SANG KIEN KINH NGHIEM VE DUONG PHU TRONG HINH HOC 7

VÊn ®Ò nªu trªn còng lµ khã kh¨n víi kh«ng Ýt gi¸o viªn nhng ngîc l¹i, gi¶i quyÕt ®îc ®iÒu nµy lµ gãp phÇn x©y dùng trong b¶n th©n mçi gi¸o viªn mét phong c¸ch vµ ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn[r]

1.Tên sáng kiến:

Một số Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp 7

2 Họ tên: Ngun Xu©n Têng

3 Trình độ chun mơn: Đại học Tốn 4 Nơi cơng tác: Trờng THCS Trực Bình 5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

HS lớp Trờng THCS Trực Bình 6 Giải pháp

điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến

Đào tạo hệ trẻ trở thành ngời động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng thực giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội giới khách quan vấn đề mà nhiều nhà giáo dục quan tâm.Vấn đề không nằm mục tiêu giáo dục Đảng Nhà nớc ta giai đoạn lịch sử

nó cầu nối ngành khoa học với đồng thời có tính thực tiễn cao sống xã hội với cá nhân

Đổi phơng pháp dạy học đợc hiểu tổ chức hoạt động tích cực cho ngời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t ngời học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ khơi dậy thúc đẩy lịng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tịi, khám phá, chiếm lĩnh tự thân ngời học từ phát triển, phát huy khả tự học họ Đối với học sinh bậc THCS vậy, em đối tợng ngời học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo h-ớng đổi cần thiết thiết thực Vậy làm để khơi dậy kích thích nhu cầu t duy, khả t tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Tr ớc vấn đề ngời giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp phơng pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tợng học sinh, xây dựng cho học sinh hớng t chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên nhng ngợc lại, giải đợc điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phơng pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hớng t việc lĩnh hội kiến thức Toán

Trong tìm phơng pháp giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đờng phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đờng phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh để có lợi cho việc giải tốn điều khó khăn phức tạp

thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dỡng khả t tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em nhng sở việc vẽ thêm đ-ờng phụ số phơng pháp thđ-ờng dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động đợc cách giải, chủ động t tìm hớng giải cho tốn, nh hiệu qu s cao hn

Các giải pháp thực hiện

A số vấn đề

I - Cơ sở lý luận việc vẽ thêm yếu tố phụ

Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình số toán dựng hình Sau số toán dựng hình chơng trình THCS

Bi toỏn 1: Dng mt tam giác biết độ dài ba cạnh a; b; c. Giải:

* C¸ch dùng:

- Dùng tia Ax

- Dựng đờng tròn(A; c) Gọi B giao điểm đờng tròn ( A; c) với tia Ax - Dựng đờng tròn (A; b) đờng tròn (B; a), gọi C giao điểm chúng Tam giác ABC tam giác phải dựng có AB = c; AC = b BC = a

- Chú ý: Nếu hai đờng tròn ( A; b) ( B; a) khơng cắt khụng dng -c tam giỏc ABC

Bài toán 2: Dùng mét gãc b»ng gãc cho tríc. C¸ch dùng:

- Gọi xOy góc cho trớc Dựng đờng trịn (O; r) cắt Ox A cắt Oy B ta đợc OAB

- Dựng O’A’B’ = OAB ( c.c c) nh toán 1, ta đợc O '  O c

b a

c b a

x

C

Bài toán 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho tríc. C¸ch dùng:

- Dựng đờng trịn ( A; r ) cắt Ax B cắt Ay C

- Dựng đờng tròn ( B; r) ( C; r) chúng cắt nnhau D Tia AD tia phân giác xAy

ThËt vËy: ABD = ACD ( c- c- c)  A1 A2

Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho trớc. Cách dựng:

- Dựng hai đờng tròn ( A; AB ) ( B; BA )chúng cắt C, D Giao điểm CD AB trung điểm AB

*Chú ý: cách dựng đờng trung trực đoạn thẳng cho trớc.

Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với ng

thẳng a cho trớc. Cách dựng:

- Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a A, B - Dựng đờng trung trực AB

- Đờng trung trực AB đờng thẳng vng góc với đờng thẳng a

D C

B A

a

A B

C

Trên toán dựng hình bản, cần sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng

Khi cn vẽ thêm đờng phụ để chứng minh phải vào đờng dựng để vẽ thêm không nên vẽ cách tuỳ tiện

II - C¬ së thùc tÕ

Ta biết hai tam giác suy đợc cặp cạnh tơng ứng nhau, cặp góc tơng ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác

V× muốn chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc nhau) ta thờng làm theo cách gåm c¸c bíc sau:

Bớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?

