LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i c¸c giao ®iÓm cña nã víi trôc hoµnh... Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).[r]
(1)Các toán liên quan đến khảo sát hàm số Bài toán1: tơng giao hai đồ thị hàm số
1.Cho hàm số y=(x-1)(x2+mx+m).Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt Cho hàm số y=x3-3x2(C).Tìm m để đờng thẳng y=mx cắt đồ thị(C) điểm phân biệt có 2
điểm có hoành độ dơng 3.Cho hàm số y=mx
2 +x+m
x −1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ dơng
4.Cho hµm sè y=x
−2x+4
x −2 (C) Tìm m để đờng thẳng d: y=mx+2-2m cắt (C) hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị
5.Cho hµm sè y= − x
2x+1 d đờng thẳng qua A(0;-1) có hệ số góc k.Tìm m để d cắt đồ thị hàm số điểm thuộc nhánh khác đồ thị
6 Cho hµm sè y=x
+mx−1
x −1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt d: y = m hai điểm A,B cho OA OB
7.Cho hµm sè y=x
+x −1
x −1 Tìm m để d: y=-x+m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt,khi CMR điểm thuộc nhánh đồ thị
8.Cho hµm sè y= − x
2x+1 CMR đồ thị hàm số cắt d: y=2x+m điểm phân biệt A B thuộc nhánh khác đồ thị, tìm m để độ dài AB ngắn nhất?
9.Cho hàm số y=x3−(2m+1)x2−9x. Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
10.Cho hàm số y=x4−mx2+m−1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
11.Cho h/s
2
x x
y
x 1
m m
(1)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) h/s (1) m = -1
b) Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dơng 2003_A
12. a) Khảo sát h/s
2
x 2x 4
y
x 2
(1)
b) Tìm m để đờng thẳng dm : y = mx + – 2m cắt đồ thị h/s (1) điểm phân biệt ? 2003_d
13 Cho h/s
2
x 3x 3
y
2(x 1)
(1) a) Khảo sát vẽ đồ thị h/s (1)
b) Tìm m để đờng thẳng d : y = m cắt đồ thị h/s (1) điểm A, B cho AB = 2004_A
14 Cho h/s
3
y x 3x 2
a)Khảo sát vẽ đồ thị (C) h/s
b)Gọi d đờng thẳng qua A(3 ; 20) có hệ số góc k Tìm k để đờng thẳng d cắt (C) điểm
ph©n biƯt ? 2006_D
15 Cho Hµm sè
2
( 1)( )
y x x mx m ( C
m) DỰ BỊ B1 –2003:
a-KS-HS ( Cm ) m=4
b-Tìm m để ( C m ) cắt ox t¹i điểm phân biệt
HD: pt x2mx m 0
(2)16 (C) y2x3 3x21 DỰ BỊ D2 –2003:
a) KSHS ( C )
b) Đờng thẳng ( d ) qua M ( 0;1) coự HSG laứ k , tỡm k để ( d ) caột ( C ) tái ủieồm phãn bieọt
k>-9/8 vaø k0
17.DỰ BỊ –2002:( Cm)
2 1 x mx y x
a- Ks hs ( C ) m=1
b- Tìm ( C ) Các điểm M có toạ độ nguyên
c- Xác định m để đg thẳng y=m cắt ( Cm ) A B cho OA vng góc OB
HDĐS: b- (0;1) ; (2;5) c- pthđộ : x2=1-m pt có ngh
m<1
A(xA;yA) ; B( xB;yb):với y = m Với :
1 2
1;
OA OB x x y y
x x m y y m
Vaäy : m2+m –1=0
1
2
m
(nhaän) 18 Cho hs : ( C )
2 x y x
a-KS-( C )
b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt A;B với m Xác định m để AB ngắn
AB2 = 5( x 2-x1)2=
2
5
[( 4) 16] 20
4 4 m m
19.Cho hµm sè: y=x3 – 6x2 + 9x
1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số
2, Đờng thẳng (d) qua M(4; 4) có hệ số góc k Xác định k để (d) cắt (C) điểm phân biệt ( ĐH Đại cơng TP HCM 1996)
20 Cho hµm sè: y=x3 +3x2 -1
1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số 2, Tính DTHP giới hạn (C) đờng thẳng y=-1
3, Đờng thẳng (d) qua A(-3;-1) có hệ số góc k Xác định k để (d) cắt (C) điểm phân biệt
