Chuyen deTich vo huong cua hai vecto

Chøng minh BCDI lµ h×nh b×nh hµnhb. Gäi I vµ I lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BD..[r]

Giá trị lợng giác góc bÊt kú Bµi :

Chứng minh với góc  từ 00đến

0

180 ta lu«n cã sin2x cos2x 1

 

Bµi :

Cho biÓu thøc

4cos 5sin cos sin

P  

 

 



a.Với giá trị góc  biểu thức khơng xác định b Tìm giá trị P biết tan 2

Bµi :

Tính giá trị biÓu thøc sau

0 0 0

0 0 0

cos cos 20 cos 40 cos160 cos180 tan tan10 tan15 tan 80 tan 85

a A b B

     



0 0 0

cos1 cos cos3 cos178 cos179 cos180 c C

Bài : Tìm

sin

a xkhi biÕt

1 cos

3 x cos

b xkhi biÕt sinx0,3

cos

c xvµ sinx

2 sin cos

3 x x Bµi :

a Chøng minh r»ng víi mäi gãc  kh¸c 900, ta cã

2

2

1 tan

cos 



 

b Chøng minh r»ng víi mäi gãc  00vµ

0

180

  , ta cã

2

2

1 cot

sin 



 

Bµi :

Cho

3 sin

2

  

(00  900) TÝnhtan Bµi :

Cho

2 sin cos

2

x x 

TÝnh :

4

6

sin cos sin cos sin cos

a x x

b x x

c x x

  Bµi :

BiÕt tan cot m T×m :

2

4

6

tan cot tan cot tan cot a

b c

 

 

 

   Bµi :

Cho tam gi¸c ABC H·y chØ c¸c sè b»ng số sau

cos ; cot ; tan ;cos ;sin ;cot ; tan ;cos ; sin ;sin ; cos

2 2 2

A A A A B C B C

A A A A A  

   tan ;

cot ; B C

;sin(B C );cos(B C ) ; tan(B C );cot(B C ) Bài 10 :

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào , x

2 8 6

2

2

cot 30 (sin cos ) 8cos 60 (sin cos ) 6cos (90 ) cot cos sin cos

cot cot

a P

x x x x

b Q

x x

    

     

  

 

 

Bµi 11 :

Rót gän c¸c biĨu thøc sau

6 4

2(sin cos ) 3(sin cos )

a A      

2

2

1

tan sin

cos

c C x x

x

  

2

(tan cot ) (tan cot )

b B x x  x x

1 1

sin cos cos d D

x x x

  

 

2 2 3

sin 54 3sin 126 sin 36 cos 126 3cos 126 cos 36

e E     

Bµi 12 :

Chứng minh đẳng thức

2 2

tan sin tan sin sin cos

cos sin

a x x x x

x x

b

x x

 





 4 4

1 cot tan

1 cot tan

sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin

x x

c

x x

d x x x x x x

 



 

     

TÝch v« híng cđa hai vectơ ứng dụng

Dạng1 : Bài toán tính tích vô hớng hai vectơ

Bi 1 : Cho tam giác ABC cạnh a Gọi G tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác Tính tích vơ hớng sau : AB AC ; AB BC ; AG AC ; AG CD ; AG BC

                                                                                                                                          

a Tìm cosin gãc (AB AC, );(AB BC, );(AB CB, )

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

b Gäi H hình chiếu A BC Tính HB HC

                           

Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB=7, AC=5, A=1200 a Tính tích vô hớng AB AC AB BC ;

                                                       

b Tính độ dài trung tuyến AM tam giác (M trung điểm BC) Bài 4 : Tam giác ABC có AB c BC a AC b ;  ; 

TÝnh c¸c tÝch v« híng AB AC AB BC ;    

Bài 5 : Cho hình thang vng ABCD, đờng cao AB = 2, đáy lớn BC = 3, đáy nhỏ AD = Tính tích vô hớng AB CD BD BC ; ; AC BD ; AI BD

                                                                                                               

(I trung điểm CD)

Bi 6 : Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O M điểm tuỳ ý đờng trịn nội tiếp hình vng N điểm tuỳ ý cạnh BC Tính MA MB MC MD 

   

; NA AB

 

; NO BA

 

Dạng : Chứng minh đẳng thức tích vơ hớng độ dài vectơ Bài 7 : Cho hai điểm A B O trung điểm AB, M điểm tuỳ ý

Chøng minh r»ng MA MB OM  2 OA2  

Bài 8 : Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Có AC BD kà hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt E Chứng minh :

2

AE AC BE BD AB    

Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm tuỳ ý Chứng minh : a MA MC MB MD  

   

b MA MC MB MD     

c MA2MC2MB2MD2

Bµi 10 : Cho tam giác ABC Gọi J điểm thoả m·n JAJBJC0

   

(Khi J đợc gọi tâm tỉ cự A, B, C theo số (  , , )) với 0 Chứng minh với điểm M ta có :

2 2 2 ( )

MA MB MC JA JB JC MJ

        

Từ suy ra, tam giác ABC có trọng tâm G với điểm M ta có : MA2 MB2MC2 GA2GB2GC23MG2

Phát biểu toán tổng quát cho J tâm tỉ cự hƯ n ®iĨm  A A A1, 2, , ,3 An theo bé sè

