BiÕt r»ng trong 4 lêi khai trªn chØ cã mét lêi khai ®óng... VËy: Danh khai thËt vµ Ch©u lµ tªn trém.[r]
(1)Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Tin quốc học Thừa Thiên Huế Khóa ngày: 19.6.2006
Đề thức Môn: TOáN
Số báo danh: Phòng: Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2,75 điểm)
a) Biến đổi x−2 3x−9 dạng A2 với A biểu thức có chứa thức b) Giải ph−ơng trình: x−2 3x− =9 x−3
Bµi 2: (2,25 điểm)
a) Cho hai số thực không âm vµ a b Chøng minh:
a b ab +
≥ (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm) Dấu đẳng thức xảy ?
b) áp dụng chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật có chu vi hình vuông có diện tích lớn
Bài 3: (1,5 điểm)
Để đo chiều cao tháp mà ta khơng thể đến gần tháp đ−ợc, ng−ời ta đóng cọc tiêu AA' BB' cao 1,5m vị trí cách 10m cho AA', BB' tim tháp đ−ợc dóng thẳng hàng nhờ giác
kế Dùng giác kế đặt A B, ng−ời ta đọc đ−ợc góc nhìn từ A từ B đến đỉnh D tháp 18 19 ' (hình vẽ) Tính khoảng cách từ BB' đến tim tháp chiều cao tháp
0 030
Bài 4: (1,75 điểm)
Cho nửa đ−ờng trịn (O) đ−ờng kính AB=2R Gọi C điểm di động nửa đ−ờng trịn At tia tiếp tuyến (O) nửa mặt phẳng bờ AB chứa (O) Vẽ đ−ờng tròn tâm A, bán kính BC cắt tia AC D Tiếp tuyến D đ−ờng tròn tâm A vừa vẽ cắt At E
a) Tính độ dài đoạn AE theo R b) Tìm quỹ tích điểm D
Bài 5: (1,75 điểm)
a) Trong l hoa có 22 cành hoa hồng Hai ng−ời bạn tham gia trò chơi nh− sau: Mỗi ng−ời đ−ợc rút theo thứ tự hai cành hoa l−ợt (ng−ời thứ rút xong đến ng−ời thứ hai, xong l−ợt, quay lại ng−ời thứ rút, ), ng−ời rút cuối bị thua Hãy trình bày cách chơi cho ng−ời thứ hai thắng Ng−ời thứ hai thắng sau l−ợt chơi ?
b) Có bốn ng−ời bị tình nghi mà có tên trộm, bốn ng−ời bị đ−a đồn cảnh sát chúng khai nh sau:
An : "Bình tội phạm" Bình : "Danh tội phạm"
Châu : "Tôi tội phạm"
Danh : "Bình nói dối nói tội phạm"
Bit rng lời khai có lời khai Hãy cho biết ng−ời khai thật tên trộm ?
(2)Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên tin
Thừa Thiên Huế Năm học 2005-2006
Đề thức Đáp án thang điểm
Bài ý Nội dung Điểm
1 2,75
1.a + Điều kiện để biểu thức cho có nghĩa: 3x− ≥ ⇔ ≥9 x 3, đó:
( )
3x− =9 x−3 = x−3
+ Suy ra: x−2 3x− = −9 x x− =3 ( x−3)2−2 x− +3
( )2
2 3
x− x− = x− −
0,25 0,25 0,25 0,25 1.b + §iỊu kiÖn: x≥3
+ x−2 3x− =9 x− ⇔3 ( x− −3 3)2 =2 x−3
3 3 (*
x x
⇔ − − = − )
0,25
0,25 + NÕu x− −3 0≥ ⇔ x− ≥3 3⇔ − ≥ ⇔ ≥x 3 x 6:
(*)⇔ x− −3 2= x x = 3 0< : Phơng trình v« nghiƯm
0,25 0,25 + NÕu x− −3 0< ⇔ x− <3 3⇔ − < ⇔ ≤ <x 3 x 6:
3
(*) 3 3
3
x x x
⇔ − − = − ⇔ − =
1
3
3
x x
⇔ − = ⇔ =
Ta cã 10 3
< + = < <
3
Vậy phơng trình cã mét nghiÖm: 10 x=
0,25 0,25
0,25
2 2,25