Bớc 2: Chứng minh hai tam giác

Bíc 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tơng ứng

Tuy nhiên thực tế giải tốn khơng phải lúc hai tam giác cần có đợc cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất đợc tam giác cần thiết có lợi cho việc giải tốn Vì yêu cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm đợc yếu tố phụ để giải tốn hình học nói chung tốn hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tơi tích luỹ đợc số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực, hớng dẫn học sinh thực giải toán hiu qu

III số phơng pháp vẽ yêú tè phô

Bây nghiên cứu số cách đơn giản nhất, thông dụng

nhất để vẽ thêm yếu tố phụ giải toỏn Hỡnh hc 7:

Cách 1: Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ tia phân giác góc Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D lµ trung điểm

của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H  BC) th× DH = 4cm. Chøng minh tam giác ABC cân A.

1) Phân tích toán:

Bài cho tam giác ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc víi BC( H  BC) vµ DH = 4cm

2) Híng suy nghÜ:

ABC cân A  AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K trung điểm AB Vậy yếu tố phụ cần vẽ trung điểm BC

3) Chøng minh:

GT

ABC; AB = 10cm;

BC = 12 cm; DA=DB=1 2AB ; DH  BC, DH = cm

KL ABC cân A

Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta cã: BK = KC =

1

6 BC  cm

L¹i cã: BD =

1

2 AB = cm ( D trung điểm AB)

Xột HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2

 BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 =  BH = ( cm)

Ta cã BH + HK = BK ( Vì H nằm B vµ K )  HK = BK – BH = 6–3 = (cm)

Xét ABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = cm)  DH // AK ( đờng nối trung im

cạnh tam giác song song víi c¹nh thø 3) Ta cã: DH  BC, DH // AK  AK  BC

  900

AKB AKC

  

XÐt  ABK vµ ACK cã:

 BK = KC ( theo cách lấy điểm K)

0

90

AKB AKC 

 AK cạnh chung

Do ú ABK = ACK (c - g - c)

 AB = AC ABC cân A ( đpcm) 4) Nhận xét:

toán mà không chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ

Bài toán 2: Cho tam gi¸c ABC cã B  C ; chøng minh r»ng: AB = AC? (Giải cách vận dụng trờng hợp góc cạnh góc hai tam giác).

1) Phân tích toán:

Bài cho: tam giác ABC có B C ; Yêu cầu: chứng minh AB = AC 2) Híng suy nghÜ:

§êng phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC ( I BC) 3) Chøng minh:

GT

ABC; B  C

KL AB = AC

Vẽ tia phân giác AI BAC ( I BC)



  

1

1 2

A A  BAC

(1)

áp dụng định lí tổng ba góc tam giác vào hai tam giác ABI ACI ta có:

       

1 1

*A B I 180  I 180  A B

       

2 2

*A C I 180  I 180  A C

MỈt kh¸c B  C ( gt); A1 A2 ( theo (1) ) I1 I2 (2)

XÐt  ABI vµ  ACI ta cã: 

 

1

I I

( theo (2))  C¹nh AI chung

 A1 A2 ( theo (1))

  ABI =  ACI ( g - c - g)  AB = AC ( cạnh tơng ứng) 4) Nhận xét:

Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác

Cách 2: Trên tia cho trớc, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho tr-ớc.

2

2

C B

A

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 2)

1) Phân tích toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông A, AM đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh:

1

2 2

AM  BC  AM  BC

2) Híng suy nghÜ:

Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Nh dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD

3) Chøng minh:

GT ABC; 

0

90

A  ;

AM lµ trung tuyÕn

KL

2

AM  BC

Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét  MAC  MDB ta có:

 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)  M = M   ( hai góc đối đỉnh)

 MB = MC ( Theo gt)

  MAC =  MDB ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)

 

1

A D

(2 gãc t¬ng øng) Tõ 

 

1

A D

 AB // CD ( có cặp góc so le nhau)

L¹i cã: AC  AB ( gt)  AC CD (Quan hệ tính song song vuông gãc)  900

ACD

  BAC ACD 900 (2)

XÐt  ABC vµ  CDA cã:  AB = CD ( Theo (1))

  

0

90

BAC ACD  ( Theo (2))

AC cạnh chung

  ABC =  CDA ( c - g - c)

 BC = AD ( c¹nh tơng ứng ) Mà AM=1

2AD nên AM= 2BC 4) NhËn xÐt:

Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM=1

đoạn thẳng MD tia AM cho MD = MA,

1

AM  AD

Nh phải chứng minh AD = BC đa toán cho trở toán chứng minh hai đoạn thẳng Trên tia cho trớc, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đờng phụ để vận dụng trờng hợp tam giỏc

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC.

