Đang tải... (xem toàn văn)
2/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.[r]
(1)KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:
Bảng giá trị góc đặc biệt: Góc
GTLG
00 (0)
300 (6
)
450 ( )
600 (3
)
900 (2
)
Sin 0
2
2
3
1
Cos 1
2
2
1
2
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
2
2
2
sin cos R tan cot k ,k Z
2
1 1 tan k ,k Z
cos
1 1 cotg k ,k Z sin
Hệ quả:
sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x
tanx= cotx ;
1 cot
tan x
x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: “ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch ”
D/ Công thức lượng giác Cơng thức cộng:
Với cung có số đo a, b ta có:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) =
tan tan tan tan
a b
a b
tan(a + b) =
tan tan tan tan
a b
a b 2 Công thức nhân đôi:
2
sin
3
(2)tan2a =
2
2 tan tan a
a 3 Công thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc:
cos2a =
1 cos 2
a
sin2a =
1 cos 2
a
tg2a =
1 cos cos a a
5 Cơng thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan2 x
: sinx =
2
t t
cosx =
2 1 t t
tanx = 2
t t
cotx =
2 t t
6 Cơng thức biến đổi tổng thành tích
a b a b cosa cos b cos cos
2
a b a b cosa cos b 2sin sin
2
a b a b sin a sin b 2sin cos
2
a b a b sin a sin b cos sin
2 sin( )
tan tan ( , , )
cos cos
a b
a b a b k k Z
a b
sin( )
cot cot ( , , ) sin sin
a b
a b a b k k Z
a b
sin( )
cot cot ( , , )
sin sin
a b
a b a b k k Z
a b
sin cos sin( ) ( )
4
a a a cos a
sin cos sin( ) ( )
4
a a a cos a
cos sin ( ) sin( )
4
a a cos a a
7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
(3)
1
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
b a a b a b
E/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác bản
DẠNG 1 : sinu = sinv ⇔
2
u v k
u v k
Nếu u, v tính độ :
sinu = sinv ⇔
0
0
.360 180 360
u v k
u v k
Phương trình sinx = a có nghiệm – ≤ a ≤ hay a ≤ vô nghiệm
a a
hay a >1.
Các trường hợp đặc biệt : sinx = ⇔ x = k π sinx = ⇔ x =
+ k2p sinx = – ⇔ x = –
+ k2p
Cho a [ 1; 1] arcsina góc 2
; cho sin = a Khi phương trình sinx = a
2
x arcsina k x arcsina k
DẠNG 2 : cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2 π Nếu u, v tính độ :
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k.360o
Phương trình cosx = a có nghiệm – ≤ a ≤ hay a ≤ vô nghiệm
a a
hay a >1.
Cho a [ 1; 1] arccosa góc ; cho cos = a Khi phương trình: cosx = a
2
x arccosa k x arccosa k
Các trường hợp đặc biệt : cosx = ⇔ x =
+ k π cosx = ⇔ x = k2 π
(4) Cho a bất kỳ, ký hiệu arctana góc thuộc
; 2
sao cho tan = a. Khi đó, ph tr tanx = a x = arcta + k.
DẠNG 4 : cotu = cotv ⇔ u = v + k π
Nếu u, v tính độ cotu = cotv ⇔ u = v + k.180o
Cho a bất kỳ, ký hiệu arccota góc thuộc a 0;sao cho cotx = a Khi đó, ph tr cotx = a x = arccota + k.
2/ Phương trình bậc hai hàm số lượng giác. Là phương trình lượng giác có dạng sau:
at2 + bt + c = (1) , t hàm số: sinu; cosu; tanu; cotu.
Với a;b;c R; a0 Và u: biểu thức chứa ẩn (u=u(x)).Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều
kiện ẩn phụ:
+ t=sinu , t=cosu : t 1 + t=tanu (u k )
; t=cotu (u k )
Giả sử giải tìm t1; t2 thoả đ/k phải giải tiếp:sinu=t1; sinu=t2(hoặc cosu=t1; cosu=t2 ) 3/ Phương trình bậc sinx, cosx
Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (2) (a,b,cR a b c, , , 0) Phương pháp giải:
Chia hai vế PT cho a2 b2 ,
(1) 2sin 2 cos 2
a b c
x x
a b a b a b
(ĐK để PT (2) có nghiệm: a2b2 c2) sin cosx cos sinx sin sin(x) sin Trong đó:
2 2 2
cos a ; sin b ; sin c
a b a b a b
4/ Phương trình đẳng cấp bậc hai:
Dạng: a.sin2u+b.sinu.cosu+c.cos2u = 0(3) (hoặc vế phải = d0)
Phương pháp giải: B1:Xét u k
có thỏa phương trình khơng? B2: Nếu u k
không thỏa phương trình ta chia vế phương trình cho cos2u 0 Ta có PT bậc : atan2 u+btanu+c = trở dạng 3
5/ Phương trình lượng giác đối xứng:
Dạng: a(sinx cosx) + bsinxcosx + c = (4) (a,b,cR a b, , 0) Phương pháp giải:
Đặt t = sin cosx x sin(x 4) (*)
(Đ/k : t 2)
2 1
sin cos
2 x xt
Thế vào PT (4) ta phương trình:
2
2
1
.( ) 2
2
t
at b c bt at c b
(4’)
Giải PT (4’) ta tìm giá trị t thoả đ/k, vào (*) giải tiếp tìm nghiệm x
(5)