  1, 2, , ,3 n

 Ap dụng : Cho tam giác ABC có D trung điểm AB, I điểm xác định : IA3IB 2IC0

a Chứng minh BCDI hình bình hành

b M điểm tuỳ ý, chøng minh : MA23MB2 2MC22MI2IA23IB2 2IC2

Bµi 11 : Cho tứ giác ABCD Gọi I I lần lợt trung điểm AC BD Chứng minh : AB2BC2CD2DA2 AC2BD24IJ2

Bµi 12 : Cho tam giác ABC với AD, BE, CF trung tuyến Chøng minh r»ng :

2 2 2

3

( )

4 a BC AD CA BE AB CF

b AD BE CF BC CA AB

  

    

      

Bài 14 : Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngồi tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM DE

Bài 15 : Cho điểm A, B, C, D Chøng minh r»ng ABCD AC2BD2 AD2BC2

Bài 16 : Tứ giác ABD có hai đờng chéo AC BD vng góc với M, P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh : MPBC MA MC MD MB 



Bài 17 : Cho hình vuông ABCD, M điểm nằm đoạn thẳng AC cho AC AM 

, N lµ trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân

Bài 18 : Cho hình vuông ABCD, DC lấy điểm E, kẻ EF AC F BC( ), M N lần lợt trung điểm AE DC Chứng minh : MN DF

Bài 19 : Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi D trung điểm cạnh AB G trọng tâm tam giác ACD Chứng minh : OGCD

Dạng : Tìm quỹ tích điểm thoả mãn điều kiện tích vơ hớng hay độ dài của vectơ

Bài 20 : Cho hai điểm cố định A, B có khoảng cách a a Tìm tập hợp điểm M cho : MA MB k 

b Tìm tập hợp điểm N cho AN AB 2a2

                           

Bài 21 : Cho điểm A cố định nằm đờng thẳng , H hình chiếu A  Với điểm M , lấy điểm N tia AM cho AN AM AH2

 

Tìm tập hợp điểm N Bài 22 : Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho :

2

4 a MA MB MB MC MC MA       

Bài 23 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho

2

( )( )

( )

a MA MB MA MC

b MB MB MC a a BC

  

  

     

Bµi 24 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho

2 2

a AM AB AC AB

b MA MB CA CB



   

   

Bài 25 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp ®iÓm M cho

2 2

( )

AM AB AC AB a   MB MC a BC    

Bài 26 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho : AB AH AC AK  AI2 H K theo thứ tự hình chiếu vng góc M lên AB AC

Bµi 27 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho MA2 MB2 k Bài 28 :

a Tìm tập hợp điểm M thoả mÃn :

2

MA MB k

   với A, B cố định,  0và k không đổi

b Cho tam giác ABC Tìm tập hợp ®iÓm M cho

2 2

MA MB MC k

    với k số cố định cho trớc :

1)  0 2)  0

Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân A Tính góc hai trung tuyến BE CF

Bài 30 : Cho hai hình vuông ABCD BMNP xếp cho P thuộc cạnh BC, B thuộc cạnh AM Tính góc hai vectơ AP



vµ DN 

Bài 31 : Cho tứ giác ABCD M, N lần lợt trung điểm AC BD Tính MN theo cạnh hai đờng chéo tứ giác

Bµi 32 : Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng :

3 cos cos cos

2

A B C

   

Bµi 33 : Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC a 3, M trung điểm cạnh BC Biết :

2

2 a AM BC  

Tính độ dài cạnh AB AC

Bài 34 : Cho tứ giác ABCD, biết : AB AD BA BC CB CD DC DA    0         

Chøng minh r»ng : ABCD hình bình hành

Bài 35 : Cho hình bình hành ABCD, biết với điểm M có : MA2MB2 MC2MD2 Chứng minh ABCD hình ch÷ nhËt

Dạng : Sử dụng tích vơ hớng để giải toán cực trị Bài 36 : Cho tam giác ABC, G trọng tâm M điểm tuỳ ý

a Chøng minh r»ng MA BC MB CA MC AB   0       

b Chứng minh : MA2MB2MC2 GA2GB2GC2 3MG2, từ suy vị trí điểm M cho MA2MB2MC2đạt giá tr nh nht

Bài 37 : Cho hình bình hành ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý a Chøng minh r»ng

2 2 2( 2)

MA  MB MC MD  OB  OA b Xác định vị trí điểm M để MA2 MB2MC2đạt giá trị nhỏ Bài 38 : Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác, M điểm tuỳ ý

a Chøng minh r»ng vect¬ v MA MB   2MC    

khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh :

MA2 MB2 2MC2 2MO v  

c T×m tËp hợp điểm M thoả mÃn MA2MB2 2MC2

d Giả sử M di động đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm vị trí điểm M cho

2 2

2

MA MB  MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dạng : Biểu thức tọa độ tích vơ hớng Bài 39 : Cho hai vectơ a(0; 4) ; (4; 2)b 

 

a Tính cos góc hai vectơ a

vµ b 

b Xác định tọa độ vectơ c 

biÕt (a2 ).b c1

  

vµ ( b ).c a6

  

Bài 40 : Cho hai điểm A(3;1) B(4;2) Tìm tọa độ điểm M cho AM 2

0

(AB AM, ) 135  

Bµi 41 : Cho tam gi¸c ABC biÕt A(1;2) ; B(-1;1) ; C(5;-1) a TÝnh AB AC

 

b TÝnh cos vµ sin gãc A

c Tìm tọa độ chân đờng cao A1xuất phát từ A tam giác ABC

d Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC e Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

f Tìm tọa độ tâm I đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC, từ chứng minh I, G, H thẳng hàng