So s¸nh BAM &MAC ? ( Bài 7/ 24 SBT toán tập )

1) Phân tích toán: Cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm của BC

Yêu cầu : So sánh BAM &MAC ? 2) Hớng suy nghÜ:

Hai góc BAM MAC khơng thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải đợc toán

3) Chøng minh:

GT ABC; AB < ACM lµ trung ®iĨm BC

KL So s¸nh BAM &MAC?

Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét  MAB  MDC ta có:

 MA = MD ( theo c¸ch lÊy ®iÓm D) 

 

1

M M

( đối đỉnh)  MB = MC ( Theo gt)   MAB =  MDC ( c - g - c)

 AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1) A1 D (2 gãc t¬ng øng) (2)

Ta cã: AB = CD ( Theo (1)), mµ AB < AC ( gt)  CD < AC.(3) XÐt ACD cã:

CD < AC ( theo (3))

 Mµ A1 D ( theo (2)) nªn A A1 hay BAM MAC 

4) NhËn xÐt:

Trong cách giải tập trên, ta phải so sánh hai góc khơng phải tam giác nên không vận dụng đợc định lí quan hệ góc cạnh đối diện tam giác Ta chuyển góc A1&A2 một

tam giác cách vẽ đờng phụ nh giải, lúc A1 D , ta ch cũn

phải so sánh D &A2 ë cïng mét tam gi¸c ADC.

C¸ch 3: Nối hai điểm có sẵn hình vẽ thêm giao điểm hai đ ờng thẳng.

Bài toán 5: Cho h×nh vÏ, biÕt AB // CD; AC // BD.

Chøng minh: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán tập 1)

( Bài tốn cịn đợc phát biểu dới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn hai đờng thẳng song song nhau)

1) Phân tích toán:

Bài cho h×nh vÏ, biÕt AB // CD; AC // BD Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD 2) Híng suy nghÜ:

để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo hai tam giác chứa cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ nối B với C nối A với D

3) Chøng minh:

GT AB // CD; AC // BD KL AB = CD; AC = BD XÐt  ABD vµ  DCA cã:

 BAD CDA  ( so le - AB // CD)  AD cạnh chung

ADB DAC ( so le - AC // BD)   ABD =  DCA ( g - c - g)

ViƯc nèi AD lµm xt hiƯn hình vẽ hai tam giác có cạnh chung AD, muèn chøng minh AB = CD; AC = BD ta chØ cÇn chøng minh

 ABD =  DCA Do hai tam giác có cạnh nhau( cạnh chung) nên cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh vận dụng đợc trờng hợp góc - cạnh - góc Điều thực đợc nhờ vận dụng tính chất hai đờng thẳng song song

Cách 4: Từ điểm cho trớc, vẽ đờng thẳng song song hay vng góc với đờng thẳng

Bài tốn 6: Tam giác ABC có đờng cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc

Chứng minh  ABC tam giác vuông  ABM tam giác đều?

1) Phân tích tốn: Bài cho  ABC có đờng cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Yêu cầu ta chứng minh  ABC tam giác vuông  ABM tam giác

2) Híng suy nghÜ:

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông A ta cần kẻ thêm đờng thẳng vng góc với AC chứng minh đờng thẳng song song với AB, từ suy suy AB  AC suy A = 900.

3) Chøng minh: GT

 ABC; AH BC; trung tuyÕn AM;

  

1

A A A

KL  ABC vuông ;  ABM Vẽ MI  AC ( I  AC) Xét  MAI  MAH có:

  

0

90

H I  ( gt)

 AM cạnh chung) MAI = MAH ( c¹nh hun - gãc nhän)  A2 A3 (gt) MI = MH ( cạnh tơng øng) (1)

XÐt  ABH vµ  AMH cã:

  

0

1 90

H H  ( gt)

 AH cạnh chung ABH= AMH ( g - c - g)

MỈt khác: H BM , nên từ (1) (2) 

1 2

MI MH BH  BM

L¹i cã BM = CM (gt)

1 2

MI CM

 

XÐt  MIC vuông C có:

1 2

MI  CM

nªn 

0

30

C  từ suy ra:



HAC 60 

 3  3.600 900

2 2

BAC  HAC 

Vậy ABC vuông A Vì  

0

30 60

C   B 

L¹i cã

1 2

AM  BC

( tÝnh chÊt trung tuyÕn ứng với cạnh huyền tam giác vuông) BM = MC

1 2 BC 

( M trung điểm BC) suy AM = BM  ABM cân A có góc 600 nên tam giác đều.