( §T HK II 12 THPT 2006-2007)
21 Chứng minh đờng thẳng y= -x+m ln cắt đồ thị hàm số y=2x+1
x+2 t¹i hai điểm phân biệt 22 Cho hàm số y = x3+ 3x2 + mx+ m -2 , (C
m) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=3
2) Gọi A giao điểm (C) với trục tung.Viết phơng trình tiếp tuyến d (C) A Tính diện tich hình phẳng giới hạn (C) d
3) Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt
( ĐT TN 12 THPT 1997-1998 Kì I)
23 Cho hµm sè y=x+1
x −1 có đồ thị (C)
1, Tìm m để đờng thẳng d : y= mx +1 cắt (C) điểm phân biệt 2, Tìm m để d cắt (C) điểm thuộc hai nhánh (C)
( §s: 1, m<-8 hay m>0 ; 2, m>0 ) 24 Cho hµm sè y=x
2 +x −1 x −1
1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số 2, Tìm đồ thị điểm cách trục toạ độ
3, Với giá trị m đờng thẳng y=m-x cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt ? Chứng minh hai giao điểm thuộc nhánh đồ thị
( ĐH Hàng Hải năm 1999) ( §s: 2, A(
2;
2¿ , B( √ 2 ;−√
2
2 ¿ , C(- √ 2 ;√
2
(3)25 Cho hàm số y=x3−3x2+4 (1) ÑH D 2008
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1;2) với hệ số góc k (k > - 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB
bài toán 2 : dùng đồ thị để biện luận số nghiệm phơng trình
Giả sử cần biện luận số nghiệm phơng trình F(x; m) = (1) đồ thị (C) hàm số y=f(x) đã đợc vẽ Khi biến đổi phơng trình (1) thành phơng trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C)( đ-ợc vẽ) có dạng:
f(x) = g( m) Trong g( m) đờng thẳng (d)
Số nghiệm phơng trình (1) số giao điểm (C) (d) 1.Cho hàm số y = x3 +3x2 -2
1, Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2, Biện luận đồ thị số nghiệm phơng trình:
a x3 +3x2 - = m b x3 +3x2 - m = c x3 +3x2 +2m-1 = d -x3 -3x2 +1- m = 0 2.Cho hµm sè: y=x3 – 6x2 + 9x
1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số 2, Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm uốn
3, Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phơng trình
x3 – 6x2 + 9x –m=0 ( Thi TN THPT 1993) Cho hµm sè y =
3 mx3-(m-1)x2 + 3(m-2)x+
1,Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=2 Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm uốn
2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hồnh,đờng thẳng x=0,đờng thẳng x=1 3, Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phơng trình
2x3- 3x2 -2 - 3k =0.
5.Cho hàm số y = x4- 4mx3 - 2x2 +12mx có đồ thị (C m) 1, Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=0
2, TÝnh diÖn tÝch hình phẳng giới hạn (C), trục hoành
3, Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phơng trình x4- 2x2 - k =0.
6.Cho hàm số y = x3 -3x -2 có đồ thị (C). 1, Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2, Biện luận đồ thị (C) số nghiệm phơng trình: x3 -3x - m = 0
( Thi TN BTTH 2004-2005) 7 Cho hµm sè y=x
2 − x+4 x −1
1, Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ, tung độ số nguyên
2Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phơng trình: x
2− x+4 x −1 =m
8 .Cho hàm số y=− x3+3 mx2+3(1− m2)x+m3−m2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=1.Tìm k để phơng trình − x3
+3x2+k3−3k2=0 cã nghiƯm ph©n biƯt
9.Vẽ đồ thị hàm số y=x3−3x2+4 Từ tìm k để phơng trình x3−3x2− k+5=0 có nghiệm phân biệt
