độ đỉnh của tam giác ABC là: A(2;2), B(-2;-8), C(-6;-2) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Câu 3:(3 điểm). Cho phương trình: 2x 2 + (2m - 1) + m - 1 a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 thoả mãn 3x 1 - 4x 2 = 11 b) Chứng minh rằng phương trình khơng có hai nghiệm số dương. Câu 4:(2 điểm). Tìm nghiệm ngun của phương trình sau: 3x + 2y = 3 Câu 5:(7 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẻ một sợi dây AC bất kì. Trên tia AC lấy điểm D sao cho: AD = 2AC. a) Xác định vị trí của điểm C để BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. b) Tìm tập hợp tất cả các điểm D khi C di chuyển trên đường tròn tâm O. ĐỀ 16 Câu 1: (4 điểm) Cho phương trình : 2 2 (6 3) 3 1 0x m x m− − − + = ( x là ẩn số) a) Đònh m để phương trình trên có hai ngiệm phân biệt đều âm. b) Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình trên. Đònh m để A= 2 2 1 2 x x+ đạt giá trò nhỏ nhất. Câu 2 : (4 điểm) a) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh: 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + b) Cho 1 ; 1a b≥ ≥ . Chứng minh : 1 1a b b a ab− + − ≤ Câu 3 : (4 điểm) Giải các phương trình : a) 2 2 2 ( 3 ) 6( 3 ) 7 0x x x x− − − − = b) 8 3 5 3 5x x+ − + − − = c) 2 2 1x x x x x+ + − = + Câu 4 : (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 1n n+ + không chia hết cho 9. Câu 5 : (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H. a) Xác đònh vò trí của điểm M thuộc cung BC khơng chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành. b) Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N , H , E thẳng hàng. Câu 6 : (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 , diện tích tam giác COD bằng 9. Tìm giá trò nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD. ĐỀ 17 Bài 1 (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 a b c 2 (1) a b c 2 (2) + + =   + + =  Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) a b c 2 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + = + + + Bài 2 (4 điểm) Giải các phương trình: a) 2 x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6 + + = + + + − b) 2 x 2x 2 2 2x 3 − + = − Bài 3 (4 điểm) Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R. Chứng minh rằng: a) MP MQ MR 1 AP BQ CR + + = b) MA MB MC 2 AP BQ CR + + = Bài 4 (4 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH để được hình vuông EFGH. Với giá trị nào của AE thì diện tích EFGH đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 5 (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho: (a, b) = 1 và 2 2 a b 9 a b 41 + = + ĐỀ 18 Bài 1: (2,5 điểm)a/ Chứng minh rằng : 3n 4 – 14n 3 + 21n 2 – 10n M 24 với mọi n ∈ N b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên n lẻ thì : n 2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 Bài 2: (2,5 điểm)Rút gọn biểu thức: a) A = 4 2 3 4 2 3+ − − b) B = 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − + Bài 3 : (3 điểm) a) Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng : 1 1 2 2 a b a b ab a b + + + + + ≥ + + b) Cho x + y = 1 và x, y đều khác 0. Tìm giá trị lớn nhất của :A = 3 3 1 x y xy+ + Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình : x 2 – 2mx + m 2 – 6m + 10 = 0 (1) (x là ẩn) a) Xác định m để phương trình có nghiệm. b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương. c) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của (1), lập một phương trình bậc hai theo y có hai nghiệm là y 1 = x 1 – 2x 2 , y 2 = x 2 – 2x 1 . Bài 5: (3 điểm) )Giải phương trình: a. 3 2 1 1 0x x− + − − = b.x + y + z + 4 = 2 2x − + 4 3y − + 6 5z − Bài 6: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn để AM + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 7: (3 điểm) Cho đ ường tròn tâm O v à đi ểm M ở trên đ ường tròn đ ó. Đường tròn tâm M cắt đường tròn tâm O tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi C là điểm ở trên đường tròn tâm M và ở miền ngoài đ ường tròn tâm O. Đường thẳng AC cắt đường tròn tâm O ở D. Chứng minh: MD vuông góc với BC. ĐỀ 19 Bài 1. Cho hai số a, b khác 0 thỏa mãn: a + b = 1. Chứng minh rằng: 3 3 2 2 b a 2(a b) a 1 b 1 a b 3 − − = − − + Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho x 3 – x 2 y + 3x – 2y – 5 = 0 Bài 3. Giải phương trình sau 3 2 4 x 1 x x x 1 1 x 1− + + + + = + − Bài 4. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và · COD = α (α < 90 0 ). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi E, G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB, BOC và AOD. Biết AH cắt DK tại F. Chứng minh rằng: a) EG // AC và EG AC EI BD = b) FK = AD.cotgα c) ΔIEG ΔHFK Bài 5. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c 3 1 b 1 c 1 a 2 + + ≥ + + + ĐỀ 20 Bài 1 (2 đ): Rút gọn các biểu thức: a) 51229526 −−+= A b) 402088 +++= B Bài 2 (2 đ): Cho: abccba 3 333 =++ . Tính giá trị biểu thức: A= ).1)(1)(1( a c c b b a +++ Bài 3 (2 đ): Có 37 cây táo có số trái bằng nhau, 17 trái hỏng , còn lại chia đều cho 79 người. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy trái ? Bài 4 (2 đ): Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, kẻ HE ⊥ AC(E ∈ AC), gọi I là trung điểm HE. Chứng minh : AI ⊥ BE. Bài 5 (2 đ): Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 1x5. Hãy cắt tấm bìa thành các mảnh để ráp lại thành một hình vuông. Giải thích. . d a +b≤ . b) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 200 8x 200 9 + 200 9y 201 0 = 201 1. Bài 4 : ( 2,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt. Chứng minh: NH.CD = NK. BD. Câu 4: (1 điểm) Tính tổng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 200 8 200 9 S = + + + + + + + + + ĐỀ 6 Bài 1 : ( 4,0 điểm ) a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của. trung điểm của đoạn thẳng AG. a. Chứng minh: DE // BC b. Tính số đo · ACB . Câu 6 (3 điểm). Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngồi tam giác các hình vng ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự là M và N. Gọi