4) Nhận xét: Trong tốn có yếu tố tởng chừng nh khó giải, nhiên, đờng vẽ thêm ( MI  AC) tốn lại trở lên dễ dàng, qua thấy rõ vai trị việc vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học

Bài tốn 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M BC kẻ đờng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB D AC E Chứng minh rằng: BD = CE

1) Phân tích toán:

Bi cho  ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M BC kẻ đờng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB ti D v AC ti E

Yêu cầu chøng minh: BD = CE

2) Hớng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo đoạn thẳng thứ ba, chứng minh chúng đoạn thẳng thứ ba Đờng phụ cần vẽ thêm đờng thẳng qua B song song với AC cắt DE F, BF đoạn thẳng thứ ba

3) Chøng minh:

GT

ABC; AB < AC; MB=MC=1 2BC AH lµ tia phân giác BAC;

V ng thng qua B song song với AC, gọi F giao điểm đờng thẳng với đờng thẳng DE

XÐt  MBF vµ  MCE cã:

 

MBF MCE ( so le - BF // CE)

MB = MC ( gt)

 

BMF CME ( đối đỉnh)

Do  MBF =  MCE (g -c - g)  BF = CE ( cạnh tơng ứng) (1)

Mặt khác  ADE có AH  DE AH tia phân giác DAE ( gt) Do đó:  ADE cân A  BDF = AED  

Mµ BF // CE ( theo c¸ch vÏ)  BFD = AED 

Do đó: BDF = BFD     BDF cân B  BF = BD (2) Từ (1) (2) suy ra: BD = CE ( đpcm )

4) NhËn xÐt:

Cách vẽ đờng phụ toán nhằm tạo đoạn thẳng thứ ba hai đoạn thẳng cần chứng minh nhau, cách hay sử dụng nhiều toán nên giáo viên cần lu ý cho học sinh nhớ để vận dụng Cách giải đợc áp dụng để giải số toán hay chơng trình THCS

Năm cách vẽ thêm yếu tố phụ nằm nhóm phơng pháp chung gọi phơng pháp tam giác nhau, sau ta nghiên cứu thêm phơng pháp hay nhng cha đợc khai thác nhiều giải toán

Cách 5: Phơng pháp “ tam giác đều”

Đây phơng pháp đặc biệt, nội dung tạo thêm đợc vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải toán đợc thuận lợi

Đặc biệt tập tính số đo góc, trớc tiên ta cần hớng dẫn học sinh ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định nh :

- Tam giác cân có góc xác định - Tam giác

- Tam gi¸c vuông cân

- Tam giỏc vuụng cú mt gúc nhọn biết hay cạnh góc vng nửa cạnh huyền

toàn xác định nêu (Thờng với mối liên hệ tam giác rút góc tơng ứng chúng nhau)

Ta h y xÐt mét toán điển hìnhà :

Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân A, A 200 Trên cạnh AB lÊy ®iĨm D

sao cho AD = BC Chøng minh r»ng

 1

2 DCA A

1) Phân tích toán: Bài cho ABC cân A, A = 200 ; AD = BC ( D AB)

Yêu cầu chứng minh:

 1  2

DCA  A

2) Hớng suy nghĩ: Đề cho tam giác cân ABC có góc đỉnh 200, suy ra

góc đáy 800 Ta thấy 800 -200 = 600 số đo góc

tam giác  Vẽ tam giác BMC 3) Chứng minh:

G

T ABC; AB = AC;

 200

A  AD = BC (D AB)

KL  1 

2

DCA A

Ta cã: ABC; AB = AC; 

0

20

A  ( gt)

Suy ra:

  1800 200 800

2

B  C   

Vẽ tam giác BCM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), ta đợc: AD = BC = CM đồng thời ABM = ACM = 80 - 60 = 20  0 Ta có  MAB =  MAC ( c - c - c)  MAB = MAC = 20 : = 10  0 Xét CAD ACM có:

AD = CM ( chøng minh trªn)    200

CAD ACM

AC cạnh chung

Do CAD = ACM ( c -g -c )

 

=> DCA = MAC = 10 VËy   1

DCA = BAC. 2

* Đề cho tam giác cân ABC có góc đỉnh 200, suy góc đáy 800.