10 BiƯn ln số nghiệm phơng trình: x33x
+m+2=0 theo m
11.Vẽ đồ thị hàm số y=− x3+3x −2 .Tìm m để phơng trình |x|3
−3|x|+2+lgm=0 cã nghiƯm
ph©n biƯt
12.Vẽ đồ thị hàm số y=x
2− x+1
x −1 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phơng trình : x2- (m+1)x+1+m=0
13.Vẽ đồ thị hàm số y=x
+2x+3
x+1 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phơng trình : x2+(2- m)x+1- m = 0
14 Vẽ đồ thị hàm số y=x2− x+1
(4)sin2x −|sinx|+1=m(|sinx|−1) trªn [−Π ;
Π ] 15 Vẽ đồ thị hàm số y= x2
x −1 Từ biện luận theo m số nghiệm phơng trình m= x2
|x|−1
16 Vẽ đồ thị hàm số y=− x3+3x2−2 .Tìm m để phơng trình |− x3+3x2−2|−log
2m=0 cã nghiƯm ph©n biƯt
17 Vẽ đồ thị hàm số y=x
− x+1
x −1 Từ biện luận số nghiệm pt
x2− x+1
|x −1| =2
m
theo m.212
18.Vẽ đồ thị hàm số y=x
− x+1
x −1 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phơng trình cos2x −(m+1)cosx+1+m=0
19 Tìm m để phơng trình : x4- 2x2+m = có nghiệm phân biệt. 20 ẹH Naờm 2006:
1-Kh A : ( C ) y = 2x3-9x2+12x - 4 a-KH-HS ( C )
b-Xác định m để pt :
3 2
9 12
x x x m coự nghieọm phãn bieọt. Bài tốn 3 : phép biến đổi đồ thị
1.Vẽ đồ thị hàm số y=x
− x+1
x −1 Từ suy đồ thị hàm số y=|
x2− x+1 x −1 | 2.Vẽ đồ thị hàm số y=− x3+3x2−2 .Từ suy đồ thị hàm số y=−|x|3
+3|x|−2 3.Vẽ đồ thị hàm số y=x
2 +x −1
x −1 Từ suy đồ thị hàm số y= x2
+x −1
|x −1|
4.Vẽ đồ thị hàm số y=− x3+3x2−2 Từ suy đồ thị hàm số y=|− x3+3x2−2| 5.Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)=x+1
x −1 Từ suy đồ thị hàm số y=|f(x)| , y=f(|x|) , y=|x+1|
x −1 , y= x+1
|x 1|
Bài toán 4 : Bài toán tiếp tuyến
*Chỳ ý: Khi thực toán tiếp tuyến đồ thị hàm số cần phân biệt ngôn từ đợc dùng: + Phơng trình tiếp tuyến điểm M(x0; y0) (C) ( x=x0 ) có phơng trình : y- y0 = y’(x0) (x-x0) ( Khi có tiếp tuyến (C) M )
+, phơng trình tiếp tuyến qua M ( thuộc hay khơng thuộc (C) ) Khi có nhiều tiếp tuyến
+, §êng th¼ng y= kx + b cã hƯ sè gãc k=tg α
Hai đờng thẳng song song có hệ số góc VD: y= 5x+ 3; y= 5x-9
Hai đờng thẳng vng góc có tích hệ số góc -1.VD: y= 5x+3 ; y=- x
Dạng 1: Viết PTTT biết tọa độ tiếp điểm (Viết PTTT điểm)
1 Cho hµm sè: y=x3 – 6x2 + 9x (C) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) điểm I( 2; 2)
2 Cho hµm sè y= x3- x (C) Lập phơng trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục hoành
Bài Gi¶i
Hồnh độ giao điểm (C) trục Ox nghiệm phơng trình :
x3 – x =
x=0 ¿ x=±1
¿
(5)phơng trình tiếp tuyến (C) O(0; 0) là: y=y(0) (x- 0) y= -x
phơng trình tiếp tuyến (C) A(1; 0) là: y=y(1)(x-1) y=2x-2 phơng trình tiếp tuyến (C) B(-1; 0) là: y=y(-1)(x+1) y=2x+2 3.Cho hµm sè y=f(x)=2x3+3x2−2(C) ViÕt PTTT víi (C):
a) Tại M(0;-2) b)Tại điểm N có hồnh độ -1 c)Tại điểm P có tung độ -2 d) Tại điểm uốn đồ thị e) Tại điểm cực trị đồ thị (C)
Cho hµm sè y=f(x)=1 2x
4
−3x2+3
2(C) ViÕt PTTT víi (C) điểm uốn 5.Cho hàm số y=f(x)=x3+3x2(C) ViÕt PTTT víi (C):
a)ViÕt PTTT với(C) điểm uốn
b)Tìm điểm chung khác tiếp điểm tiếp tuyến với (C) cã
c) CMR tiếp tuyến với đồ thị , tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ
6.Cho hàm số:y=f(x)=2x3-3x2 +9x-4(C).Viết PTTT (C) giao điểm (C) với đồ thị sau :
a) y=7x+4 b) y=-x2+8x-3 c) y=x3- 4x2+6x-7