2.a + a≥0;b≥0 nªn ab= a b
+ Do đó: ( ) ( ) ( )
2 2
2
0
2
a b a b a b
a b
ab + − −
+ − = = ≥
2
0,25
0,50 + Suy ra:
2 a b
ab +
≥
+ Dấu đẳng thức xảy khi: a− b= ⇔0 a = b ⇔ =a b
(3)2b + Gọi x y cạnh hình chữ nhật (x > y > 0) Khi chu vi hình chữ nhật là: 2p=2(x y+ )⇔ + =x y p(p số theo giả thiết)
+ Theo bất đẳng thức Cô-si cho số d−ơng x y, ta có:
2
x y p
xy xy xy
+ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ p
Dấu đẳng thức xảy x= y Diện tích hình chữ nhật S=xy có giá trị lớn
2
4 p
khi x= y
+ Vậy: Trong hình chữ nhật có chu vi hình vuông có diện tích lớn
0,25
0,25
0,25 0,25
3 1,5
Gọi x khoảng cách từ BB' đến tim tháp (x > 0) Ta có:
0
19 30' 19 30' '
CD
tg CD xtg
B C = ⇔ =
0
18 (10 ) 18
CD
tg CD x tg
AC = ⇔ = +
Do ta có ph−ơng trình:
( )
0 0
19 30' ( 10) 18 19 30' 18 10 180
xtg = x+ tg ⇔x tg −tg = tg
0
0
10 18
111,3 19 30' 18
tg
x m
tg tg
⇔ = ≈
−
Suy ra: CD=xtg19 30' 39, 40 ≈ m
VËy chiỊu cao cđa ngän th¸p lµ: h≈39, 1,5 40,9+ = m
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
4 1,75
4a + Ta cã:
·ACB=900
(gãc nội tiếp nửa đờng tròn) Ã 900
EDA= (DE tiếp tuyến đờng tròn (A))
+ Xét hai tam giác vuông ABC EAD có: AD = BC
·ABC EAD=· »AC
(gãc néi tiÕp chắn cung )
Nên: ABC = EAD
Suy ra: AE= AB=2R Do đó: E cố định
0,25
0,25 0,25 4b + Khi C di động nửa đ−ờng trịn (O), điểm D ln nhìn đoạn AE cố định
d−íi mét gãc vu«ng, nên D nằm nửa đờng tròn đờng kính AE
+ Đảo lại, lấy điểm D' nửa đ−ờng trịn đ−ờng kính AE, ta có , vẽ tia AD' cắt (O) C' Hai tam giác vuông ABC' EAD' có cặp cạnh huyền ' (góc nội tiếp chằn cung ) Nên chúng nhau, suy ra: AD = BC, đó: DE tiếp tuyến đ−ờng trịn tâm A bán kính BC
· 900 EDA=
AB AE= ·ABC'=·EAD ¼ 'AC
+ VËy: q tÝch cđa D lµ nưa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AE (Khi C trïng víi B, th× D trïng víi A; C trïng víi A th× D trïng víi E)
0,25
0,25
0,50
5
(4)Cứ l−ỵt rót hoa: nÕu ng−êi thø nhÊt rót x x( =1; 2) cành hoa, ngời thứ hai rút 3x cµnh hoa
Nh− sau l−ợt chơi, lại cành hoa dành cho ng−ời thứ phải rút, ng−ời thứ thua
0,50 0,25 5b + Nhận thấy: Nếu lời khai Bình ("Danh tội phạm"), lời khai
Danh sai ("Bình nói thật nói Danh tội phạm") ng−ợc lại, Bình nói sai Danh nói
0,25
+ Nếu lời khai An Châu lời khai cịn lại sai, tức Bình Danh nói sai, điều khơng xảy
0,25 + Nếu lời khai Bình Danh tội phạm, lời khai lại sai, tức Châu nói sai, nghĩa Châu tội phạm Cả Châu Danh tội phạm, điều không xảy có ng−ời tội phạm
0,25
+ Nh− lời khai Danh đúng, nên Bình nói sai, nghĩa Danh tội phạm, lời khai An Châu sai An nói sai, tức Bình khơng phải tội phạm, Châu nói sai, tức Châu tội phạm Điều hợp lí Vậy: Danh khai thật Châu tên trộm