Ta thấy 800 -200 = 600 số đo góc tam giác Chính liên hệ này

gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM vào tam giác ABC Với giả thiết AD = BC vẽ tam giác nh giúp ta có mối quan hệ AD với cạnh tam giác giúp cho việc chứng minh tam giác dễ dàng

* Ta giải toán cách vẽ tam giác kiểu khác:

 600 200 800 

EAC    B- C¸ch 2:

Vẽ EAD nằm tam giác ABC, tạora

 

EAC B Khi EAC = CBA (c.g.c) vì: EA = BC (

 

ECA BAC AC = AB

 CE = CA

Mặt khác CDA =  CDE (c.c.c) v×: DA = DE CD chung

   

 C1C2 1ECA 1 BAC  100

2 CA

= CE

VËy

 1  DCA = BAC.

2

Sau ph©n tÝch, hớng dẫn học sinh làm hai cách trên, hớng dẫn học sinh làm thêm theo cách sau:

- C¸ch :

 800 

DAE  B Vẽ tam giác EAC nằm ngoi

tam giác ABC, tạo

Khi  DAE = CBA (c.g.c) :

  ( 80 )0

DAE B  AE = BA ( = AC )

AD = BC

   

1 1 20 ( 20 )

E A E do A

DE AC

    

  

 

 60o 20o 40o

  

2

E

DE = AC mà AC = CE nên DE = CE  DEC cân đỉnh E, có góc đỉnh

 góc đáy ECD = (1800 - 400) : = 700

Do DCA DCE ACE    700 600 100 Từ ta có điều phải chứng minh. - Cách :

Vẽđều ABE ( E,C nằm phía AB) tạo CBE 800 600 200 BAC

Khi  CBE =DAC (c.c.c) : CB = AD (gt)

BE = AC ( =AB)

 

 C1 E1

   

0

20

CBE BAC 

Vậy để tìm C1 ta cần tính E1

Ta có AE = AC (=AB) nên AEC cân A lại có góc đỉnh A =600- 200= 400

Nên góc đáy AE C = (1800 – 400) : = 700

Mµ gãc 

0 60

E  (góc tam giác ABE)

   0 

1 70 60 10 10

E AEC E C

       

Hay ACD 100

VËy

 

DCA = BAC

ví dụ đề cho hai cặp đoạn thẳng : AB = AC ;

AD = BC Nh giải cách : Vẽ tam giác có cạnh AC ; vẽ tam giác có cạnh AB ; vẽ tam giác có cạnh BC ; AD Qua ví dụ bớc đầu em định hình đợc phơng pháp vẽ tam giác cách triển khai theo phơng pháp

Ngồi cịn cách vẽ tam giác khác giúp ta tính đợc góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, cách khác tuỳ thuộc vào sáng tạo của ngời bắt nguồn từ việc u thích mơn Hình học.

1) Phân tích toán:

Bài cho tam giác ABC vuông A, C = 150 Trên tia BA lấy điểm O cho

BO = AC

Yêu cầu chứng minh OBC cân O 2) Hớng suy nghĩ:

Ta thÊy C = 150 suy A = 750 - 150 = 600

là số đo góc tam giác  sử dụng phơng pháp tam giác vào việc giải toán

3) Chøng minh: G

T

ABC; A = 900; C = 150

O  tia BA: BO = 2AC KL OBC cân O

Ta cã: ABC; A = 900; C = 150 (gt)  B = 750

Vẽ tam giác BCM

( M vµ A cïng thc mét nưa mặt phẳng bờ BC) Ta có: OBM ABC MBC 750 600 150

Gọi H trung điểm OB

1

HO HB OB



Mặt khác BO = 2AC (gt) nªn

1

AC  OB

từ có AC = BH Xét  HMB  ABC có:

BH = AC (cmt)

   150

HBM ACB 

MB = BC ( cạnh  BMC) Do  HMB =  ABC ( c -g -c)   

0

90

H  A   MH OB

 MOB có MH đờng cao đờng trung tuyến nên cân M, lại có góc

đáy OBM  150 góc đỉnh 

0 0

180 2.15 150

BMO   

Từ

 3600 1500 600 1500    1500

CMO      CMO BMO 

MOB MOC có : MB = MC ( cạnh  BMC)