7 Cho hàm số(C):y= f(x) = 2x4+mx2 – (m+1)(C).Biết A điểm thuộc đồthị có hồnh độ âm.Tìm m để tt A song song với đờng thẳng y=2x
Cho hàm số(C):y= f(x) = x3- 3x.Tìm m để đờng thẳng y=m(x+1)+2 cắt đồ thị điểm A,B,C cho tt B,C vng góc với nhau(A điểm cố định)
9 Cho hàm số y=f(x)=x3−3x2+1(C) Gọi I điểm uốn đồ thị, d đờng thẳng qua I với hệ số góc k.Biết d cắt đồ thị điểm A,B,I.CMR tt (C) A,B song song với
10 Cho h/s
2x y
x+1
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) h/s
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến M cắt trục tọa độ điểm A, B tam giaực OAB có diện tích
1
4 2007_D D¹ng 2: ViÕt PTTT biÕt tríc hƯ sè gãc (BiÕt ph¬ng cđa tt)
1 Cho hàm số(C):y= f(x) = -x3+3x2 - 4x+2.Viết PTTT (C) biết tt vng góc với đờng thẳng y=1
4 x+3
Cho hàm số(C):y= f(x) = -x3+ 3x+1.Viết PTTT (C) biết tt song song với đờng thẳng y=- 9x+1
3 Cho hµm sè y=f(x)=1 x
4
−3x+2(C) CMR từ điểm A(7/2;0) kẻ đợc tt đồ thị (C) 2tt vng góc với
4.Cho hµm sè y=x
+2x+2
x+1 (C) CMR từ điểm A(1;0) kẻ đợc tt đồ thị (C) 2tt vng góc với
5.Cho hàm số (C) :y= f(x) = x3- 3x2.Viết PTTT (C) biết tt vng góc với đờng thẳng y=1/3x Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x2+1.Viết PTTT (C) biết tt song song với đờng thẳng y=9x+2007
7 Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x+7 Viết PTTT (C) biết tạo với đờng thẳng y= 2x+3 góc 45ο
8 Cho hµm sè y=x 2+2x
+2
x+1 (C).ViÕt PTTT víi (C) biÕt tt vuông góc với tiệm cận xiên
Cho h/s
2
x x 1
y
x+2
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) h/s
(6)9.Gọi (Cm) đồ thị h/s
3
1 1
y x x
3 2 3
m
(*) a) Khảo sát vẽ đồ thị h/s (*) m =
b) Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đt: y = 5x
2005_d
Dạng3: Viết PTTTbiết tt qua mét ®iĨm cho tríc)
Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 +3x2+1.Viết PTTT (C) biết tt qua gốc toạ độ Cho hàm số(C):y= f(x) = x3 - 3x2+2.Viết PTTT (C) biết tt qua điểm A(0;3)
3.Tìm điểm N thuộc đồ thị hs (C) :y= f(x) = 2x3 +3x2-12x-1 cho tt N qua gốc tọa độ Cho hàm số y=3x+2
x+2 (C).CMR khơng có tt đồ thị qua giao điểm đờng tiệm cận Cho hàm số y=f(x)=1
4 x
3−3x(C
) Cho M điểm nằm đồ thị có hồnh độ 2√3 ,viết ptđt d qua M tt (C)
Cho hµm sè y=x
2−mx+m
x −1 (C).Tìm m cho tt kẻ từ O đến đồ thị vng góc với Cho hàm số y=x
2 +x
x −2 (C),(d) đờng thẳng qua B(0;b) song song với tt (C) O.Xác định b để (d) cắt (C) điểm M,N
8 Lập phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y= x+2
x −2 Biết tiếp tuyến qua điểm A(-6; 5) 9.Cho hàm sè y= x
2+2x+2 x+1
1.Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2.Chứng minh có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A(1; 0) vng góc với 10 Cho hàm số y=1
3x
− x2 có đồ thị (C) 1)Khảo sát hàm số
2)Viết phơng trình tiếp tuyến (C) ®i qua ®iĨm (3;0) ( 2,§s: y= ; y= 3x – )
11 Cho hµm sè y=2x+1
x+1 có đồ thị (C) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung , trục hoành độ thị (C)
3)Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(- 1; 3) ( Đs: 2, 1- ln2 ; y=
4 x+ 13
4 )
12 Cho hàm số y = 4x3– 6x2+ (1) ÑH B 2008
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1;-9) (Ñs: y = 24x + 15 hay y = 154 x −21
(7)