150

O

B C

A

M H

A

C B

CMO BMO  (cmt) OM chung

Do MOB = MOC (c-g-c)  OB = OC Vậy  OBC cân O ( đpcm)

4) NhËn xÐt:

Trong toán ta sử dụng phơng pháp tam giác vào việc giải tốn phát thấy C = 150 suy A = 750 - 150 = 600 số đo góc

trong tam giác đều, điều gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM nh Nhờ có cạnh tam giác nhau, góc tam giác 600, ta

chứng minh đợc  HMB =  ABC ( c - g- c); MOB = MOC ( c - g - c) dẫn tới  OBC cân O, tác dụng phơng pháp tam giác

Bài toán 10 Cho ABC vuông, cân A, điểm E nằm tam giác cho EAC ECA = 150 TÝnh AEB ?

Híng dÉn :

Điều toán HS phải phát tam giác AEC cân E v× cã hai gãc b»ng 150

từ suy EA = EC 

0 0

180 2.15 150

AEC  

Cũng nh toán 8, toán em sớm phát thấy  

0

75 & 15

BAE  EAC 

mà 750 - 150 = 600 góc tam giác

( Còng cã em nhËn xÐt: BCA 450; ECA 150 vµ 450 + 150 = 600 ).

Còn em cha xác định đợc điều ta gợi ý, hớng dẫn em tính số đo góc tìm mối liên quan góc Từ hớng dẫn em cách vẽ thêm tam giác nh sau :

Cách : Vẽ tam giác AKE nằm tam giác ABE tạo

 900 600 150 150    150 BAK      BAK EAC 

Khi  BAK = CAE (c.g.c) :

AB = AC (gt)

BAK EAC ( 15 ) AK = AE ( cạnh đều )

Từ dẫn đến  ABK cân K có góc đáy 150 nên góc đỉnh

A B

C E

150

150

?

1

150 150

K

E

C B

 0

1 180 2.15 150

K   

Mµ 

0

60

AKE  nªn

  0

2 360 150 60 150

K    

AKB =  EKB (c.g.c) v× :

AK = EK ( cạnh  AKE )

   0

1 150

K K 

BK chung

Từ suy ABK EBK 150 AB = EB dẫn đến ABE cân

B có góc đỉnh

 150 150 300   1800 300 750

2

ABE     BAE AEB   

- Cách 2: Vẽ tam giác KCE ( nh hình vẽ ) nằm phía ngồi AEC, tạo ACK BAE750 Khi  KCA =  EAB (c.g.c) :

KC = AE ( = EC) ACK BAE ( 75 ) AC = AB ( gt )

 

AKC AEB

  (*)

Lại có  AEC cân Ecó góc đáy

  150  1800 2.150 1500 EAC ECA  AEC   

mµ 

0

60

KEC  nªn AEK 3600 (1500 60 ) 1500

  

XÐt AEC vµ AEK cã :

EC = EK ( Cạnh đều EKC) AEK AEC ( 150 )

AE chung Do  AEC = AEK (c.g.c)

AKE ACE 150 AKC 150 600 750

      

Mµ AKC AEB ( theo (*)) nªn AEB 750

- C¸ch 3:

Vẽ tam giác AKB (K, C nằm phía AB)

K

?

A B

C E

150

t¹o KAE EAC 150

Khi :  EAC = EAK (c.g.c) : AC = AK ( = AB)

KAE EAC ( 15 ) ; EA chung Từ suy EC = EK

XÐt  ABE vµ KBE cã :

* AB = KB ( Cạnh  ABK ) * AE = EK ( = EC )

* BE chung

VËy  ABE = KBE (c.c.c)

  

ABE KBE

  1 ABK 1.60o 30o

2

Nh BEA có ABE 300; BAE  750, áp dụng định lí tổng ba góc tam giác ta có 

0 75

AEB 

- C¸ch :

Vẽ tam giác ACK phía ngồi  ABC tạo EAK BAE 750

Khi BAE  KAE có : AB = AK (=AC )

AE chung

BAE KAE Do BAE =  KAE ( c.g.c)  

BEA KEA

 

 

A C   )

Mµ EK EK AEK CEK (c.c.c

nªn

   1500 750

2 2

AEC

AEK CEK   

VËy 

0 75

AEB 

- C¸ch 5:

Vẽ tam giác AKC trùm lên  EAC,

150 150

E

C B

A

?

t¹o KCB ECA 150

Tõ K kỴ tia KM cho MKC  150

Dẫn đến KMC cân M có    

0

15

KCM MKC  

MK =MC

Lại có MKC = EAC (g.c.g)  MC = EC = EA  MK = AE Mặt khác  ABK cân A ( AB = AK ) có góc đỉnh

   900 600 300

BAK BAC CAK     góc đáy    

0 0

180 30 : 75

ABK BAK   

Do KBM ABK ABC  750  450 300 Mà KMC  300( Góc ngồi M tam giác KMC cân M có góc đáy 150)

Thành thử KMB cân K KB = KM = AE VËy  ABE = BAK (c.g.c) v×:

AB chung AE = BK

   

0

75

ABK BAE 

 AEBABK 750

toán đầu cho hai cặp đoạn thẳng là:

AB = AC; EA = EC Do giải tốn theo cách: Vẽ tam giác có cạnh AE; EC; AC

Nh với gợi ý, hớng dẫn giáo viên, học sinh biết phân tích đầu bài, tìm đợc mối liên hệ kiện giả thiết, từ định hớng đợc cách giải Đó thành cơng ngời thày Và điều quan trọng hớng dẫn học sinh triển khai toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên tạo cho học sinh óc quan sát nhạy bén, linh hoạt làm cho t hình học em đợc phát triển

Bµi to¸n 11

Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc đáy 500 Lấy điểm K tam giác, cho KBC 10 ;0 KCB 300.

Tính số đo góc ABK. * Hớng giải quyết:

Vậy phải tính hai góc lại là:

&

BAK BKA.

Xem xét đầu ta thÊy ABC cã c¸c gãc 500, 500, 800

KBC = 100, ABC = 500, mà 500 + 100 = 600 góc tam giác đều.

Từ giải tốn theo cách sau (học sinh tìm giáo viên gợi ý):

- C¸ch 1:

Vẽ đều BCE trùm lên  ABC, tạo  

0

10

ABE KBC 

Từ chứng minh EAB =  EAC (c.c.c)

   0

1

1 1

.60 30

2 2

E E BEC

    

Khi  ABE = KBC (g.c.g) vì:  1 

o

30

E KCB BE = BC

   

0

10

EBA KBC 

 AB = KB Do  ABK cân B có góc đỉnh ABK 400

   

0 0

180 40 : 70

BAK BKA

    

VËy góc ABK 400; 700; 700.

- C¸ch 2:

Vẽ  ABE ( E, C nằm phía AB), tạo EBC KBC 100và

 AEC cân A có AE = AC ( = AB ) có gócở đỉnh EAC 800 600 200 Suy góc đáy    

0 0

180 20 : 80

AECACE   

   800 500 300 BCE ECA BCA

     

Do vËy  KBC =  EBC (g.c.g) v×: KBC EBC 100

BC chung

KCB BCE  300

Khi  ABK cân B có góc đỉnh 400 nên hai góc cịn lại 700 700.

- C¸ch 3:

Vẽ  AEC ( E, B nằm phía AC ) tạo BCEKBC 100vàABE cân A

có góc đỉnh 800- 600 = 200

 góc đáy 800  800 500 300 EBC

   

Do  KBC =  ECB (g.c.g) vì:    

0

10

BCE KBC 

BC chung

   

0

30

EBC KCB 

 KB = EC mµ EC = AC = AB nªn KB = AB  ABK cân B Vậy góc cần tính là: 400; 700; 700.

Qua ví dụ này, cho học sinh thấy cách cách tơng đ-ơng nhau: tạo tam giác có cạnh hai cạnh bên tam giác cân cho, từ dẫn đến cạnh BK cạnh tam giác vừa tạo để suy tam giác ABK cân Còn vẽ tam giác có cạnh KC để tạo góc KCB vẽ tam giác có cạnh BK để tạo góc ABC khơng giải đợc tốn, khơng đủ kiện, học sinh cần phải thấy đợc điều để có cách vẽ cho thớch hp

Bài toán 12 Cho tam gi¸c ABC cã 

0

75

C  Đờng cao AH có độ dài bằng

nửa BC Tính số đo góc B Phân tích:

AHC vuông H có C 750 CAH 150

Mà 750 - 150 = 600 góc tam giác đều.

- C¸ch 1:

Vẽ tam giác AEC nằm  ABC, tạo ra: ECB CAH 150

Kẻ EK  BC (có thể hớng dẫn giải thích cho học sinh lại kẻ nh vậy) Khi  vng EKC =  vng CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì:

EC = AC

   150

ECB CAH 

 KC = AH, mµ   

1

AH BC KC BC

2

Vậy K trung điểm BC, lại có KE  BC tam giác EBC cân E  EBC ECB 150

Do : BEC = 1800 - 2.150= 1500

Từ có BEA = 3600 - (600 + 1500) = 1500

BEC =  BEA (c.g.c) v×: BE chung

BEC BEA1500 EC = EA

ABE CBE 150 ABC ABE CBE  150 150 300

        

(Hoặc từ  BEC =  BEA  AB = BC   ABC cân B có góc đáy 750 

0

30

ABC

  )

- C¸ch 2:

Vẽ tam giác BEC (E, A nằm phía BC) tạo

  ACE 15 CAH

Tõ A kỴ AK  EC (K EC )

vuông AKC = vuông CHA (c huyền, g nhọn) vì:

 KC AH, mµ AH  1 BC  KC 1 BC 1 EC

2 2 2

Mà K EC nên K trung điểm EC

Vậy  EAC có AK đờng cao đồng thời đờng trung tuyến nên cân A  AE = AC.

XÐt  AEB vµ  ACB cã:

BE = BC (cạnh đều BCE) AB chung

AE = AC

Do  AEB =  ACB (c.c.c)

   0

1

1 1

.60 30

2 2

B B EBC

    

VËy 

0

30

ABC ( Và suy K giao điểm AB vµ EC)

ví dụ cho khơng có cặp đoạn thẳng phải vẽ tam giác cho liên hệ đợc kiện giả thiết

Nh qua ví dụ trên, giáo viên hình thành cho học sinh phơng pháp vẽ thêm tam giác từ việc liên hệ kiện giả thiết Và sau ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng tập tính số đo góc giải phơng pháp vẽ tam giác đều, sau có

thĨ chèt lại cho em :

Khi xột mối liên quan góc, phát góc tam giác nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác để tạo góc góc

đã

cho Hơn việc vẽ thêm tam giác tạo đợc đoạn thẳng nhau, tạo đợc đờng có nhiều tính chất, từ dễ dàng phát đợc yếu tố nhau, liên kết với để tìm lời giải

Cũng cần cho học sinh thấy kinh nghiệm việc vẽ thêm tam giác : Nếu vẽ thêm tam giác mà cạnh có với đoạn thẳng khác giải đợc tốn

Qua ví dụ học sinh cần thấy rằng, có nhiều cách để tạo tam giác đều, nhng nên chọn cách dẫn đến chứng minh toán đơn giản

7.KÕt luËn

Trên đậy kinh nghiệm hớng dẫn em giải tập hình địi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ Việc vẽ thêm yếu tố phụ giúp cho em giải toán dễ dàng hơn, song việc vẽ thêm yếu tố phụ khó khăn, phức tạp địi hỏi học sinh phải có t logic, có trí tởng tợng phong phú óc sáng tạo linh hoạt, tinh thần phải nắm đợc kiến thức khai thác triệt để giả thiết tốn cho Tơi đa dạng tốn chứng minh, tính số đo góc mà thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ phong phú, đa dạng thiếu việc giải tốn gặp nhiều khó khăn

Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn đựoc đóng góp phần nhỏ bé cơng sức việc hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học, rèn luyện tính tích cực, phát triển t sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho em học toán

8 Kiến nghị đề xuất

Để dạy - học tốt bồi dỡng học sinh giỏi mơn tốn trờng THCS xin đề xuất số vấn đề sau:

1, Tốn học mơn văn hố nhà trờng phổ thơng cần phải có nhận thức đắn vai trị, vị trí cấu trúc ch ơng trình

2, Tạo điều kiện sở vật chất, trang thiết bị, phơng tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu

3, Nh©n réng phổ biến kinh nghiệm hay mô hình tốt cã hiƯu qu¶ thiÕt thùc

4, Đầu t kinh phí hợp lý cho cơng tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo viên học sinh, đề chủ trơng, biện pháp khả thi thiết thực

5, Phòng Giáo dục nhà trờng nên có chơng trình học tập nâng cao trình độ chuyên môn cho thầy cô giáo

Trên kinh nghiêm cá nhân hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học

Vì điều kiện thời gian có hạn, trình độ thân cịn hạn chế, nên tơi khơng tránh khỏi sai sót Rất mong đợc đóng góp bổ sung các cấp l nh đạo bạn bè đồng nghiệp để kinh nghiệm tơi đã ợc hồn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tiến giảng dạy.

Tôi xin trân trọng cảm ơn !